Dónde estamos? VARIABLES ALEATORIAS

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1 Dónde estamos? VARIABLES ALEATORIAS DESCR. CÁLC. P. INFERENCIA CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A. V.A. DISCRETAS V.A. CONTINUAS MEDIDAS CARACTERÍSTICAS TRANSFORMACIÓN DE V.A. 98 Probabilidad 988 Variables aleatorias 994 Emilio Letón Dpto. Estadística, UC3M YT: WWWLIAA Frentes abiertos I feel it in my fingers I feel it in my toes Love is all around me And so the feeling grows Its written on the wind Its everywhere I go, oh yes it is So if you really love me Come on and let it show x i? X De dónde vienen los datos? P( )?

2 CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A. Definición de variables aleatorias Soporte y tipos V.A. DISCRETAS V.A. CONTINUAS CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A. Alea; Stokastikos (Jakob Bernoulli; XVII) x i? MEDIDAS CARACTERÍSTICAS TRANSFORMACIÓN DE V.A. Los Bernoulli Definición de v.a. Experimento aleatorio Espacio muestral=e x i? E e X R X(e)

3 Resumen: definición de v.a. Soporte y tipos Soporte: conjunto de posibles valores que puede tomar la v.a. Tipos: v.a. discretas finitas; v.a. discretas infinitas; v.a. continuas E, E, E 3, E 4 Estamos rodeados de v.a? Ejemplo asociado a E (/) Ejemplo asociado a E (/) F F S F S S Se observa una pieza si F o S F=fallo, defectuoso; S=correcto Si el dígito se ha transmitido F o S E ={F,S} Discreto finito de elementos X E R {F} 0 {S} Soporte: {0,} Tipo: v.a. dis. finita

4 Ejemplo asociado a E (/3) Ejemplo asociado a E (/3) FFF SFF FSF FSS FSS FFF Se observa una pieza de 3 comp. con cada componente F o S E ={FFF,FFS,FSF,FSS,SSS, SSF,SFS,SFF} Discreto finito de 8 elementos X E e R Núm de S Soporte: {0,,,3} Tipo: v.a. dis. finita Ejemplo asociado a E (3/3) Ejemplo asociado a E 3 (/) X * R E e N.de S N.de F Soporte: {-3,-,,3} Tipo: v.a. dis. finita S FS FFS S FS FS Se observa nº de veces hasta transmitir un bit correctamente E 3 ={S,FS,FFS,FFFS, FFFFS, } Discreto inf. (infinito numerable)

5 Ejemplo asociado a E 3 (/) X E e R Soporte: {,,3, } Tipo: v.a. dis. infinita Núm de veces hasta S Ejemplo asociado a E 4 5 Se observa el tiempo hasta transmitir un bit correctamente 3 Tiempo de acceso a una web 45 E 4 =R + 7 Continuo inf. (inf. no numerable) Ejemplo asociado a E 4 (/) Resumen: soporte y tipos R x + X Soporte: R x + R Tipo: v.a. continua

6 CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A. V.A. DISCRETAS Función de probabilidad Función de distribución V.A. CONTINUAS V.A. DISCRETAS Gráfico de frecuencias relativas Gráfico acumulado de fr. relativas MEDIDAS CARACTERÍSTICAS TRANSFORMACIÓN DE V.A. Función de probabilidad E: discreto (finito o inf. num.) Definición ( x ) = P ( X x ) p = Con la probabilidad de los sucesos elementales se calcula todo

7 Propiedades ( x ) 0 p ( x ) p = x Ejemplo v.a. discreta finita (/4) p ( x ) /6, x = = 5/6, x = 0 Ejemplo v.a. discreta finita (/4) p ( x ) p, x = = p, x = 0 Ejemplo v.a. discreta finita (3/4) p ( x ) /3, x = = /3, x = 0

8 Ejemplo v.a. discreta finita (4/4) p ( x ) = x =,..., k k Ejemplo v.a. discreta infinita X Resumen: función de probabilidad Función de distribución (disc.) E: discreto (finito o inf. num.)

9 Definición F ( x ) = P ( X x ) = p ( xi ) ( x ) F ( x ) p x x i Propiedades F( ) = F( + ) = F c. pd. F mnd.. 0 Resumen: fc distribución (disc.) Ej. v.a.d. (/3) p ( x ) p = p, x =, x = 0 F ( x ) P ( X x ) = p ( x ) =? = x i x i

10 Ej. v.a.d. (/3) Ej. v.a.d. (3/3) Resumen: ej. v.a.d. Ej. v.a.d. (/3) X......

11 Ej. v.a.d. (/3) Ej. v.a.d. (3/3) Resumen: ej. v.a.d. Prob. de intervalos en v.a.d. (/4) P ( a < X b ) = F ( b ) F ( a ) ( X b ) = ( a < X b ) ( X a )

12 Prob. de intervalos en v.a.d. (/4) P ( a X b ) = F ( b ) F ( a ) ( X a ) +P = Prob. de intervalos en v.a.d. (3/4) P ( a < X < b ) = F ( b ) F ( a ) ( X b ) P = Prob. de intervalos en v.a.d. (4/4) P ( a X < b ) = F ( b ) F ( a ) ( X = b ) + P ( X a ) P = Resumen: prob. de inter. en v.a.d.

13 Simetría en v.a.c. P ( X α x ) = P ( X α + x ) P ( X α x ) = P ( α + x X + ) F ( α x ) = F ( α + x ) + P ( X = α + x ) CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A. V.A. DISCRETAS V.A. CONTINUAS Función de densidad Función de distribución MEDIDAS CARACTERÍSTICAS TRANSFORMACIÓN DE V.A. V.A. CONTINUAS Histograma de frecuencias relativas Función de densidad E: continuo (infinito no num.) Histograma acumulado de fr. relativas

14 Definición 0 f ( x ) = lim δx 0 ( X x ) ( x < X x + δx ) =P = P δx Propiedades 0 + x = f f ( x ) ( x ) dx = Ejemplo v.a. continua (/5) Ejemplo v.a. continua (/5)

15 Ejemplo v.a. continua (3/5) Ejemplo v.a. continua (4/5) Ejemplo v.a. continua (5/5) Resumen: función de densidad f ( x ) = λe 0 λx x 0 resto

16 Integrales impropias (/) Integrales impropias (/) + x = 0 λe λx dx Resumen: integrales impropias Función gamma Γ ( ) + x p p = e x 0 p >0 dx

17 Propiedades Γ Γ ( p ) = ( p ) Γ( p ) p > ( n ) = ( n )! Γ ( ) = Ejercicio (/) + x = 0 λe λx dx Γ / ( /) = π = π Ejercicio (/) Ejercicio (/) + x = 0 e π x dx y = x x = / ( y ) dy = xdx

18 Ejercicio (/) = + y = 0 π e π 3 Γ y 3 3 = Γ π / ( y ) dy Resumen: función gamma Función beta B p ( pq ) x ( x ) = 0 q, dx p, q >0 Propiedades B B ( p, q ) = ( /,/ ) = π Γ Γ ( p ) Γ( q ) ( p + q ) ( p, ) = p B /

19 Ejercicio Resumen: función beta = B 4 x ( x )dx 0 ( 5,) Γ = ( 5) Γ( ) = Γ( 7) 6! 4!! = 6 5 = 5 Función de distribución (cont.) E: continuo (infinito no num.) Definición F x ( x ) = P ( X x ) = f ( t )dt ( x ) F ( x ) f

20 Propiedades Resumen: fc distribución (cont.) F( ) = F( + ) = F c. pd. F mnd.. 0 Ej. v.a.c. (/5) Ej. v.a.c. (/5)

21 Ej. v.a.c. (3/5) Ej. v.a.c. (4/5) Ej. v.a.c. (5/5) Resumen: ej. v.a.c.

22 Prob. de intervalos en v.a.c. P ( a < X b ) = F ( b ) F ( a ) Simetría en v.a.c. F ( α x ) = F ( α + x ) + P ( X = α + x ) ( α x )( ) = f ( α x ) ( α x ) = f ( α x ) ( x ) f ( x ) par f + f + f = CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A. V.A. DISCRETAS V.A. CONTINUAS MEDIDAS CARACTERÍSTICAS MEDIDAS CARACTERÍSTICAS Media poblacional (Esperanza) Varianza y dt poblacional Otras medidas poblacionales Media poblacional Varianza y dt poblacional Otras medidas poblacionales TRANSFORMACIÓN DE V.A.

23 Media poblacional n k x = x = x n i i = j = j fr ( x ) j Discretas µ = E [ X ] = x p ( x ) x ( x ) x p < + x Continuas µ = E x [ X ] = x f ( x ) x f x ( x ) dx < + dx Propiedades (/4) E E Si [ X ] con unidades u [ X ] 0 ó E [ X ] 0 X 0 E [ X ] 0

24 Propiedades (/4) E E [ c ] = c E [ a + bx ] = a + be [ X ] [ bx ± bx] = E [ X ] be [ ] b ± X Propiedades (3/4) E E E [ h ( X )] = h ( x ) p X ( x ) x [ h ( X )] h ( x ) f ( x ) ind. = x X dx [ XY ] = E [ X ] E [ Y ] Propiedades (4/4) Si existe la media y hay simetría media =mediana Resumen: media poblacional

25 Varianza poblacional n s = x ni = k = j = ( ) x x i ( x x ) fr ( x ) j j Discretas σ = V [ X ] = ( x µ ) p ( x ) h x ( x ) = ( x µ ) Continuas σ [ X ] = ( x ) f ( x )dx = V µ h x ( x ) = ( x µ ) Propiedades (/4) V [ X ] con unidades u V [ X ] 0

26 Propiedades (/4) V V [ c ] = 0 [ a + bx ] = bv [ X ] [ bx ± bx ] ind. V = [ X ] bv [ ] V X b + V V Propiedades (3/4) [ h ( X )] = ( h ( x ) E [ h ( x )]) p X ( x ) x [ h ( X )] ( h ( x ) E [ h ( x )]) f ( x ) = x X dx Propiedades (4/4) V para [ X ] E ( X c ) cualquier [ ] c µ Resumen: varianza poblacional

27 Ej. var Resumen: ej. var. Desviación típica poblacional σ = [ X ] = V [ X ] D + Discretas σ = D [ X ] = ( x µ ) p ( x ) x

28 Continuas [ X ] = ( x ) f ( x )dx σ = D µ x Propiedades (/3) D [ X ] con unidades u D [ X ] 0 Propiedades (/3) Dc [ ] = 0 [ a + bx ] bd [ X ] D = [ bx ± bx ] ind. D = [ X ] bv [ ] V X b + Propiedades (3/3) [ h ( X )] V [ h ( X )] D =

29 Resumen: dt poblacional Des. de Chebyshev poblacional P ( X µ kσ ) k ( kσ X µ kσ ) ( µ kσ X µ kσ ) P P + Resumen: des. Cheb. poblacional Tipificación Z = X D E [ X ] [ X ]

30 Media E [ Z ] X = E D E [ X ] [ X ] Varianza V [ Z ] X = V D E [ X ] [ X ] Resumen: tipificación Mediana poblacional x med :50% obs. P P el 50% ( X x ) med ( X x ) med a la a la dcha izda

31 Discretas F = ( x ) + P ( X ) med x med Continuas ( ) x med =F Propiedades (/4) ς 0.5 ς [ X ] con unidades u [ X ] ó ς [ X ] Si X ς X 0 5[ ] 0 0. Propiedades (/4) ς ς 0.5 [ c ] = c.5[ a + bx ] = a b 0. 5[ X ] [ bx ± b ] = [ X ] b ς [ ] ς + 0 ς 0.5 X = b ς ± X

32 Propiedades (3/4) Nonecesariamenteúnica Consimetría cg =mediana Propiedades (4/4) [ X c ] E se hace mínima c = ς 0.5 Resumen: mediana poblacional CAS poblacional CAS = µ σ 3 3 [( ) 3 ] µ 3 = E X µ µ = = µ

33 Resumen: CAS poblacional CAP poblacional µ 4 CAP = γ 3 = 4 σ [( ) 4 ] µ 4 = E X µ 3 µ = = µ Resumen: CAP poblacional Cuantiles poblacionales ς : p*00% el p*00% ( X ς ) p P p a ( X ς ) p P p obs p. a la la dcha izda

34 Discretas p F ( ς ) p + P ( X = ς ) p p Continuas p = F ς ( ) p Resumen: cuantiles poblacionales Otras medidas poblacionales max p ( x ) maxf ( x ) x CV = σ µ x

35 Resumen: otras medidas pob. Ej. m.c. (/5) Ej. m.c. (/5) Ej. m.c. (3/5)

36 Ej. m.c. (4/5) Ej. m.c. (5/5) Resumen: ej. m.c. Ej. m.c. (/5)

37 Ej. m.c. (/5) Ej. m.c. (3/5) Ej. m.c. (4/5) Ej. m.c. (5/5)

38 Resumen: ej. m.c. CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A. V.A. DISCRETAS V.A. CONTINUAS MEDIDAS CARACTERÍSTICAS TRANSFORMACIONES DE V.A. Teorema de la transformación Simulación de v.a. TRANSFORMACIONES DE V.A. X FX Y = h ( x ) ( X ) F ( y )? Y Teorema de la transformación F Y ( y ) = P ( Y y ) = P ( h ( X ) y ) sen ( X ) X X a +bx

39 Continua monótona crec. f Y ( ) ( y ) = PX h ( y ) F Y = F ( h ( y )) F ( g ( y )) X = X dx ( y ) = f ( g ( y )) X dy f Continua monótona decrec. Y = ( ) ( y ) = PX h ( y ) ( PX < h ( y )) F X h ( y ) Ph F Y = [ ( ) ( ( ))] y dx ( y ) = f ( g ( y )) X dy Continua monótona Resumen: teorema de la transf. f dx ( y ) fx ( g ( y )) dy ( g ( y )) Y = = f X dy dx

40 Ej. transf. v.a (/6) Ej. transf. v.a (/6) Si X es U(0,) entonces -X es U(0,)? Ej. transf. v.a (3/6) Ej. transf. v.a (4/6)

41 Ej. transf. v.a (5/6) Ej. transf. v.a (6/6) Resumen: ej. transf. v.a. Ej. transf. v.a (/4) Si X es U(0,) entonces exp(x) es U(0,e)?

42 Ej. transf. v.a (/4) Ej. transf. v.a (3/4) Ej. transf. v.a (4/4) Resumen: ej. transf. v.a.

43 Ej. 3 transf. v.a (/5) Sea la v.a. X N(0,) dada por π ( x ) = exp x x R f -Determinar la función de densidad de Y=X*X Ej. 3 transf. v.a (/5) F Y = P = F ( y ) = P ( Y y ) = P ( X y ) ( y X y ) X ( y ) F ( y ) X Ej. 3 transf. v.a (3/5) Ej. 3 transf. v.a (4/5) f X F Y ( y ) = F ( y ) F ( y ) X f Y ( y ) = / ( ) ( ) / y y f y y X X f Y ( y ) = y 0 exp π y y > 0 resto

44 Ej. 3 transf. v.a (5/5) = f X f y x x = ± Y = i ( y ) = fx g ( y ) ( + y ) + f ( y ) i y X y i ( ) J y Resumen: ej. 3 transf. v.a. Simulación de v.a. Si X v.a. cuya función de distribución F X (x) admite inversa entonces U=F X (X) es U(0,) Justificación (/) = F Y ( y ) = P ( Y y ) ( F ( X ) y ) X F ( y ) =P X = ( ) P X ( F ( y )) y FX X =

45 Justificación (/) Interpretación geométrica 0 y < 0 F Y ( y ) = y 0 y < y Mecanismo interno de una v.a. x i? X ( p ( x ), F ( x )) ( f ( x ), F ( x )) Catálogo: Modelos de probabilidad Resumen: simulación de v.a.

46 Webgrafía: web de la asignatura Software; Prácticas; ABP; Autoevaluación; Ejercicios; Mini-Vídeos; CPC; Tutorías; Webgrafía