( A) P( B) 4.2 Definición y cálculo de probabilidades Función de probabilidad

Transcripción

1 4. Defcó y cálculo de probabldades 4.. Fucó de probabldad Defcó: Sea la famla de sucesos asocada a u expermeto aleatoro de espaco muestral Ω. Se cosdera ua fucó : R, que verfca las dos propedades 0 y Ω S,, L L tal que j φ j, etoces esta fucó se le llama fucó de probabldad asocada al expermeto aleatoro de espaco muestral Ω. ropedades de la fucó de probabldad: φ 0 S,, L so sucesos del expermeto tal que j φ j, etoces S es u suceso cualquera del expermeto aleatoro, etoces Demostracó: omo Ω, etoces Ω omo φ podemos aplcar la propedad y obteemos Susttuyedo e la gualdad Ω omo Ω, obteemos que lo podemos expresar 4 S y so dos sucesos del expermeto aleatoro, etoces

2 Demostracó: omo podemos expresar como la uó de dos sucesos compatbles y se cumple [ ] plcado la propedad obteemos [ ] Las dos gualdades aterores permte afrmar plcado la propedad podemos afrmar que 0 Obteemos por tato 0, que podemos expresar como pues que podemos expresar como Esta propedad permte afrmar que s es u suceso del expermeto aleatoro etoces ya que se cumple Ω y aplcado esta propedad Ω Ω 5 S y so dos sucesos cualesquera del expermeto aleatoro, etoces Demostracó: osderamos que los sucesos y so compatbles y expresamos y como uó de sucesos compatbles Ω Las gualdades aterores os permte obteer las sguetes gualdades aplcado la propedad [ ] [ ] Obteemos de cada ua de las gualdades el valor de or tato se cumple que podemos expresar como que es la gualdad que queríamos demostrar. 4

3 5 6 S, y so tres sucesos cualesquera del expermeto aleatoro, etoces ara demostrar esta propedad tedremos e cueta que [ ], por lo que [ ], y s aplcamos la propedad 5, obteemos [ ] [ ] S aplcamos esta msma propedad a obteemos omo se cumple la propedad dstrbutva de la terseccó respecto de la uó, el últmo sumado de se puede expresar [ ] [ ] y s aplcamos uevamete la propedad 5 obteemos [ ] [ ] [ ] 4 S e susttumos por la expresó y [ ] por la expresó 4 obteemos la gualdad que queríamos demostrar Ejercco : E ua poblacó, la probabldad de que ua persoa padezca la efermedad es 0,5, la probabldad de que padezca la efermedad es 0, y la probabldad de que padezca ambas efermedades es 0,05. S se elge ua persoa de la poblacó, determar: a la probabldad de que padezca al meos ua de las dos efermedades b la probabldad de que o padezca la efermedad c la probabldad de que padezca sólo la efermedad d la probabldad de que o padezca gua de las dos efermedades e la probabldad de que padezca sólo ua de las dos efermedades Ejercco : omo resultado de estudos efectuados por el NE sobre los graduados uverstaros, se ha poddo establecer que la probabldad de que u graduado uverstaro sea mujer es 0,4, la probabldad de que esté satsfecho co su trabajo es 0, y la probabldad de que sea u hombre o satsfecho co su trabajo es 0,. Determar: a la probabldad de que u graduado uverstaro sea mujer o esté satsfecho co su trabajo b la probabldad de que u graduado uverstaro sea mujer satsfecha co su trabajo c la probabldad de que u graduado uverstaro sea mujer o satsfecha co su trabajo d la probabldad de que u graduado uverstaro sea hombre o esté satsfecho co su trabajo [Solucó: a 0,68; b 0,0; c 0,8; d 0,6]

4 Ejercco : E ua poblacó se publca tres peródcos locales, y. Supoga que la probabldad de que ua persoa de la poblacó lea el peródco es 0.6, la probabldad de que lea el peródco es 0.65, la probabldad de que lea el peródco es 0.4, la probabldad de que lea los peródcos y es 0.5, la probabldad de que lea los peródcos y es 0., la probabldad de que lea los peródcos y es 0.5 y la probabldad de que lea los tres peródcos es 0,05. Determar: a la probabldad de que ua persoa de la poblacó lea al meos uo de los tres peródcos locales b la probabldad de que ua persoa de la poblacó o lea guo de los tres peródcos locales c la probabldad de que ua persoa de la poblacó lea sólo los peródcos y d la probabldad de que ua persoa de la poblacó lea sólo el peródco Ejercco 4: Los vasos de crstal de la marca so defectuosos cuado tee burbujas de are, cuerpos extraños o gretas. Supoga que la probabldad de que u vaso tega burbujas de are es 0,, la probabldad de que tega gretas es 0,, la probabldad de que tega cuerpos extraños es 0,7, la probabldad de que tega burbujas de are y cuerpos extraños es 0,5, la probabldad de que tega cuerpos extraños y gretas es 0,7, la probabldad de que presete los tres tpos de defectos es 0,07 y la probabldad de que o presete guo de los tres tpos de defectos es 0,55. Determar: a la probabldad de que u vaso sea defectuoso b la probabldad de que u vaso tega burbujas de are y gretas c la probabldad de que u vaso úcamete tega burbujas de are y gretas d la probabldad de que u vaso úcamete tega burbujas de are 4.. Determacó de probabldades de sucesos Espaco muestral fto Se cosdera u expermeto aleatoro co sucesos elemetales. El espaco muestral lo podemos expresar Ω { ω, ω ω } { ω } { ω } L ω } omo Ω, L {, y por tato [ { ω } { ω } L { ω } ] Ω. y [ { ω} { ω} L { ω} ] { ω} compatbles, obteemos ya que los sucesos { ω },L, so { } ω 5 S es u suceso cualquera del expermeto podemos determar s asgamos valores a ω,l co la codcó 5 ya que s supoemos que { } { ω, ω L } { ω } { ω } L { ω r }, etoces [ { ω} { ω} L { ωr} ] { ω} ω r r 6 6

5 S podemos aceptar que se cumple el sguete postulado de dfereca: o hay razoes para pesar que alguo de los sucesos elemetales del expermeto aleatoro tee más posbldades de aparecer que otro, etoces las probabldades de todos los sucesos elemetales debe ser guales, es decr, ω p,l omo { ω } etoces debe cumplrse { } p p p y la probabldad de que ocurra el suceso la obteemos susttuyedo e6 el valor obtedo para p r r º de sucesos elemetales del suceso de sucesos elemetales de Ω º Ejercco 5: S se laza dos veces u dado co las caras umeradas del al 6, determa: a La probabldad de obteer más de tres putos b La probabldad de obteer sete putos c La probabldad de obteer como máxmo dos putos e el prmer lazameto d La probabldad de obteer el msmo úmero de putos e los dos lazametos e La probabldad de obteer ses putos e el segudo lazameto. Ejercco 6: E ua empresa trabaja 0 persoas de las que cuatro so mujeres. S se elge al azar dos trabajadores para que assta a u curso de formacó, determa la probabldad de que sea dos mujeres. Ejercco 7: Dos uras cotee 6 fchas umeradas del al 6.S se extrae al azar ua fcha de cada ura, a Determa la probabldad de que la suma de los úmeros de las fchas sea mayor que cco. b Determa la probabldad de que se obtega al meos u úmero mpar. c Determa la probabldad de que los úmeros de las fchas sea dsttos. Ejercco 8: la fal de los 00 metros lsos del trofeo Rector ha llegado tres estudates de lmería y tres de Graada. S los ses tee las msmas apttudes y o hay empates, determar la probabldad de que los tres corredores de lmería llegue e prmer, segudo y tercer lugar y los de Graada e cuarto, quto y sexto lugar. Espaco muestral fto umerable Se cosdera u expermeto aleatoro co u úmero fto umerable de sucesos elemetales. El espaco muestral lo podemos expresar Ω { ω, ω, LωL} { ω} { ω} L { ω } L { ω } por tato Ω { ω }., y 7

6 omo Ω y ω} { { ω} ya que los sucesos { ω } { } ω., so compatbles, obteemos Esta gualdad os dca que las probabldades de los sucesos elemetales so los térmos de ua sere de térmos postvos covergete de suma. S coocemos las probabldades de los sucesos elemetales se puede determar la probabldad de cualquer suceso del expermeto, ya que b S { ω ω L }, ω r ω } { { ω } L { ω r } [ { ω} { ω} L { ωr} ] { ω } b S { ω, ω4l ω jl} { ω j} { ω j} { ω j} j j j r 4. robabldad codcoada. depedeca de sucesos 4.. robabldad codcoada Ejercco 9: Se laza u dado co las caras umeradas del uo al ses a S se ha obtedo más de tres putos, cuál es la probabldad de que el úmero de putos sea par? b S se ha obtedo tres o más putos, cuál es la probabldad de que el úmero de putos sea par? Defcó: Se cosdera u expermeto aleatoro y,, asocado. Sea y dos sucesos del expermeto co > 0. Se defe ua fucó / Ω su espaco de probabldad / sobre la famla de sucesos del expermeto de la sguete forma: Se demuestra que esta fucó es ua fucó de probabldad y se le llama fucó de probabldad codcoada por el suceso. S teemos e cueta la defcó ateror podemos afrmar que / s > 0 Este resultado se cooce como ley del producto. 8

7 La fucó de probabldad codcoada verfca todas las propedades vstas de la fucó de probabldad, por ejemplo:. / / s > 0. / / / / s > 0, Ejercco 0: or estudos efectuados se sabe que el 40% de los alumos uverstaros so becaros, que la probabldad de que u alumo co beca apruebe todas las asgaturas matrculadas e u curso es 0,8 y que la probabldad de que u alumo s beca apruebe todas las asgaturas matrculadas e u curso es 0,4. a S se elge al azar u alumo uverstaro, calcule la probabldad de que sea becaro y o apruebe todas las asgaturas matrculadas e u curso. b S se elge al azar u alumo uverstaro, calcule la probabldad de que apruebe todas las asgaturas matrculadas e u curso. c S u alumo uverstaro ha aprobado todas las asgaturas matrculadas e u curso, cuál es la probabldad de que o tega beca? Ejercco : or estudos efectuados se sabe que el 0% de los parados percbe ua ayuda mesual superor a 600 euros, que el 0% de los hombres e paro percbe ua ayuda mesual superor a 600 euros, y que el úmero de mujeres e paro es el doble que el de hombres. a S se elge al azar ua persoa e paro, calcule la probabldad de que sea u hombre y la ayuda que percbe sea de 600 euros o meos. b S se elge al azar ua persoa e paro, calcule la probabldad de que sea ua mujer y la ayuda que percbe sea superor a 600 euros. c S ua persoa e paro percbe ua ayuda superor a 600 euros, cuál es la probabldad de que sea u hombre? 4.. Teorema de la probabldad total Se cosdera u expermeto aleatoro y,, Ω su espaco de probabldad asocado. Sea, L sucesos del expermeto co probabldades estrctamete postvas y que forma ua partcó de Ω. Etoces se verfca: / Demostracó: Las tres codcoes que se ha mpuesto a los sucesos, L so: L Ω or formar los sucesos ua partcó de Ω se verfca: j φ j demás se verfca que > 0,L 7 8 9

8 L Ω Ω s teemos e cueta la codcó 7. or cumplr la famla de sucesos la propedad dstrbutva y se obtee que L L L [ L ] Estudamos s los sucesos, L φ φ so compatbles s j j j s teemos e cueta la codcó 8. or lo tato podemos aplcar la propedad de la fucó de probabldad y obteemos [ L ] L 9 omo 0,L > podemos aplcar la ley del producto y obteemos /, L S susttumos este resultado e 9 obteemos L / / / L Este resultado lo podemos expresar y por lo tato hemos demostrado el teorema. / Este teorema se geeralza para el caso e que la partcó de Ω cotega u úmero fto umerable de sucesos Ejercco : Los teléfoos móvles de la marca TT se produce e tres fábrcas stuadas e las cudades, y. or estudos efectuados se sabe que la fábrca de la cudad produce u % de teléfoos móvles defectuosos, la de la cudad produce u 6% de teléfoos móvles defectuosos y la de la cudad produce u % de teléfoos móvles defectuosos. demás se sabe que e la fábrca de la cudad se produce el 50% de los teléfoos móvles, e la de la cudad se produce el 0% y e la de la cudad el 0%. a Determa razoadamete la probabldad de que u teléfoo móvl de la marca TT o sea defectuoso y haya sdo fabrcado e la cudad. b Determa razoadamete la probabldad de que u teléfoo móvl de la marca TT sea defectuoso. c S se elge u teléfoo móvl de la marca TT y resulta ser defectuoso, determa razoadamete la probabldad de que haya sdo fabrcado e la cudad. 0

9 4.. Teorema de ayes Se cosdera u expermeto aleatoro y,, Ω su espaco de probabldad asocado. Sea, L sucesos del expermeto co probabldades estrctamete postvas y que forma ua partcó de Ω. S es u suceso del expermeto co probabldad estrctamete postva, etoces se verfca que Demostracó: / / /,, L omo > 0,L etoces / omo > 0 etoces /, L Las gualdades aterores os permte afrmar que / /,L y como > 0 obteemos / /,, L, S aplcamos el teorema de la probabldad total se cumple que e las gualdades aterores obteemos / / / / y susttuyedo,, L Este teorema se geeralza para el caso e que la partcó de Ω cotega u úmero fto umerable de sucesos depedeca de sucesos depedeca de dos sucesos Defcó: Sea y dos sucesos de u expermeto aleatoro, se dce que estos sucesos so depedetes s y solo s se verfca De esta defcó podemos deducr: a S > 0etoces / b S > 0etoces /

10 c S 0 etoces 0 y para cualquer suceso del expermeto aleatoro se cumple la gualdad or tato podemos afrmar que e este caso el suceso y cualquer otro suceso del expermeto aleatoro so depedetes. ropedad: S y so dos sucesos depedetes, etoces: a b c ara demostrar que se verfca a cosderamos que. or ser depedetes los sucesos y se verfca que y por lo tato. Sacado factor comú obteemos [ ] De forma aáloga se obtee la gualdad b. ara demostrar que se verfca c cosderamos que plcado la propedad 5 de la fucó de probabldad [ ] or ser depedetes los sucesos y se verfca que or lo tato [ ] S agrupamos los dos prmeros sumados y sacamos factor comú e los dos últmos, obteemos [ ] [ ]. S e esta últma expresó sacamos factor comú obteemos [ ] depedeca de tres sucesos Defcó: Sea, y tres sucesos de u expermeto aleatoro, se dce que estos sucesos so mutuamete depedetes s y solo s se verfca S sólo se cumple las tres prmeras gualdades se dce que los tres sucesos so depedetes dos a dos.

11 ropedad: S, y so tres sucesos mutuamete depedetes, etoces a b c ara demostrar que se verfca a cosderamos que [ ]. or ser mutuamete depedetes los sucesos, y se verfca y. or lo tato. S sacamos factor comú, obteemos [ ] ara demostrar que se verfca b cosderamos que 0 or ser mutuamete depedetes los sucesos, y se verfca que, y. S susttumos e 0 S sacamos factor comú e los dos prmeros sumados y e los dos últmos, obteemos [ ] [ ] S sacamos factor comú, obteemos [ ] ara demostrar que se verfca c cosderamos que y aplcado la propedad 6 de la fucó de probabldad [ ] or ser los sucesos, y mutuamete depedetes,, y. S susttumos e obteemos

12 4 [ ] S sacamos factor comú e los sumados segudo y tercero, e los sumados cuarto y quto y e los dos últmos sumados, obteemos [ ] [ ] [ ] [ ] S sacamos factor comú e los dos prmeros sumados y e los dos últmos sumados, obteemos [ ] [ ] S sacamos factor comú, obteemos [ ] Ejercco : Sea y dos sucesos de u expermeto aleatoro tales que: 84 0, y 4 Determa razoadamete y e los sguetes casos: a Los dos sucesos so depedetes. b Los dos sucesos so compatbles. Ejercco 4: E ua poblacó se publca tres peródcos locales, y. Supoga que la probabldad de que ua persoa de la poblacó lea el peródco es /, la probabldad de que lea el peródco es /, la probabldad de que lea el peródco es /4, la probabldad de que lea los peródcos y es /6, la probabldad de que lea los peródcos y es /8, la probabldad de que lea los peródcos y es / y la probabldad de que lea los tres peródcos es /4. a Determe la probabldad de que ua persoa de la poblacó o lea guo de los tres peródcos. b Determe la probabldad de que ua persoa de la poblacó lea sólo los peródcos y. c Determe la probabldad de que ua persoa de la poblacó lea sólo el peródco. Ejercco 5: estudo realzado por el sttuto del Trasporte por arretera, calculaba e 0.4 la probabldad que tee u camó de pasar ua revsó técca, pero s el camó tee meos de dos años de atgüedad la probabldad aumeta a 0.8. Teedo e cueta que, e la actualdad, el 60% del parque de camoes tee dos años o más de atgüedad, a Razoa, s efectuar cálculos, s los sucesos el camó pasa la revsó técca y el camó tee dos años o más de atgüedad so depedetes. b alcula la probabldad de que, elegdo u camó que haya pasado la revsó técca, tega ua atgüedad feror a los dos años. c Determa la probabldad de que u camó o pase la revsó técca o tega dos años o más de atgüedad.

13 Ejercco 6: S lazamos cuatro veces ua moeda, determa: a La probabldad de obteer ua cara. b La probabldad de que e los dos prmeros lazametos se obtega caras. c La probabldad de que e el últmo lazameto se obtega la seguda cara. d La probabldad de que e dos lazametos cosecutvos o se obtega el msmo resultado. Ejercco 7: alcula la probabldad de obteer al meos ua vez sete putos al lazar dos veces u par de dados. Ejercco 8: Se cosdera ua ura co 0 bolas, blacas y 8 rojas. Se saca ua bola de la ura, s es roja se devuelve a la ura; s es blaca se reemplaza por bolas rojas. Se saca a cotuacó ua seguda bola y se aota su color. Determa: a probabldad de que las dos bolas extraídas sea blacas. b probabldad de que se extraga ua bola de cada color. c probabldad de que la prmera bola extraída haya sdo blaca s la seguda ha sdo blaca. Ejercco9: E u juego de lotería los boletos está umerados del al 50. Se saca al azar boletos, determa la probabldad de que: a los úmeros de ambos boletos so meores que 0. b el úmero de u boleto es meor que 0 y el del otro es mayor que 0. Ejercco 0: La probabldad de que u estudate coozca la respuesta correcta a ua cuestó de u exame tpo test es 0,6. S o sabe la respuesta correcta elge ua de las 4 posbles respuestas al azar. S el estudate ha cotestado correctamete la cuestó, cuál es la probabldad de que supera la respuesta? Ejercco : Dos estudates y, está scrtos e u curso de Estadístca. El estudate asste a las clases el 80% de las veces y el estudate el 60%, y las ausecas so depedetes. a alcula la probabldad de que e u día determado al meos uo de los dos estudates esté e clase. b S e u día determado al meos uo de los dos estudates está e clase, cuál es la probabldad de que esté e clase ese día? c S exactamete uo de los dos estudates está e clase u día cocreto, cuál es la probabldad de que sea? Ejercco : E dalucía, el 9% de los hogares o dspoe de ordeador portátl de coexó a teret de bada acha. demás se cooce que de los hogares co ordeador portátl, el 6% tee coexó a teret de bada acha y, de los hogares que o tee ordeador portátl, el 89,% tee coexó a teret de bada acha. S se elge u hogar de esta omudad utóoma, determa razoadamete: a probabldad de que dspoga de ordeador portátl o de coexó a teret de bada acha. b probabldad de que tega ordeador portátl. c probabldad de que tega coexó a teret de bada acha. 5

14 Ejercco : Exame Juo 0 Sea, y tres sucesos de u expermeto aleatoro tales que o Los sucesos y so depedetes o Los sucesos y so compatbles o Los sucesos y so compatbles o La probabldad de que ocurra es 0,, la probabldad de que ocurra es 0, y la probabldad de que ocurra al meos uo de los tres sucesos es 0,96. a Determa razoadamete la probabldad de que ocurra b Determa razoadamete la probabldad de que ocurra exactamete dos de los tres sucesos Ejercco 4: Exame juo 0 Los fucoaros de certo país se clasfca e cuatro grupos,, y D, e atecó a la ttulacó que se requere para el acceso. Se cooce que el 0% de los fucoaros so del grupo, el 0% del grupo, el 40% del grupo y el 0% del grupo D. La probabldad de que u fucoaro tega ua hpoteca de mporte superor a euros es gual a 0, s es del grupo, 0, s es del grupo, 0,4 s es del grupo y 0,07 s es del grupo D. a S se elge u fucoaro al azar, explca por qué debes utlzar el teorema de la probabldad total para calcular el valor de la probabldad de que el fucoaro tega ua hpoteca de mporte superor a euros. b S se elge u fucoaro al azar y tee ua hpoteca de mporte feror o gual a euros, determa razoadamete la probabldad de que sea del grupo. c Razoa s etre los sucesos que has defdo e este ejercco hay sucesos depedetes. Ejercco 5: Exame Septembre 0 Sea y dos sucesos de u expermeto aleatoro tales que 0,; / 0,6 y / 0, 4 Razoa s so certas o falsas las sguetes afrmacoes: a ; b y so sucesos depedetes; c y so sucesos depedetes; d y so sucesos compatbles; e / 0, 7; e / / Ejercco 6: Exame Septembre 0 portal de teret especalzado e vos ofrece vos D.O. Rbera del Duero, D.O. Roja y D.O. odado de Huelva. or estudos efectuados se cooce que: La probabldad de que ua persoa que vsta el portal adquera vo D.O. Rbera del Duero es 0 4, la de que adquera vo D.O. Roja es 0 6, la de que adquera vo D.O. odado de Huelva es 0, y la de que adquera al meos uo de los tres tpos de vo es 0,96. Nuca ocurre que ua persoa compre vo D.O. odado de Huelva y D.O. Rbera del Duero. Nuca ocurre que ua persoa compre vo D.O. odado de Huelva y D.O. Roja. a Determa razoadamete la probabldad de que ua persoa que accede al portal adquera vo D.O. Rbera del Duero y D.O. Roja. b Estuda s etre los sucesos que has defdo hay sucesos depedetes. c Determa razoadamete la probabldad de que ua persoa o adquera vo D.O. Rbera del Duero, s o ha comprado vo D.O. Roja. 6

15 Ejercco 7: Exame Juo 04 or estudos efectuados se sabe que la edtoral EE utlza sempre al meos ua de las sguetes estrategas para veder cada uo de sus lbros. Estratega : Efectúa ua promocó e televsó ates de la publcacó. Estratega : osgue que el lbro tega ua cuberta mpactate. Estratega : Ofrece ua prma a los represetates que vede u úmero determado de ejemplares del lbro. Sea el suceso la edtoral utlza la estratega para veder el lbro y se cooce las sguetes probabldades:,7 ; 0,8 ; 0,6 ; 0,06 ; 0,5 ; / 0, 6 0 a S se elge al azar u lbro de la edtoral determa razoadamete la probabldad de que se haya utlzado para vederlo la estratega y la. b Razoa s los sucesos, y so mutuamete depedetes. Ejercco 8: Exame Septembre 04 Las lavadoras de la marca EE puede presetar defectos de tres tpos, y. Se defe el suceso : la lavadora preseta defectos de tpo. Se cooce las sguetes probabldades: 0,4 ; 0, ; 0,5 ; / 0,6 ; 0,9; / 0,4 ; / 0, 75 a S se elge al azar ua lavadora, determa razoadamete la probabldad de que presete al meos uo de los tres tpos de defectos. b S se elge al azar ua lavadora, determa razoadamete la probabldad de que presete defectos de tpo o de tpo. c S se elge al azar ua lavadora, determa razoadamete la probabldad de que presete defectos de los tres tpos. d S ua lavadora preseta defectos de tpo y, determa razoadamete la probabldad de que o presete defectos de tpo. e S se cosdera los sucesos, y razoa s etre ellos hay sucesos depedetes o compatbles. 7