IES Fernando de Herrera Curso 2014 / 15 Primer trimestre - Primer examen 1º Bach CT NOMBRE:

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1 IES Fernndo de Herrer Curso 0 / Primer trimestre - Primer emen º Bch CT NOMBRE: ) Clculr y simplificr sin clculdor, denomindores rcionlizdos, eponentes positivos): 6 6 ) ) ) b) ) Siendo > 0,, hllr el vlor de: 0 punto) punto), puntos) ) A y B juegn dos prtids consecutivs, postndo dinero. En l primer, A gn un 0% y B pierde un 0%. En l segund A pierde un 0% y B gn un 0%. Qué tnto por ciento h gndo o perdido finlmente cd uno de ellos, respecto del dinero inicil? punto) ) Escribir en notción científic: ) 0, ; b) punto) ) Fctorizr: + 6 punto) 6) Resolver l ecución: punto) 7) Resolver l ecución: + 7, puntos) ) Relizr l división enter de los siguientes polinomios, indicndo cociente y resto: ) : + ) punto)

2 IES Fernndo de Herrer Curso 0 / Primer trimestre - Primer emen º Bch CT SOLUCIONES ) Clculr y simplificr sin clculdor, denomindores rcionlizdos, eponentes positivos): 6 6 ) ) ) 6 6 ) ) 6 ) ) ) 6 6 punto) 6 ) ) 6 7 b) 0 punto) ) ) ) ) ) ) ) ) 6 6 ) Siendo > 0,, hllr el vlor de:, puntos) 0 ) ) A y B juegn dos prtids consecutivs, postndo dinero. En l primer, A gn un 0% y B pierde un 0%. En l segund A pierde un 0% y B gn un 0%. Qué tnto por ciento h gndo o perdido finlmente cd uno de ellos, respecto del dinero inicil? punto) A gn, primero, un 0% y, después, pierde un 0%. Si disponí de euros, su cpitl finl será:,0 0,90 0,99. Es decir, h perdido un %. Recordr que si un cntidd C ument en un p %, se convierte en C +p/00), siendo +p/00) el coeficiente de umento, y si disminuye en un p %, se trnsform en C p/00), siendo p/00) el coeficiente de disminución ). IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

3 IES Fernndo de Herrer Curso 0 / Primer trimestre - Primer emen º Bch CT B pierde inicilmente un 0%. Si tení, l comienzo y, trs esto tendrá y 0,9. Después, gn un 0% de lo que tení, es decir, de y 0,9. Por tnto, tendrá y 0,9,0 y 0,99. Luego tmbién h perdido un %. Ambos hn perdido un %. ) Escribir en notción científic: ) 0, ; b) ) 0, , 0 7 ; b) , 0 6 punto) ) Fctorizr: + 6 punto) Intentmos un primer división por Ruffini: 6 0 Como no encontrmos ríces por Ruffini, probmos igulr el polinomio cociente cero y resolver l ecución de º grdo resultnte: Por tnto, según el Teorem de Descomposición Fctoril de Polinomios: 6) Resolver l ecución: Como 0 Y + + ), se tiene: ) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de ) ) ) 0 ) ) ) 0 ) ) ) ) ) ) punto) + ) ) ) ) 0 ) ) Un cociente vle 0 si, y sólo si se nul el numerdor pero no el denomindor. Así que igulmos el numerdor cero, resolvemos l ecución resultnte y comprobmos que ls soluciones son válids porque no coinciden ni con ni con, que son los vlores que hcen cero el denomindor: /. Que es válid, porque no nul ningún denomindor de l ecución inicil. 7) Resolver l ecución: + 7, puntos) ) Hciendo el cmbio de incógnit t : t 7t + 0 t

4 IES Fernndo de Herrer Curso 0 / Primer trimestre - Primer emen º Bch CT Deshcemos el cmbio: t ½ ½ t ) Relizr l división enter de los siguientes polinomios, indicndo cociente y resto: ) : + ) punto) Cociente: Resto: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

5 IES Fernndo de Herrer Curso 0 / Primer trimestre - Emen Globl º Bch CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre y estr numerdos en l prte superior. ) Tods ls respuests deben estr justificds y simplificds. ) No se puede usr corrector ni lápiz. Se consej no usr borrdor. ) Se puede lterr el orden de ls respuests, pero no se puede interclr l respuest un pregunt con ls de otrs. ) Clsificr y resolver el siguiente sistem, plicndo el método de Guss en su form mtricil. Si tuviese más de un solución, escribir dos soluciones concrets:, ptos) y z y z 9 y 7 z ) Resolver l ecución: ) Hllr el º término del desrrollo del binomio siguiente: ) Resolver l ecución: 6 6 ) Resolver l ecución: 6) Resolver el sistem: 7) Simplificr l epresión: 0 ln ln ln y, puntos) punto), puntos), puntos), puntos), puntos)

6 IES Fernndo de Herrer Curso 0 / Primer trimestre - Emen Globl º Bch CT SOLUCIONES ) Clsificr y resolver el siguiente sistem, plicndo el método de Guss en su form mtricil. Si tuviese más de un solución, escribir dos soluciones concrets:, ptos) y z y z 9 y 7 z Escribimos l mtriz mplid y plicmos ls trnsformciones lineles de fils que indicmos: F F F F F F Como tenemos tringulrizd l mtriz y podemos eliminr l F por ser tod de 0, nos quedn menos ecuciones ) que incógnits ), por lo que estmos nte un sistem comptible indetermindo. Lo reconstruimos: y 7 z z 6 Llmmos z t, siendo t un número rbitrrio y no es incógnit), y lo psmos l segundo miembro tmbién podrímos hber llmdo t, pero no deberímos hcerlo con y, porque perderímos l tringulrizción): y 7 t 6 t ª ec.): 6 t 7 6 t Nunc debe dejrse, en un epresión finl, un denomindor negtivo, por lo que hemos multiplicdo numerdor y denomindor por pr evitrlo l hcerlo, l epresión que tenemos tiene el mismo vlor, pues / ) ). Sustituimos en l ª ec: 6 t y t t) + y 6 t 6 + t + y 6 t t t t y 7 t Así, l estructur generl de ls soluciones es: 6 t 7 6 t 6 t,, t 7 7 Obtendremos dos soluciones concrets dndo vlores rbitrrios t. Por ejemplo: t :,, ) t 0: 6/7, /7, 0). ) Resolver l ecución:, puntos) Y tenemos un ríz en un único sumndo isld en el primer miembro. Elevmos l cudrdo los dos miembros: ) Tenemos l ríz, en un único sumndo, isld en el segundo miembro. Volvemos elevr mbos miembros de l ecución l cudrdo: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

7 IES Fernndo de Herrer Curso 0 / Primer trimestre - Emen Globl º Bch CT L primer solución no es válid, pero l segund, sí. Se obtiene dich conclusión sustituyéndols en l ecución originl, lo que hcemos con yud de l clculdor. Por tnto, l solución únic es: /. ) Hllr el º término del desrrollo del binomio siguiente: Por l fórmul del Binomio de Newton, dicho término será: ) Resolver l ecución: ) ) y 9 y 6 y punto) 70 y, puntos) Fctorizmos los denomindores, que podemos hcer de memori, dd su sencillez. En l primer frcción, si fctorizásemos el numerdor, se podrí simplificr, pero después hbrí que deshcer l simplificción, porque el fctor elimindo debe restblecerse, ddo que form prte del mcm de los denomindores: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Ls frcciones coincidirán si lo hcen sus numerdores, pues tienen el mismo denomindor. Además, ls soluciones que encontremos no pueden nulr los numerdores es decir, descrtrímos 0, y ): ) + 6) ) Como no nuln denomindores, mbs son válids: ó 6. 6 ) Resolver l ecución: 6 6 Hcemos el cmbio de incógnit t : ) 6 ) 6 0 t t t t Deshcemos el cmbio: t / 7 9, puntos) 6 7 IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

8 IES Fernndo de Herrer Curso 0 / Primer trimestre - Emen Globl º Bch CT t L ecución tiene, por tnto, dos soluciones. 6) Resolver el sistem: 0, puntos) Ls soluciones del sistem serán los vlores de que resuelven mbs inecuciones simultánemente. Pr resolver l primer, empezmos por desembrzrnos de los signos, multiplicndo mbos miembros por, lo que hce cmbir el sentido de l desiguldd: + + > 0 Llmmos y + +. Buscmos los vlores de que hcen y > 0. Como l relción entre e y, dd por l ecución nterior, se puede representr gráficmente medinte un prábol conve pues el coeficiente de es positivo) cuyos cortes con el eje OX son: , 0), 0) podemos trzr un gráfic proimd, de donde deducimos que los vlores de que ocsionn que y se positivo estrictmente son:, ), +). Por otr prte, mult. por > 0 mbos miembros): /. Llevmos un gráfico de l rect rel mbs soluciones: 9/ De donde deducimos que se verificn l vez y, constituyen l solución del sistem, los puntos de:, ), 9/] ln 7) Simplificr l epresión: ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 0 ln 9 ln ln, puntos) 9 ln 9 ln IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

9 IES Fernndo de Herrer Curso 0 / Primer trimestre - Recuperción º Bch CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre y estr numerdos en l prte superior. ) Tods ls respuests deben estr justificds y simplificds. ) No se puede usr corrector ni lápiz. Se consej no usr borrdor. ) Se puede lterr el orden de ls respuests, pero no se puede interclr l respuest un pregunt con ls de otrs. ) Ddo el polinomio + + b +, clculr y b pr que el polinomio se divisible entre + y dé resto l dividirlo entre +., puntos) ) Resolver l ecución: ) ) ) Resolver l ecución: ) Resolver el sistem: y y ) Hllr el ntepenúltimo término del desrrollo de 6) Resolver l ecución: 7) Resolver el sistem: b, puntos) punto), puntos) b, puntos), puntos), puntos)

10 IES Fernndo de Herrer Curso 0 / Primer trimestre - Recuperción º Bch CT IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de SOLUCIONES ) Ddo el polinomio + + b +, clculr y b pr que el polinomio se divisible entre + y dé resto l dividirlo entre +., puntos) Si es divisible entre +, el resto de l división es 0. Según el Teorem del Resto, el resto de dividir un polinomio P) entre otro de l form es P). Por tnto, esto nos llev que P ) 0, es decir: + b + 0 b b ) De igul form, l otr condición nos llev que P ) : + b + b 0 ) Ls dos condiciones, ) y ) nos producen un sistem de ecuciones que nos resolverá el problem: 0 b b 0 b b ª ecución: b b Luego b, y el polinomio es: ) Resolver l ecución: ) ), puntos) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0 ) ) ) ) ) ) 0 ) ) ) Un cociente se nul si lo hce el numerdor pero no el denomindor. Así que igulmos el numerdor 0 y si nos sle lgun de ls soluciones que hcen 0 el denomindor, esto es, ó, ls descrtrímos: que es válid porque no nul el denomindor menciondo. ) Resolver l ecución: punto) Despejndo: ) solución doble). Así, l únic solución es.

11 IES Fernndo de Herrer Curso 0 / Primer trimestre - Recuperción º Bch CT y ) Resolver el sistem: y, puntos) Si fuer posible no quitr ritmos, ls ecuciones serín más sencills. Vmos intentrlo: y y y y y y y y 6 6 Sustituyendo en l primer ecución, en est últim form del sistem: + y y y 0 0 y y 0 0 L solución del sistem es, pues: 0 con y 0. Válid, pues ni nul ni hce negtivo ningún rgumento de ritmo en ls ecuciones originles. ) Hllr el ntepenúltimo término del desrrollo de Según el Binomio de Newton, y considerndo que el ntepenúltimo término de dicho desrrollo será: ) b b, puntos) b) b) b 6) Resolver l ecución: 6 Desrrollmos el número combintorio:, y que +, b b b 7 b b ) ) ) ) ) 0 9 0, puntos) 0 ó De ls tres soluciones:, 0 ó, l únic válid es, porque en un número combintorio el ntecedente tiene que ser positivo estrictmente. 7) Resolver el sistem: 6 0 0, puntos) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

12 IES Fernndo de Herrer Curso 0 / Primer trimestre - Recuperción º Bch CT 6 Pr resolver l inecución 0, procedemos sí: Fctorizmos y hllmos ls ríces de numerdor y denomindor. o Por lo que, como conocemos ls dos ríces del polinomio de grdo, plicndo el Teorem de Descomposición Fctoril tenemos que: ) ) y sus ríces son y. o 0, que es su únic ríz, y el polinomio y está fctorizdo. Inecución simplificd: ) ) L inecución se trnsform en: 0 ) ) 0 Cudro de signos. Dividimos R en intervlos medinte ls ríces obtenids, un vez ordends, y cremos el cudro de signos: ninguno de los fctores intervinientes cmbirá de signo dentro de dichos intervlos, por lo que bst tomr un punto culquier de cd uno de ellos pr evlur los signos culquier otro punto ofrecerá el mismo signo): ) ), ), ), ), +) / 0 + Sirven? No Si Si No No Si Si Los signos de l últim fil, que son los que nos interesn, los obtenemos medinte l regl de los signos con los que están en su mism column. Los vlores que nuln el denomindor provocn que no se pued completr l operción, por lo que los descrtmos. Al estudir ls tres ríces, sólo nos interesn los fctores que se nuln, de entre los tres que investigmos. Es por ello que ponemos puntos suspensivos en los otros, porque 0 multiplicdo por lo que den, result 0. De este modo: [, ) [, +) Resolver l segund inecución del sistem consiste, únicmente, en despejr: < 0 < < /, /) Llevmos un gráfico sobre l rect rel ls soluciones de ls dos inecuciones, pr ver dónde se verificn simultánemente y llegr, de est mner, l solución del sistem: / Por tnto, l solución del sistem es: [, /). IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

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