MEDIDAS. necesita de ciertas medidas (números) representativas que puedan resumirlos. distribuciones de frecuencias de datos univariados:

Transcripción

1 MEDIDAS O Para describir los datos, se necesita de ciertas medidas (números) representativas que puedan resumirlos. O Sirven para caracterizar las distribuciones de frecuencias de datos univariados:

2 O1- MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O2-MEDIDAS DE DISPERSIÓN O3-MEDIDAS DE ASIMETRÍA O4-MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS

3 MEDIDAS DE TENDENCIA O Promedios: CENTRAL O media aritmética; media geométrica y la media armónica. O Medidas de ubicación: O mediana, modo, cuantiles

4 Promedios O Media aritmética o media de muestra promedio de todos los valores de la muestra: x n i 1 n x i

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6 O Propiedades : O Centro de gravedad, punto de equilibrio. n.x x i ( x) x i 0

7 -la suma de las desviaciones cuadradas de los datos con respecto a la media es menor que si estas desviaciones se toman con respecto a cualquier otro valor. ( x x) 2 i mínimo

8 O La media queda fuertemente afectada por los valores extremos, y por esto puede que en algunos casos no represente un valor típico. O La media puede tratarse algebraicamente, si se tiene la media de subgrupos puede obtenerse la media general promediando estas medias: X x N x N N x n N n

9 O Media Geométrica: O Es apropiada para promediar razones, porcentajes o velocidades de cambio. Para facilitar su cálculo se pueden aplicar logaritmos a la expresión anterior. No puede evaluarse cuando hay datos negativos o ceros Gm n x i 1 loggm (logx logx2 n... logx 1 n )

10 OPropiedades: O -está menos afectada por valores extremos. O -para cualquier serie es siempre menor que la media aritmética. O -es muy útil en el cálculo de números índice. O -se puede manipular algebraicamente.

11 O Media armónica: Se define como la inversa de la media aritmética de las inversas de los valores muestrales. O Es apropiada para el procesamiento de datos de razones que tienen dimensiones físicas como km/i, producción/hora, etc. Hm 1 x 1 x N 1 x n

12 Medidas de ubicación O Modo: es el valor de la variable que aparece más veces. Si la serie es simple, el modo no existe. Si los datos son de una variable discreta y están agrupados, el modo coincide con un valor real de la variable. O Si los datos están agrupados en intervalos de clase no se lo puede determinar de forma exacta. Mo L imo d 1 d 1 d 2 c

13 O O bien Mo L imo f 1 f 1 f 2 c O Es un valor muy inestable, ya que puede cambiar con el método de redondeo de los datos. En los softwares muchas veces está indeterminado y hay que calcularlo. O Puede determinárselo gráficamente a partir del histograma interpolando en la barra más alta.

14 O Mediana: Es el valor de la serie para el cual el 50% de los valores son menores y el 50% mayores o iguales. O Para serie simple, se deben ordenar los datos de menor a mayor. Si el número de datos es par, la mediana se encuentra promediando los valores centrales. Si el número de datos es impar, su valor se ubica en el lugar que corresponde a (N +1)/2.

15 O Si los datos corresponden a variables discretas agrupadas se los ordena y luego se determina el grado de la mediana haciendo N/2, y se observa en las frecuencias acumuladas crecientes qué valor supera a N/2. O Si N es par se promedian los valores de la variable que corresponden a los lugares determinados por N/2 y N/2 + 1 O Si N es impar, la mediana estará ubicada en el lugar correspondiente a N/2.

16 O Si los datos están agrupados en intervalos, se la calcula de la siguiente forma: N Mediana Li 2 f FL O También se la puede obtener a través de las curvas de frecuencias acumuladas creciente o decreciente o de la intersección de ambas. i i c

17 Curvas de frecuencias acumuladas crecientes y decrecientes [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95, 100) [100,105) [105,110) [110,115) [115,120)

18 O Propiedades O -la mediana no está influenciada por valores extremos. Por lo tanto, es una medida conveniente de la ubicación central. O -Su cálculo es fácil. O Algunas desventajas: O -No se la puede manipular algebraicamente. O -No es tan usada como la media aritmética, y tiene mayor error que ella.

19 OCuantiles (cuartiles, deciles, porcentiles): son también medidas de ubicación. Como la mediana divide a la distribución de datos en dos partes, los cuartiles la dividen en cuatro, los deciles en diez y los porcentiles en cien. O Estas medidas posibilitan un análisis más minucioso de la distribución.

20 O Cálculo cuantiles O Series no agrupadas O Se calculan a través de la siguiente expresión: r N q O r = el orden del cuantil correspondiente O q = el número de intervalos o divisiones de la distribución de frecuencias (q = 4, 10, ó 100) O N = número total de observaciones O La anterior expresión indica qué valor de la variable estudiada es el cuantil que se pide, se corresponderá con el primer valor cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a rn / q

21 OSeries agrupadas - Este cálculo se resuelve de manera idéntica al de la mediana. O - El intervalo donde se encuentra el cuantil i-ésimo, es el primero que una vez ordenados los datos de menor a mayor, tenga como frecuencia acumulada rn Ni un valor superior o igual a q Una vez identificado el intervalo ( Li-1, Li], calcularemos el cuantil correspondiente, a través de rn Ni 1 q Cr / q Li 1. ci r 1,2... q 1 ni Cuartil: q=4; Decil: q=10; Percentil: q=100

22 OAhora estamos en condiciones de hacer el Diagrama Box Plot o Caja y Bigote

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26 OEs posible introducir algunas variaciones en la construcción de estos diagramas, dependiendo del tipo de estudio y de la información disponible. OEs recomendable señalar con una marca los valores atípicos.

27 MEDIDAS DE DISPERSIÓN O El valor de un promedio puede engañar si no se lo acompaña de otra información que diga come se desvían las observaciones respecto a este valor. O Puede obtenerse además la amplitud intercuantílica, es considerar las distancias entre cuartiles, deciles y porcentiles. Por ejemplo para los cuartiles se calculan el primero y el tercero y se restan sus valores, de la misma forma se precede con los deciles y porcentiles. O Interesa fundamentalmente poder determinar una medida de variabilidad que involucre a todos los valores contenidos en la muestra, para esto se puede considerar el promedio de las desviaciones de los valores respecto a la media aritmética

28 O El promedio de estos desvíos respecto a la media se denomina Varianza de la muestra y se simboliza S 2 S x) 2 2 ( x i n

29 S 2 ( xi n 1 x) 2 O Cuando la muestra es grande la diferencia entre ambas expresiones es despreciable y se utiliza la primera. O El promedio de las diferencias al cuadrado respecto a la media se denomina momento centrado de orden 2: m 2

30 S 2 a a 2 m S 2 x 2 i x 2 n

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32 Cv S x *100 O Cuando se quiere comparar la variabilidad de muestras con diferentes unidades de medida o distintos valores medios la varianza no sirve, en estos casos es conveniente calcular el coeficiente de variabilidad

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34 MEDIDAS DE ASIMETRÍA O Cuando la distribución es simétrica la media, mediana y el modo coinciden. Como se ha visto la media aritmética es el valor de la tendencia central más afectado por los valores extremos, es por esto que cuanto mayor sea la distancia entre la media y el modo mayor será el grado de asimetría.

35 As ( x Modo) S As 3( x Mediana) S O Este valor sería aproximadamente igual a 0 para una distribución simétrica, positivo para una distribución asimétrica hacia la izquierda y negativo para una distribución asimétrica hacia la derecha. O El valor exacto está dado por el momento centrado de tercer orden

36 As m S 3 3 m 3 ( x i n x) 3

37 Ejemplos de distribución simétrica

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39 Frecuencia Ejemplo de Asimetría positiva Histograma Precip diaria

40 Ejemplo de Asimetría negativa

41 MEDIDAS DE CURTOSIS O La curtosis mide la diferencia en elevación respecto a la curva tomada como patrón la curva Normal. O Se la puede definir aproximadamente como la razón de la amplitud semiintercuartil y la amplitud porcentil:

42 K 1 ( Q 3 Q 1 ) 2 ( P 90 P 10 ) O K>0 leptocúrtica o más empinada que la curva normal O K=0 normal mesocúrtica igual a la curva O K <0 platicúrtica o menos empinada que la curva normal

43 O Se puede obtener a través del momento centrado de orden 4: K m S 4 4 m 4 ( x i n x) 4