Nota: La tarea consiste en leer el presente documento y el de longitud de arco para mejorar el avance en clase y la comprensión de los subtemas.

Transcripción

1 Nota: La tarea consiste en leer el presente documento y el de longitud de arco para mejorar el avance en clase y la comprensión de los subtemas. TEMA IV DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ESCALARES DE DOS O MÁS VARIABLES 4.1 Definición de funciones escalares de variable vectorial. En el tema anterior nos hemos referido al proceso de integración de funciones de una variable independiente, así como a la derivación e integración de funciones hiperbólicas, logarítmicas, exponenciales y algunas otras. En el presente tema se presentará la introducción a funciones de varias variables, en donde, podemos tomar como referencia algunos de los conceptos estudiados en las funciones de una variable. En la vida real la mayoría de los fenómenos y los procesos dependen de varias variables, por tanto, las funciones de varias variables, en general, sirven para describir correctamente los procesos de la naturaleza. Hay funciones que modelan fenómenos físicos donde la variable dependiente es función de dos o más variables independientes y se les conoce como funciones escalares de variable vectorial. DEFINICIÓN. Una función escalar de variable vectorial está formada por un conjunto de valores de la variables independientes que constituye el dominio, el conjunto de valores de la variable dependiente que constituye el codominio, un conjunto de valores de las variables vectoriales llamado codominio y una regla de correspondencia que asocia a cada elemento del dominio con uno y sólo un elemento del codominio.

2 Una función con n variables independientes se denota : Cuando se tienen dos variables independientes y una dependiente, se puede expresar como denota : ó, FUNCIÓN ESCALAR CON DOS VARIABLES INDEPENDIENTES del conjunto D le corresponde un número real x, y f x, y, entonces se dice que f es función de x y y. El conjunto D es el dominio de f y el conjunto de valores de f xy, es el recorrido o Sea D un conjunto de pares de números reales. Si a cada par ordenado, x, y imagen de f.

3 Gráfica de una función de dos variables independientes

4 REGIÓN DE DEFINICIÓN Se le llama región de definición de una función de dos variables independientes a la representación en el plano xy del dominio de la función z f x, y. Ejemplos: 1. Determine el dominio de las siguientes función f x, y x y x 9 Solución.

5 Al igual que las funciones de una variable, para el dominio debemos de excluir los valores que pudieran generar indeterminaciones o números complejos porque se tratan de funciones de variable real. D : x, y x y 9, x0 f 2. Determinar la región de definición de la función: z 4 x y Solución. D : x, y x y f 4 Si tomamos como referencia a la circunferencia 4 para dibujar la forma de la región, pero como debe ser menor o igual a dicha figura, la región de definición será el área sombreada. 3. Determinar la región de definición de la función: Solución Para esta función el denominador no puede ser cero y entonces el radicando debe ser mayor que cero

6 yx 0 y x por lo que el dominio de esta función es el área sombreada, / ;, 4. Determinar la región de definición de la función: Solución. Se trata de una función logaritmo natural, luego para obtener su dominio, se considera la siguiente desigualdad: x 2 y 2 x 2 y Primera posibilidad: x y 10 x y 1 4 x y 0 x y 4

7 Segunda posibilidad: x y 10 x y 1 4 x y 0 x y 4 En la figura que se forma con la primera posibilidad hay una zona donde todos los puntos satisfacen a las desigualdades propuestas y se trata de una región, y en la segunda gráfica se ve que no hay intersección de las regiones solución de las desigualdades. Por lo tanto, el dominio de la función dada es:, /1 4 ;,

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9 CURVAS DE NIVEL

10 Las curvas de contorno o curvas de nivel se determinan a partir de la intersección de una superficie con planos paralelos a los planos coordenados.,, ;, ;, f x y k f x y k f x y k es decir, que se le da a z el valor de una constante y se dibuja la curva, luego se le da otro valor diferente y así se dibujan diferentes curvas.

11 El conjunto de las curvas de nivel son llamados mapas topográficos o mapas de contornos. Ejemplos 1. Dada la función z f x, y 9 x y ; x y 9 Representar gráficamente sus de curvas de nivel, determinar dominio y recorrido. Solución. Las curvas de nivel se obtienen asignando valores constantes a z y se tienen las siguientes circunferencias que son paralelas al plano XY z x y 0 9 z x y 3 6 z x y 5 4 z x y 7 2 z x y 9 0

12 Se puede representar como una a la función escalar de variable vectorial que se conforma por circunferencias que van aumentando en su radio hasta llegar a la que se ubica en el plano " xy " y el centro de ésta superficie es un punto en 0,0,9. El dominio y el recorrido de la función son, respectivamente,, / 9;, y / 0,9;

13 Esta superficie se conoce como paraboloide circular o paraboloide de revolución.