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1 Límites y continuidad de funciones. Curso 4/5 Ejercicio. Determina las asíntotas de la función f ( ) y analiza la posición de la gráfica con respecto a ellas. f ( ) 3 8 p ( ) q( ) R Una función cuya epresión analítica es una fracción algebraica, f cumple:. Si grado p grado q f k con lo que la función f tiene una asíntota horizontal. ( ) f. Si grado( p ( ) ) grado ( q( ) ) k R con lo que la función f ( ) tiene una asíntota oblicua.. Si grado p > grado q f no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.. La función f puede tener asíntotas verticales en los puntos tales que q. 3 Con esto, vemos que f ( ) tendrá una asíntota horizontal indeterminación y es asíntota horizontal para f. 3 Si damos valores muy grandes a, p. ej. f ( ) > f ( ) cuando la gráfica de f está por encima de la asíntota horizontal Si damos valores muy pequeños a, p. ej. f ( ) < f ( ) 99 cuando la gráfica de f está por debajo de la asíntota horizontal las rectas y pueden ser asíntotas verticales para f Veamos si es así ( 4)( ) ( 4)( ) Cuando 4 f y cuando 4 f ( ) 4 es asíntota vertical ( indeterminación) no es asíntota vertical porque aunque f ( ) no eiste, f ( ) y esto quiere decir que cuanto más nos acercamos con valores a ( ) 6 5 más se acercan sus imágenes al valor. 6 Entonces la función f tiene una asíntota vertical, 4, y una asíntota horizontal, y. Su gráfica es la siguiente: [] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

2 Límites y continuidad de funciones. Curso 4/5 Ejercicio. Calcula los siguientes límites de funciones: 5 3 a) ) ) b c 3 3 a) que es una indeterminación del tipo. Para tratar de quitarla restamos las fracciones. indet. 3 b) Necesitamos calcular los límites laterales en 3 para ver la tendencia de la función cuando 3, f ; 3 3 cuando 3, f 3 3 ( ) c) indet [] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

3 Límites y continuidad de funciones. Curso 4/5 Ejercicio 3. Encuentra el valor de k para que la función f ( ) sea continua en todo R. f ( ) 3 3 k 3 si si 3 La función y es cociente de funciones continuas en todor es una función continua en todos los puntos, 3 3 salvo en los que anulan el denominador. 3 Como 3 3, tenemos que y es continua en,, si Ahora f ( ) 3 3 f ( ) es continua en (, ) (, ) y para que sea continua en todor, k si debe ser continua en. f será continua en f f ( ) f k 3 f ( ) indet ( )( 3 ) 3 4 f ( ) será continua en todor k Ejercicio 4. La función f ( ) tiene una asíntota oblicua, calcula su ecuación y represéntala. Una asíntota oblicua es una recta y m b, con m, a la que se acerca la función, tanto como queramos, cuando. Luego m b f m b f b f f m m ( m) ( b) f ( ) ( m) b f ( ) b ( f ( ) m) f ( 3 ) Entonces m 3 indet ( 4 ) 8 b ( f ( ) m) 3 4. indet Por tanto, la asíntota oblicua de f es la rect a y 3 [3] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

4 Límites y continuidad de funciones. Curso 4/5 La función f ( ) 3 8 tendría este aspecto. 4 Observamos que también tiene una asíntota vertical en 4. Ejercicio 5. Estudia la continuidad de las siguientes funciones y clasifica las discontinuidades. e si 3 si < f ( ) g ( ) 6 si > si e f si si > La función y e es siempre continua por tanto f es continua en,, La función y es cociente de funciones continuas es continua en todos los puntos, salvo en. Entonces f es continua en,,. Analicemos la función f en los puntos y. f e e f ( ) e e En f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) no eiste f ( ) [4] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

5 Límites y continuidad de funciones. Curso 4/5 inuidad de tipo finito en ( los límites laterales son distintos pero ninguno infinito) f presenta una discont ( ) f no eiste En ( ) f ( ) indet. ( ) Como f no eiste f presenta una discontinuidad evitable en ( ) pero f g si < 6 3 si La función y es siempre continua por tanto f es continua en 3,, 6 La función y es cociente de funciones continuas es continua en todos los puntos, salvo en. Entonces f es continua en,,. Analicemos la función f en los puntos y. 6 f ( ) 3 En f ( ) ( 3) 3 f ( ) f f f f ( ) 3 Como f f f es continua en. ( ) f no eiste 6 8 En f ( ) f ( ) no eiste 6 8 Como los límites laterales tienden a infinito f presenta una discontinuidad de tipo infinito en [5] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

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