Departamento de Matemáticas 4º ESO Unidad 1 Números reales IES Diego Tortosa. Unidad 1: Números reales

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1 Uidd 1: Números reles 1

2 Itroducció Los úmeros reles se represet co l letr R, y prece por l ecesidd de relizr cálculos más complejos y que e épocs como etre el siglo XVI y el XVII, se hcí ecesris uevs cifrs pr los vces tecológicos que y o podí ser represetdos por cifrs proximds i por expresioes coloquiles por su iexctitud. El rigor del vce de l humidd prtir de sus herrmiets, hizo ecesri l creció de uevs expresioes mtemátics que de myor exctitud los cálculos. Por lo tto, el cojuto de los úmeros reles se coformó prtir de otros subcojutos de úmeros que surgí de ecesiddes e ls mtemátics, como los úmeros egtivos y los úmeros frcciorios y decimles. E Europ, cu de l cieci e l moderidd, los úmeros egtivos o fuero utilizdos hst y vzdo el siglo XVII, si embrgo, y hbí sido pesdos muchos siglos trás por culturs como l chi y l hidú. Icluso se llegb descrtr ls solucioes de cálculos que teí resultdo egtivo, por ser cosiderdos úmeros irreles. Los úmeros frcciorios por su prte, fuero utilizdos por los egipcios pr l resolució de diferetes problems. Pero es e l cultur grieg de dode se extre el ctul uso de los rcioles, de rcioes de úmeros, y que los utilizb pr defiir el espcio etre ls ots musicles co relcioes de rmoí que correspodí divisioes e ls melodís del soido. Así se empezó ver frccioes e otrs coss y sustcis. A prtir de llí, l complejidd de los cálculos empiez profudizrse y es hst el teorem de Pitágors que surge los úmeros irrcioles de los que se hblb, dode los decimles de l frcció so ifiitos y por lo tto o so expresbles e úmeros úicos. De quí ce el, quizás, primer úmero irrciol que se cooce. A prtir del teorem pltedo como l costte pitgóric, cuy cifr surge de l logitud de l hipoteus de u triágulo rectágulo cuy logitud de cd uo de sus ctetos es 1, l cifr obteid es. Etoces, el cocepto de úmeros reles es que so los úmeros que puede ser expresdos co decimles, icluyedo quellos que tiee decimles e ifiit expsió. Esto se debe que e l lógic de los úmeros reles, o hy úmeros exctos. Es decir, l exctitud de u resultdo está mrcdo por l expsió ifiit de los decimles de u úmero, cuyo mejor ejemplo es π, y prdójicmete, este o es u úmero excto, y que proviee de l divisió de l circufereci pr el diámetro de u círculo perfecto. Aclrdo mejor co otro ejemplo, es l divisió de 10 cuy respuest es,...

3 1 Números reles A lo lrgo de l histori de ls mtemátics h surgido distitos cojutos de úmeros pr ir ddo respuest l ecesidd de expresr l relidd. El cojuto de los úmeros turles. El cojuto de los úmeros eteros. Culquier úmero turl es tmbié u úmero etero. El cojuto de los úmeros rcioles. Culquier úmero etero es tmbié u úmero rciol. 1.1 Los úmeros irrcioles Culquier úmero rciol se puede escribir e form de frcció, por lo tto tedrá u expresió deciml exct o periódic. Si embrgo, hy úmeros que o se puede expresr como cociete de dos úmeros eteros. Se deomi úmeros irrcioles quellos úmeros que o se puede expresr e form de frcció. Tiee u desrrollo deciml i fiito i periódico. El cojuto de los úmeros irrcioles se desig co l letr I Ejemplos: So úmeros irrcioles: Los úmeros decimles o exctos, o periódicos. Ls ríces o excts de úmeros reles. 1. Los úmeros reles Los úmeros rcioles y los irrcioles form el cojuto de los úmeros reles, que se desig co l letr R = Q I Ejemplos: So úmeros reles: 1; ;, ; π ; ;... Culquier úmero rciol es tmbié u úmero rel. Culquier úmero irrciol es tmbié u úmero rel.

4 1. Vlor bsoluto de u úmero rel El vlor bsoluto de u úmero rel, se represet por y es l distci que hy desde hst 0. Siempre es u úmero o egtivo. U defiició equivlete es: s i 0 = s i < 0 Ejemplos: =, 5 = 5, = Aproximció y error Los úmeros reles puede teer gr ctidd de úmeros decimles. Pr poder operr co ellos se utiliz proximcioes. Aproximr u úmero rel es sustituirlo por u úmero rciol co u úmero fiito de cifrs decimles. Se puede proximr por trucmieto o por redodeo. Al trucr u úmero u orde determido se elimi ls cifrs decimles prtir de ese orde y pr redoderlo, se elimi ls cifrs decimles prtir de ese orde, teiedo e cuet l primer cifr deciml que se suprime. Si es myor o igul que 5, se sum 1 l últim cifr deciml de l proximció. Si es meor que 5, l mteemos igul. Redode el siguiete úmero ls cetésims. 7 =, , 6 5 Siempre que se proxim, se comete u error que se puede medir de dos mers. El error bsoluto, su proximció, E, es el vlor bsoluto de l difereci etre el vlor excto, A x, y r x. E A = x r x El error reltivo, E A E, es el cociete etre el error bsoluto y el vlor excto. R E R = x r

5 Clcul el error bsoluto y reltivo si se proxim π por,1 y se cosider como vlor excto de π =, Error bsoluto:, ,1 = 0, Error reltivo: 0, , , 0 5 %, = Ejercicios: 1.- Señl si los siguiete úmero so rcioles o irrcioles: ) 5, b) 0, c), d) 8, Idic todos los cojutos uméricos los que pued perteecer estos úmeros. ; ;1, ;, ; ; 0, 6 5 ).- Di si ests frses so verdders o flss. ) Todo úmero deciml es rciol. 1 b) El úmero perteece N, Z, Q y R. c) El úmero -1 perteece l itervlo ( 5, 8 ) d) Existe l frcció, b =.- Clcul estos vlores bsolutos: ) 7 + b ) 7 9 c ) 5 8 d ) Aproxim 1 0 co tres cifrs sigifictivs y clcul el error bsoluto y el error reltivo. 5

6 L rect rel. Itervlos Los úmeros reles se puede represetr e u rect que se deomi rect rel. A cd úmero rel le correspode u úico puto de l rect rel, y cd puto de l rect, u úico úmero rel..1 Represetció de úmeros rcioles Culquier úmero rciol se puede represetr e l rect rel usdo el teorem de Tles.. Represetció de úmeros irrcioles Pr represetr lguos úmeros irrcioles como ls ríces cudrds, se puede utilizr métodos geométricos Pr represetr otros úmeros irrcioles se utiliz sus proximcioes.. Itervlos U itervlo es el cojuto de todos los úmeros compredidos etre dos putos de l rect rel. U semirrect es el cojuto de todos los úmeros meores o myores que u puto de l rect rel. 6

7 Ejercicios: 6.- Represet e l rect rel los úmeros 7, 1,. 7.- Qué es myor, 6 o 7? Pr verigurlo, represet estos úmeros e l rect rel. 8.- Escribe como semirrects o itervlos ls siguietes desigulddes. ) x b ) 5 x < 7 c ) x < 7 y x > 8 d )8 > x e )7 < x y x Expres co u desiguldd y gráficmete los siguietes itervlos y semirrects. ) [ 1, + ) b ) (, 0 ] c ), d ), 8 ( ) [ ] 7

8 Potecis de expoete etero Prtiedo de l poteci de expoete turl, siedo u úmero rel distito de cero y culquier úmero turl, se puede defiir: L poteci de expoete ulo 0 =1. L poteci de expoete etero 1 = Se prueb utilizdo ls propieddes de ls potecis de expoete turl. 0 1 = = = 0 1 = = 1 = De est form, ls potecis de expoete etero coserv ls misms propieddes que ls potecis de expoete turl. ( ) ( ) m + m m m m m = : = = b = b : b = ( : b ) Ejemplos: ( ) ( ) = = : = : = : = = = 5 = : ( ) = ( 5) = 5 Ejercicios: 10.- Escribe los siguietes úmeros como potecis cuy bse se u úmero primo. ) 8, 1 5,, 1 0, b ),,, Hz ests opercioes co potecis ) : b ) c ) Clcul x e cd u de ests igulddes. 8

9 7 x x ) 1 6 = b ) = 0, c ) 7 9 = c ) = 0, x x 1.- Simplific l máximo ests expresioes. ( ) ( ) ) b ) Notció cietífic Hy vlores que l ser muy grdes o muy pequeños se expresrí co muchos ceros. L otció cietífic permite expresrlos de u mer más brevid. U úmero x está escrito e otció cietífic si es de l form x = 1 0 p es u úmero rel cuyo vlor bsoluto es myor o igul que uo y meor que diez. p es u úmero etero, llmdo orde de mgitud de x. Ejercicios: 1.- Expres e otció cietífic ests logitudes: ) El diámetro del Sol mide m. b) L logitud de l bcteri Escherichi Coli es 0,00000m 15.- Expres e otció cietífic: ) L distci medi de Plutó l sol: km b) L ms de u átomo de hidrógeo: 0, g 16.- Si =, 10 8,b=5,1 10 7, c=, Resuelve ls siguietes opercioes y escribe el resultdo e otció cietífic. ) + b b ) b c ) c d ) c 5. Ríces de úmeros reles 5.1 Ríz cudrd L ríz cudrd de u úmero rel es otro úmero rel b tl que l elevrlo l cudrdo se obtiee. Si 0 = b b = 9

10 6 tiee dos ríces cudrds, 8 y -8, y que 8 = 6 y (-8) = Ríces de culquier ídice L ríz eésim de u úmero es u úmero b que l elevrlo se obtiee. = b b = A se le llm ídice y rdicdo l úmero. Observcioes: 1.Si el ídice es, o se escribe y se llm ríz cudrd. Si el ídice es,se llm ríz cúbic.. Si el ídice es, 5, 6, se llm ríz curt, quit, sext, 5. Potecis de expoete frcciorio Ls ríces y ls potecis está relciods por l defiició de ríz, pero es posible escribir u ríz e form de poteci? Si >0 se defie poteci de bse y expoete frcciorio m/ como: m = Vemos l justificció de est iguldd: m por defiició es u úmero que l elevrlo os d m m Y por otro ldo, m es u úmero que verific l propiedd terior: m m m = = COSAS A TENER EN CUENTA! 1. co pr y > 0 o tiee igú vlor rel. -81o es igú úmero rel y que igú úmero rel elevdo es egtivo.. co impr y > 0 tiee l meos u solució rel - 8 es - y que (-) = -8 10

11 5. Rdicles equivletes Dos rdicles so equivletes cudo tiee l mism ríz 81y 9so rdicles equivletes Observció: Pr obteer rdicles equivletes bst co multiplicr el ídice y el expoete del rdicdo por u mismo úmero turl myor que = 5 = Opercioes co rdicles Itroducció de fctores Ejemplos: 5 = 5 = Extrcció de fctores Ejemplos: 0= 5 = 5 b = b 7 = 7 = b = b 8 = = 56 Actividd iterctiv: Producto de rdicles L ríz -ésim de u producto es igul l producto de ls ríces -ésims de los fctores. b = b Ejemplos: 5 7 = 5 6 = 18 Observció: Pero, qué ocurre si ls ríces o tiee el mismo ídice? L respuest es obteer rdicles equivletes los ddos co el mismo ídice y ese ídice comú será el m.c.m. de los ídices iiciles = 5 7 = Actividd iterctiv; Cociete de rdicles L ríz -ésim de u cociete es igul l cociete de ls ríces -ésims del dividedo y del divisor. : b = : b Expresdo de otr form: = b b 11

12 Ejemplos: 15 : = 5 0 = 5 Observció: Si o tiee el mismo ídice se oper de mer similr l producto, obteiedo rdicles equivletes. Actividd iterctiv: Sum y rest de rdicles Prpoder o sumr rdicles estos debe ser semejtes. Dos rdicles so semejtes si tiee el mismo ídice y el mismo rdicdo ( b) c ± b c = ± c Ejemplos: = = 5 Si los rdicles o so semejtes se procede de l siguiete form: 1º Se fctoriz los rdicdos º Se extre todos los fctores que se pued º Se reliz l sum o rest 18 50= 5 = 5 = 17 Actividd iterctiv: Poteci de rdicles Pr hllr l ríz de u poteci, se clcul l ríz de l bse y luego se elev el resultdo l poteci dd. m m ( ) = 5 5 = = Ejemplo ( ) Actividd iterctiv: Ríz de rdicles L ríz -ésim de l ríz m-ésim de u úmero es igul l ríz m-ésim de dicho úmero. Ejemplo 7 = 8 7 m = m 1

13 Actividd iterctiv: Rciolizció Rciolizr u expresió frcciori co rdicles es ecotrr otr expresió equivlete e l que o prezc rdicles e el deomidor. Vemos los tres tipos de rciolizció por medio de tres ejemplos. Ejemplos: Rcioliz ls tres frccioes siguietes: Tipo 1: 6 : L ríz cudrd del deomidor desprece l multiplicrl por sí mism. Así, se multiplic y divide l frcció por dich ríz y se obtiee u expresió equivlete que o tiee ríces e el deomidor: 6 = 6 = 6 = 6 = 1 Tipo : : L ríz cúbic del deomidor desprece si el rdicdo tiee como 7 expoete o u múltiplo de. Por tto, pr obteer u expresió equivlete si ríces e el deomidor, se multiplic y divide l frcció por = 7 7 = 7 = 7 = 7 Tipo : : Pr elimir ls ríces del deomidor usremos l idetidd 5 + otble sum por difereci. Por tto multiplicremos y dividiremos l frcció por = = = = Ejercicios ( ) ( ) 17. Extre fctores e ls ríces siguietes: Itroduce fctores e ls ríces siguietes: 1

14 Efectú los productos siguietes: 0. Efectú ls divisioes siguietes: 1. Reliz ls sums siguietes: ) b) c) d). Efectur ) b) c). Reliz ls opercioes: ) b) c).- Rcioliz ls siguietes expresioes frccioris: 1 ) b) c) d) e) f ) Si = ( 1+ 6 ) y b = 6 so los ctetos de u triágulo rectágulo, hll l hipoteus. 6.- Clcul el vlor de x e l expresió: 18 x = 50 x + 7 1

15 Actividd iterctiv: Resume de todo el tem dode podemos seleccior el grdo de dificultd. 15

16 6 Logritmos. Propieddes Si es u úmero positivo y distito de 1, el logritmo e bse de u úmero positivo N es el expoete l que hy que elevr pr obteer N. Se represet por log N x log N = x = N Los logritmos co bse 10, se llm logritmos decimles y se escribe omitiedo l bse: log10 N = log N Los logritmos eperios tiee por bse el úmero irrciol e=, y se escribe: log = l N Ejemplos: e N log 9 = x = 9 = x =. Por lo quelog 9 = x x log 8 = x = 8 = = log 8 = 1 x log6 = x 6 = = 6 log6 = Propieddes Ddo que los logritmos se defie prtir de potecis, l propieddes de mbs opercioes está muy relciods. 1.El logritmo de l bse es siempre igul 1. log = 1 Clcul log7 7 1 log 7 = x 7 x = 7 = 7 log 7 = El logritmo e culquier bse de 1 es igul 0. log 1 = 0 Clcul log0 1 0 log 1= x 0 x = 1= 0 log 1= El logritmo de u producto es igul l sum de los logritmos: log ( N M ) = log N + log M Pr probrlo se utiliz l defiició de logritmo: x log N = x = N x y x+ y y N M = = log M = y = M Por lo que,log ( N M ) = x + y = log N + log M 16

17 log 0 = log 5 = log + log + log 5 ( ) El logritmo de u cociete es igul l difereci de los logritmos: log ( N : M ) = log N log M 7 log log 7 log 8 8 = 5. El logritmo de u poteci es igul l producto del expoete por el logritmo b de l bse: log ( N ) = b log N 1 log 0,5 = log = log = log 6. Si existe, el logritmo de u úmero es úico, esto es log N = log M N = M 7. L relció etre los logritmos de u mismo úmero A e distits bses viee log A dd por: logb A = log b Hll el vlor de x e l ecució: x log6 = 6 x = log 6 = =,585 log Ejercicios: 7.- Clcul los logritmos e bse de los siguietes úmeros: 1 5 ) b) c) d )10 e) f ) Clcul el vlor de x e ests igulddes: 1 )log = x b)log( 100) = x c)log7 = x 9 1 d)log x 0,5 = 1 e)log x = 5 f )log7 x = 9.- Tomdo log 8 = 0,90, clcul: ) log80 b)log c) log 6 d e f )log 0,8 )log1, 5 )log Trsform los siguietes logritmos e sums y rests de log A y log B. B B )log b)log log A 10 A A log Clcul: ) b ) log

18 7 Porcetjes. Iterés simple y compuesto. 7.1 Porcetjes. Aumetos y dismiucioes porcetules. Los porcetjes expres l rzó etre dos mgitudes directmete proporcioles e idic l ctidd que correspode u de ells cudo l otr es exctmete 100. E º de ESO, 60 de los 75 lumos prctic lgú deporte. Qué porcetje represet? El porcetje de lumos que prctic lgú deporte es: 60 0,8 0, % 75 = = El umeto o dismiució de u ctidd l plicrle u porcetje del r%, puede estudirse medite el ídice de vrició. r Se llm ídice de vrició l expresió I = 1± co 0<r< Si I>1 se produce u umeto porcetul de u r% Si I<1 se produce u dismiució porcetul de u r% Cuál es el umeto o dismiució porcetul e cd cso? El ño psdo se mtriculro e pio 150 lumos y este ño 165. Se clcul el ídice de vrició: 165 r = 1,1 1+ = 1,1 r = 10% El ño psdo se mtriculro e guitrr espñol 165 lumos y este ño 1. 1 r = 0,8 1 = 0,8 r = 0% Iterés simple. El iterés simple es u umeto porcetul periódico de u cpitl iicil, de tl form que los itereses producidos o se cumul l cpitl y, por tto, o geer itereses e el siguiete periodo. Al depositr u cpitl CI durte t ños u r% de iterés simple ul, el cpitl r t fil obteido será: CF = CI Si se deposit u iterés simple del % ul, qué cpitl se obtiee l cbo de dos ños? C F = = , 08 =

19 7. Iterés compuesto. U cpitl se deposit iterés compuesto cudo se cumul l mismo los itereses l fil de cd periodo de liquidció (ño, mes, trimestre, dí,...). De est form, los itereses cumuldos ps producir tmbié réditos l fil del siguiete periodo de liquidció. Si se deposit u cpitl iicil de l % de iterés compuesto ul, E cuáto se hbrá covertido l cbo de ños? 100 produce de iterés e u ño, luego 1 producirá 0,0 y se covertirá e 1,0 l cbo de u ño. Al fil del º ño, 1 será: 1,0+1,0 0,0=1,0 (1+0,0)=1,0 Y l fil del º ño: 1,0 +1,0 0,0=1,0 (1+0,0)=1,0 Por tto, los se covertirá e ,0 =5.6, Observdo el ejemplo terior se puede deducir l fórmul geerl: El cpitl fil e que se covierte u cpitl iicil colocdo u iterés compuesto del r% ul durte t ños viee ddo por l expresió: t r CF = CI Ejercicios:.- Hll el cpitl fil e que se covierte 650 e tres ños u iterés simple del,5%..- L poblció de u pís umet por térmio medio u 8% ul. Si ctulmete hy 0 milloes de hbittes e dicho pís y el ritmo de crecimieto se cosider costte, qué poblció estims que tedrá detro de 0 ños?.- Hll el cpitl fil e que se covierte 750 e ños u iterés simple del 1%. Y si el iterés que se plic es compuesto? 5.- A qué tto por cieto ul hy que colocr pr que se coviert e 18.1 l cbo de 15 ños? 19

20 Ejercicios files de l uidd 6.- Clsific los siguietes úmeros: 7.- Sitú cd úmero e su lugr correspodiete detro del digrm: 8.- Represet sobre l rect rel los siguietes úmeros: 9.- Represet e l rect rel: 0.- Represet e l rect rel: 1.- Escribe e tods ls forms posibles los siguietes itervlos y semirrects:.- Oper y simplific el resultdo e cd cso..- Clcul y simplific el resultdo:.- Simplific usdo ls propieddes de ls potecis: 0

21 5.- Escribe como poteci de expoete frcciorio: 6.- Escribe como u rdicl: 7.- Simplific los siguietes rdicles: 8.- Averigu el vlor de k e cd cso. 9.- Expres como poteci de x y simplific. D el resultdo fil e form de ríz Extre del rdicl todos los fctores que se posible Extre del rdicl todos los fctores que pueds: 5.- Simplific y extre los fctores que pueds fuer del rdicl. 5.- Expres como u solo rdicl. 1

22 5.- Oper y simplific: 55.- Clcul y simplific: 56.- Clcul y simplific: 57.- Clcul y simplific: 58.- Clcul y simplific: 59.- Clcul y simplific: 60.- Clcul y simplific: 61.- Clcul y simplific:

23 6.- Clcul y simplific: 6.- Clcul: 6.- Clcul: 65.- Clcul l bse del logritmo: 66.- Clcul l bse del logritmo: 67.- Clcul el vlor de x plicdo l defiició de logritmo Hll el resultdo de ls siguietes expresioes: 69.- Hll el vlor de x

24 70.- Comprueb: 71.- Desrroll utilizdo ls propieddes del logritmo: 7.- Comprime de tl form que el logritmo sólo prezc u vez. 7.- Clcul expresdo el resultdo e otció cietífic: 7.- Clcul: 75.- Efectú: 76.- E 18 g de gu hy moléculs de este compuesto. Cuál es l ms e grmos de u molécul de gu? 77.- Si l velocidd de crecimieto del cbello humo es 1, km/h, cuátos cetímetros crece el pelo e u mes? Y e u ño?

25 Autoevlució 1.- Represet e l rect rel 5 y 1. So rcioles o irrcioles?.- U úmero x cumple que x <. Describe los posibles vlores de x co itervlos y desigulddes..- Escribe e otció cietífic el resultdo de: ( ) ( ) 0,6 10 8, , Reliz ls siguietes opercioes y simplific el resultdo. c ( ) 5 ) : b) ) d ) Oper y simplific ( ) ( ) b + ( + ) d ( + ) ( ) ) ) c) 1 ) Clcul el vlor de x e ests igulddes. ( ) x x 5 5 x 5 x ) = ( ) ) 5 = 5 )0, = 0, 01 )0, 5 = 16 b c d 7.- Rcioliz ests expresioes. 1 1 ) b) c) Sbiedo que log=0,01, Clcul: ) log 5 b)log 0 c)log16 d ) log 9.- Tom logritmos e l expresió. 7 x y z A = t 10.- Elimi los logritmos de l expresió. 1 log A = log x + log y 8log z

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