Una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segundo, el tercero, etc.

Transcripción

1 Sucesioes Sucesi o. Ua sucesió es u cojuto ifiito de úmeros ordeados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segudo, el tercero, etc. Los térmios de ua sucesió se desiga mediate a 1, a 2, a 3,, e dode el subídice idica el puesto que ocupa cada térmio. U elemeto geérico de la sucesió o térmio geeral se represeta por a. E ua sucesió, al úmero atural 1 le correspode el térmio a 1 de la sucesió, al úmero atural 2, le correspode el térmio a 2, etc. Por esta razó, ua sucesió puede defiirse tambié como ua correspodecia etre los úmeros aturales y los úmeros reales. Cuado queremos determiar ua sucesió particular, podemos hacerlo de dos maeras: Mediate ua fórmula para el térmio geeral. Por ejemplo a = + 1 Sustituyedo por 1, 2, 3,, obteemos la sucesió 2, 3 2, 4 3, 5 4,. Mediate ua regla de recurrecia, es decir, idicado cómo puede obteerse cada térmio a partir de los ateriores. Por ejemplo: a 1 = 5, a = a Esto idica que el primer térmio de la sucesió es 5 y que cada térmio se obtiee sumado 3 al aterior. esto os permite costruir la sucesió 5, 8, 11, 14,. Ua sucesió es creciete si cada térmio es mayor o igual que el aterior. Si cada térmio es meor o igual que el aterior, la sucesió es decreciete. Si ua sucesió es creciete o decreciete se llama moótoa. a creciete a +1 a a decreciete a +1 a L ımite de ua sucesió. U etoro simétrico de cetro a y radio r es el itervalo abierto a r, a + r). El úmero a es el cetro y el úmero r es el radio del etoro figura 10.1).

2 Figura 10.1: Etoro sim etrico de u puto U úmero x perteeciete al etoro cumple que a r < x < a + r. Estas dos desigualdades puede expresarse como: x a < r El valor absoluto de la diferecia x a es la distacia etre los putos a y x. Así pues, la desigualdad aterior expresa la codició de que la distacia de los putos del etoro al cetro es meor que el radio. Alguas sucesioes tiee la propiedad de que sus térmios se va aproximado a u úmero que se llama el ite de la sucesió, de tal forma que la diferecia etre el ite y los térmios del sucesió se hace muy pequeña. Por ejemplo, es fácil ver que los térmios de la sucesió: 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, so cada vez más próximos a 1. Se dice que el ite es 1 o que la sucesió tiede a 1. La idea de que los térmios de la sucesió se aproxima a u ite se expresa matemáticamete de la siguiete forma: diremos que la sucesió a tiee por ite l y escribiremos: a = l Cuado cualquier etoro de cetro l y radio ε por pequeño que sea) cotiee u úmero ifiito de térmios de la sucesió y fuera quede u úmero fiito de ellos figura 10.2). Figura 10.2: L ımite de ua sucesió Tambié puede decirse que, dado cualquier úmero ε, se cumple que. a partir de u térmio a N todos los siguietes cumple que a l < ε. Cuado los térmios de la sucesió se hace muy grades, es decir, cuado dado cualquier úmero M, los térmios de la sucesió acaba siedo mayores que M, se dice que la sucesió tiede a ifiito o que el ite de la sucesió es ifiito: a = De forma más precisa, diremos que el ite de la sucesió a es ifiito, si dado cualquier úmero M ta grade como queramos) hay ifiitos térmios de la sucesió mayores que M y u úmero fiito de ellos que so meores que M figura 10.3). Tambié puede decirse que el ite de la sucesió a es ifiito, si dado cualquier úmero M, a partir de u cierto térmio a N, todos los térmios de la sucesió so mayores que M. De forma similar puede defiirse el ite. Las sucesioes que tiee ite fiito se llama covergetes y las que tiee ite ifiito o meos ifiito se llama divergetes.

3 C alculo de ĺımites. Figura 10.3: Límite ifiito U modo de calcular el ite de ua sucesió sería sustituir e la expresió del térmio geeral por u úmero muy grade. El resultado debería ser u úmero próximo al ite. Por ejemplo, si e la sucesió de térmio geeral: a = sustituimos por 1000 obteemos a 1000 = = 0, lo que os hace pesar que el ite debe ser cero. A partir de la defiició de ite podríamos demostrar que efectivamete el ite es cero. E geeral, para calcular el ite sustituiremos por e la expresió del térmio geeral y aplicaremos las siguietes reglas: Suma y diferecia. Para todo úmero a se verifica que: ± a = ; + = Producto. Si es u úmero distito de cero: = ; = El sigo del ifiito resultate depede de los sigos de los factores. Cocietes. Para todo úmero : = 0 ; = ; 0 = E esta última regla, debe etederse que el deomiador o es exactamete cero sio ua sucesió que tiede a cero y que el umerador es distito de cero. Potecias. Si el expoete tiede a ifiito teemos que: { r si r > 1 = 0 si 0 r < 1 y si la base tiee a ifiito: { si > 0 = 0 si < 0 Co ayuda de estas reglas, podemos calcular muchos ites como podemos ver e el siguiete ejemplo. Ejercicio 57. Calcular los siguietes ites: 3 5 = 3 5 = 5 =

4 5 + 1 = = + 1 = = = = = 3 = 0 2 ) 3 = 2 3 ) = 2 0) = 2 = 51 = 5 1 = 5 = 1 5 = 1 = 0 Cuado o puede aplicarse las reglas geerales se habla de casos de idetermiació. Hay 7 casos de idetermiació: Diferecia de ifiitos: Producto de cero por ifiito: 0 Cociete de ifiitos y de ceros: ; 0 0 Idetermiacioes co potecias: 1 ; 0 ; 0 0 No hay ua regla geeral para el cálculo de estos ites. La técica a aplicar depede de las fucioes que aparezca e la expresió del térmio geeral. E el caso de que el térmio geeral esté defiido por ua expresió poliómica, la idetermiació que se preseta es del tipo y se resuelve teiedo e cueta que el térmio de mayor grado es ifiitamete mayor que los térmios de grado iferior que, por cosiguiete se puede igorar, como vemos e los siguietes ejemplos. Ejercicio 58. Calcular los siguietes ites: ) = 2 = 2 = 52 3 ) = 3 ) = Podemos ver que el ite de ua expresió poliómica es + o segú que el térmio de mayor grado tega coeficiete positivo o egativo. Si el térmio geeral está dado por ua fució racioal, es decir, por u cociete de poliomios e, se preseta ua idetermiació del tipo. E este caso, se puede aplicar la técica aterior al umerador y al deomiador. Ejercicio 59. Calcular los siguietes ites: = = 3 2 = 3 = 0

5 = = = 2 = = = 3 E cosecuecia, si el térmio geeral de la sucesió viee dado por ua fució racioal: El ite es 0 si el deomiador es de mayor grado que el umerador. Es si el umerador es de mayor grado que el deomiador. Es igual al cociete de los coeficietes de los térmios de mayor grado si el umerador y el deomiador so del mismo grado. El umero e. Se llama así al ite de la siguiete sucesió: e = ) Como se ve se trata de u ite idetermiado del tipo 1. El ite de esta sucesió o es ifiito, pues puede demostrarse fácilmete sabiedo u poco de combiatoria) que todos sus térmios so meores que 3. Se ha demostrado que e es u úmero irracioal cuyas primeras cifras so: e = 2, Co ayuda del úmero e puede calcularse muchos ites idetermiados del tipo 1. E particular, es fácil ver que si a, b, so úmeros cualesquiera: ) +b = e + a ) = e 1 + ) = e Ejercicio 60. Demostrar 1 + ) = e 1 + = 1 + ) 1 ) = ) = [ ) ] = e Progresioes aritm eticas y geométricas Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros e la que cada térmio es igual al aterior más u úmero costate que se llama diferecia de la progresió: a = a 1 + d

6 De la defiició se deduce que: a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d a 5 = a 4 + d = a 1 + 4d E geeral se cumple que: a = a 1 + 1) d Aplicado la fórmula aterior a dos térmios de la progresió se obtiee: a m = a 1 + d m 1) a = a 1 + d 1) Restado las dos igualdades resulta: a m = a + d m ) fórmula que permite obteer cualquier térmio de la sucesió a partir de otro térmio y de la diferecia. La suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética es: S = a 1 + a 2 + a a Agrupado los sumados el primero co el último, el segudo co el peúltimo, etc: S = a 1 + a ) + a 2 + a 1 ) + Todos los parétesis so iguales y hay 2 parétesis. Por cosiguiete: S = a 1 + a ) 2 Ua progresió geométrica es ua sucesió de úmeros e que cada uo de ellos es igual al aterior multiplicado por u úmero costate llamado razó de la progresió: a +1 = a r Razoado de forma similar a como se hizo co las progresioes aritméticas resulta: a = a 1 r 1 Aplicado esta fórmula a dos térmios: a m = a 1 r m 1 a = a 1 r 1 Dividiedo miembro a miembro se obtiee: a m = a r m Si e la expresió: S = a 1 + a 2 + a a

7 multiplicamos por r y restamos, resulta: S = a 1 + a 2 + a a S r = a 1 r + a 2 r + + a 1 r + a r S S r = a 1 De aquí se obtiee la fórmula para la suma: S = a 1 a r 1 r a r Si la razó de la progresió está compredida etre 1 y 1, el térmio a tiede a cero cuado tiede a ifiito. E este caso existe el ite de S : S = S a 1 a r = = a 1 1 r 1 r Por cosiguiete, para estas progresioes podemos escribir: S = a 1 1 r 1 < r < 1