TEMA 2 SUCESIONES SUCESIONES Y TÉRMINOS. Solución: a) a 2 = ; a10 =
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- Julia Río Vega
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1 1 TEMA 2 SUCESIONES SUCESIONES Y TÉRMINOS EJERCICIO 1 : Si el térmio geeral de ua sucesió es a = a) Halla el térmio segudo y el décimo. b) Hay algú térmio que valga 5? Si hay decir que lugar ocupa e la sucesió. c) Hay algú térmio que valga 7? Si hay decir que lugar ocupa e la sucesió. Solució: a) a 2 = ; a10 = b) a = 2 10 = = = 0 ( 5) = 0 = 0 ó = 5 2 Como tiee que ser u úmero atural positivo = 5 El quito térmio de la sucesió. b) a = = = = 0 = Como tiee que ser u úmero atural positivo No existe igú térmio que valga 7. EJERCICIO 2 : Si el primer térmio de ua sucesió es a 1 = 3 y se cumple que a +1 = a + 2, calcular el segudo térmio y el décimo. Solució: a 2 = a = = 5 a 3 = a = = 7 a 4 = a = = 9 a 5 = a = = 11 a 6 = a = = 13 a 7 = a = = 15 a 8 = a = = 17 a 9 = a = = 19 a 10 = a = = 21 TÉRMINO GENERAL EJERCICIO 3 : Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes: a) 1, 2, 5, 8, 11,... b) 1, 2, 4, 8, 16,... c) 1, 1, 3, 2, 5,K d) 1, 1, 1, 1,K Solució: a) Es ua progresió aritmética co a 1 1 y d 3. Por tato: a = = a = 3-4 b) Es ua progresió geométrica co a 1 1 y r 2. Por tato: a = a = c) Es ua progresió aritmética co a 1 = 1 y d = 1. Por tato : a = a = d) Es ua progresió geométrica co a1 = y r =. Por tato : a = a = =
2 EJERCICIO 4 : Ecuetra el térmio geeral de las siguietes ucesioes: a) 0, 3, 8, 15, 24,K b) 2, 4, 8, 16, 32,K c) 2, 9, 28, 65, 126,K d) - 3, 4,- 5, 6,K e) 1, - 3, 2,-5, 3, K f) - 2 ; - 0,5 ; 1; 2,5 ; 4 ;K
3 Solució: a) No es aritmética i geométrica: Restado a cadauo el aterior (2 pasos hasta que se repite) Grado 2 S = a 2 + b + c a b c 0 3a b 3 4a 2b c 3 2a 2 Res ta do a cada ecuació la aterior 5a b 5 Res ta do a cada ecuació la aterior 9a 3b c 8 a = 1; b = 3 b = 0 ; c = 0 c = -1 S 2 = -1 b) Numerador: Geométrica de r = 2 a = a 1.r -1 = = 2 2 Deomiador: Aritmética de d = 1 b = a 1 + (-1)d = 5 + ( 1)1 = = 4 + b 4 c) No es aritmética i geométrica: Restado a cadauo el aterior (3 pasos hasta que se repite) Grado 3 S = a 3 + b 2 + c + d a b c d 2 8a 4b 2c d 9 27a 9b 3c d 28 64a 16b 4c d 65 7a 3b c 7 19a 5b c 19 Re s ta do a cada ecuació la aterior 7b c 37 Re s ta do a cada ecuació 6a 6 Re s ta do a cada ecuació la aterior a = 1; b = 12 b = 0; c = 7 c = 0; d = 2 d = 1 S = d) Alteracia de sigos (-1) Numerador: Aritmética d = 1 a = 3 + ( 1).1 = S = (-1) +1 Deomiador: Aritmética de = 1 b = 2 + ( 1).1 = + 1 e) ,-,,-,,... 2 Alteracia de sigos (-1) +1 Numerador: Aritmética d = 1 a = 2 + ( 1).1 = + 1 Deomiador: Costate b = 2 f) Es ua progresió aritmética co a 1 = 2 y d = 1,5. Por tato: 37a a = ( -1) 1,5 = ,5-1,5 = 1,5-3,5 a = 1,5-3,5 S = (-1) EJERCICIO 5 : Halla el criterio de formació de las siguietes sucesioes recurretes: a) 3, 4, 12, 48, 576, ,... b) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... c) 1, 5, 4, 1, 5, 4, 1, 5,... d) 1, 2, 2, 4, 8, 32, 256, 8 192,... e) 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81,... 12a 2b 12 la aterior 18a 2b 18
4 Tema 2 Sucesioes Matemáticas I 1º Bach. 3 Solució: a) A partir del tercero, cada térmio se obtiee multiplicado los dos ateriores: a 1 = 3, a 2 = 4, a = a 1 a 2 para > 2 b) A partir del tercero, cada térmio se obtiee sumado los dos ateriores: a 1 = 1, a 2 = 2, a = a 1 + a 2 para > 2 c) A partir del tercero, cada térmio se obtiee restado los dos ateriores: a 1 = 1, a 2 = 5, a = a 1 - a 2 para > 2 d) A partir del tercero, cada térmio se obtiee multiplicado los dos ateriores: a 1 = 1, a 2 = 2, a = a 1 a 2 para > 2 e) A partir del tercero, cada térmio se obtiee sumado los dos ateriores: a 1 = 2, a 2 = 5, a = a 1 + a 2 para > 2 LÍMITES DE SUCESIONES EJERCICIO 6 : Para cada ua de estas sucesioes, averigua si tiee límite. Clasificar las sucesioes e fució de su límite: a) a = c) b) b = b = d) a = 2-2 e) b = f) b = - 1 g) b = Solució: a) lim 3 1 (Id) b) lim ( + 1) 2 = + c) lim d) lim 2-2 = - e) lim f) lim (-1) = 1 No tiee límite g) lim + 2 = - 1 Covergete Divergete Divergete Divergete Covergete Oscilate Divergete EJERCICIO 7 : Calcula el límite de las siguietes sucesioes: a) lim b) lim e) lim 4 3 f) lim i) lim j) lim Solució: c) lim d) lim g) lim 1 h) lim 2 3 k) lim 1 a) lim = - (Id) Multiplicamos y dividimos por el cojugado lim lim 3 lim (Id)
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6 Tema 2 Sucesioes Matemáticas I 1º Bach. 4 b) lim c) lim = (Id) Puede más el deomiador = (Id) Puede igual d) lim 1 = - (Id) Multiplicamos y dividimos por el cojugado lim lim lim 1 (Id) e) lim 4 3 = - (Id) Puede más el segudo - 1 f) lim 1 = 1 (Id) Del tipo úmero e lim lim 1 lim 1 e 5 e 1 e g) lim 1 = 1 (Id) Del tipo úmero e 1 ( 2) lim lim 1 lim 1 lim 1 e h) lim i) lim = 1 (Id) Del tipo úmero e 2 5 e lim lim 1 1 lim 1 lim lim 6 lim 1 1 e e e 3 2 e lim = j) lim = k) lim = (-2) + = No existe el límite
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8 Tema 2 Sucesioes Matemáticas I 1º Bach. 5 PROBLEMAS DE SUCESIONES EJERCICIO 8 : Calcula la suma desde el térmio a 15 hasta el a 40 (ambos icluidos) e la progresió aritmética cuyo térmio geeral esa = 2 3. Solució: Calculamos a 15 y a 40 : a 15 = = 30-3 = 27 ; a 40 = = 80-3 = 77 El úmero de térmios e la suma es 26. Por tato:s = ( a 15 + a 40 ) 26 = ( ) 26 = 1352 EJERCICIO 9 : E ua progresió aritmética, sabemos que a 1 = 5 y d = 2. Calcula la suma de los 20 primeros térmios. Solució: Calculamos a 20 : a 20 = a d = = = 43 + a ) 20 (5 + 43) = = 480 La suma será:s20 = (a1 EJERCICIO 10 : E ua progresió geométrica, sabemos que a 1 = 2 y r = 3. Calcula la suma de sus 12 primeros térmios. Solució: Calculamos a 12 : a 12 = a 1 r 11 = = La suma será:s 12 = a 1 - a 12 r = = = r EJERCICIO 11 : Calcula la suma: a7 + a 8 +K + a 30, sabiedo que a es ua progresió aritmética cuyo térmiogeerales a = Solució: Calculamos a 7 y a 30 : a 7 = = = 22 ; a 30 = = = 91 El úmero de térmios e la suma es 24. Por tato:s = ( a 7 + a 30 ) 24 = ( ) 24 = 1356 EJERCICIO 12 : Halla la suma de todos los térmios de la progresió: 2, 2, 2, 2, 2, K Solució: Es ua progresió geométricae la que a1 = 2 y r = 1 < 1. 3 Por tato, la suma será: S = a1 = 2 = 2 = 6 = r EJERCICIO 13 : El primer térmio de ua progresió aritmérica es 12 y la diferecia es 4. Calcula la suma: a 6 a 7 a 8... a 25 Solució: Calculamos a 6 y a 25 : a 6 = a d = = = 32 a 25 = a d = = = 108 El úmero de sumados es 20. Por tato: S = a 6 + a = = 1400 EJERCICIO 14 : E ua progresió geométrica, sabemos que a 1 3 y r = 2. Calcula la suma de sus 20 primeros térmios. Solució: Calculamos a 20 : a 20 = 1 r 20 1 = = a - a 1 20 La suma pedida será:s 20 = r = = r 1-2
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