TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS

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1 TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS. ÁREA BAJO UNA CURVA. El prolem que pretendemos resolver es el cálculo del áre limitd por l gráfic de un función f() continu y positiv, el eje X y ls sciss = y =. Si l gráfic de f() es un rect el áre se puede clculr con ls fórmuls conocids de áres de polígonos. Sin emrgo, si l gráfic de f() es un curv podrímos relizr un estimción del áre utilizndo rectángulos medinte el siguiente proceso: Dividimos el intervlo [,] en n trocitos (suintervlos). Formmos n rectángulos por defecto, cd uno de ellos sore cd uno de los n suintervlos, y otros n rectángulos por eceso. L sum de ls áres de los rectángulos nos drá dos proimciones del áre, un por defecto y otr por eceso. Tommos nuevs prticiones del intervlo más pequeñs (intervlos de menor mplitud). Procediendo de igul mner que ntes, otendrímos nuevs proimciones del áre cd vez mejores, que se cercrín cd vez más un vlor común (el áre que uscmos). / 6

2 Se formn sí dos sucesiones de áres un por defecto y otr por eceso. El límite, cundo el número de puntos de l prtición tiende + (o, lo que es lo mismo, cundo ls mplitudes de los suintervlos tienden 0), de ms sucesiones coincide y es el áre uscd. Si f() es un función continu en el intervlo [,] definimos l integrl definid de l función en el intervlo [,] como el límite de ls áres por defecto y por eceso definids nteriormente. Se represent: f ( ) d. En vez de rectángulos, pueden utilizrse trpecios, con los que se consigue un convergenci más rápid. Como es fácil de comprender, el método que cmos de descriir es muy engorroso poco que l función f() se complique. En el siglo XVII, Isc Brrow puso en coneión los conceptos de derivd e integrl, l drse cuent de que l derivd de l función que proporcion el áre jo un curv es l función mism que represent dich curv. Por lo que el prolem se reducí uscr es función primitiv que, l derivrl, nos dier l función que represent l curv.. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. El cálculo de l primitiv de un función es el proceso contrrio l de derivción. Si derivmos l función = tenemos f ( ) =. Si presentmos l situción l revés y prtimos de y = diremos que es un primitiv de Decimos que F() es un primitiv de f() si F ( ) =. Nos plntemos el prolem inverso l de otener l derivd de un función: dd un función f(), deemos encontrr un función F() cuy derivd se f(). Ejemplos:. Si = cos F( ) = sen, y que F ( ) = cos. Si. Si. Si = F( ) =, y que F ( ) = = e F( ) = e, y que F ( ) = e = e = F( ) =, y que F ( ) = = / 6

3 Tmién podrí ser un primitiv de y = culquier de ls funciones, +, + 8, 7,..., por eso en generl si F() es un primitiv de f(), tmién son primitivs de f() tods ls funciones de l form siendo C R. F()+C,. INTEGRAL INDEFINIDA. Llmremos integrl indefinid de f() l conjunto formdo por tods ls primitivs de l función f(). Lo representremos: d. Si F() es un primitiv culquier de f(), l integrl indefinid de f() es : d = F( ) L constnte C se denomin constnte de integrción. L función que se dese integrr, f(), se llm integrndo. L diferencil de, d, indic l vrile respecto de l cul se integr. Notr que sin d no se podrí contestr integrles como =? ; el resultdo puede ser, y, t,.según se l vrile que consideremos. d =, dy = y, o ien dt = t Integrción = F( ) = Derivción. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Son consecuenci direct de l propi definición de integrl y de ls regls de derivción:. [ + ] = + g( ) d d g( ) d Ejemplo: = + ln + sen + + cos d = d + d + cos d = + ln + sen =. k d = k d Ejemplo: e d = e d = e / 6

4 5. INTEGRALES INMEDIATAS. Por plicción direct de ls regls de derivción se otiene l siguiente tl de integrles inmedits: F. identidd: d = F. potencil: ( n )* * n = Funciones elementles n+ n d = n + d = ln F. eponencil: e d = e Funciones trigonométrics: Función compuest n+ n f ( ) d = n + f ( ) d = ln e d = e send = cos f ( ) s en( ) d = cos( ) cos d = sen f ( ) cos( ) d = s en( ) L regl de integrción más importnte que necesitmos es l de l potenci: n+ n d =. n + Utilizd junto con ls propieddes y nos permite integrr (clculr l primitiv) de culquier polinomio: Ejemplos:.. (5 + + ) d = 5 = + + d + d + d = d + d + d = = 5 5 ( + + ) d = + + = REGLA DE BARROW. Si f() es un función continu en [,], l integrl definid de f() es f ( ) d = F( ) F( ) siendo F() un función que cumpl F ( ) =, es decir, l función F() es un primitiv culquier de f(). Si, demás, f() es positiv en [,], l integrl definid nterior d un resultdo positivo que coincide con el áre encerrd entre l gráfic de l función, el eje X y ls rects = y =. / 6

5 Si 0 en [,] + A d = En cmio, si f() es negtiv en [,], l integrl definid nterior nos d un resultdo negtivo, pero que es igul en vlor soluto l vlor del áre uscd. Si 0 en [,] f ( ) d = A En consecuenci, el vlor soluto de l integrl definid nos drá el vlor del áre en mos csos: A = d Si f() cmi de signo en [,], hemos de clculr por seprdo l integrl de cd un de ls zons y sumr sus vlores solutos. Pr ello hemos de hllr, en primer lugr, los puntos de corte de l función f() con el eje X (solmente tomremos en considerción quellos puntos de corte que se encuentren entre y ). c c A = f ( ) d + f ( ) d Un procedimiento similr este hemos de utilizr cundo integremos un función definid trozos. Luego, no siempre l integrl coincide con el áre que desemos clculr, sólo cundo 0. Ejemplos: ) Áre limitd por = y el eje X desde = hst =: 6 d = = = C = u ) Clcul d, 0 + < 0 = : + 7 d = ( ) d ( 7) d = = = + [ 0 ] = + = 5 / 6

6 Ejercicios:. Clcul el áre comprendid por l curv de ecución f()= +, el eje OX y ls rects = y =.. Hll el áre de l superficie encerrd por l función = + + y el eje OX.. Clcul el áre comprendid entre l curv de ecución f()= y ls rects = 0 y =. Qué ocurre si es de = hst =? Y si es de = hst =?. Clcul el áre de l siguiente figur, siendo l práol y= y l ltur horizontl 6 5. Un chp de plt tiene l form y dimensiones que se indicn en el diujo, y l curv que l delimit superiormente es l práol de ecución y =. Determin el áre de l chp. + 0 < 6. Dd l función: = 6 + < + < 8 ) Hll el vlor de pr que l función y= f() se continu en el intervlo [0,8]. ) Hll los máimos y mínimos solutos de y= f() en el intervlo [0,]. Justific que los puntos encontrdos son máimos y mínimos solutos. c) Clcul el áre de l región del plno limitd por ls rects de ecución y=0, =0, = y l gráfic de y=f(). 7. Dd l función = + si si 0 < ) Estudi l continuidd de l función en el intervlo [0,]. ) Clcul los máimos y mínimos solutos de f(). c) Clcul el áre de l región determind por l gráfic de l función y ls rects =0, y=0 y =. 6 / 6