El primer momento centrado en el origen (k=1) es la esperanza matemática de X

Transcripción

1 MOMENTO K-ÉSIMO PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA RESPECTO DEL ORIGEN E(x) n i 1 k x i.p x i El primer momento centrado en el origen (k=1) es la esperanza matemática de X También se definen momentos alrededor de cualquier punto fijo, en particular, alrededor de E(X) E x 2 2 E x ( ) El momento de 2do orden centrado en la esperanza, es la varianza de X.

2 Momento de 3er orden centrado en E(x) 3 E x 3 Para determinar la asimetría de la distribución : As 3 3 Si As > 0, Hay asimetría derecha. Si As < 0, Hay asimetría a izquierda Si As = 0. Hay simetría. Para determinar el grado de agudeza o curtosis: 4 K 4 Si K= 3, mesocúrtica. Si K>3, leptocúrtica. Si K< 3, platicúrtica.

3 Observaciones Los momentos de mayor orden son sólo de interés teórico. En la mecánica elemental, los momentos están asociados con las propiedades físicas de cuerpos de masa. El 1er momento con respecto al origen está relacionado con el centro de gravedad y el 2do momento con respecto al centro de gravedad es el momento de inercia. Otras características numéricas: Modo: Mo es el valor de x para el cual f(x) toma su valor máximo. (Si la fdp tiene un solo máximo).

4 Mediana (me) Es el valor de X tal que P( X me ) P( X me ) f(x)dx ó P( X me ) m e Ejercicio: hallar la me de la variable X tal que x 2 si o < x 1 2 f( x) si 1 < x si x > 2

5 Distribución de Bernoulli Experimento de Bernoulli: sólo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: Se verifican las propiedades: xi P(xi) 1 (éxito) p Px ( i ) 0 0 (fracaso) q=1-p 1 x0 P( X x) P( X 1) P( X 0) p 1 p 1 Calcular la Esperanza y la Varianza de la variable de Bernoulli

6 El modelo Binomial Una variable binomial puede considerarse como la suma de n variables de Bernoulli independientes. Cada prueba es una variable de Bernoulli; es decir, puede resultar un éxito o un fracaso, con probabilidades p y 1-p respectivamente en cada prueba. Definición : Se dice que X es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p si su distribución de probabilidades está dada por: X b(n,p) n P(x=k)= p k. 1 p k n k

7 Demostrar que la variable aleatoria binomial es una legítima distribución de probabilidad n n n k P(x=k).. 1 nk p p k p k0 k0 Para identificar el modelo binomial: Hay n repeticiones independientes. n 1-p 1 Por binomio de Newton El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso A o su contrario. La probabilidad de A es p, constante en cada prueba.

8 Ejercicio 1. Dada la siguiente función 1 x si 0 x 2 8 f(x)= k si 2< x 5 0 para todo otro valor 2. Hallar el valor de k para que f(x) sea una fdp. 3. Calcular el valor de a tal que P ( x a) 0, Qué medida de posición representa a? Justificar la respuesta.

9 Ejemplos de variable binomial Ejemplos Lanzar una moneda 10 veces. Hallar la probabilidad de que se obtengan 3 caras. Se analizan 18 muestras de aire y se sabe que la probabilidad de que cada muestra de aire contenga una molécula rara es 0,1 Hallar la probabilidad de que a lo sumo 2 muestras de aire contengan una molécula rara. Se administra a 30 pacientes que padecen una enfermedad, un medicamento con el cual tienen una probabilidad de 0,35 de experimentar una mejoría. Un examen de opción múltiple contiene 20 preguntas, cada una con cuatro opciones, y se pide a un alumno que resuelva el examen sin haber estudiado. Hallar la probabilidad de contestar bien 4 o 5 preguntas. Variable X Nro de caras obtenidas Nro de muestras de aire con esa molécula rara. Nro de pacientes mejorados Nro de respuestas correctas

10 Características numéricas de la variable binomial X Demostrar que si x es binomial, E(x)= np y V(x) = n.p.(1-p) Del ejemplo anterior, calcular el número de pacientes esperado que experimentan mejoría y su varianza.

11 Variable aleatoria Hipergeométrica La producción diaria de 850 piezas contiene 50 que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se toman 4 piezas al azar, sin sustitución, de la producción del día y se define la siguiente variable aleatoria X: número de piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente.

12 Ejercicio Calcular la probabilidad de que 2 piezas no cumplan con los requerimientos. Contamos con: N = tamaño de la población. k elementos poseen cierta característica (no cumplir con los requerimientos) N-k elementos no poseen cierta característica X es el nro de elementos del tipo de k en n extracciones sin reposición n-x es el número de elementos del tipo de N-k

13 Variable aleatoria Hipergeométrica Una variable hipergeométrica es identificada según las condiciones siguientes: n pruebas no independientes. El resultado de cada prueba es dicotómico: A o su contrario. La probabilidad del suceso A no es constante, varía en cada prueba. Definición: Se dice que X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros N, n y k, si su distribución de probabilidades está dada por: P(X=x) N k k n x x N n

14 Esperanza y varianza de una variable hipergeométrica k E( X ) n N k k N n V( x) n 1 N N N 1 Conviene hallarlas a partir de la distribución en la tabla

15 Variable aleatoria de Poisson Ejemplo: Las fallas superficiales de un alambre de cobre en una longitud L se presentan de manera aleatoria. Cuál es la variable aleatoria X que sería de interés analizar? es el número promedio de fallas en una longitud L

16 Características de la distribución de Poisson La longitud se puede dividir en n subintervalos. Si el subintervalo es lo bastante pequeño, entonces la probabilidad de que en él se tenga más de una falla es insignificante. Las fallas se presentan de manera aleatoria, entonces cualquier subintervalo tiene la misma probabilidad de contener una falla. La probabilidad de que un subintervalo contenga una falla es independiente de la de otros subintervalos

17 La distribución de Poisson es una aproximación de la distribución binomial si n tiende a infinito y p a cero Observaciones: Demostrar que si n y p 0 np k e lim P(x = k) = k! n 1) Para n tendiendo a infinito y p a cero, el suceso es raro y es una buena aproximación de la binomial a la de Poisson. 2) En la práctica esto es para n mayor o igual que 50, si np es menor o igual que 5.

18 Variable aleatoria de Poisson Se dice que X es una variable aleatoria de Poisson con parámetro Si su distribución de probabilidades está dada por 0 X ~ po( ) P( x k) k e k! Donde Es el promedio de ocurrencias en el intervalo y : 1. La probabilidad de más de una ocurrencia en el subintervalo es cero. 2. La probabilidad de una ocurrencia en el subintervalo es la misma para todos los subintervalos y es proporcional a la longitud de éstos. 3. El número de ocurrencias en cada subintervalo es independiente de los demás subintervalos.

19 La distribución de Poisson es una legítima distribución de probabilidades Ejercicio : k k e P( x k) e. e. e 1 k! k! k0 k0 k0 Para el caso del alambre de cobre, el promedio de fallas por mm, es 2,3 Hallar P(X=2) E(X) = V(x) =

20 Cuestionario Define variable de Bernoulli Enuncia las características que permiten reconocer una variable: a) Binomial b) De Poisson c) Hipergeométrica d) Encuentra la relación entre ellas. Deduce la esperanza matemática y la varianza de una variable binomial. Cuál es la esperanza y varianza en una distribución de Poisson?

21 Actividad con GeoGebra Se transmiten 5 señales. Cuál es el espacio muestral asociado? Se define la variable aleatoria X: número de señales transmitidas en forma errónea obtenidas en las cinco transmisiones 1. Determine Rx, (conjunto de valores que toma la variable aleatoria). 2. Analice si las pruebas repetidas son independientes. 3. Son mutuamente excluyentes los sucesos (c, c, c, i, i) y (c,i, i, c,c)? 4. Use el comando BinomialAleatorio de GeoGebra para simular 50 resultados de las 5 pruebas repetidas asociadas a la variable estadística X con p =0.4 y construya la distribución de frecuencias relativas. 5. Compare la distribución de frecuencias de la variable estadística X con la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X. Extraiga conclusiones.