IES Fernando de Herrera 28 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 1º Bach CCSS NOMBRE:

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1 IES Fernndo de Herrer 8 de octure de 01 Primer trimestre - Primer exmen 1º Bch CCSS NOMBRE: 1) Nomrr los principles conjuntos numéricos, explicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos (es decir, qué conjunto es suconjunto de cuál), y l intersección de Q con I. ) Hllr ls frcciones genertrices de: ), ), ) ) Representr en l rect rel: ) Qué número es el indicdo en el gráfico? ) Clculr el resultdo simplificdo de: ) ) Clculr: [, ) (, ] ) Escriir en form de intervlo: A {xr / < x 1 } y B {xr / x > } ) Escriir en notción científic: ),91 10 ) 0, c) ) Simplificr: 8) Simplificr: ( 7) ) Simplificr: 10) Decir qué es igul x si se cumple lo siguiente: log x (log + log log c + log )

2 IES Fernndo de Herrer 8 de octure de 01 Primer trimestre - Primer exmen 1º Bch CCSS SOLUCIONES 1) Nomrr los principles conjuntos numéricos, explicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos (es decir, qué conjunto es suconjunto de cuál), y l intersección de Q con I. Números nturles: N {0, 1,,,..., 10, 11,...} Números enteros: Z {...,,, 1, 0, 1,,,..., 10, 11,...} Números rcionles: Q {/, siendo, Z} (números que se pueden expresr como frcción) Números irrcionles: I {números que no se pueden expresr como frcción} Números reles: R Q I N Z Q R; I R; demás: Q I ) Hllr ls frcciones genertrices de: ), x, x 91, x 990x 9, Por tnto: x 990 ), Este número tiene infinits cifrs decimles no periódics Es irrcionl No se puede expresr como frcción. 17 ) ) Representr en l rect rel: Si dividimos 17 entre nos result un dividendo entero igul 8 con de resto. 17 Esto signific que 8. Así que vnzmos 8 uniddes en sentido negtivo sore l rect rel y seguimos / más, esto es, dividimos el trozo entre 8 y 8 en prtes igules (cutro mrcs intermedis) y tommos l segund contndo de derech izquierd (porque vnzmos en sentido negtivo, o se, decreciendo. ) Qué número es el indicdo en el gráfico? El trmo entre 17 y 1 (que es un unidd) está dividido en prtes igules (medinte mrcs intermedis). Nuestro número es l ª de ests mrcs contndo en sentido negtivo (decreciente, hci l izquierd), por lo que se trt de / más l izquierd que 1. Luego es: 1 ) Clculr el resultdo simplificdo de: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 1 de

3 IES Fernndo de Herrer 8 de octure de 01 Primer trimestre - Primer exmen 1º Bch CCSS Es muy recomendle simplificr lo ntes posile. Y esto consiste en dividir un fctor (no sumndo ni prte de sumndo, sino un número que esté multiplicndo) del numerdor y otro del denomindor entre un mismo número, sustituyendo cd uno de ellos por el resultdo de dich división (esto es l propiedd fundmentl de ls frcciones). Recordr que no es posile relizr 1 9, puesto que 1 no es un sumndo, sino prte del primer sumndo: ) ) Clculr: [, ) (, ] A l vist del gráfico, como l intersección de dos conjuntos (y los intervlos lo son), es un nuevo conjunto que contiene los elementos que están en los conjuntos iniciles l vez, tenemos que: [, ) (, ] [, ]. ) Escriir en form de intervlo: A {xr / < x 1 } y B {xr / x > } Según ls definiciones de intervlo: A {xr / < x 1 } (, 1] (no entr pero sí 1) B {xr / x > } (, +) (no entr ni ni +, que no es un número) ) Escriir en notción científic: ),91 10 ) 0, c) Convertimos el número que está en notción hitul notción científic y multiplicmos, después, ls potencis de 10, en sus csos:,91 10, , ,000091, , , ) Simplificr: 19 0 ( 7) 0 Cundo un signo está elevdo un exponente impr, el resultdo finl de l operción es negtivo. Así, plicndo propieddes de potencis: ( 7) 7 ( 7) ) Simplificr: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

4 IES Fernndo de Herrer 8 de octure de 01 Primer trimestre - Primer exmen 1º Bch CCSS L expresión finl dee estr con el denomindor rcionlizdo, los rdicles simplificdos, los exponentes positivos y, preferilemente, sin préntesis ni exponentes frccionrios. Así: 7 9) Simplificr: Usndo ls propieddes de potencis y rdicles, sí como igulddes notles, tenemos: ) Decir qué es igul x si se cumple lo siguiente: 11 log x (log + log log c + log ) Aplicmos propieddes de logritmos. En primer lugr, ordenmos los sumndos positivos ntes de los negtivos: log x (log + log log c + log ) log (log + log + log log 1000 log c ) 1 log log c Es decir: log [log (log log c )] log (log log 1000c ) log log c log c log x log c Como log x log y x y (siendo > 0, 1, x > 0, y > 0), se tiene que: x c IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

5 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 01 Primer trimestre - Exmen Glol 1º Bch CCSS NOMBRE: 1) Simplificr plicndo propieddes de rdicles y potencis, dejndo el resultdo sin exponentes negtivos ni frccionrios y con el denomindor rcionlizdo:(1, puntos) ) ) ( ) 19 8 ( ) 1 0 c) ) Hllr m pr que el resto de l división de P(x) mx x + x 1 entre x + se. (1, puntos) ) Clsificr y resolver el siguiente sistem por el método de Guss en su form mtricil (no es válido ningún otro método ni form). Además, si l solución no fuese únic, decir dos soluciones concrets: ( puntos) x y z 0 x y z 18 x y z ) Resolver l ecución: x x 8 (1, puntos) ) Resolver l ecución: log(x 1) log(x + ) 1 log 0 (1, puntos) x 9x x 9 ) ) Simplificr: x 8x x 1 (1, puntos) x 9x x 9 ) Resolver l ecución: 0 x 8x x 1 (0, puntos)

6 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 01 Primer trimestre - Exmen Glol 1º Bch CCSS SOLUCIONES 1) Simplificr plicndo propieddes de rdicles y potencis, dejndo el resultdo sin exponentes negtivos ni frccionrios y con el denomindor rcionlizdo:(1, puntos) ) ( ) 19 8 ( ) 1 0 ( ) 19 8 ( ) ( ) ( ) ) c) ( ( ) ( ) ) ( ) 9. ( ) (7 1 ) ) Hllr m pr que el resto de l división de P(x) mx x + x 1 entre x + se. (1, puntos) Según el Teorem del Resto, el resto de l división de P(x) entre x + es P( ). Por tnto: P( ) m( ) ( ) + ( ) 1 m 1 m 7 m 7 m m / m 7/1 ) Clsificr y resolver el siguiente sistem por el método de Guss en su form mtricil (no es válido ningún otro método ni form). Además, si l solución no fuese únic, decir dos soluciones concrets: ( puntos) x y z 0 x y z 18 x y z IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 1 de

7 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 01 Primer trimestre - Exmen Glol 1º Bch CCSS Tringulrizmos, por Guss, l mtriz mplid: F F 1 A' F F F F L mtriz está tringulrizd (en l column hy ceros en tods ls posiciones menos l de l primer fil; desechndo dich fil, en l column 1 hy 0 en tods ls posiciones menos en l segund fil). Ningun fil es tod de ceros menos l posición correspondiente los términos independientes (últim column), por lo que no es incomptile. Y l tercer fil es tod de ceros, con lo que dee ser cominción linel del resto y hy que desechrl. Por tnto, r(a) r(a') < nº de incógnits, con lo que estmos nte un sistem comptile indetermindo, con infinits soluciones. Llmmos z t (le dmos un vlor ritrrio y fijo un de ls incógnits, que no se y, porque en ell hy uno de los 0 de l tringulrizción y nos resultrí lgo más lrgo resolver l ecución, unque tmién lo conseguirímos). Psándol l segundo miemro, el sistem será: t 18 x y t ª ec : x x 18 t t 18 9t t t 1ª ec : y t t 18 t L form de ls infinits soluciones es:,, t Por último, nos piden dos soluciones concrets: t : (, 11, ) t : (, 1, ) ) Resolver l ecución: x x 8 (1, puntos) En este tipo de ecuciones hemos de uscr que l incógnit prezc de un únic form. Prece que podremos ponerl siempre en l form x. Lo intentmos: x x 8 x 17 x + 8 ( x ) 17 x Relizmos el cmio de incógnit: t x : t 17t t IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de Y deshcemos el cmio: t 1/ Como x t: x 1/ x 1 x 1 ó: t 8 Como x t: x 8 x x ) Resolver l ecución: log(x 1) log(x + ) 1 log 0 (1, puntos) Como no se puede simplificr log de un sum, no nos qued más remedio que eliminr los logritmos. Ello puede hcerse en se l propiedd:

8 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 01 Primer trimestre - Exmen Glol 1º Bch CCSS log log, siempre que, > 0 Aplicndo propieddes de log: log(x x 1 1) log(x + ) 1 log 0 log log10 log 0 x x 1 10 x 1 1 log log, siempre que estos vlores se mntengn x 0 x estrictmente positivos. L ecución resultnte equivle : 7 10x x 10x x 7 0 x Pero x 7/10 no es válid, y que nul los rgumentos de los dos log del primer miemro de l ecución originl. Así que hy un únic solución: x 1. x 9x x 9 ) ) Simplificr: (1, puntos) x 8x x 1 Fctorizmos por seprdo numerdor y denomindor. Lo hcemos por Ruffini: Llegdos este punto, no encontrmos cómo seguir. Así que intentmos fctorizr el polinomio igulándolo cero y resolviendo l ecución de segundo grdo resultnte: x + x + 0 (Multiplicndo mos miemros por 1/): x + x x que no tiene solución, puesto que no existe l ríz de un número negtivo. Por tnto: x 9x x + 9 (x 1)(x )(x + x + ) De donde: x + 8x + x 1 (x 1)(x + )(x + ) Por tnto: x 9x x 9 ( x 1)( x )(x x ) ( x )(x x ) x 8x x 1 ( x 1)( x )( x ) ( x )( x ) x x x 9, si x 1, x, x x 10x 1 pues hy que excluir los vlores que nuln el denomindor. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

9 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 01 Primer trimestre - Exmen Glol 1º Bch CCSS x 9x x 9 ) Resolver l ecución: 0 (0, puntos) x 8x x 1 Semos que l ecución equivle : ( x )(x x ) 0, con x 1, x, x ( x )( x ) Y un frcción se nul cundo y solmente cundo lo hce el numerdor pero no el denomindor. Así: (x )(x x 0 x + x + ) 0 x x 0, sin solución Luego l únic solución es x. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

10 IES Fernndo de Herrer 1 de enero de 01 Primer trimestre - Recuperción 1º Bch CCSS NOMBRE: 1) Simplificr plicndo propieddes de rdicles y potencis, de mner que el resultdo quede sin exponentes negtivos ni frccionrios y con el denomindor rcionlizdo: (1, puntos) 1 1 ( ) ( 8) ) ( ) ) c) ) Resolver y discutir (clsificr) el siguiente sistem por el método de Guss en su form mtricil (no es válido ningún otro método). Si tuvier más de un solución, demás de dr l form generl de tods ls soluciones, decir dos soluciones concrets: ( puntos) x y z 10 x y z 9x y z ) ) Fctorizr los siguientes polinomios: (1 punto) P(x) x + x x ; Q(x) x x + x x x ) Resolver l ecución: 0 x x (1 punto) ) Hllr el vlor de pr que l división del polinomio P(x) x x x + entre x + teng como resto 8. (1, puntos) ) Resolver l ecución: x 9 x (1, puntos) ) Resolver: log x log x log (x + 1) (1, puntos)

11 IES Fernndo de Herrer 1 de enero de 01 Primer trimestre - Recuperción 1º Bch CCSS SOLUCIONES 1) Simplificr plicndo propieddes de rdicles y potencis, de mner que el resultdo quede sin exponentes negtivos ni frccionrios y con el denomindor rcionlizdo: (1, puntos) 1 1 ( ) ( 8) ) ( ) Si el exponente es impr, positivo o negtivo, el resultdo de un potenci de se negtiv es, tmién, negtivo. Pero si el exponente es pr, el resultdo de l potenci será positivo. Por otr prte, un exponente negtivo se convierte en positivo cmindo l potenci complet de un ldo otro de l frcción siempre que dich potenci se fctor (esté multiplicndo). Así: ( ) ( 8) ( ) ( 8) ( 8 ) 8 8 Pr poder unificr ls potencis, intentmos hcer coincidir ls ses: ( ) ( ) ( ) ) c) Pr introducir un fctor en un rdicl, se multiplic el exponente del fctor por el índice del rdicl. Y l ríz de un ríz (sin nd entre ells) es otr ríz con el índice resultnte de multiplicr los índices originles. Y pr rcionlizr el denomindor, multiplicmos por un ríz del mismo índice con los mismos fctores elevdos exponentes tles que, l sumrlos con los de prtid, resulten potencis con exponentes múltiplos del índice: pr multiplicr dos rdicles, necesitmos que tengn el mismo índice. Pr ello, multiplicmos índice y exponentes por un mismo número: Pr rcionlizr un denomindor que conteng ríces cudrds en un sum o rest, multiplicmos y dividimos por el conjugdo del denomindor: 8 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 1 de

12 IES Fernndo de Herrer 1 de enero de 01 Primer trimestre - Recuperción 1º Bch CCSS ) Resolver y discutir (clsificr) el siguiente sistem por el método de Guss en su form mtricil (no es válido ningún otro método). Si tuvier más de un solución, demás de dr l form generl de tods ls soluciones, decir dos soluciones concrets: ( puntos) x y z 10 x y z 9x y z Tringulrizmos l mtriz mplid: F F F F F F Y está tringulrizd. Al ser l últim fil complet de 0, l eliminmos. Quedn, entonces, ecuciones con incógnits, por lo que estmos nte un sistem comptile indetermindo. Reconstruimos el sistem y lo resolvemos: x y z 10 1x y 0 Llmmos x t (le dmos un vlor ritrrio y fijo un de ls incógnits, que no se z, porque en ell hy uno de los 0 de l tringulrizción y nos resultrí lgo más lrgo resolver l ecución, unque tmién lo conseguirímos). Psándol l segundo miemro, el sistem será: ª ec : y 0 1t y z 10 t z 10 t (0 1t) 10 t 0 t y 0 1t 1ª ec : 0 t z 17t L form de ls infinits soluciones es, entonces: t, 0 1t, 17t Nos piden dos soluciones concrets: t 0 (0, 0, ) t 1 (1,, ) ) ) Fctorizr los siguientes polinomios: (1 punto) P(x) x + x x ; Q(x) x x + Fctorizmos P(x) por Ruffini: Llegdos este punto, no encontrmos cómo seguir. Así que intentmos fctorizr el polinomio igulándolo cero y resolviendo l ecución de segundo grdo resultnte: x + x + 0 (Multiplicndo mos miemros por 1/): x + x x IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

13 IES Fernndo de Herrer 1 de enero de 01 Primer trimestre - Recuperción 1º Bch CCSS que no tiene solución, puesto que no existe l ríz de un número negtivo. Por tnto, como no conocemos ls ríces posiles del polinomio de grdo, no es plicle el Teorem de Descomposición Fctoril de Polinomios, por lo que l fctorizción es l que hemos otenido por Ruffini: P(x) x + x x (x 1)(x + )(x + x + ) Fctorizmos Q(x). Como es de grdo, en lugr de pror por Ruffini, lo igulmos cero y verigumos sus ríces: x 1 1 x + 0 x Como conocemos ls ríces del polinomio, que es de grdo, plicmos el Teorem de Descomposición Fctoril de Polinomios: Q(x) x x + (x 1)(x /) x x x ) Resolver l ecución: 0 (1 punto) x x Los dos polinomios los tenemos descompuestos, por lo que podemos simplificr l ecución: x x x ( x 1)( x )(x x ) 0 0 x x ( x 1)( x / ) ( x )( x x 1) 0, si x 1, x / ( x 1)( x / ) ( x )( x x 1) 0, si x 1, x / ( x 1)( x / ) Como el denomindor no se puede nulr nunc, no hrí que especificr que tiene que ser x /, porque y se ve que hce 0 el denomindor; pero hemos de señlr que tiene que ser x 1, porque se h perdido en l simplificción. Un frcción se hce 0 si y solmente si lo hce el numerdor, pero no el denomindor. De modo que l solución de est ecución son los vlores que nulen el numerdor, pero, de ellos, hy que descrtr los que tmién nulen el denomindor. En este cso, l her hecho l simplificción, y hn sido descrtdos los que nuln tmién el denomindor, pero recordmos l teorí generl. Así, l solución l otendremos de: (x + )(x x 0 x + x + 1) 0 x x 1 0, no tiene solución Lo que se h resuelto teniendo en cuent que un producto vle 0 si, y sólo si, lguno de los fctores se nul. Por tnto, l solución finl es x. ) Hllr el vlor de pr que l división del polinomio P(x) x x x + entre x + teng como resto 8. (1, puntos) Por el Teorem del Resto, el resto de dividir P(x) entre x ( ) es igul P( ). Por tnto, dee ocurrir: P( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( 8) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

14 IES Fernndo de Herrer 1 de enero de 01 Primer trimestre - Recuperción 1º Bch CCSS ) Resolver l ecución: x 9 x (1, puntos) No podemos conseguir que x prezc en un solo lugr, por lo que vmos pror un cmio de incógnit: x 9 x x ( ) x x x x ( x ) Y llmndo t x, qued: t + t t t t 1 Deshcemos el cmio: t / x /, lo que no es posile ( x > 0, x) t x x 1 ) Resolver: log x log x log (x + 1) (1, puntos) Y que no es posile desrrollr log(x + 1), intentmos eliminr logritmos: log x log x log (x + 1) log (x) log x log (x + 1) x log log( x 1) log 8x log( x 1) 8x x + 1 x x 1 x 1/ que es un solución válid porque no nul ningún rgumento de los logritmos de l ecución originl. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de