Matemática Aplicada y Estadística - Grado en Farmacia Curso 2014/15 1er. Examen Parcial 6 de noviembre de 2014

Transcripción

1 Matemática Aplicada y Estadística - Grado en Farmacia Curso 2014/1 1er. Examen Parcial 6 de noviembre de 2014 Apellidos y nombre del alumno/a Grupo puntos) En la siguiente tabla se refleja la distribución del importe de las facturas en euros) por reparación de carrocería de una muestra de vehículos en un taller: Importe [0,60) [60,120) [120,180) [180,240) [240,300] N o vehículos a) Calcular la media aritmética y la desviación típica. b) Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias porcentuales acumuladas. c) Hallar el porcentaje de vehículos cuyo importe de reparación de carrocería es menor o igual que 190 euros. Apartado a): Escribimos la tabla de frecuencias. Importe n i c i c i n i c i x) 2 c i x) 2 n i f i % P i [L 0, L 1 ) = [0, 60) % P 1 = [L 1, L 2 ) = [60, 120) % P 2 = 30 [L 2, L 3 ) = [120, 180) % P 3 = 70 [L 3, L 4 ) = [180, 240) % P 4 = 90 [L 4, L ) = [240, 300] % P = Total % La media aritmética, x, viene dada por la expresión: x = 1 c i n i = 1 y la desviación típica, s, por la expresión: ) = 0 = s = 1 c i x) 2 n i = = 6.73

2 Matemática Aplicada y Estadística - Grado en Farmacia Curso 2014/1 1er. Examen Parcial 6 de noviembre de 2014 Apartado b): Se trata de una variable cuantitativa continua y los intervalos [L i 1, L i ) tienen las mismas amplitudes de 60. Para construir el histograma de frecuencias de porcentajes acumulados, se levanta sobre cada intervalo de clase un rectángulo de altura P i y el polígono de frecuencias es la línea poligonal que une los P i, como muestran figuras abajo representadas P P Importe en euros) L 3 L Importe en euros) Apartado c): Para saber qué tanto por ciento de vehículos han sido reparados por un importe menor o igual a 190 euros, observemos que 190 [L 3, L 4 ) = [180, 240) y que las correspondientes frecuencias porcentuales acumuladas son P 3 = 70 y P 4 = 90. Vamos a construir la recta que pasa por los puntos L 3, P 3 ) = 180, 70) y L 4, P 4 ) = 240, 90), que es: y = P 3 + P 4 P x L 3 ) = 70 + x 180) = 70 + L 4 L = x 180). 3 Por tanto, para conocer cuál es el porcentaje que corresponde a 190, sustituimos x = 190 en la ecuación anterior, y obtenemos que es el tanto por ciento buscado. y = ) = = puntos) Un test de inteligencia de un grupo de personas dio una puntuación que sigue una distribución Normal de media µ = y desviación típica σ = 1. a) Calcular el porcentaje de personas que tenga una puntuación comprendida entre 9 y 1. b) Calcular la puntuación por debajo de la cual se encuentran el 60 % de personas. Apartado a): Sea X la variable aleatoria que describe la puntuación obtenida en el test de inteligencia. Sabemos que µ = y σ = 1 y que X N, 1). Queremos calcular Haciendo el cambio de variable P 9 X 1). obtenemos Z = X µ σ = X 1 N0, 1),

3 Matemática Aplicada y Estadística - Grado en Farmacia Curso 2014/1 1er. Examen Parcial 6 de noviembre de P 9 X 1) = P Z 1 1 ) = P 0.33 Z 0.67) 1 = P Z 0.67) P Z 0.33) = P Z 0.67) P Z 0.33) = P Z 0.67) 1 + P Z 0.33) = = Apartado b): Queremos hallar el número k tal que P X k) = 0.6 Aplicando de nuevo el cambio de variable del apartado anterior, tenemos P Z k ) = Usando la tabla de la Normal, tenemos < 0.6 < , siendo x 1 = = y x 2 = = Por tanto, como x 1 < x 2, el más próximo al 0.6 es Luego, que es la puntuación buscada. k 1 = 0.2 k = = 3.7

4 Matemática Aplicada y Estadística - Grado en Farmacia Curso 2014/1 1er. Examen Parcial 7 de noviembre de 2014 Apellidos y nombre del alumno/a Grupo puntos) En la siguiente tabla se recogen datos sobre la edad de una muestra de varones X) y el contenido de colesterol en sangre Y ) en miligramos por decilitro: a) Calcular el coeficiente de correlación lineal. Edad en años X) Colesterol en ml/dl Y ) b) Calcular la recta de regresión Y sobre X. Resultaría adecuado utilizar dicha recta para estimar el colesterol en función de la edad? c) Estimar el contenido de colesterol que se podría esperar para un varón de 0 años de edad. Apartado a): Para calcular el coeficiente de correlación lineal entre la edad, X, y el contenido de colesterol, Y, tenemos que calcular la media aritmética de ambas variables, x, y, la desviación típica, s X, s Y, y la covarianza, s XY. Se observa que todos los pares de valores tienen frecuencias absolutas iguales a1. Tenemos: x = 1 x i = ) = = 49 y = 1 y i = ) = = 200 ) 1/2 1 ) 1/ s X = x i x) 2 = = = ) 1/2 1 ) 1/ s Y = y i y) 2 = = = s XY = 1 Luego, x i x)y i y) = ) ) 28) ) 38)) = 374 r = s XY 374 = s X s Y = 0.9 Apartado b): Resultaría muy aceptable utilizar la recta de regresión para hacer predicciones del contenido de colesterol en función de la edad, ya que el coeficiente de correlación lineal obtenido se aproxima bastante al valor 1. Se observa que como r > 0, la recta de regresión es creciente, luego los valores del colesterol aumentan a medida que aumenta la edad.

5 Matemática Aplicada y Estadística - Grado en Farmacia Curso 2014/1 1er. Examen Parcial 7 de noviembre de 2014 La recta de regresión de Y respecto a X viene dada por: y = y + s XY s 2 X x x) y = x 49) 122 y = x 49) Apartado c): El contenido de colesterol que se podría esperar para un varón de 0 años de edad es Colesterol en ml/dl datos a ajustar recta de regresión y = ) = Edad en años 2. 3 puntos) La duración de bombillas de W que fabrica una empresa sigue una distribución Normal de media y desviación típica desconocidas. Se escoge al azar una muestra de 0 bombillas de un lote y después de comprobarlas, se obtiene una vida media de duración de 70 horas y la desviación típica muestral de 120 horas. a) Obtener un intervalo de confianza al 99 % para la vida media de una bombilla de esa empresa. b) La empresa afirma que la vida media de sus bombillas está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Hacer un contraste he hipótesis con un nivel de significación del 1 % para averiguar si dicha afirmación es cierta. Tenemos que la desviación típica muestral es s = 120 horas, n = 0 es el tamaño de la muestra y x = 70 horas y que la población sigue una distribución Normal. Apartado a): El nivel de confianza es 1 α = 0.99, de donde el nivel de significación α = 0.01 y α/2 = Como la desviación típica es desconocida, tenemos que usar la distribución t-student con n 1 = 0 1 = 49 grados de libertad. El intervalo de confianza para la media viene dado por ) µ x t α/2, x + t α/2 n n donde t α/2 se busca en la tabla de t de Student de 49 grados de libertad tal que P T t α/2 ) = 1 α/2 = = 0.99, siendo T t 49 : P T t α/2 ) = 0.99 t α/2 = , donde hemos usado los grados de libertad igual a 0, ya que 49 no se encuentra en la tabla de t de Student. Por otra parte, para determinar el intervalo de confianza hace falta calcular la media de la muestra, la cuasidesviación típica muestral, o mejor dicho el cociente n. Usamos la siguiente relación entre la desviación típica muestral, s y cuasidesviación típica mustral: n = s n 1 Finalmente, el intervalo de confianza es s = = 120 n n 1 7 = I = , ) = , ) = , ). Apartado b):

6 Matemática Aplicada y Estadística - Grado en Farmacia Curso 2014/1 1er. Examen Parcial 7 de noviembre de 2014 Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Para comprobar que la afirmación de la empresa que la vida media de sus bombillas está garantizada durante un mínimo de 800 horas, consideramos como hipótesis nula H 0 : µ 800 = µ 0 vida media garantizada durante un mínimo de 800 horas), y como hipótesis alternativa, H 1 : µ < 800. Paso 2: Elegir un estadístico de contraste. Como queremos hacer un contraste de hipótesis para la media, el estadístico de contraste adecuado es T = X µ0 / que sigue una distribución de t de Student con n n 1 = 0 1 = 49 grados de libertad. Paso 3: Construcción de la zona crítica. Se trata de un contraste unilateral con un nivel de significación de α = La región crítica es, t α ). El valor crítico t α es tal que P T t α ) = 1 α = 0.99, siendo T t 49. Usando la tabla de t de Student con 49 grados de libertad con 0 en este caso, ya que 49 no se encuentra en la tabla), obtenemos que t α = y la región crítica es, ). Paso 4: Información muestral. Hemos visto en el apartado anterior que n = , luego t = x µ 0 / n = = Paso : Decisión. Se tiene que , ), es decir pertenece a la región crítica. Por tanto, rechazamos H 0 µ 800) y aceptamos H 1 µ < 800) y concluimos que esta afirmación no es cierta con un nivel de significación del 1 %. Por tanto, deberíamos rechazar este lote de baterías, ya que su vida media es inferior a 800.