EJERCICIOS DE REPASO PARA SELECTIVIDAD: ANÁLISIS
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- Beatriz Ortiz Soriano
- hace 5 años
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1 EJERCICIOS DE REPSO PR SELECTIVIDD: NÁLISIS Ejrcicio. San f : R R y g : R R las funcions dfinidas por f( = -( + + a + b y g( = c S sab qu las gráficas d f y g s cortan n l punto (, y tinn n s punto la isa rcta tangnt. (a [ puntos] Calcula los valors d a, b y c. (b [ 5 puntos] Halla la cuación d dicha rcta tangnt. (a f( = + a + b y -( + g( = c - Coo s cortan n l punto (,, tnos f(- = g(- = - Coo n l punto (, tinn la isa rcta tangnt, tinn la isa pndint, s dcir f (- = g (- D f(- = g(- = f(- = a + b = g(- = c. =, d dond c = D f (- = g (- g'( c g'( a a f '( a f '( a Sustituyndo n a + b = con a =, nos rsulta b =. Las funcions son f( = -( + + y g( = (b La rcta tangnt a f(, la isa qu a g(, n = - s y f(- = f (-( - (-. f( = +, f(- = f ( =, f (- = -. Sustituyndo tnos qu la rcta tangnt s y = ( + Ejrcicio. Sa f: R R la función dfinida por: f a 3 b ( si si (a [ 5 puntos] Halla a y b sabindo qu f s drivabl n R. (b [ punto] Dtrina la rcta tangnt y la rcta noral a la gráfica d f n l punto d abscisa = 3 a 3 si f ( b si Coo f s drivabl n todo, s continua n todo. En particular s continua y drivabl n = (a Coo s continua n =, s vrifica qu f ( li f ( li f (. CRISTIN ROND HERNÁNDEZ nálisis atático
2 li li f ( a 6 f ( li a 3 a 6 a 6 b f ( li b b Coo s drivabl n =, s vrifica qu f ( + = f ( -, f '( a 3 f '( li a 3 a 3 a 3 b, f '( b f '( li b b a b 6 Rsolvindo l sista, obtnos a = y b = -7, por tanto la función pdida s a b 3 si f ( 7 si (b Coo pidn la rcta tangnt y noral n = 3, toaos la raa d la función con >, s dcir, f( = La rcta tangnt n = 3 s y f(3 = f (3( 3 - La rcta noral n = 3 s y f(3 = (-/f (3.( 3 f( = + 7, d dond f(3 = 9 + = 6 f ( = + 7, d dond f (3 = = 3 La rcta tangnt n = 3 s y 6 = 3( 3 La rcta noral n = 3 s y 6 = (-/3.( 3 Ejrcicio 3. [ 5 puntos] D ntr todas las rctas dl plano qu pasan por l punto (,, ncuntra aqulla qu fora con las parts positivas d los js coordnados un triángulo d ára ínia. Halla l ára d dicho triángulo. Es un probla d optiización. La rcta dpndrá d la pndint: La cuación n fora punto pndint d una rcta r n l plano s y y = (. Coo pasa por l punto C(, tnos y = (, y la rcta quda n la fora y = + L BSE DEL TRIÁNGULO s la coordnada dl punto B qu s obtin hacindo y =, = + =, con lo cual = ( /, srá la bas dl triángulo L LTUR DEL TRIÁNGULO s la coordnada y dl punto qu s obtin hacindo =, d dond y =, srá la altura dl triángulo CRISTIN ROND HERNÁNDEZ nálisis atático
3 CRISTIN ROND HERNÁNDEZ nálisis atático 3 El ára srá por tanto ( ( ( ( La función a optiizar s (. Calculaos su prira drivada, la igualaos a, Coo corta n la part positiva d los js coordnados, la gráfica d la rcta s coo la d la figura con lo cual la toaos para la solución ngativa, y coprobaos qu s un ínio sustituyndo n la ª drivada y vindo qu sal positiva par dicho valor '( D ( =, tnos - + =, d dond =, y = ±. L a solución ngativa s = Coprobaos qu s un ínio, vindo qu (- > ''( 6 ( ' ' por tanto = - s un ínio, y l ára pdida s (- = (-6/(- = u Ejrcicio. [ 5 puntos] D ntr todos los rctángulos d prítro c, dtrina las dinsions dl qu tin diagonal d nor longitud. Es un probla d optiización, Función a optiizar y d Rlación + y =, d dond + y =. Dspjando y = Nustra función s 6 d. Si d (a = y d (a >, = a s un ínio 6 6 '( d D d ( = tnos =, d dond =, qu srá l posibl ínio. º ''( ( ' ' n d d por tanto = s un ínio. El rctángulo tin d dinsions = y = =, s dcir s un cuadrado d lado.
4 Ejrcicio 5. [ 5 puntos] Sa f la función dfinida, para, por asíntotas d la gráfica d f. f ( /. Dtrina las La rcta = a s una asíntota vrtical (.V. d la función f si li f ( Vaos si = (anula l dnoinador dl ponnt s.v. / / / li li li plico l tora d L Hôpital: / / / / li li, la rcta = s una.v. d la función f por la drcha / li, no s asíntota por la izquirda a La rcta y = b s una asíntota horizontal (.H. d la función f si Lo studiaos n + y n - / / li li / / La función no tin asíntotas horizontals. li f ( b La rcta y = +n s una asíntota oblícua (.O. d la función f si y n son núros rals, f ( li n li f ( / En +. O : y Lo studiaos n + y n -. / / li li / n li li / / n li n li li / / / li li / / n li li / / / n li n li li / CRISTIN ROND HERNÁNDEZ nálisis atático / En -. O : y
5 Ejrcicio 6. Sa f : R R la función dfinida por f( = (3. (a [ 5 puntos] Dtrina los intrvalos d crciinto y d dcrciinto d f. (b [ punto] Calcula los tros rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan. Los apartados (a y (b s pudn hacr juntos pus lo único qu hay qu studiar s la prira drivada f (, d la cual saldrá l crciinto, dcrciinto, áios y ínios rlativos f ( = ( + (3 = ( + 3 D f ( = ( + 3 =, pusto qu la ponncial nunca s anula. + 3 = = y = - 5, qu srán los posibls áios y ínios rlativos. -,5 n (-, - 5: f (- = ( (- (- + 3 = - (- 3 <, f( s strictant dcrcint n (- 5, : f ( = (3 = ( 3 >, f( s strictant crcint n (, + : f ( = ( ( ( ( + 3 = (- 7 <, f( s strictant dcrcint - -,5 f f Por dfinición = - 5 s un ínio rlativo qu val f(- 5 = (3( 5 (- 5-5 = Por dfinición = s un áio rlativo qu val f( = (3( ( = Ejrcicio 7. [ 5 puntos] Sa f : R R la función dfinida por f( = a 3 + b + c + d. S sab qu f tin un áio local n =, qu l punto (, s un punto d inflión d su gráfica y 9 qu f ( d. Calcula a, b, c y d. f( = a 3 + b + c + d. Esta función s continua y drivabl, las vcs qu san ncsarias, n R. I. - Coo tin un áio local n =, nos dic qu f ( = II. -Coo (, s un punto d inflión, nos dic qu f( = y qu f ( =. 9 III. -dás f ( d f( = a 3 + b + c + d; f ( = 3a + b + c; f ( = 6a + b. I.- D f ( =, tnos = 3a + b + c CRISTIN ROND HERNÁNDEZ nálisis atático 5
6 II.- D f ( =, tnos = d, por tanto d = D f ( =, tnos = b, por tanto b = Sustituyndo n I, los valors obtnidos n II, tnos c = - 3a, por tanto f( = a 3 3a + 9 III.- D f ( d rsulta 3 9 a 3a 9 a 3a 9 ( a 3a d 3 a c La función pdida s f( = Ejrcicio. Sa g: (, + R la función dada por g( = ln (ln dnota logarito npriano. (a [ 75 puntos] Justifica qu la rcta d cuación y = (/ s la rcta tangnt a la gráfica d g n l punto d abscisa =. (b [ 75 puntos] Calcula l ára dl rcinto liitado por la gráfica d g, l j d abscisas y la rcta tangnt dl apartado antrior. (a La rcta tangnt a g( n = s y g( = g (( -. g( = ln( g( = ln( =. g ( = / g ( = /. Sustituyndo tnos qu la rcta tangnt s y = (/( - y = (/. (b Sabos qu g( = ln ( pasa por (, y tin = + coo asíntota vrtical. Sabos qu y = (/ s una rcta qu pasa por (, y coincid con g( = ln( n =., y qu stá por ncia. unqu no lo pidn un sbozo d las gráficas s El ára pdida s l ára qu ncirra la rcta con l j ntr = y = ( nos l ára qu ncirra l logarito con l j ntr = y = ( d ln d u Esta sgunda intgral hay qu rsolvrla aplicando l étodo d intgración por parts: u ln du d F( ln d F( ln d ln d ln dv d v CRISTIN ROND HERNÁNDEZ nálisis atático 6
7 ln ln F F( ( u u Ejrcicio 9. [ 5 puntos] Dadas las funcions f : [,+ R y g : [, + R dfinidas por 3 f ( y g(, calcula l ára dl rcinto liitado por las gráficas d f y g. Calculaos los puntos d cort ntr las dos funcions rsolvindo la cuación f( = g( 3 Las prsaos con índic coún: El ára pdida s d las dos funcions stá por ncia n l intrvalo d, s scrib n valor absoluto porqu no h studiado cual 3 3 3/ / 3 / 3 / 3 / / 3 3 d d 3/ / u Ejrcicio. Dada la función g: R R, dfinida por g( = + -. (a [ punto] Esboza la gráfica d g. (b [ 5 puntos] Calcula g ( d Solución (a La función g( s continua n todo R, por sua d funcions continuas. Coo las solucions d = son = y = -, tnos qu, studiando l signo d n las distintos intrvalo Por tanto, CRISTIN ROND HERNÁNDEZ nálisis atático 7
8 La gráfica d f( = + s la d una parábola qu tin las raas hacia arriba y coo abscisa d su vértic la solución d f ( = + =, s dcir n = -. La dibujaros n < - y n, lugo l daros unos cuantos valors a izquirda d - y a drcha d f( = La gráfica d f( = + + s la d una parábola qu tin las raas hacia abajo y coo abscisa d su vértic la solución d f ( = + =, s dcir n =. La dibujaros n - <, lugo l daros unos cuantos valors ntr - y. - f( = Tnindo n cunta lo antrior un sbozo d la gráfica sría (b Ejrcicio. San f: R R y g: R R las funcions dfinidas por f( = y g( = + (a [ 5 puntos] Esboza las gráficas d f y g. (b [ puntos] Calcula l ára dl rcinto liitado por dichas gráficas. Solución CRISTIN ROND HERNÁNDEZ nálisis atático
9 (a La gráfica d f( = s actant igual qu la d la parábola (vértic n (, y raas hacia arriba, pro dsplazada una unida hacia abajo n ordnadas. La gráfica d g( = + s la d una rcta lugo con dos puntos s suficint para dibujarla. Tnindo n cunta lo antrior un sbozo d las gráficas sría: (b El ára qu nos pidn s, dond a y b son las solucions d la cuación rcta = parábola + = Rsolvindo la cuación =, sal = - y = 3, por tanto = ( (/3 + 3 = 3/3 u. Ejrcicio. [ 5 puntos] Calcula d Solución Es la intgral d una función racional. Calculaos priro una priitiva. CRISTIN ROND HERNÁNDEZ nálisis atático 9
10 = Ln + BLn - +C(- -+ /(-+ + K= Ln + BLn - -C/(- + K Calculaos las constants, B y C Igualaos nuradors = (- + B(- + C Para =, = Para =, = C Para =, = ( + B( +.; d dond B = -. por tanto una priitiva s I = Ln - Ln - -/(-, y la intgral dfinida pdida s ( Ln( Ln( + / ( Ln( Ln(3 + /3 = - Ln( + Ln(3 + /6 Ejrcicio 3. [ 5 puntos] Calcula ln( d (ln dnota la función logarito npriano. Solución La intgral, s una intgral racional. Dividios priro CRISTIN ROND HERNÁNDEZ nálisis atático
11 La intgral indfinida s Por tanto [ (/ln( / + / - (/ln( ] ( = / Ejrcicio. Considra las funcions f :(,π R y g : (, + R dfinidas por g( = 3.ln(. (a [ 5 puntos] Halla la priitiva d f qu toa l valor cuando = /3 (s pud hacr l cabio d variabl t = cos. (b [ 5 puntos] Calcula g ( d. Solución (a Una priitiva d f( s sn t cos 3 t cos F( d dt t dt K K 3 dt snd 3 t cos cos K Coo dicn qu F(π /3 =, tnos = /[.cos (π /3 ] + K, d dond K = - y la priitiva pdida s F ( cos (b CRISTIN ROND HERNÁNDEZ nálisis atático
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