1. Introducción a la interpolación

Transcripción

1 1 Tem 4 Introducción l interpolción y l integrción numéric 1. Introducción l interpolción Un problem que se present con frecuenci en ls ciencis experimentles y en ingenierí es trtr de construir un función (denomind función interpolnte ) de l que se conoce un serie de vlores en ciertos puntos (denomindos dtos de interpolción ). Estos dtos pueden ser obtenidos, por ejemplo, prtir de observciones relizds en un determindo experimento. El objetivo será determinr un función cuyos vlores en los puntos considerdos coincidn con los dtos y que demás se fácil de construir y mnipulr. Por su sencillez y opertividd los polinomios se usn frecuentemente como funciones interpolntes. En ocsiones, este problem comprende tmbién otros dtos, especilmente los vlores de ls derivds de l función en ciertos puntos Generliddes Un problem de interpolción en generl puede enuncirse de l siguiente form: Ddo un conjunto de dtos, generlmente vlores de un función y/o sus derivds en determindos puntos x i, i = 0, 1,, n, que llmremos nodos, nuestro objetivo es construir otr función que coincid con l función dd en los dtos de interpolción. Según el tipo de los dtos de interpolción, podemos considerr los siguientes tipos de interpolción: Interpolción de Lgrnge: Conocemos los vlores de l función f (x i ) en n + 1 puntos distintos, x i, i = 0, 1,, n Interpolción de Tylor: Los dtos son el vlor de l función y sus derivds sucesivs en un punto x 0 hst el orden n. f i) (x 0 ), i = 0, 1,, n. Interpolción de Hermite: Disponemos de los vlores de un función y de lguns de sus derivds sucesivs en determindos puntos. Por ejemplo, f (x i ) y f (x i ) en n + 1 puntos distintos, x i, i = 0, 1,, n

2 Cálculo Numérico I En generl, ls funciones interpolntes formn un espcio vectoril de dimensión finit, es decir son del tipo: ψ (x) = 0 ψ 0 (x) + 1 ψ 1 (x) + + n ψ n (x), donde ψ 0 (x), ψ 1 (x),, ψ n (x), son funciones dds que formn bse del espcio vectoril correspondiente y i, i = 0, 1,, n números reles determinr. Dependiendo del tipo de funciones que utilicemos como funciones interpolntes, l interpolción se llmrá polinómic, rcionl, trigonométric, spline polinómico,... Entre ls diferentes funciones interpolntes, por su sencillez y fcilidd pr operr, los polinomios son los utilizdos con myor frecuenci en problems de interpolción, en este cso ls funciones de bse son ψ i (x) = x i, i = 0, 1,, n. Sin embrgo, no siempre dn un respuest stisfctori, especilmente si l solución del problem requiere el uso de polinomios de lto grdo o, por ejemplo, si se observ un comportmiento periódico en los dtos de interpolción. Por simplicidd, nos centrremos en este Tem en el estudio del cso prticulr de l interpolción polinómic de Lgrnge. 1.. L interpolción de Lgrnge El problem de l interpolción polinómic de Lgrnge consiste en lo siguiente: Conocidos los vlores de un función f en n + 1 puntos distintos x i, i = 0, 1,, n de un intervlo [, b], nos plntemos obtener un polinomio P n de grdo no superior n, que coincid con l función f en estos n + 1 puntos, es decir, P n (x i ) = f (x i ), pr i = 0, 1,, n. El polinomio P n buscdo form prte del conjunto de los polinomios de grdo menor o igul que n y, por tnto, P n (x) será de l form P n (x) = n x n + n 1 x n x + 0, y, pr determinrl, hbrá que hllr los n + 1 coeficientes reles 0, 1,, n. En el cso que n se no nulo, diremos que P n (x) tiene exctmente grdo n. L existenci y unicidd del polinomio de interpolción P n (x) se prueb en el siguiente resultdo, demás se determin un primer form de construirlo. Teorem 1.1 (Fórmul de interpolción de Lgrnge) Sen f : [, b] IR y {x 0, x 1,, x n }, n + 1 puntos distintos del intervlo [, b]. Entonces, existe un único polinomio P n (x) de grdo menor o igul que n, que verific P n (x i ) = f (x i ), i = 0, 1,, n. A este polinomio se le denomin polinomio de interpolción de f en los nodos {x 0, x 1,, x n }. Además, el polinomio de interpolción puede ser clculdo medinte l fórmul P n (x) = f (x i ) L i (x), (1.1)

3 Tem 4: Introducción l interpolción y l integrción numéric. 3 donde, pr cd i {0, 1,, n}, L i (x) es el polinomio de grdo n definido por n x x j L i (x) =. x i x j Demostrción.- j=0 j i 1. Existenci: Observemos que pr cd i {0, 1,, n}, L i (x) = x x 0 x i x 0 x x 1 x i x 1 x x i 1 x i x i 1 x x i+1 x i x i+1 x x n x i x n, Entonces, L i (x j ) = δ ij pr cd j {0, 1,, n}, siendo δ ij l delt de Kronecker. En consecuenci, P n (x) es un polinomio de grdo n como máximo y P n (x j ) = f (x j ), pr cd j {0, 1,, n}.. Unicidd: Supongmos que existen P n (x) y Q n (x) dos polinomios de grdo menor o igul que n, que verificn P n (x i ) = f (x i ) = Q n (x i ), pr cd i = 0, 1,, n. Entonces, el polinomio D n (x) = P n (x) Q n (x) es tmbién un polinomio de grdo menor o igul que n y stisfce D n (x i ) = P n (x i ) Q n (x i ) = 0, pr cd i = 0, 1,, n. Es decir, D n (x) es un polinomio de grdo menor o igul que n con n + 1 ríces distints, por tnto, por el teorem Fundmentl del Álgebr, D n (x) 0 de donde se concluye que P n (x) Q n (x). Observción 1. L expresión (1.1) se conoce como fórmul de Lgrnge del polinomio de interpolción. El Teorem 1.1 proporcion un método constructivo pr obtener el polinomio de interpolción P n (x) medinte l fórmul (1.1). Ejemplo.- Obtener el polinomio que interpol los vlores ( 1, 3), (, 1), (3, ), (4, 4). Si lgún dto es f (x j ) = 0, no hce flt clculr L j (x). Los polinomios L k (x) sólo dependen de los nodos de interpolción {x 0, x 1,, x n }. De modo que, un vez clculdo cd L k (x) se construyen los polinomios de interpolción poniendo los f (x k ) como coeficientes de un combinción linel, lo cul es un ventj si queremos resolver vrios problems de interpolción con los mismos nodos x k. En este sentido, {L 0 (x), L 1 (x),, L n (x)} es un bse del espcio vectoril de los polinomios de grdo n de interpolción socidos los nodos {x 0, x 1,, x n }. Tomndo f(x) = 1 en (1.1), se tiene, L i (x) = 1, pr todo x IR N. No obstnte, l fórmul de Lgrnge (1.1) tiene el inconveniente de que hy que relizr numerosos cálculos y sobre todo que si ñdimos un dto más de interpolción, hemos de volver clculr todos los polinomios L k (x).

4 4 Cálculo Numérico I 1.3. Fórmul de interpolción de Newton En est sección vmos estudir otr form de clculr el polinomio de interpolción P n (x) que no present los inconvenientes de l fórmul de Lgrnge. Est nuev form es l denomind fórmul de interpolción de Newton pr el polinomio de interpolción de Lgrnge, que nos v permitir un representción del polinomio de interpolción en términos de diferencis. Comencemos con l definición de est diferencis Definición 1.3 Sen f : [, b] IR y {x 0, x 1,, x n }, n + 1 puntos distintos del intervlo [, b]. Pr cd i {0,..., n} y m {1,..., n i}, sen f [x i ] = f (x i ), f [x i, x i+1,, x i+m ] = f [x i+1, x i+,, x i+m ] f [x i, x i+1,, x i+m 1 ] x i+m x i. f [x i, x i+1,, x i+m ] se denomin diferenci dividid de orden m de f en el punto x i. Pr expresr l fórmul de Newton del polinomio de interpolción usremos l siguiente notción: Π 0 (x) = 1 y Π j (x) = j 1 (x x i ) = (x x 0 ) (x x 1 ) (x x j 1 ). Teorem 1.4 (Fórmul de interpolción de Newton) Sen f : [, b] IR y {x 0, x 1,, x n }, n + 1 puntos distintos del intervlo [, b]. Entonces, el polinomio de interpolción de f en los nodos {x 0, x 1,, x n } viene ddo por P n (x) = f [x 0, x 1,, x i ] Π i (x) = = f (x 0 ) + f [x 0, x 1 ] (x x 0 ) + f [x 0, x 1, x ] (x x 0 ) (x x 1 ) + + f [x 0, x 1,, x n ] (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n 1 ). (1.) Además, si x {x 0, x 1,, x n }, entonces E n (x) = f (x) P n (x) = f [x 0, x 1,, x n, x] Π n+1 (x). (1.3) Demostrción.- Lo probremos por inducción sobre el número de nodos (n + 1): 1. Pr n = 0, P 0 (x) = f (x 0 ) es el polinomio de interpolción de f en x 0.. Suponemos cierto el resultdo pr n y nos plntemos probrlo pr n + 1. Observemos que podemos expresr P n+1 en l form P n+1 (x) = P n (x) + C n+1 (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) pr cierto coeficiente C n+1. En efecto: P n+1 es un polinomio de grdo menor o igul que n + 1, tl que

5 Tem 4: Introducción l interpolción y l integrción numéric. 5 Si i = 0, 1,, n, P n+1 (x i ) = f(x i ). Si C n+1 = entonces P n+1 (x n+1 ) = f(x n+1 ). f(x n+1 ) P n (x n+1 ) (x n+1 x 0 )(x n+1 x 1 ) (x n+1 x n ), Entonces, bstrá probr que f [x 0, x 1,, x n, x n+1 ] es el coeficiente líder de P n+1. Pr ello, consideremos el polinomio de interpolción de f en los nodos x 1, x,, x n+1, que denotmos Q n. Buscmos P n+1 en l form P n+1 (x) = ( 1 x + b 1 )Q n (x) + ( x + b )P n (x). siendo 1, b 1,, b coeficientes determinr. Pedimos que P n+1 (x i ) = f(x i ), i = 0, 1,, n + 1: Si i = 1,,, n, tenemos P n+1 (x i ) = ( 1 x i + b 1 )f(x i ) + ( x i + b )f(x i ), con lo que se cumplirá P n+1 (x i ) = f(x i ) si = 1 y b = 1 b 1. Por tnto, si ponemos θ(x) = 1 x + b 1, tendremos x + b = 1 θ(x), y Si i = 0, tenemos P n+1 (x) = θ(x) Q n (x) + (1 θ(x)) P n (x). (1.4) P n+1 (x 0 ) = θ(x 0 ) Q n (x 0 ) + (1 θ(x 0 )) P n (x 0 ). Pidiendo θ(x 0 ) = 0 tendremos P n+1 (x 0 ) = f(x 0 ). Por último, si i = n + 1, tenemos P n+1 (x n+1 ) = θ(x n+1 ) Q n (x n+1 ) + (1 θ(x n+1 )) P n (x n+1 ). Pidiendo θ(x n+1 ) = 1 tendremos P n+1 (x n+1 ) = f(x n+1 ). Ahor bien, como θ(x) es un polinomio de grdo 1, lo tenemos definido unívocmente dndo sus vlores en x 0 y x n+1 : θ(x) = x x 0 x n+1 x 0. Identificndo los coeficientes líderes en (1.4) y usndo l hipótesis de recurrenci, deducimos C n+1 = f [ x 1,, x n+1 ] f [ x 0,, x n ] x n+1 x 0 = f [ x 0, x 1, x n+1 ].

6 6 Cálculo Numérico I Usmos hor (1.) pr deducir l expresión del error (1.3). Considermos un punto x [, b] fijo distinto x 0, x 1,, x n, y el polinomio Q n+1 que interpol f en los nodos x 0, x 1,, x n, x. Este polinomio viene ddo por Q n+1 (y) = P n (y) + f [ x 0, x 1, x n, x] (y x 0 )(y x 1 ) (y x n ). Tomndo y = x deducimos f(x) P n (x) = f [ x 0, x 1, x n, x] (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ). que es precismente (1.3). Observción 1.5 Si en prticulr los puntos {x 0, x 1,, x n } están uniformemente espcidos en el intervlo [, b] con pso h > 0, entonces el polinomio de interpolción de f en {x 0, x 1,, x n }, viene ddo por: P n (x) = i f (x 0 ) i! h i Π i (x) = f (x 0 ) + (x x 0 ) f (x 0) h + (x x 0 ) (x x 1 ) f (x 0 ) h + + (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n 1 ) n f (x 0 ) n! h n, donde i f(x 0 ) son ls diferencis finits de f en x 0, dds de form recursiv por 0 f(x 0 ) = f(x 0 ), i+1 f(x 0 ) = i f(x 1 ) i f(x 0 ). El cálculo de ls diferencis dividids pr construir el polinomio de interpolción de f en {x 0, x 1,, x n } se relizn medinte el lgoritmo que muestr l siguiente tbl: f (x 0 ) f [x 0, x 1 ] f [x 0, x 1,, x n 1 ] f [x 0, x 1,, x n ] f (x 1 ) f [x 1, x ] f [x 1, x,, x n ] f (x ) f [x, x 3 ] f (x n ) f [x n, x n 1 ] f (x n 1 ) f [x n 1, x n ] f (x n ) El cálculo de ls diferencis finits es similr. Si conocemos P n el polinomio de interpolción de f en {x 0, x 1,, x n } y desemos clculr P n+1 el polinomio de interpolción de f en {x 0, x 1,, x n, x n+1 }, bstrá determinr l diferenci dividid f [x 0, x 1,, x n, x n+1 ], y que P n+1 (x) = P n (x) + Π n+1 (x) f [x 0, x 1,, x n, x n+1 ],

7 Tem 4: Introducción l interpolción y l integrción numéric Error de interpolción Un vez clculdo el polinomio de interpolción, pretendemos hor usrlo pr estimr el vlor de l función f en culquier punto del intervlo [, b]. Si el punto elegido coincide con lguno de los nodos de interpolción {x 0, x 1,, x n }, entonces f (x i ) = P n (x i ). Sin embrgo, si tommos un punto x [, b] distinto de los nodos de interpolción, en generl f (x) P n (x). Se produce entonces un error que llmremos error de interpolción que denotremos por E n (x) = f (x) P n (x). Nuestro objetivo en est sección es estimr este error. Pr ello, notemos en primer lugr que sin hipótesis dicionles, no podemos decir nd cerc de est cntidd pues podemos cmbir l función f en puntos que no sen los de interpolción sin que cmbie el polinomio. No obstnte, vmos probr que cundo l función f es suficientemente regulr, podemos precisr el error que se comete en cd punto de interpolción en término de ls derivds de f. Teorem 1.6 Sen f C n+1 ([, b]), {x 0, x 1,, x n }, n + 1 puntos distintos del intervlo [, b] y P n el polinomio de interpolción de f en {x 0, x 1,, x n }. Entonces, pr cd x [, b] existe ξ x I x (con I x el menor intervlo cerrdo que contiene {x 0, x 1,, x n, x}), tl que E n (x) = f (x) P n (x) = f n+1) (ξ x ) (n + 1)! Π n+1 (x). (1.5) Demostrción.- Se x [, b] culquier, entonces pueden presentrse dos csos: 1. Si x = x i pr lgún i {0, 1,, n}, entonces el resultdo es trivil, pues f (x i ) = P n (x i ) y Π n+1 (x i ) = 0.. Si x x i pr todo i {0, 1,, n}, entonces, considermos l función F : [, b] IR definid, pr cd y [, b], por F (y) = [f (y) P n (y)] Π n+1 (x) [f (x) P n (x)] Π n+1 (y), que verific F C n+1 ([, b]), F (x i ) = [f (x i ) P n (x i )] Π n+1 (x) [f (x) P n (x)] Π n+1 (x i ) = 0, pr cd i {0, 1,, n} y F (x) = [f (x) P n (x)] Π n+1 (x) [f (x) P n (x)] Π n+1 (x) = 0. Es decir, F es un función de clse n + 1 en un intervlo donde, demás, posee n + ríces reles distints, entonces, por el Teorem de Rolle, l función F es de clse n en I x y tiene l menos n + 1 ríces en I x, repitiendo este

8 8 Cálculo Numérico I rzonmiento llegrímos que F n+1) es un función continu en I x y posee l menos un ríz ξ x I x. De quí, como pr cd y [, b], es F n+1) (y) = [f n+1) (y) P n+1) n (y)] Π n+1 (x) [f (x) P n (x)] Π n+1) n+1 (y) = f n+1) (y) Π n+1 (x) [f (x) P n (x)] (n + 1)!, donde hemos usdo que P n es un polinomio de grdo menor o igul que n y que Π n+1 es un polinomio mónico (de coeficiente líder igul 1) de grdo excto n + 1. En prticulr, se deduce que 0 = F n+1) (ξ x ) = f n+1) (ξ x ) Π n+1 (x) [f (x) P n (x)] (n + 1)!, de donde se concluye el resultdo. Por otr prte, l expresión (1.5) permite obtener un cot del error de interpolción en norm uniforme: Corolrio 1.7 El polinomio de interpolción stisfce l siguiente estimción de error: siendo máx f (x) P n (x) M n+1 x b (n + 1)! M n+1 = máx x b f n+1) (x). máx Π n+1 (x), (1.6) x b Observción 1.8 Existe un grn prlelismo entre l fórmul de error (1.5) y l expresión del error pr el polinomio de Tylor T n (x), cuys derivds en un punto (pongmos x 0 ) hst el orden n coinciden con ls de f. El error en este cso es f(x) T n (x) = f n+1) (ρ x ) (n + 1)! (x x 0) n+1, donde ρ x es un punto intermedio entre x 0 y x. Est fórmul prece como el límite forml del error pr el polinomio de interpolción, cundo todos los nodos x i tienden x 0. L estimción del error precedente es óptim en el sentido de que existe un función pr l que se d l iguldd. En efecto, si considermos l función f (x) = Π n+1 (x) = n (x x i ), se verific que P n (x) 0 y f n+1) (x) = (n + 1)! en cd x [, b]. En consecuenci, f (x) P n (x) = Π n+1 (x) = M n+1 (n + 1)! Π n+1 (x).

9 Tem 4: Introducción l interpolción y l integrción numéric. 9 Del corolrio nterior podemos plnternos condiciones bjo ls cules el polinomio de interpolción convergerá l función f cundo el número de nodos de interpolción tiend infinito. Es un problem de l mism nturlez que l convergenci del polinomio de Tylor cundo el orden del desrrollo tiende infinito. Según l estimción (1.6), podemos esperr convergenci cundo l función f se muy regulr (en el sentido de que ls derivds sucesivs crezcn con suficiente lentitud), l igul que ocurre con el polinomio de Tylor. En relidd, es necesrio que f se nlític en un intervlo suficientemente grnde respecto [, b] pr que hy convergenci del polinomio de interpolción de Lgrnge Interpolción polinómic trozos Construimos continución un técnic lterntiv de interpolción pr grntizr l convergenci del proceso de interpolción pr funciones mucho menos regulres, bstrá que sen continus. L ide es subdividir el intervlo [, b] en subintervlos, e interpolr en cd subintervlo por un polinomio de grdo fijo, de modo que l función interpolnte se globlmente continu. Consideremos un soporte de interpolción = { = x 0 < x 1 < < x n = b } [, b]. Construimos el espcio de funciones de interpolción V h = {v h C 0 ([, b]) tles que v h [xi 1,x i ] IP 1 ([x i 1, x i ]), i = 1,, n } V h está formdo por funciones continus en todo el intervlo [, b] cuy restricción cd subintervlo [x i 1, x i ] es un polinomio de grdo lo más uno. El subíndice h represent el diámetro de, h = máx{x i x i 1, i = 1,, n }. Plntemos el mismo problem de interpolción de Lgrnge, pero hor sobre V h : Conocidos los vlores de un función f en los n + 1 puntos distintos de, (P ) obtener un función f h V h tl que f h (x i ) = f (x i ), pr i = 0, 1,, n. Este problem tiene l mism nturlez que el de l interpolción polinómic: Admite solución únic, que se puede clculr prtir de cierts funciones de bse: Teorem 1.9 El problem (P ) dmite un únic solución. Est solución se puede clculr medinte l expresión f h (x) = f(x i ) φ i (x), (1.7) donde ls fuciones φ i V h, i = 0, 1,, n están determinds por siendo δ ij l δ de Kronecker. φ i (x j ) = δ ij, j = 0, 1,, n, (1.8)

10 10 Cálculo Numérico I Demostrción.- En cd intervlo [x i 1, x i ], i = 0, 1,, n l función f h es un polinomio de grdo menor o igul que 1, que debe stisfcer Por tnto, f h (x i 1 ) = f(x i 1 ), f h (x i ) = f(x i ). f h (x) = f(x i) f(x i 1 ) x i x i 1 (x x i 1 ) + f(x i 1 ), x [x i 1, x i ]. (1.9) De este modo l función f h está definid sobre todo el intervlo [, b], y es un polinomio de grdo menor o igul que uno sobre cd subintervlo [x i 1, x i ]. Bst probr que es continu pr concluir que pertenece V h y que, por tnto, es solución de (P ). Ahor bien, f h es continu en el interior de cd subintervlo [x i 1, x i ], por coincidir con un polinomio. Por otr prte, según l expresión (1.9), en cd nodo interior x i, i = 1,, n 1 se tiene lím x x i f h (x) = lím x x + i f h (x) = f(x i ), y por tnto f es continu tmbién en los nodos interiores. Por último, f es continu en los extremos = x 0 y b = x n y que coincide con un polinomio en [, x 1 ] y en [x n 1, b]. Pr demostrr l unicidd de soluciones de (P ), consideremos dos posibles soluciones f h, g h V h. Entonces l diferenci e h = f h g h V h se nul en todos los nodos x i, i = 0, 1,, n. Esto signific que e h stisfce l expresión (1.9), con vlores de interpolción f(x i ) = 0, i = 0, 1,, n. Por tnto, e h es idénticmente nul en cd subintervlo, y entonces es l función nul en todo [, b]. Por consiguiente, g h = f h. Pr demostrr l expresión (1.7), observemos en primer lugr que existe un únic función φ i V h que stisfce ls condiciones (1.8), y que ests condiciones constituyen un problem de interpolción (P ) con dtos f(x j ) = δ ij, j = 0, 1,, n. Por otr prte, pr probr (1.7) bstrá demostrr que l función g h (x) = f(x i ) φ i (x) V h tom los mismos vlores que f h en cd nodo x i, i = 0, 1,, n, y que entonces f h y g h serán soluciones de (P ) y por tnto deberán coincidir. Ahor bien, Por tnto, se verific (1.7). g h (x j ) = f(x i ) φ i (x j ) = f(x j ). Observción 1.10 L expresión (1.9) proporcion explícitmente el vlor del interpolnte f h en cd punto de [, b].

11 Tem 4: Introducción l interpolción y l integrción numéric. 11 Usndo l expresión (1.9), ls funciones φ i vienen dds por x x i 1 si x [x i 1, x i ], x i x i 1 φ i (x) = x x i+1 si x [x i, x i+1 ], x i x i+1 0 en otro cso Se llmn funciones sombrero. De l expresión (1.7), usndo que cd φ i (x) es positiv, deducimos f h (x) f(x i ) φ i (x) máx f(y) φ i (x) máx f(y), y [,b] y [,b] y que trozos: φ i (x) = 1. De quí concluimos l estbilidd de l interpolción máx f h(x) máx f(x). x [,b] x [,b] Esto no es cierto pr l interpolción polinómic, y que el máximo de P n (x), en generl, no está cotdo. Existen otrs posibiliddes de interpolción trozos: Por un prte, pedir que ls funciones de V h en cd subintervlos coincidn con polinomios de grdo, 3, etc. Por otr prte, pedir que su regulridd globl se C 1, C, etc. En generl, los interpolntes polinómicos trozos se llmn funciones spline. El siguiente resultdo formliz l estimción de error pr l interpolción trozos: Teorem 1.11 Supongmos que f C ([, b]). Entonces, siendo M = máx x [,b] f (x). máx f(x) f h(x) M x [,b] 8 h, (1.10) Demostrción Se x [, b]. Existe un subintervlo [x i 1, x i ] l que pertenece x. En este subintervlo p i (x) = f h (x) es solución del problem de interpolción polinómic p i IP 1, p i (x i 1 ) = f(x i 1 ), p i (x i ) = f(x i ). Por tnto el error de interpolción viene ddo por l expresión f(x) f h (x) = f (ξ x ) (x x i 1 )(x x i ), donde ξ x es un punto de (x i 1, x i ). Entonces, f(x) f h (x) M (x x i 1)(x i x) M h 4 x [x i 1, x i ]. Como est estimción es ciert en cd uno de los subintervlos, de quí se deduce (1.10).

12 1 Cálculo Numérico I Observción 1.1 L estimción (1.10) signific que si h se divide por dos (O se, si se duplic el número de puntos), entonces el error máx f(x) f h (x) se divide por cutro, x [,b] proximdmente. De (1.10) se deduce que si f es de clse C, entonces lím máx f(x) f h(x) = 0 h 0 x [,b] Si f es continu en lugr de C tmbién es ciert est convergenci, unque máx x [,b] f(x) f h(x) puede tender cero muy lentmente cundo h 0.. Introducción l integrción numéric Uno de los problems mtemáticos más ntiguos es el del cálculo del áre que encierr un curv. Como sbemos, este problem d lugr l cálculo integrl (más considerciones de signo tener en cuent cundo se pretende clculr un áre y no un áre signd). L regl de Brrow resuelve el problem de clculr l integrl de un función en un intervlo [, b], medinte l fórmul f (x) dx = F (b) F (), siendo F un primitiv de l función f en el intervlo [, b], es decir, F (x) = f (x), x [, b]. Sin embrgo, en muchos csos esto no es posible, ddo que: Pr cierts funciones no es posible clculr dich primitiv, pesr de sber que existe. Por ejemplo, pr ls funciones f (x) = e x, f (x) = sen x x, f (x) = x 5 + 1, no es posible encontrr un primitiv expresble en término de funciones elementles. En muchos de los problems que se plnten, l hor de integrr funciones, están relciondos con funciones definids en form de tbl de vlores o gráfic y no se conoce un expresión nlític de f (x). En mbos csos se precis de fórmuls de integrción numéric (tmbién llmds fórmuls de cudrtur), que nos vn permitir clculr un vlor proximdo de l integrl en l form f (x) dx i f (x i ), donde los x i, i = 0, 1,, n, son puntos del intervlo [, b] y los coeficientes i, i = 0, 1,, n, son números reles elegidos convenientemente.

13 Tem 4: Introducción l interpolción y l integrción numéric Fórmuls de integrción de tipo interpoltorio Pr obtener fórmuls de integrción numéric seguiremos, básicmente, el procedimiento bsdo en clculr el polinomio de interpolción de l función f en lgunos puntos del intervlo [, b] y proximr el vlor de l integrl de l función por el vlor de l integrl del polinomio de interpolción. En concreto, donde P n (x) = f (x) dx P n (x) dx, f (x i ) L i (x), x [, b] es el polinomio de interpolción de f en los n+1 puntos distintos, x i, i = 0, 1,, n, del intervlo [, b]. Integrndo est expresión en [, b] obtenemos siendo P n (x) dx = c i = c i f (x i ), L i (x) dx, pr i = 0, 1,, n. Obsérvese que los coeficientes c i, i = 0, 1,, n, son independientes de f y, por tnto, un vez clculdos proporcionn un fórmul que se puede plicr culquier función f : [, b] IR. Además, será necesrio estudir el error que se comete en este tipo de fórmuls, es decir, el vlor de R n (f) = f (x) dx P n (x) dx = E n (x) dx. con E n (x) = f (x) P n (x). En este sentido, en el estudio del error de interpolción, probmos que si f C n+1 ([, b]), se tiene que E n (x) = f n+1) (ξ x ) (n + 1)! Π n+1 (x), con Π n+1 (x) = (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n ) y donde ξ x es un punto intermedio entre x 0, x 1,, x n, x. En relidd, hy un ligero buso de notción en l expresión nterior, y que ξ x sólo está definido pr los x [, b] \ {x i } n ; no obstnte, E se nul en los nodos por propi construcción, y demás se tiene que Π n+1 (x i ) = 0 pr i = 0,...n, y f n+1) está cotd, con lo que el vlor de f n+1) (ξ x ) en los nodos no es importnte y podemos considerr el convenio de que l expresión de rrib está siempre definid (incluso en los nodos 1 ). Entonces, en este cso el error de integrción que se comete es R n (f) = E n (x) dx = f n+1) (ξ x ) (n + 1)! Π n+1 (x) dx. 1 En los csos que nlizremos más delnte, se puede comprobr de hecho que hy un extensión continu de l plicción [, b] \ {x i } n x f n+1) (ξ x ) R todo el intervlo [, b].

14 14 Cálculo Numérico I Pr determinr un expresión explícit del error de integrción R n (f), result de utilidd el siguiente resultdo conocido como teorem del vlor medio generlizdo, que es un plicción del Teorem de los vlores intermedios de Drboux unido l crácter monótono del operdor integrl. Teorem.1 Sen h, g C([, b]) y supongmos que g no cmbi de signo en [, b], entonces existe ξ [, b] tl que h (x) g (x) dx = h (ξ) g (x) dx. Demostrción: Supongmos que g(x) 0 pr todo x [, b] (si fuer l contrrio, l prueb es nálog) y supongmos que g 0 (si no, el resultdo serí trivil). Como m h g(x) h(x)g(x) M h g(x) x [, b] donde m h = mín [,b] h(x) y M h = máx [,b] h(x), integrndo tenemos Por tnto, m h g(x)dx ( h(x)g(x)dx M h g(x)dx. ) / ( ) h(x)g(x)dx g(x)dx [m h, M h ]. Por el Teorem ( de los Vlores Intermedios de Drboux, existe ξ [, b] tl que ) b / ( ) h(ξ) = h(x)g(x)dx b g(x)dx. Por otro ldo, es obvio que si f es un polinomio de grdo menor o igul que n, entonces f coincidirá con su polinomio de interpolción. En consecuenci, ls fórmuls de tipo interpoltorio sobre n + 1 puntos distintos son excts pr todos los polinomios de grdo menor o igul que n, en el sentido de que R n (f) = 0. En relción con est observción, se tiene l siguiente definición: Definición. Se llm orden o grdo de precisión de un fórmul de integrción l myor entero positivo m tl que l fórmul es exct pr todos los polinomios de grdo menor o igul que m. En l práctic, pr probr que un fórmul de integrción es de orden m, es suficiente comprobr que R n (x k ) = 0, pr k = 0, 1,, m y R n (x m+1 ) 0. Observción.3 Obsérvese que ls fórmuls de integrción de tipo interpoltorio bsds en n + 1 nodos son de orden l menos n, pues el error integrr serí E n (x) 0.

15 Tem 4: Introducción l interpolción y l integrción numéric Fórmuls básics de integrción numéric Pr simplificr ls demostrciones de estimción del error en los resultdos que siguen, en lugr de recurrir directmente l Teorem.1 (lo que nos conducirí probr l continuidd de l plicción [, b] x f n+1) (ξ x ) R), dptremos l prueb en cd cso...1. Fórmul del rectángulo L fórmul de integrción más sencill es quéll que utiliz el vlor de l función f en un sólo punto x 0 [, b]. En este cso el polinomio de interpolción de l función f es de grdo cero, es decir, P 0 (x) = f (x 0 ), por lo que f (x) dx P 0 (x) dx = f (x 0 ) dx = f (x 0 ) (b ). Si x 0 = se obtiene l fórmul del rectángulo izquierd dd por El error cometido viene expresdo como sigue: f (x) dx f () (b ). (.11) Lem.4 Se f C 1 ([, b]). Entonces existe ξ [, b] tl que Demostrción.- R 0 (f) = f (x) dx f () (b ) = f (ξ) (b ). (.1) f (x) dx f () (b ) = (f(x) f())dx = f (ξ x )(x )dx, donde hemos usdo el Teorem del Vlor Medio (TVM) pr cd vlor x. Ahor en l últim expresión podemos plicr el Teorem del Vlor Medio Generlizdo, con lo que existe ξ [, b] tl que f (ξ x )(x )dx = f (ξ) (x )dx = f (ξ) (b ). Observción.5 Un resultdo similr se obtiene si tommos x 0 = b, en este cso l fórmul de integrción se denomin fórmul del rectángulo derech, f (x) dx f (b) (b ), R 0 (f) = f (ξ) (b ). No obstnte, como se indicó ntes, dich comprobción es fctible en los csos que presentmos.

16 16 Cálculo Numérico I Geométricmente, si f (x) 0 en [, b], el vlor de f (x) dx se proxim por el áre del rectángulo de bse (b ) y ltur f () ó f (b). En el cso de que x 0 = c = + b, se obtiene l fórmul del punto medio dd por L expresión del error de integrción viene dd por f (x) dx f (c) (b ). (.13) Lem.6 Se f C ([, b]). Entonces existe ξ [, b] tl que R 0 (f) = f(x)dx f (c) (b ) = f (ξ) 4 (b )3. (.14) Demostrción.- Considermos el desrrollo de Tylor de l función f en el punto c hst el orden : f (x) = f (c) + f (c) (x c) + f (ξ x ) (x c). Integrndo mbos miembros obtenemos R 0 (f) = + f (x) dx f (c) (b ) = f (c) f (ξ x ) (x c) dx = f (ξ x ) (x c) dx (x c) dx con ξ x (, b). Usndo que l función (x c) no cmbi de signo en [, b], podemos plicr el Teorem del Vlor Medio Generlizdo y concluir que existe un punto ξ [, b] en el que se tiene R 0 (f) = f (ξ x ) (x c) dx = f (ξ) (x c) dx, de donde se obtiene (.14). L expresión (.14) prueb que l fórmul del punto medio es de orden 1. En efecto, f (x) 0 si f es un polinomio de grdo menor o igul que 1. Además, l fórmul es inexct pr f(x) = x, por lo que su orden es exctmente 1. Culquier otr elección del punto x 0 gener un fórmul de orden 0. Esto se debe que el punto x 0 = c es simétrico respecto los extremos del intervlo, lo que hce que l contribución l error del término linel en el desrrollo de Tylor de f se nul. Ls simetrís juegn un ppel fundmentl en l construcción de fórmuls de cudrtur de lto orden.

17 Tem 4: Introducción l interpolción y l integrción numéric Fórmul del trpecio Se trt de un fórmul de integrción con dos puntos. En este cso el polinomio de interpolción de l función f es de grdo uno. En concreto, si considermos los puntos x 0, x 1 [, b], el polinomio de interpolción de l función f será P 1 (x) = f (x 0 ) + f [x 0, x 1 ] (x x 0 ) = f (x 0 ) + f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 ). Podemos entonces obtener l siguiente fórmul de integrción numéric ( f (x) dx f (x 0 ) + f (x ) 1) f (x 0 ) (x x 0 ) dx x 1 x 0 Pr el cso prticulr x 0 = y x 1 = b se obtiene l fórmul del trpecio que viene dd por f (x) dx b (f () + f (b)). (.15) L expresión del error pr est fórmul viene dd como sigue: Lem.7 Se f C ([, b]). Entonces existe ξ [, b] tl que R 1 (f) = f (x) dx b Demostrción.- Expresmos el error como R 1 (f) = (f () + f (b)) = f (ξ) 1 El error de interpolción viene ddo por (f (x) P 1 (x)) dx. f (x) P 1 (x) = f (ξ x ) Π 1 (x), (b ) 3. (.16) con Π 1 (x) = (x ) (x b). Ddo que l función Π 1 no cmbi de signo en el intervlo [, b], el Teorem del Vlor Medio Generlizdo implic que existe ξ [, b] tl que R 1 (f) = f (ξ x ) (x )(x b)dx = f (ξ)! (x )(x b)dx = f (ξ) 1 (b )3. Observción.8 L expresión del error nos segur que l fórmul (.15) es exct pr polinomios de grdo menor o igul que 1, pero inexct pr f(x) = x, por lo que su orden es exctmente 1. Geométricmente, si f (x) 0 en [, b], l fórmul del trpecio proxim el vlor de f (x)dx por el áre del trpecio resultnte de unir los puntos (, 0), (b, 0), (b, f (b)) y (, f ()).

18 18 Cálculo Numérico I..3. Fórmul de Simpson Se trt de un fórmul pr 3 puntos, pero consigue exctitud pr los polinomios de grdo menor o igul que 3, considerndo los puntos x 0 =, x 1 = ( + b)/ y x = b. (Al disponer de f pr evlur en culquier punto, l simetrí en l elección de los nodos simplific l expresión dd continución.) Por integrción del polinomio de interpolción, se deduce fácilmente que f (x) dx b 6 ( f () + 4 f ( ) + b ) + f (b). (.17) L deducción del error en l fórmul (.17) es un poco más lborios. Antes de enuncirlo, y pr dr ls línes principles de l prueb, recordmos el Teorem de Tylor (e.g. cf. [T. Apostol, Clculus Vol. 1, Th.7.6, p.34 y Sec.7.7, p.347]) y introducido en el Tem, pero con un expresión distint pr el resto. Teorem.9 Sen I R, I y f C n+1 (I). Entonces f(x) = j=0 f j) j! (x )j + E n (x) x I, siendo el error E n (x) = 1 n! x (x s) n f n+1) (s)ds. Observción.10 L form más usul (y simplificd) del resto, que fue utilizd reiterdmente en el Tem, sber, pr cd x I existe c entre x y tl que E n (x) = f n+1) (c) (n + 1)! (x )n+1, es un consecuenci de plicr el Teorem.1 del Vlor Medio Generlizdo l form del error en el resultdo previo. Ahor enuncimos y esbozmos l prueb de l expresión del error pr l fórmul de Simpson. Lem.11 Se f C 4 ([, b]). Entonces, pr l fórmul de cudrtur (.17) existe ξ [, b] tl que R (f) = f 4) (ξ) 880 (b )5, (.18) Demostrción.- Reescribimos l integrl de f en [, b] como c h c+(b )/ c (b )/ f(x)dx, donde hemos denotdo c = ( + b)/. Ahor introducimos l función error de Simpson c+h E S (h) = f(x)dx h [ 3 [f(c h) + 4f(c) + f(c + h)], h 0, b ].

19 Tem 4: Introducción l interpolción y l integrción numéric. 19 Se puede observr que E S (0) = E S (0) = E S (0) = 0 y que E S (h) = h 3 [f (c + h) f (c h)]. Grcis que f C 4 ([, b]), podemos definir F (h) = { f (c+h) f (c h) h f (4 (c) si h = 0. si h (0, b ], Obsérvese que F es continu, pues F (h) F (0) si h 0 y por el teorem del vlor medio pr culquier z (0, (b )/], existe ξ (, b) con F (z) = f (4 (ξ). Usndo el desrrollo de Tylor centrdo en cero pr E S ( ) hst orden dos y l expresión integrl del error del Teorem.9, se tiene que E S (h) = 1 h 0 (h t) E S (t)dt = 1 3 h 0 (h t) t F (t)dt. Como G(t) = (h t) t es continu y no cmbi de signo en (0, h), por el TVMG concluimos que existe z [0, h] tl que E S (h) = 1 h 3 F (z) (h t) t dt = 1 90 f (4 (ξ)h 5, ξ (c h, c + h). 0 Ahor, (.18) se deduce de lo nterior con h = (b )/. Observción.1 L fórmul de Simpson es un de ls fórmuls de integrción numéric más usds en l práctic. L expresión del error R (f), en términos de l derivd curt de f, confirm que l fórmul es exct pr los polinomios de grdo menor o igul que 3. Sin embrgo, se obtiene prtir de l integrción de un polinomio de grdo. L fórmul (.17) tiene pues un grdo extr de exctitud. L fórmul de Simpson es exctmente de orden 3 (ver error pr f(x) = x 4 ). Si sólo se dispone de tres puntos {x 0, x 1, x } y los respectivos vlores de f en ellos, si los nodos no son equiespcidos, l filosofí es l mism pero el resultdo finl tiene un form menos elegnte que l nterior. Utilizndo los polinomios de Lgrnge L 0, L 1 y L, se considerrí l proximción x x 0 f(x)dx x x 0 P (x)dx = x x 0 f(x i )L i (x)dx = f(x i )w i, donde w i := x x 0 L i (x)dx pr i = 0, 1,. Ejemplo.- Obtener un vlor proximdo de l integrl 1 e x 0 dx plicndo ls fórmuls vists en teorí. Dr, en cd cso, un estimción del error cometido.

20 0 Cálculo Numérico I.3. Fórmuls de integrción compuest Ls fórmuls de integrción nteriores no son propids cundo el intervlo de integrción [, b] es bstnte grnde, y que el error que se comete l utilizrls suele ser tmbién bstnte grnde, como se deduce de ls expresiones del error. Con objeto de conseguir un myor precisión, podrí pensrse en utilizr fórmuls de tipo interpoltorio con myor número de puntos. Sin embrgo este procedimiento, prte de ser más engorroso, no conduce necesrimente fórmuls más excts debido los problems que puede presentr el polinomio de interpolción cundo el grdo es muy lto. Por est rzón, es consejble un método distinto y en l práctic más efectivo. Consiste en dividir el intervlo inicil en un número propido de subintervlos y plicr un método de integrción numéric simple en cd uno de ellos. De est form precen ls fórmuls de integrción numéric compuests. Si llmmos h = (b )/n, entonces los puntos x j = + j h, pr j = 0, 1,, n, constituyen un prtición (uniforme) del intervlo [, b] y se tiene que f (x) dx = xj j=1 x j 1 f (x) dx. Ahor plicmos un fórmul de integrción numéric pr proximr l integrl de l función en cd uno de los intervlos [x j 1, x j ] pr j = 1,,, n Fórmul del punto medio compuest Si utilizmos l fórmul del punto medio pr proximr l integrl en cd uno de los subintervlos [x j, x j+1 ], obtenemos l fórmul de integrción compuest f (x) dx I P MC (f) = ( ) xj 1 + x j f (x j x j 1 ) = h j=1 f ( ) x j 1/, j=1 (.19) donde x j 1/ = x j 1 + x j. El error cometido l utilizr l fórmul (.19) será l sum de los errores cometidos en cd uno de los subintervlos. L expresión del error es: Lem.13 Se f C ([, b]). Entonces existe ξ [, b] tl que R P MC (f) = Demostrción.- Escribimos el error como R P MC (f) = f(x) dx I P MC (f) = f(x) dx I P MC (f) = f (ξ) 4 h (b ). i=1 [ xi x i 1 f(x) dx (x i x i 1 ) f(x i 1/ ) Aplicndo l expresión del error pr l fórmul del rectángulo con el punto medio, xi f(x) dx (x i x i 1 ) f(x i / ) = f (ξ i ) x i 1 4 (x i x i 1 ) 3, ].

21 Tem 4: Introducción l interpolción y l integrción numéric. 1 siendo ξ i [x i 1, x i ]. Entonces, Ahor bien, R P MC (f) = i=1 f (ξ i ) 4 h 3 = h3 4 f (ξ i ). i=1 m = mín f (x) f (ξ i ) M = máx f (x), x [,b] x [,b] i = 1,,, n de donde nm n i=1 f (ξ i ) nm, y por tnto m R P MC(f) M. (b ) Como f es continu en [, b], existe un punto ξ [, b] tl que h 4 R P MC (f) = f (ξ) 4 (b ) h. Ejemplo.- Clculr un vlor proximdo de l integrl x 1/3 dx plicndo l fórmul del punto medio compuest, dividiendo el intervlo en 3 prtes igules. Dr un estimción del error cometido..3.. Fórmul del trpecio compuest Si utilizmos l fórmul del trpecio en cd subintervlo, se lleg l fórmul de integrción compuest ( ) f (xj 1 ) + f (x j ) f (x) dx I T C (f) = (x j x j 1 ). (.0) Agrupndo términos, I T C (f) = h El error viene ddo como sigue: [ j=1 f() + ( n 1 ) ] f(x j ) + f(b). Lem.14 Se f C ([, b]). Entonces existe ξ [, b] tl que R T C (f) = j=1 f(x)dx I T C (f) = f (ξ) 1 h (b ). L demostrción es totlmente nálog l del error pr l fórmul del punto medio compuest. Ejemplo.- Hllr, por el método del trpecio compuesto, un vlor proximdo de l integrl π/ del error cometido. 0 sen x dx, dividiendo el intervlo en 4 prtes. Dr un estimción

22 Cálculo Numérico I.3.3. Fórmul de Simpson compuest Siguiendo con l subdivisión de un intervlo [, b] en n subintervlos equiespcidos según l prtición {x i } n con x i = + ih donde h = (b )/n, plicndo l fórmul de Simpson simple vist ntes, se tiene que [ ( ) ] b xi 1 + x i f(x)dx f(x i 1 ) + 4f + f(x i ) 6n i=1 [ = b n 1 ( ) ] xi 1 + x i f() + f(x i ) + 4 f + f(b). 6n i=1 Vemos un ejemplo (cdémico) de esto último, con un función f dd. Considermos f(x) = x 3 3x + x + 4. Es fácil comprobr que 3 f(x)dx = Supongmos que nos dn sólo el conjunto de nodos {0, 0 5, 1 5,, 5}. Aunque no sen nodos equiespcidos ni uniformemente distribuidos por el intervlo [0, 3], podemos plnternos clculr los polinomios de interpolción de grdo menor o igul que dos de f en los subconjuntos de nodos x1 = {0, 0 5, 1 5} y x = {1 5,, 5}. Si denotmos por p, p P [x] dichos polinomios, se puede comprobr que p (x)dx i=1 p (x)dx = = 3 0 f(x)dx. 7 6 Simpson compuesto pr nube de puntos y=x 3-3x +x+4 (x1,f(x1)) con x1=[ ] (x,f(x)) con x1=[1.5.5] p pol.interp. (x1,f(x1)) ptilde en (x,f(x))

23 Tem 4: Introducción l interpolción y l integrción numéric Aplicción de fórmuls de cudrturs dtos experimentles Si no se tiene f, pr poder plicr ls fórmuls nteriores en los puntos que se desee, si los vlores son ddos, entonces desconocemos los errores cometidos y sólo se puede plicr ls fórmuls de trpecio compuest y si el número de nodos es impr, n + 1, y no inferior tres, de Simpson compuesto, corde l Observción.1 finl, en cd subintervlo [x j, x j ] con j = 1,..., n. Dmos un ejemplo de ello continución. Se tiene l siguiente tbl de vlores experimentles, prtir de observciones clínics. Tiempo (h) Conc. Plsm. (mg/ml) No se conoce el error que se comete sobre l función que representrí l evolución en tiempo rel; simplemente se tiene dich nube de puntos. L integrl de l función (desconocid) tiene un significdo clínico de interés. Pr proximrl, o bien se us l poligonl P1 y prtir de ell se plic l regl de trpecios compuest, o bien, grupndo de tres en tres los pres de vlores, se us l regl de Simpson compuest. En mbos csos, los vlores obtenidos (compruébese) de ls integrles numérics compuests son y respectivmente. 50 Nube de puntos: dtos experimentles Concentrción (mg/100 ml) Tiempo (hors) 50 Dtos experimentles y P1 pr trpecio compuesto 50 Dtos experimentles y Simpson compuesto Concentrción (mg/100 ml) Concentrción (mg/100 ml) Tiempo (hors) Tiempo (hors)

24 4 Cálculo Numérico I Referencis [1] A. Aubnell, A. Benseny & A. Delshms, Lbor, Brcelon Útiles básicos de Cálculo Numérico, [] J. A. Infnte y J. M. Rey, Métodos Numéricos: Teorí, problems y práctics con MATLAB, Ediciones Pirámide, Mdrid, [3] J. M. Quesd, C. Sánchez, J. Jódr & J. Mrtínez, Análisis y Métodos Numéricos, Publicciones de l Universidd de Jén, Jén, 004. Como referencis complementris destcmos: [4] F. Grcí & A. Nevot, Métodos Numéricos, Universidd Pontifici de Comills, Mdrid, [5] D. Kincid & W. Cheney, Análisis Numérico, Addison-Wesley Iberomericn, Wilmington, 1994.