RELACIÓN DE PROBLEMAS DEL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO.

Transcripción

1 RELACIÓN DE PROBLEMAS DEL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO. 1- Ddo el triángulo de vértices A=(1,-3,), B=(3,-1,0) y C(-1,5,4). ) Determinr ls coordends del bricentro. b) Si ABCD es un prlelogrmo, determinr ls coordends de D. c) Clcul el áre del triángulo ABC. - Ddos los puntos A(-1,0,) y B(4,,6), hllr: ) Ls coordends de los puntos que dividen l segmento AB en tres prtes igules. b) Ls coordends de los puntos que dividen l segmento AB en cinco prtes igules. 3- Determinr ls ecuciones prmétrics, continu y generl de l rect r determind por el punto P y con vector de dirección v en cd uno de los siguientes prtdos: ) P = (1,-,3) y v = (1,0,0) b) P = (0,0,1) y v = (1,-1,0) c) P = (1,0,-3) y v = (0,0,5) d) P = (4,4,1) y v = (,-1,1) 4- Determinr ls ecuciones prmétrics, continu y generl de l rect que psndo por el punto P = (1,-,5): ) Es prlel l eje de bscis. b) Es prlel l eje de ordend. 5- Hllr l ecución de l rect determind por los puntos A y B en cd uno de los csos siguientes: ) A = (0,0,0) y B = (-1,7,) b) A = (0,1,3) y B = (0,,1) c) A = (-1,-3,) y B = (4,1,) d) A = (,0,0) y B = (-1,3,0) 6- Averigur si el punto A incide l rect r (incidir = pertenecer), en los siguientes csos: ) A = (0,3,-1) y r: (x,y,z) = (0,1,0) + t(0,,-1) con t b) A = (-3,,1) y r: (x,y,z) = (4,0,5) + t(-4,3,) con t 7- Determin si los puntos A, B y C son colineles o coplnrios en los siguientes prtdos: ) A = (0,0,1), B = (-1,-1,4) y C = (3,7,-8) b) A=(0,0,0), B=(1,-1,1) y C=(,-,) 8- Hll l ecución de l rect s que ps por el punto A y es prlel l rect r en los siguientes prtdos: x 1 3 x ) A=(1,,-3) r: y b) A=(4,0,-1) r: y z z 1

2 9- Determinr l posición reltiv de ls rects r y s en cd uno de los prtdos y, si es necesrio, según los vlores de. x 1 3 x 1 x 1 y 3x y 1 0 ) r: y s: z b) r: y 3 s: z 3 1 x z 7 0 z 1 x 0 x 1 x 1 3 y 3 z 1 c) r: y 1 s: y 0 d)r: y s: x 1 z z 1 1 z x 1 y 1 e) r: y 1 s: x 4 z 4 z Determin ls ecuciones prmétric y generl del plno determindo por el punto A y los vectores u y v en cd uno de los csos siguientes: ) A = (-, 3, 1), u = (, -3, 0) y v = (1,0, 1) b) A = (0, 1, 1), u = (, 0, 0) y v = (0, -1, 0) c) A = (1,, 3), u = (-1, 0, ) y v = (1, -1, 3) d) A = (-1, 0, 3), u = (-4, 6, 8) y v = (6, -9, -1) 11- Determinr l ecución generl del plno que psn por el punto A = (-1, 3, -5) y es prlelo l plno coordendo OXY. 1- Hllr ls ecuciones prmétrics y generl de los plnos determindos por los puntos A, B y C en los siguientes prtdos: ) A=(0,0,0), B=(1,1,1), C=(-1,4,) b) A=(0,1,3), B=(1,0,3), C=(1,3,0) c) A=(-1,3,7), B=(1,1,0), C=(1,-,4) d) A=(-1,1,3), B=(1,1,-1), C=(3,1,5) x Ddo el punto A = (4, 0, 1) y ls rects r: y z y r : x 1 y 3 z 1 ) Hll ls ecuciones del plno que ps por el punto A y es prlelo ls rects r y r. b) Hllr ls intersecciones del plno con los plnos coordendos. c) Hllr su ecución segmentri. d) Clcul el volumen del tetredro formdo por y los plnos coordendos. 14- Averigur si el punto A pertenece l plno en cd cso: x 1 3 ) A=(-1,1,4) y : y, z 3

3 x b) A=(-1,3,1/3) y : y, 1 z 3 c) A=(0, -1, 3) y : x -3y = Determinr l posición reltiv de los siguientes plnos: x 1 x 1 ) : y, : y, z 3 z x x 1 b) : y 1, : y 4 3 4, z 3 z 3 c) : x y + z + 4 = 0 : 7x y + z + 4 = 0 x 1 x d) : y, : y, z z 1 e) : x + y - 3z = 1 : x y = 1 f) : x y + z + 4 = 0 : -x + y = Ddos los puntos A=(1,,3), B=(0,1,1), C=(1,0,1), D=(1,1,0): ) Demuestr que no son coplnrios. b) Clcul el volumen del tetredro que formn dichos puntos. c) Comprobr que los puntos medios de los ldos AB, BC, CD y DA son los vértices de un prlelogrmo. Clcul su áre. 17- Determinr l posición reltiv del plno y l rect r: x 3 x 1 ) r: y : y 1, z 3 z 6 1 x x 1 b) r: y 1 5 : y 3, z 1 3 z 3 x 4 c) r: y 5 z x 1 y d) r: z 1 x 1 : y, z 3 : x y + z 1 = Hllr l ecución del plno que ps por el punto A=(1,-1,) y contiene l rect: x 3y z 0 r: x y z 3 0

4 x y z Clcul l ecución del plno que contiene l rect r: y es prlelo x y z 1 l plno : x + y + z = Clcul l ecución segmentri del plno que ps por el punto P=(1,,-3) y es prlelo l plno : x y + z -1 = 0. Teorí: En muchos ejercicios debes tener en cuent que: Antes de clculr lo que nos piden es necesrio conocer l posición reltiv de los elementos que nos dn como dtos. Tenlo en cuent pr los siguientes ejercicios: 1- Hllr l ecución de l rect r que ps por el punto A=(0,3,) y cort ls rects x y z 0 3x y 4 0 de ecuciones: s: y t:. x y z 3 0 y z Hllr ls ecuciones de dos plnos prlelos que contengn respectivmente ls x 0 y 0 rects: r: y s:. 3y z 5 0 x z 4- Determinr l ecución del plno que ps por el punto de intersección de los plnos: x y = 0, x + y z = 1, y + z = -3; y es prlelo l plno x + y + 3z 1 = Estudir l posición reltiv de los plnos: ) -x + y + z = -, x + 7y z = 1 y x + y z = 1 b) 5x + z = -7, x - y z = 1 y 3x - 3y - z = c) 5x + 7y + 4z + 7 = 0, x + 3y + 6z + 5 = 0 y 6x + 8y - 4z + 9 = 0 6- Hllr l ecución del plno que ps por los puntos A=(1,,-1), B=(3,,0), y es x y z 0 prlelo l rect r: x y z 0 7- Hllr l ecución del plno que ps por el punto A = (3, 1, 0), B = (-1,, 1) y es x 3y z 1 0 prlelo l rect r: x y z Ddo el tetredro 0=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(0,,0), C=(0,0,3), clculr: ) Su volumen. b) L distnci entre AB y OC. c) El ángulo entre ls rists AB y OA, y entre ls rists AB y BC 9- Hllr el vlor de "" pr que ls rects r: determinen un plno. x z y 3 y s: x 1 y 1 z 7 4

5 x 3y z Clculr el vlor de "" pr que ls rects r: y s: x y 3z 3 0 x y z 1 0 sen coplnris. x y z 0 y z 31- Determinr l ecución del plno que contiene l rect r: x 3 y es 3 x 3 prlelo l rect s: y 1. z x 3- Hllr y b pr que l rect r: y z 1 esté contenid en el plno :x -3y + z + b = Hllr un vector que se coplnrio con los vectores u=(1,1,3) y v=(,1,4) y se ortogonl l vector w=(1,1,-1). 34- Di si son cierts o flss ls siguientes firmciones: ) El producto vectoril de dos vectores prlelos es nulo. b) El producto esclr de dos vectores perpendiculres es uno. c) Tod bse ortogonl es ortonorml. d) El producto mixto de tres vectores prlelos es cero. e) L diferenci entre espcio fín y euclídeo es que en el primero no se puede hblr de distncis y que en él no está definido el producto esclr.