La transformada de Laplace

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1 rormd d plc Y y d { y }

2 Pirr-Simo plc "Podmo mirr l do pr dl uivro como l co dl pdo y l cu d u uuro. S podrí codr u ilco qu culquir momo ddo brí od l urz qu im l urlz y l poicio d lo r qu l compo, i ilco ur lo uicim vo pr omr lo do l álii, podrí codr u impl órmul l movimio d lo grd curpo dl uivro y dl áomo má ligro; pr l ilco d podrí r iciro y l uuro í como l pdo rí r u ojo."

3 rormd d plc S u ució diid pr, u rormd d plc di como: { } d dod u vribl complj σ iw. S dic qu l rormd d plc d xi i l igrl covrg.

4 Obrv qu l rormd d plc u igrl impropi, uo d u lími iiio: d lim d h h Noció: { }, { y} Y, { x} X, c.

5 Codicio uici d xici d l T { } d Si coiu rozo [, y M, [, E dcir, d ord xpocil l iiio: b R q Eoc: b lim {} xi >. 5

6 6 {} d Clcul l rormd d : No: Obvim {} / y {}.

7 7 { } { } d d d Clcul l rormd d :! { } { } { } { }!

8 8 { } d d Clcul l rormd d - :

9 9 { } A A d A d A A >, Clcul l rormd d A : A A >,

10 Clcul l rormd d : { } co d d d co d I ; I Ejrcicio: clcul pr co

11 Clculmo l rormd d i : i co i { } i i d i i i i i i i { co } i{ } i d

12 ució Hviid o cló uidd: i u c i < c c { } h h c c h c c u c u cd lim d h lim lim h h c c

13 ució dl d Dirc S l ució prmrizd: / ε [ ] ε u u ε ε Obrvmo qu δ lim ε ε ε ε ár lim ε ε { } ε ε ε ε ε ε ε ε limε { } lim ε

14 Aí l rormd d l ució dl d Dirc : { δ } δ δ { δ }

15 ucio priódic Supogmo qu u ució priódic d priodo T. Eoc: { } T dod l rormd d plc d l ució obr l primr priodo y cro ur. T d T 5

16 6, d d d T d T d d d d T T T T T T T T τ τ τ τ τ τ τ Dmorció

17 7 Ejmplo: od cudrd T d d

18 Tbl d rormd d plc δ! ω co ω ω co ω ω ω ω ω ω ω! 8

19 9

20

21

22

23

24 Trormd ivr d plc Al proco ivro d corr prir d l cooc como rormd ivr d plc y obi mdi: { } π i coocid mbié como igrl d Bromwich o igrl d ourir-mlli. γ i γ i d,

25 Im { } πi γ i γ i d, γ R γ drmi u cooro vricl l plo compljo, omdo d l mr qu od l igulridd d qud u izquird. Co codicio d xici: lim lim < 5

26 Por jmplo, drmimo: Puo qu l ució ivrir i u polo -, oc b co omr γ > -. Tommo γ y l cooro d igrció C d l igur. C Im - R γ -R πi R πi πi R γ i γ i πi ir ir Hcido R y uilizdo orí d riduo: lim d d πi d C πi C d por l diguldd M cudo R co. d 6

27 S u ució líic, lvo u úmro iio d polo qu cur l izquird d cir vricl R γ. Y upogmo qu xi m, R, k > q. pr odo dl miplo R γ y > R, mo qu m k Eoc i > : { } dod, k k,..., R [ ] o lo polo d. E priculr, N/D, co N y D poliomio d grdo y d rpcivm, d > ; oc podmo ur l iguldd rior. 7

28 Ejrcicio: Clculr, prir d u diició, l rormd ivr d plc d l ució g Rpu. [ g ] g -; polo impl: -; polo impl: b iρ lim g d πi ρ b iρ puo igulr ildo d. R - R - [ ] g [ ] g I - Im > < - R I I [ [ ] [ ] π i R R, > [ g ] - - < [ g ], <,, > 8

29 9 Ejmplo, drmir:. y uo impl y oro dobl : polo, po do 9 lim lim R R d d

30 P. Juio 7. Emplr l igrl d Browich pr drmir Rpu. g [ g ] lim πi ρ, b iρ b iρ C g d -,, puo igulr ildo d

31 Pr vlor d >, Γ Γ d d πi C R R R d ρ γ d C ρ Im γ - R Γ Γ : : C C ρ ρ γ γ

32 Riduo - Φ Φ 9 R - Riduo 9 R Ψ Ψ

33 [ ] [ ] > Γ Γ Γ ρ ρ ρ π π π C d i d i d r r i d pr, lim 9 lim 9 R R

34 γ ρ ρ ρ ρ d d i b i b lim lim [ ], 9 >

35 Pr vlor d <, Γ d π i R R R d d Γ C ρ γ d lim ρ d lim d lim Γ ρ C ρ ρ γ d lim ρ C ρ d, pr < [ g ], < 5

36 Propidd. ilidd: Si c y c o co, x y x o ucio cuy rormd d plc o x y x, rpcivm; oc: { c c } c c. rormd d plc u oprdor lil. 6

37 7 { } [ ] { } { } c c d c d c d c c c c Dmorció:

38 8. Dplzmio mporl d d d u X d λ λ λ λ < >,, u g } { } { u

39 9 Ejmplo: { } { } u u

40 d d X d {} { }. Dplzmio rcuci Ejmplo: } { } {

41 . Cmbio d cl impo / / / d d X d λ λ λ λ } { } {

42 5. Drivd d l rormd d plc d d d d d d { } { } [ ] d { }

43 6. Trormd d plc d l drivd d u ució rormd d plc d l drivd d u ució á dd por: { ' } dod l vlor d. rormd d plc d l gud drivd d u ució á dd por: { '' } '

44 E orm imilr: Dmorció: ' } { { } ' ' d d d lim

45 5 Supogmo qu: ' } { { } { } ' d d d Eoc: lim

46 Ejrcicio: Drmi l rormd d plc d l ució co udo l rormd d plc d Tmo : co Puo [ ] [ ] qu : co [ ] co y 6

47 7

48 8

49 9 Emplr l propidd corrpodi pr drmir l rormd d plc d lo poliomio d gurr, qu di como:,,...,! d d Rpu. [ ] [ ]!! R, > g g

50 5 [ ] [ ],,...,... d d d d

51 5!!! h d d h d d R,! > d d

52 Grci propidd y l lilidd d l T podmo covrir u c. dircil como y" y' y u y, y' u c. lgbric Rolvr pr y Y * Rolvr pr Y

53 Ec. Dircil Trormd d plc Ec. Algbric

54 Si rolvmo l c. lgbric: Y y cormo l rormd ivr d plc d l olució, Y, corrmo l olució d l c. dircil.

55 Ec. Algbric Ivr d l Trormd d plc Solució d l Ec. Dircil

56 rormd ivr d plc d: Y y u 5 5 u

57 D modo qu: y u 5 5 u l olució d l c. dircil: y" y' y u y, y'

58 Pr coguirlo hmo plicdo: Primro, qu l T y u ivr o lil: c g c g, { } { } { } - c G c G { } { } { } Y gudo, l T d l drivd d u ució o: ', { } { } '' ' c... { } { } d

59 A méodo l cooc como cálculo d Hviid. Por jmplo: ' } { '} { ' '' Y irormdo obdrmo l olució.

60 Vmo u jmplo cocro: Rolvr l c. dircil y ' 5 5 } { } { } ' { } ' { ; '

61 6 Ejmplo Rolvr Y π, i > < y y y y π π { } { } i i i i u u Y Y π π π π [ ] [ ] [ ] < π π π π π π π u y co co i co i co i

62 6 Ejmplo: Y Y Y Y [ ] u y Rolvr, y y y y y δ

63 6 7. Trormd d plc d l igrl d u ució { } du u } { d d d d X d τ τ τ τ Si xi l T d cudo R > p, oc: pr R > p.

64 Ejrcicio: Obr l rormd d plc d l ució: u coh 6u ih 8u du Rpu. u coh 6u ih 8u du g u du [ ] [ g ] 6

65 65 ih8 coh g g [ ] [ ] >!!!! R R,! g z z z [ ]

66 8. Trormd d plc d / { } u du u du co { } 66

67 67 Clcul l rormd d plc d i { } du u I I d d d d I Ahor,mpldo: ; i i co co i i i u du u rc rc i π

68 68 co Si g i i i i i i d G g i i G R co Ejmplo: Si g [ ] i i i G R co 9. T d co y

69 . Torm dl vlor il Si lim xi, oc: lim lim. Torm dl vlor iicil El vlor iicil d l ució cuy rormd d plc, : lim lim 69

70 Rcordmo qu. Igrl d covolució l oprció como l covolució d y do como cooc y rormd d plc d oprció á dd por: τ τ dτ *., { * } { * } { } { } 7

71 Si rbjmo co ucio qu o cro pr pr <, oc l covolució qud: * g, τ g τ dτ, < Aí qu pr ucio podmo diirl covolució como: * g τ g τ dτ, 7

72 7 D hcho, podmo uilizr l covolució pr corr rormd ivr d plc: d τ τ τ

73 7 * d d d g g τ τ τ τ τ τ τ τ τ } { } { } * { Ejmplo: Vriicr qu ucio pr y g - co vlor pr <. } { {} { } } { ; { }

74 Ejrcicio: Obr, mdi l méodo oprciol d plc, l olució dl problm d Cuchy: y y i y y Rpu. [ ] [ ] y Y ; y [ y] y y Y [ i] 7

75 75 Trormd d l cució: [ ] [ ] i y Y Y y y i i co

76 76 du u du u u co i co co i i i i y co i co

77 77 { } ; } * { } { } { ; } { } { * X X x X h h x X h d d x d d d x d d x d d X x h x ; x d x x d d Rolvr l c.igro-dircil:

78 78 x X X X X Airormdo:

79 Ejrcicio: Obr, mdi l méodo oprciol d plc, l olució dl problm d Cuchy d d x u x u du δ x Rpu. d d x u x u du h δ 79

80 8 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] X x h x h H h h h X x x x, δ δ

81 8 [ ], X X X X H x

82 Drrollo rccio prcil: S uiliz pr cilir l cálculo d l rormd ivr, dcompoido l ució compo má cillo. N m m D bm Ríc dl domidor D o polo d : b Co I Polo rl impl Co II Polo rl múlipl Co III Polo compljo cojugdo Co IV Polo compljo cojugdo múlipl * [ * ] 8

83 8 Co I Polo rl impl 6 C B A D N Ejmplo A

84 8 5 6 C B A C B A D N A

85 85 6 C B A C B A C B A A 6 6 A C B A C B A C B A 6 ; ; A C B A C B A méodo lrivo y rolvr...

86 C B A rormd ivr d plc : 5 6

87 87 Oro jmplo 7 7 C B A C B A Trormd ivr d plc:

88 88 Co II Polo rl múlipl D C B A D N Ejmplo B A Polo rl impl Polo rl múlipl

89 89 d d B A D N A D N d d B

90 9 Trormd ivr d plc: D C B A

91 9 E grl, pr polo rl múlipl: N D r p p p D r r r r p p p p b p b p b! p r j j j r p d d j b [ ] i p i p i ] [! ] [! ] [ ] [ p r r r p r j j j r p r r p r r p d d r b p d d j b p d d b p b

92 9 Co III Polo compljo cojugdo jmplo * i B B A, * * * i i i B i B A cojugdo compljo * Trormd ivr d plc: co x

93 9 jmplo i B B, 5 6 * * 8 8 * i i B i i B i i Trormd ivr d plc: co φ ω σ B.5,,, 8 7, 8 φ ω σ B i B.5 co 7 dod

94 Co IV cor compljo cojugdo múlipl [ * ] S r d rpir lo méodo udo lo co II y III, ido cu qu rbjmo co compljo. 9

95 95 Ejmplo: Obr l olució dl problm d vlor iicil igui, mdi l méodo oprciol d plc. ; u u u d du d u d π δ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [] [] [] [] [] u u u u u u u u u u u π π π π δ π δ

96 96 [] [ ] [] co π π π π π u u u

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