Instituto Politécnico Superior General San Martín A U S. Análisis Matemático II. Integrales. Mgter. Viviana Paula D Agostini

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1 Instituto Politécnico Superior Generl Sn Mrtín A U S Análisis Mtemático II Interles Mter. Vivin Pul D Aostini

2 TEMARIO Interl indeinid. Deinición. Interl Deinid. Sums de Riemnn. Propieddes de l interl deinid. Teorem Fundmentl del Cálculo. Rel de Brrow. Cálculo de áre Método de sustitución. Interción por prtes. Ejercicios. Biliorí.

3 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini Interl indeinid Hemos estudido l unción derivd de un unción. Será posile determinr un unción conociendo su unción derivd?. Deinición. Un unción F es un primitiv o un ntiderivd de en un intervlo I, Ejemplo: L unción si F ' I. F es un primitiv de y que F '. F 8 tmién es un primitiv de porque F '. Por lo tnto tmién lo es culquier unción de l orm vlor constnte. F C siendo C un Deinición. Al conjunto de tods ls primitivs de un unción, se le llm interl indeinid de. Se simoliz d F C C constnte. El símolo interción. se lee interl, l unción es el interndo y es l vrile de Tl de interles C constnte k d k C k constnte n n d C n e d e C cos d sen C sen d cos C d ln C n d d d d d d

4 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini Ejemplos: d C 5 5 d C 5 d d d C C 8 5 d 8 d 8 C 6 C Propuest. Resolver el ejercicio. Interl Deinid Sums de Riemnn 5 d C El prolem plntedo es hllr el áre de l reión encerrd entre l curv y, el eje y ls sciss y. Un ide sencill consiste en dividir l reión en rectánulos de iul se, lueo sumr sus áres lorndo un proimción del áre. Se un unción deinid en un intervlo,. Sudividimos dicho intervlo en suintervlos del mismo ncho eliiendo n- puntos,,,..., n que stisn.. n. El conjunto P,...,,,, n, n se llm prtición de,. P divide l intervlo en n suintervlos cerrdos,,,,, n, n. Llmmos i i i l ncho de cd intervlo. En cd suintervlo eleimos un punto c i. Y considermos rectánulos de ltur c i y se i i i diámetro de l prtición. Un proimción del áre será S c n c... cn n ci i i

5 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini Sum inerior: sum por deecto Si S c i m es el vlor mínimo en, i i i n in c c... cn n ci i, S Áre i in Sum superior: sum por eceso Si c i M es el vlor máimo en, i i i S n sup c c... cn n ci i, S Áre i sup Se tiene sí que S in Áre S sup A medid que umentmos el número de rectánulos n, n con tnto el áre por deecto como por eceso se proimn l áre uscd.

6 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini Si es un unción continu en,. El áre entre l ráic de el eje y ls sciss y l representmos con el símolo d. Se lee interl entre y de, es el límite inerior de interción, es el límite superior de interción. Si cd prtición P de, le socimos un áre por deecto s y un áre por eceso S: s n i m n i i i, S i M i i i result s S. Si tenemos un sucesión de prticiones P, P,..., P... le corresponden s, s,..., s... áres por deecto, k k S, S,..., S... áres por eceso. Si los diámetros tienden, ls dierencis S k s, S s,..., S k s... tienden y ms sucesiones tienden l áre uscd, k s k S k, S k s k entonces s k y S k. El símolo de sumtori se convirtió en un s estilizd quedndo d. Teorem: Si es un unción continu en, entonces su interl deinid eiste en,. Propieddes de l interl deinid. Sen y dos unciones continus en un intervlo I, y,, c vlores reles: d d d k d k d con k cte d d d 5 d d d 6 Si c y es continu en c y continu en 7 Si, entonces d d d, entonces d c c

7 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini y continu en Si en 8 Si 9 Si es continu en lim, entonces d, entonces d d lim, y eisten los límites lterles y entonces tommos un unción continu en, si si, y deinimos d d si Deinición Si y es positiv e interle en un intervlo [,] entonces el áre dejo de l curv y en [,] es A d. Teorem Fundmentl del Cálculo Se un unción continu en el intervlo [, ] y derivle en, entonces l unción F d es derivle y F ',. El teorem demuestr que l unción interl que d ls áres entre y pr cd vlor de F d es un unción cuy derivd es l unción. d represent un número y d represent un unción de. 5

8 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini Rel de Brrow Se un unción continu en el intervlo [, ] y G un primitiv de entonces d G G. Pr hllr l interl deinid seuiremos el siuiente proceso: Se hll un primitiv culquier de l unción, Se sustituyen en est primitiv los límites de interción superior e inerior y se restn los resultdos. Ejemplos: cos d sen sen d Propuest. Resolver el ejercicio. Cálculo de áre Pr determinr el áre jo l curv de distinuimos el sino de. Si > [, ] entonces l interl deinid es positiv y Áre= d Si < [, ] entonces l interl deinid es netiv y Áre= d d 6

9 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini Ejemplo: Hllr el áre limitd por y y el eje. L unción y cort l eje en = ±. Áre= d Áre del recinto pr un unción Áre= d d d d Pr dos unciones positivs sin corte Áre= d 7

10 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini 8 Pr dos unciones culesquier sin corte Áre= d C C = d Pr dos unciones que se cortn A= d d d d Ejemplo : Hllr el áre de l reión encerrd entre y. Representr ráicmente., V, V 6

11 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini d d Ejemplo : Hllr el áre de l reión encerrd entre y. Representr ráicmente. 9 d d Ejemplo : Hllr el áre de l reión encerrd entre, y. Representr ráicmente., V

12 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini d d Propuest. Resolver los ejercicios,, 5, 6 y 7. Método de sustitución Desemos clculr h d reconociendo que ' t. dt F t nos result ácil de otener. Entonces: Si h d ' d h y suponemos que y relizmos el cmio de vrile t dt ' d result t dt F t F Ejemplos: t d t dt C C t y dt d ' Veriicción: C t d t dt t dt C C t dt d dt d Veriicción: ' C t d t dt t dt C t C C t y dt d Veriicción: C' ' t dt 6 d dt d sen d sent dt sent dt cost C cos C

13 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini Veriicción: C' ' t d t dt C C t 7 y dt d Veriicción: ' 7 7 C 7 ' 7 Propuest. Resolver el ejercicio 8. Interción por prtes D u. v u '. v u. v ' en notción dierencil: du. v du. v u. dv despejndo el último sumndo: u. dv du. v v du interndo miemro miemro: u. dv u. v v du Ahor podemos clculr l interl de u dv prtir de v du Ejemplo: e d e u du d dv e v e e d e d e d e e C Veriicción: e ' e C e e e e Propuest 5. Resolver el ejercicio 9.

14 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini EJERCICIOS Clculr: 6 d 6 8 d c d d d 5 e 5 d e d h sen e d j sen cos d Clculr: d i d e d sen d c 8 d d d e d sen cos d Hllr el áre de l reión encerrd entre 9 y el eje. Hllr el áre de l reión encerrd entre y. 5 Hllr el áre de l reión encerrd entre y. 6 Hllr el áre de l reión encerrd entre y. 7 Hllr el áre de l reión encerrd entre, el eje y ls rects y. 8 Clculr: 5 d e d c 5 6 cos d d d e sen 5 d sencos d 5 d h cos d

15 Análisis Mtemático II Mter. Vivin Pul D Aostini i d j sen d 9 Clculr: e d ln d c ln d d sen d e cos d ln d cos d h e d i ln d j ln d k e d PRÁCTICA COMPLEMENTARIA Hllr el áre comprendid entre y, el eje y ls rects y Clculr el áre comprendid jo l rect de ecución y, entre y. Clculr el áre comprendid jo l curv y, entre y. Clculr el áre comprendid entre 5 Clculr d y e y. e d c 5 d d d 6 Resolver d c 6 d d sen d d

16 Análisis Mtemático II e d e cos d i d k 7 Resolver d d c ln d sen h Mter. Vivin Pul D Aostini d d j cos sen sen d l e d 5 ln d d cos d e cos d d e d i 5 d j e k 7d h 6sen d d l e d m d ñ e d n d BIBLIOGRAFÍA - Stewrd J. Cálculo. 8. Set Edición. Cene Lernin. - Thoms. Cálculo Un vrile. 5. Undécim edición. Person Addison Wesley - Ruetti Hee T. 995 Introducción l Análisis Mtemático. - Miuel de Guzmán. Análisis Mtemático I. Editoril Any. - Spivck Michel Cálculo Ininitesiml. Editoril Reverté.

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