8 x 2 + y 2 2y + 1 = 16 + x 2 + y 2 + 2y x + ( y+ 1) 8 (4y + 16) 2 = 64[x 2 + (y + 1) 2 ] y y = 64x y y 8

Transcripción

1 De una elipse conocemos sus focos (0, ) y ' (0, ) y su constante k =. Determina su ecuación. Si P (, y) es un punto de la elipse, entonces: dist (P, ) + dist (P, ' ) = a, es decir: + ( y ) + + ( y+ ) = + (y ) = (y + ) + ( y+ ) + y y + = y + y + + ( y+ ) y 6 = + ( y+ ) (y + 6) = 6[ + (y + ) ] 6y y = 6 + 6y y = 6 + y y + = De otra forma: El centro de la elipse es el punto medio del segmento que une con ', es decir: (0, 0). Por otra parte: c = dist (, ' ) = ' = (0, ) = c = a = a = a = b = a c = = Por tanto, la ecuación es: y + =

2 Halla la ecuación de la elipse de focos (, 0) y (, 0) sabiendo que la longitud de su eje mayor es 0. c = ; a = 0 a = ; b = a c = = Ecuación: y + = 0 Escribe la ecuación de la elipse cuyos focos son (, 0) y ' (, 0) y cuya ecentricidad es igual a 0,. c = ; ec= c = 0, a a = c = =6 0, 0, b = a c = 6 = 7 Ecuación: y + = 6 7 Da la ecuación de la elipse que pasa por (, ) y tiene por focos (, 0) y (, 0). La ecuación es: a y + = b Como pasa por (, ) + = a b Como a = b + c y sabemos que c = a = b + 6 Teniendo en cuenta las dos condiciones anteriores: b + = b + b + 6 = b + 6b b + 6b 6 = b b = 6± ± 00 = = 6 ± 0 Así: a = + 6 = Por tanto, la ecuación de la elipse será: y + = b b = = ( Novale) De una elipse, centrada en (0, 0), se sabe que su eje mayor, que es igual a 0, está sobre el eje. Además, pasa por el punto (, ). Obtén su ecuación. A = (, ) Eje mayor = 0 a = Eje mayor = O El centro es O = (0, 0) La ecuación de la elipse será: y + = b (, ) é elipse + = + = b=, b= b b Como b es positivo b = La ecuación queda: y 6y + = + = 6

3 Determina, en cada caso, la ecuación de la elipse, centrada en (0, 0), que tiene estas características: a) Su ecentricidad es / y su eje mayor está sobre el eje y es igual a. b) Sus vértices son: (, 0), (, 0), (0, ) y (0, ). a) Eje mayor = b = y + = ; e = c = c = c = a b a = b c = = La ecuación queda: y + = + y = b) Eje mayor = O Eje mayor = b = a = La ecuación queda: y + = 6 Halla los vértices, los focos y la ecentricidad de las siguientes elipses dadas por sus ecuaciones. Represéntalas: a) y + = 00 6 b) y + = 6 00 c) + y = d) + y = a) Vértices: (0, 0); (0, 0); (0, 6) y (0, 6) ocos: c = 00 6 = (, 0) y ' (, 0) 6 0 ' 0 Ecentricidad: ec = = 0, 0 b) Vértices: (, 0); (, 0); (0, 0) y (0, 0) ocos: c = 00 6 = 6 = 6 (0, 6) y ' (0, 6) Ecentricidad: ec = 6 = 06, ' 0 c) + y = y + = / Vértices: c, 0m ; c, 0m ;( 0, ) y ( 0, ) ocos: c = = 6 = ' = c, 0m y ' c, 0m Ecentricidad: ec = / = = 0, /

4 d) + y = y + = / / La elipse tiene eje mayor = O y centro O = (0, 0). a = c =, b = = c = Vértices: e, ;, 0 o e 0 o; e0, o y e0, o ocos: = e0, o y ' e0, Ecentricidad: ec = = o '

5 7 Halla la ecuación de la hipérbola de focos (, 0) y (, 0) y distancia entre vértices,. c = ; a = a = ; b = c a = 6 = La ecuación es: y = Obtén la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y = ± y uno de sus vértices es (, 0). a = ; b = b = b = a Ecuación: y = /, o bien, y Determina la hipérbola que pasa por el punto (, ) y tiene por asíntotas y = ±. b = b = a a a y a = = Como pasa por (, ) = 6 = a a a = a a = b = a = Ecuación: y / =, o bien, y = 0 Halla la ecuación de la hipérbola de focos (, 0) y (, 0) que tiene ecentricidad igual a. c =, c = = a = a a b = c a = = Ecuación: y = De una hipérbola sabemos que pasa por el punto `, j y sus focos son (, 0) y (, 0). Calcula su ecuación. Hallamos la constante de la hiperbola: dist (P, ) dist (P, ' ) = a P P ' = a (, ) (, ) = a = a 0 = a = a a = Como a = y c =, entonces b = c a = = La ecuación es: y = Halla la ecuación de la hipérbola de focos (, 0) y (, 0) y asíntotas y = ±. c = b a b = = a c = a + b = a + e ao a = = a a= b = = La ecuación pedida es: y =

6 Halla los vértices, los focos, las ecentricidades y las asíntotas de las hipérbolas dadas por las siguientes ecuaciones. Dibújalas: a) y 00 = 6 b) 6 y = c) y = d) y = e) y = 6 f) y 6 = 6 g) y = 6 h) y + 6 = 0 a) y 00 = 6 a = 0, b = 6, c = = 6 Vértices: (0, 0); (0, 0) ocos: = ( 6, 0), ' = ( 6, 0) e = 6 0 Asíntotas: y = ± ' b) y 6 = a =, b =, c = 6 + = Vértices: c, 0m ; c, 0m ocos: = c, 0m, ' = c, 0m e = = Asíntotas: y = ± '

7 d) y = y = a =, b =, c = + = Vértices: (, 0); (, 0) ocos: = (, 0) e = ' = (, 0) Asíntotas: y = ± '

8 f) y 6 = 6 y 6 = a =, b =, c = 6 + = 7 Vértices: (0, ); (0, ) ocos: = (0, 7) ' = (0, 7) 7 e = Asíntotas: y = ± ' 6 0 g) y = 6 y = a =, b =, c = + = Vértices: (, 0); (, 0) ocos: = (, 0); ' = (, 0) e = Asíntotas: y = ± 6 ' h) y + 6 = 0 y = 6 a =, b =, c = 6 + = 0 Vértices: (0, ); (0, ) ocos: = (0, 0) e = 0 ' = (0, 0) = Asíntotas: y = ± = y ' 6 0

9 6 Halla, en cada caso, la ecuación de la parábola de foco y directriz d. a) (, 0); d: = b) (, 0); d: = c) (0;,); d: y =, d) (0, ); d: y = a) p = p = 0 p = 0. Ecuación: y = 0 b) dist (, d ) = 6 = p é O y = c) dist (, d ) = = p é O y = 0 d) dist (, d ) = = p é O y = 6 7 Determina la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen de coordenadas y cuya directriz es y =. El foco será (0, ). Si P (, y) es un punto de la parábola y d : y = 0 es la directriz, entonces: dist (P, ) = dist (P, d ) + ( y+ ) = y + y + 6y + = y 6y + = y Halla las ecuaciones de las parábolas que pasando por el punto (, ) tienen su vértice en el origen de coordenadas. Hay dos posibilidades: Eje horizontal: y = p. Como pasa por (, ), entonces: = p p = y = Eje vertical: = py. Como pasa por (, ), entonces: = 6p p = = = y 6

10 Halla los vértices, los focos y las directrices de las siguientes parábolas. Represéntalas: a) y = 6 b) y = 6 c) y = d) y = a) y y = p p p= 6 p= = = 6 Vértice: (0, 0) oco: c, 0m Directriz: = b) Vértice: (0, 0) oco: c, 0m Directriz: = c) Vértice: (0, 0) oco: c0, m Directriz: y = d) Vértice: (0, 0) oco: (0, ) Directriz: y = Para resolver 0 Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y dibújalas: a) + y = 6 b) 6 y = c) + y = d) y = 6 e) y = f) + y = 00 a) + y = 6 y + = Es una elipse a =, b =, c = ec = 07, '

11 b) 6 y = y = 6 Z a, b, c ; ec ] = = = = 67, Es una hipérbola [ Asíntotas: y= ; y= ] \ ' c) + y = + y = Es una circunferencia de centro (0, 0) y radio. / / / / d) y = 6 y = 6 Z ] a=, b=, c = ; ec = =, Es una hipérbola [ Asíntotas: y= ; y= ] \ ' e) Es una parábola. Vértice: (0, 0) oco: c 7, 0m Directriz: = 7

12 f) + y = 00 y + = 6 / / Es una elipse a = 6, b =, c = 6 ' 6 ec = 0, /

13 6 Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P(, ) y que su eje mayor es igual al doble del menor. El eje mayor es igual al doble del menor, es decir: a = b. Además, pasa por el punto P (, ). Luego: y + = 6 + = 6 + = = = b ; a = b = 00 a b b b b b b La ecuación es: y + = 00

14 6 Halla la ecuación de la siguiente hipérbola: Tiene el centro en el origen de coordenadas. Tiene los focos en el eje de abscisas. Pasa por el punto P ` /, j. Una de sus asíntotas es la recta y =. Ecuación de la hipérbola: a b = a b = a y = a a Pasa por P = e, o y b =

15 / = 0 = a= a= a a a La ecuación pedida es: y = / 70 Se llama hipérbola equilátera a aquella en la que a = b. Halla la ecuación de la hipérbola equilátera cuyos focos son (, 0) y (, 0). Centro = (0, 0) c = = a a = a = c m = La ecuación pedida es: y = =

16 7 Halla las rectas tangentes a la elipse y + = que pasan por A(, 0). Haz de rectas que pasan por A más la recta =. La recta que buscamos tiene solo un punto en común con la elipse, por tanto: Z _ y ] + = b [ ` ( m ( )) + = ] y= m( ) b + (m( )) 6 = 0 \ a m 0m + m + 6 = 0 (m + ) 0m 6 + m = 0 Debe tener solución única; es decir, el discriminante debe ser igual a cero. D = (0m ) (m + ) (6 + m ) = 76 0m = 0 m =, m = Las rectas pedidas son: r : y = ( ), r': ( )

17 7 Halla la ecuación de la tangente a la elipse + y = en el punto P(, ). Usa que la tangente es la bisectriz eterior de los segmentos P y P', donde y ' son los focos. + y = y + = 6 p = (,) c = = = (, 0), ' = (, 0) P = ( 0, ); P' = (, ) Recta P : = Recta P' : + y = + y 6 = 0 Bisectrices: Z ] + y 6 + y 6 ] = 0= + y 6 y = 0 = [ y 6 = + ] * * 0= y y 6 = 0 \ La recta pedida es: y = 0 76 Halla la ecuación de la tangente a la hipérbola y = en el punto P, de abscisa =. 6 Utiliza el hecho de que la tangente es la bisectriz de los segmentos P y P', donde y ' son los focos de la hipérbola (elige la bisectriz adecuada). y = 6 y = y=, y= 6 Hay dos puntos en la hipérbola con abscisa. Hallamos la tangente en P = c, m, la tangente en P = c, P = c, m c = P = (, 0); ' = (, 0) P = c0, m; P' = c 0, m = (0, ) Recta P : = Recta P' : + y = + 0y = 0 0 m es la simétrica respecto del eje O.

18 Bisectrices: = Z ] + 0y + 0y ] = [ 600 0y = + ] \ 0= + 0y y 6 = 0 * * + 0= + 0y 0y 0 = 0 La recta pedida es: y 6 = 0 La tangente en P = c, m es y + = ( ) Halla la tangente a la parábola y = en el punto P(, 6). Usa el hecho de que la tangente es la bisectriz del ángulo formado por P, donde es el foco, y la recta perpendicular por P a la directriz. y = V = (0, 0) p = 6 Parábola hacia la derecha. = (, 0) d : = P = (, 6) P = (0, 6) = 6(0, ) Recta P : = Recta perpendicular a d que pasa por P : y = 6 Bisectrices: = y 6 y+ = 0 = y 6 * * = y+ 6 + y = 0 La recta pedida es y + = 0 6 6

19 7 El cometa Halley describe una órbita elíptica, estando el Sol en uno de sus focos, de ecentricidad 0,667. Si su distancia mínima al Sol (perihelio) es de 0,6 UA, calcula cuál es la máima (afelio). Recuerda que UA (unidad astronómica) es la distancia media entre la Tierra y el Sol. ocos: Sol, dist (Halley, Sol )+ dist (Halley, ) = a e = a c = 0,667 c = 0,667a Luego la distancia mínima se alcanza cuando el cometa está en el vértice correspondiente al foco del Sol y es: a c = 0,6 a c= 06, * a = 7,6, c = 7, c= 0, 667a La distancia máima se alcanza cuando la Tierra está en el vértice opuesto al foco del Sol y es: a 0,6 = 7, 0,6 =,6 UA

20 0 Asocia cada una de las siguientes ecuaciones a una de las gráficas que están a continuación: a) + y = b) + y = c) y = d) y = I II e) y + = 6 f ) y = 0 g) y = h) y = ( ) i) y + = 0 j) ( ) + ( y ) = a) VII III IV b) III c) V V VI d) e) IV f) VI VII VIII g) II h) VIII i) I I j) I