1 Formulario Básico L.F. Reséndis O.
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- María Isabel Flores Duarte
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1 Formulrio Básico L.F. Resénis O.. Fórmuls pr exponentes y ricles L.F. Resénis O. m n = m+n m b n = m b n n = n m m = n m n b = n m b n n b = n n b ( ) n = n n ( ) n n = b b n = n n b b = n b ( m ) n = mn m n = ( n ) m = n m ( m ) n = ( m) n = n m. Áres y volúmenes L.F. Resénis O. Áre e iverss figurs plns Figur Dtos Perímetro Áre Curo lo = l P = 4l A = l Rectángulo bse= b, ltur = h P = ( + b) A = b Triángulo bse= b, ltur = h, los =, b, c P = + b + c A = bh Trpecio bse myor= B, bse menor = b, ltur = h (B + b)h A = Círculo rio=r πr A = πr Áres y volúmenes e lgunos sólios Sólio Dtos Áre Volumen Cubo lo = l A = 6l V = l 3 Bol rio = r A = 4πr V = 4 3 πr3 Cilinro rio e l bse = r, ltur = h A = πr + πrh V = πr h Cono rio = r, ltur = h A = πr h + r + πr V = 3 πr h Círculo rio=r πr A = πr
2 .3 Prouctos notbles L.F. Resénis O. (i) ( ± b) = ± b + b (ii) ( + b)( b) = b (iii) ( b)( + b + b ) = 3 b 3 (iv) ( + b)( b + b ) = 3 + b 3 (v) ( + b) n = n i=0 n! k!(n k)! k b n k.4 Ecución generl e oren os L.F. Resénis O. Ls soluciones e l ecución curátic están s por x = b ± b 4c x + bx + c = 0, x = b ± b 4c Si b 4c > 0 l ecución tiene os ríces reles; si b 4c = 0 l ecución tiene un sól ríz rel repeti os veces y si b 4c < 0 l ecución no tiene ríces reles, son complejs. Pr > 0 l completción el trinomio x + bx + c es e l form:. En el cso que < 0 se tiene x + bx + c = ( ) x b + + c b 4. ( ) x + bx + c = c b x 4 b..5 Teorem e Pitágors y funciones trigonométrics L.F. Resénis O. Se consier el triángulo rectángulo con ctetos A y B e hipotenus C, ver l figur figur. Entonces A + B = C. Ls funciones trigonométrics socis l triángulo rectángulo e l figur son
3 C B x A Figure : El triángulo rectángulo ABC. senx = B C cos x = A C tn x = senx cosx = B A csc x = sen x = C B sec x = cos x = C A cotx = tnx = cos x senx = A B one el ángulo x se mie en rines. Vlores en ángulos escur pr funciones trigonométrics. x gros xr sen x cos x tn x π π 4 60 π π 0 3
4 Ls gráfics e ls funciones trigonométrics son seno x csc x Figure : Ls funciones senx y csc x = sen x cos x 5 sec x Figure 3: Ls funciones cosx y sec x = cos x 6 6 tn x 4 4 cot x Figure 4: Ls funciones tn x = senx cos x y cotx = tnx = cos x senx Vlores principles e l función senx y cos x, con k = 0, ±, ±, ±3,... función Dominio Ceros Máximos Mínimos (4k + )π (4k + 3)π sen x R kπ (k + )π cos x R kπ (k + )π 4
5 .6 Límites L.F. Resénis O. Sen f y g os funciones con entonces el límite e l sum es lim f(x) = L, x lim g(x) = M x lim x el límite el proucto es lim x si M 0 el límite el cociente es (f(x) + g(x)) = lim x (f(x) g(x)) = lim x f(x) + lim x g(x) = L + M, f(x) lim x g(x) = L M, f(x) lim x g(x) = lim x f(x) lim x g(x) = L M, si l función g es continu en L el límite e l composición es lim x (g f)(x) = lim(g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(l). x x L conición e exitenci el límite por límites lterles es lim f(x) = L si y sólo si lim x f(x) = L = lim f(x). x x + Límites notbles. Se α > 0 lim x 0 x = lim x 0 + x α = lim x x lim x 0 senx x cosx lim x 0 x = 0 lim = 0 + x x α = lim x 0 tn x x = = 0 lim x 0 cosx x =.7 Continui L.F. Resénis O. L función f es continu en el punto si lim x f(x) = f(lim x) = f(). x L sum, proucto, cociente y composición son continus en su ominio e efinición. 5
6 .8 Regls e Derivción L.F. Resénis O. (A) (f(x) + g(x)) = x x f(x) + x g(x) (B) (B ) (f(x) g(x)) x = (c f(x)) x = g(x) f(x) + f(x) x x g(x) c x f(x) (C) x ( ) f(x) g(x) = g(x) f(x) f(x) x x g(x) g (x) (C ) ( ) x g(x) = x g(x) g (x) (D) (g f)(x) = x x g(f(x)) x f(x).9 Definición e eriv L.F. Resénis O. L eriv e l función f en el punto x se efine por f(x + h) f(x) lim h 0 h = f (x) = x f(x). L ecución e ls rects tngente y norml l gráfic e f en el punto (, f()) son respectivmente y = f() + f ()(x ), y = f() (x ). f () L proximción linel e f en el punto está por su l proximción e su rect tngente f(x) f() + f ()(x )..0 Grfico e funciones L.F. Resénis O. Los puntos críticos e f son los ceros e su eriv, es ecir ls soluciones e f (x) = 0. Monotoní e funciones. L función f es creciente en el intervlo I si f (x) > 0 pr c x I. L función f es ecreciente en el intervlo I si f (x) < 0 pr c x I. 6
7 Clsificción e puntos extremos. Si f () = 0 y f () < 0 l función f tiene un punto máximo en. Si f () = 0 y f () > 0 l función f tiene un punto mínimo en. Concvi e funciones. L función f es cóncv hci rrib (convex) en el intervlo I si f (x) > 0 pr c x I. L función f es cóncv hci bjo (cóncv) en el intervlo I si f (x) < 0 pr c x I.. Función invers L.F. Resénis O. Se f : I J un función erivble que mite invers f : J I con y = f(x), entonces l fórmul e l eriv e l función invers es (f ) (y) = f (x) = f (f (y)) si f (x) 0.. Fórmuls e Derivción L.F. Resénis O. () () (3) x un x lnu x eu n u = nu x = u u x = e u u x (4) x log u = u u ln x (5) (6) (7) (8) (9) x u x senu x cosu x tnu x cotu = u ln u x u = cosu x u = senu x = sec u u x = csc u u x 7
8 (0) () x sec u x csc u = secu tn uu x u = csc u cotu x () (3) (4) (5) (6) (7) x rcsenu = u u x x rctn u = + u u x x rcsec u = u u u x x rccos u = u u x x rccotu = u + u x x rccsc u = u u u x 8
9 .3 Fórmuls e Integrción L.F. Resénis O. (I) u n u = un+ + C, n. n + (II) (III) u u e u u = ln u + C = e u + C (IV) (V) (VI) u u = u ln + C sen uu = cosu + C cos uu = senu + C (VII) tn uu = ln sec u + C (VIII) cotuu = ln senu + C (IX) sec uu = ln sec u + tnu + C (X) csc uu = ln csc u cot u + C (XI) sec uu = tn u + C (XII) csc uu = cotu + C (XIII) (XIV) sec u tn uu = sec u + C csc u cotuu = csc u + C 9
10 (XV) (XVI) (XVII) u = u ln u + u + C u = u ln u u + + C. u u = rcsen u + C (XVIII) (XIX) u + u u u u = rctn u + C = rcsec u + C (XX) (XXI) (XXII) (XXIII) + u u = u + u + ln(u + + u ) + C u u = u u + rcsen u + C u u = u u ln u + u + C u = ln u + u + C. u (XXIV) u + u = ln(u + + u ) + C (XXV) u u + u = ln + u + u + C. 0
11 .4 Sums e Riemnn L.F. Resénis O. Prtición regulr e tmño n el intervlo [, b] x 0 =, x = + b n x (b ) = + n. x i = +. x n = + i(b ) n n(b ) n = b L sum e Riemmn pr un función f : [, b] R S = n f(ξ i )(x i x i ) = i= n f(ξ) i i= one { = x 0 < x < < x n = b} es un prtición el intervlo [, b] y x i ξ i x i. Fórmuls pr sums n k = k= n k = k= n k= n(n + ) n(n + )(n + ) 6 k 3 = n (n + ) 4 Fórmul pr clculr el error en ls sums e Riemnn e un función f : [, b] R: (b ) (f(b) f()) < Error n (b ) (f() f(b)) < Error n si f es creciente. si f es ecreciente.
12 .5 Teorem funmentl el cálculo y primitivs L.F. Resénis O. Primer teorem funmentl el cálculo ( x f(t)t) = f(x). Fórmul pr erivr integrles ( h(x) f(t)t) = f(h(x))h (x) f(g(x))g (x). g(x) Seguno teorem funmentl el cálculo. Si F es un primitiv e f en el intervlo [, b] b f(x)x = F(x) b = F(b) F() Intercmbio en el oren e los límites e integrción. b f(x)x = Regl e cmbio e vrible en integrles efinis b F (u(x))u (x)x = u(b) u() b f(x)x. F (u)u = F(u(b)) F(u()). Regl e cmbio e vrible con primitivs F (u(x))u (x)x = F (u)u = F(u(x)) + c. Regl e integrción por prtes uv = uv v u u = f(x),, u = f (x)x, v = g (x)x, v = g (x)x = g(x) f(x)g (x)x = f(x)g(x) g(x)f (x)x.
13 y f x y g x x x x b Figure 5: El áre limit por y, y.6 Aplicciones e l integrl L.F. Resénis O. Fórmul pr clculr l longitu e rco e l gráfic e f : [, b] R L = b + f (x)x. Áre limit por ls curvs y = f(x), y = g(x), ver figu 5 con l gráfic e l curv y por rrib e l gráfic e l curv y (rectángulos verticles e ltur h = y y, y bse x) A = (y y )x por tnto A = b (f(x) g(x))x. one y b son ls bciss e los puntos one se intersectn ls curvs y, y. Áre limit por ls curvs x = h(y), x = l(y), con l gráfic e l curv x l erech e l gráfic e l curv x (rectángulos horizontles e ltur y y bse x x ), ver figur 6 y x h y x l y y y c Figure 6: El áre limit por x, x 3
14 A = (x x )y por tnto A = c (h(y) l(y))y one c y son ls orens e los puntos one se intersectn ls curvs x, x. Pr obtener ls expresiones x, x es necesrio espejr l vrible x. Volumen e revolución obtenio l rotr, lreeor el eje horizontl y = c, l región limit por ls gráfics e y = f(x), y = g(x). Se supone que l istnci e l gráfic e y l eje e rotción es siempre myor que l istnci e l gráfic e y l eje e rotción. Aemás los rectángulos infinitesimles rotos son perpeniculres l eje e rotción, ver figur 7 y f x r x y c y g x x x x b x r x y c y c Figure 7: L región limit por y, y y rot lreeor el eje y = c. por tnto V = π(r (x) r (x))x = π( f(x) c g(x) c )x V = π b ( f(x) c g(x) c )x. one y b son ls bciss e los puntos one se intersectn ls curvs y, y. Volumen e revolución obtenio l rotr, lreeor el eje horizontl x =, l región entre ls grá fics e x = h(y), x = l(y). Se supone que l istnci e l gráfic e x l eje e rotción es siempre myor que l istnci e l gráfic e x l eje e rotción. Aemás los rectángulos infinitesimles rotos son perpeniculres l eje e rotción, ver figur 8 por tnto V = π(r (y) r (y) )y = π( h(y) l(y) )y V = π c ( h(y) l(y) )y one c y son ls bciss e los puntos one se intersectn ls curvs x, x. 4
15 y r y x y x l y x r y x y x h y y c Figure 8: L región limit por x, x y rot lreeor el eje x =. Volumen e revolución obtenio l rotr, lreeor el eje verticl x =, l región entre ls gráfics y = f(x), y = g(x), cuyo bore está istnci r(x) = x c el eje e rotción, los rectángulos infinitesimles son prlelos l eje e rotción, con ltur h(x) = y y pr x b y bse x, ver figur 9 y por tnto V = πr(x)h(x)x = π x c f(x) g(x) x V = π b r(x)h(x)x = π b x c f(x) g(x) x. Volumen con áre e l sección trnversl conoci, perpeniculr un eje cooreno. Si l sección es trnsversl l eje x, con áre e l sección por A(x), ver figur 0. Entonces V = A(x)x con = b A(x)x. Si l sección es trnsversl l eje y, con áre e l sección por A(y). Entonces V = A(y)y con = b A(y)y..7 Integrles impropis L.F. Resénis O. Se f : (, b] R ( f no está efini en ) b f(x)x = lim ɛ + b ɛ f(x)x. 5
16 r x x c y f x h x y y y g x x x x b x c x Figure 9: L región limit por y, y y rot lreeor el eje x = c. Se f : [, ) R ( l integrción se hce sobre un intervlo e longitu infinit) f(x)x = lim r + r f(x)x. Fórmuls pr estimciones e integrles impropis: { x 0 x = si α <, α α si α x x α = si α, α si < α.8 Integrles trigonométricsl.f. Resénis O. Integrles e potencis el sen m x cos n x. Si prece l menos un potenci impr se us: Si mbs potencis son pres sen x + cos x =. sen x = cosx, cos x = + cos x. Ls ienties senx = sen x cos x, cos x = cos x sen x se plicn pr reescribir el resulto. 6
17 Are A x x b Eje x x Figure 0: El volumen e un región con sección trnsversl conoci. Integrles e potencis e sec m x tn n n. Si ls potencis son pres o l potenci e l tngente es impr se us: tn x + = sec x. Integrles e potencis e csc m x cot n x. Si ls potencis son pres o l potenci e l cotngente es impr se us: cot x + = csc x..9 Sustitución trigonométric L.F. Resénis O. Pr expresiones one prece u ó u se us u = senθ. Se tiene sí u = cos θ y u = cosθ con u = cos θ θ. El triángulo socio es l figur 7
18 u Θ u Figure : El triángulo el cmbio u = sen θ Pr expresiones one prece Se tiene sí + u ó + u se us u = tn θ. + u = sec θ y + u = secθ con u = sec θ θ. El triángulo socio es l figur 8
19 u u Θ Figure : El triángulo el cmbio u = tn θ Pr expresiones one prece u ó u se us u = sec θ. Se tiene sí u = tn θ y u = tnθ con u = sec θ tn θ θ. El triángulo socio es l figur 3 u u Θ Figure 3: El triángulo el cmbio u = sec θ 9
20 .0 Frcciones Prciles L.F. Resénis O. Se l función rcionl p(x) q(x) one p(x) y q(x) son polinomios con gro p < gro q. Supóngse que el enominor tiene en su fctorizción el proucto (x ) (x n ) con,..., n R istintos entre si. Entonces le correspone un frcción prcil e l form A + + A n. x x n Supóngse que el enominor tiene en su fctorizción el proucto q(x) = (x ) m (x n ) mn con,..., n R. Entonces le correspone l fctor (x i ) m i un frcción prcil e l form A A + x i (x i ) + + A mi (x i ) m i. Un trinomio x + bx + c se ice irreucible si b 4c < 0, es ecir no tiene ceros reles. Supóngse que el enominor q(x) tiene en su fctorizción un trinomio irreucible x +bx+c, entonces le correspone un frcción prcil e l form Ax + B x + bx + c. Si en l fctorizción el enominor el trinomio irreucible x + bx + c prece n veces le correspone l sum e ls n frcciones prciles A x + B x + bx + c + A x + B (x + bx + c) + + A nx + B n (x + bx + c). n. Fórmul e Tylor L.F. Resénis O. Se f : [, b] R un función n veces erivble en [, b]. Entonces pr x [, b] se tiene f(x) = f() + f ()! (x ) + f ()! + fn () (n )! (x )n + R n one el resiuo e oren n está o por R n = fn (c) (x ) n con c (, b). n! 0 (x ) + f () (x ) 3 + 3!
21 El polinomio e Tylor, e oren n en, que proxim l función es f(x) f() + f ()! (x ) + f ()! + fn () (n )! (x )n. (x ) + f () (x ) 3 + 3! El error cometio en l proximción está o por el resiuo R n. L fórmul e Mclurin se obtiene l tomr = 0 f(x) = f(0) + f (0)! x + f (0)! x + f (0) x fn (0) 3! (n )! xn + R n one R n = fn (c) x n con c (0, b) n!
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