Unidad 6 GEOMETRIA ANALITICA

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1 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Unidad 6 GEOMETRIA ANALITICA Competencias a desarrollar: Determinar distancia y el punto medio de entre dos puntos dados Encontrar la ecuación de una recta si se conocen un punto y la pendiente o dos puntos de ella. Determinar el radio y el centro de un círculo, si se conoce su ecuación. Determinar la ecuación de un círculo, dados su centro y su radio. Identificar vértices y focos de una elipse. de la que se conoce la ecuación y viceversa. Hallar vértices, foco y directriz de una parábola, de la que se conoce la ecuación y viceversa. Identificar vértices, focos y asíntotas de de una hipérbola, de la que se conoce la ecuación y viceversa. 81

2 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Distancia entre puntos: Unidad 6 Elementos de Geometría Analítica Se puede demostrar con facilidad que la distancia d entre los puntos P1 ( x1, y1) y P x, ), es : ( y d = ( x x1 ) + ( y y1) Punto medio: Además el punto medio entre los puntos P 1 y P es el punto M, determinado por: M x1 + x y1 + y = (, ) Ejercicios: 1) En cada uno de los ejercicios del 1 al 5 realiza lo siguiente: a) Encuentra la distancia d(a,b) entre los puntos A y B. b) Halla el punto medio del segmento AB 1) A(4,-3) ; B(6,) ) A(-5,0) ; B(-,-) 3) A(7,-3) ; B(3,-3) 8

3 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 4) A(-1,5) ; B(3,-5) 5) A(,-3) ; B(-4,5) PENDIENTE DE UNA RECTA Definición: Sea L una recta que no es paralela al eje y ; y sean p1 ( x1, y1) y p1 ( x, y) puntos diferentes de L. Entonces la pendiente m de la recta L se define así: y y1 m = x x 1 Si L es una recta paralela al eje Y, la pendiente no está definida. Ejercicios: Traza la recta para cada par de puntos y encuentra la pendiente. 1) A(,3) ; B(4,8) ) A(-6,0) ; B(0,6) 3) A(1,3) ; B(10,3) 4) A(1,7) ; B(1,-1) 5) A(-3,) ; B(-3,-3) FORMA PUNTO PENDIENTE PARA LA ECUACIÓN DE LA RECTA Consideremos una recta que pasa por los puntos P1 ( x1, y1) y un punto P ( x, y) cuya pendiente es m 83

4 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Por la fórmula de la pendiente tenemos que: y y1 m = o y y1 = m( x x1 ) x x1 Esta última ecuación nos permite determinar la ecuación de una recta de pendiente m que pasa por un punto fijo x, ) ( y 1 1 A la expresión y y1 = m( x x1 ) se le conoce como Ecuación de la forma Punto Pendiente. Ejercicios: I. En cada uno de los siguientes ejercicios halla la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente indicada (Bosqueja un gráfico en cada caso) 1) (-1,); m=3 ) (,-3); m=- 3) (4,0); m=/3 4) (0,-3); m=1/4 5) (-5,1); m=0 6) (-5,1); m=indefinida II. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 y P : 1) P 1 (5,-1); P (0,3) ) P 1 (3,4); P (3,6) 3) P 1 (-,3); P (4,3) III. IV. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (,-3) y es paralela al eje Y Hallar la ecuación de la recta que pasa por (,-3) y es paralela al eje X FORMA PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN O PENDIENTE-INTERSECCION La ecuación de la recta puede expresarse de distintas maneras. Supongamos que la pendiente de una recta es m y su intersección con el eje Y es ( 0, b ). 84

5 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Si elegimos ( 0, b). como P1 ( x1, y1) y aplicamos la fórmula punto pendiente, obtenemos: y b = m( x 0) o sea y = mx + b ; esta última expresión se llama ecuación de la recta en forma Punto-Ordenada al Origen o Punto-Intersección. Ejercicios: I. Encuentre la pendiente de cada recta y su intersección con el eje Y. 1) Y=3X+5 ) 3Y=X-4 3) Y+=-4(X-1) 4) 4X+5Y=-0 II. Encuentre la ecuación de la recta si se conoce su pendiente m y su ordenada al origen (0,b) 1) m=-1; b=-4 ) m=3; b=1 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA: La gráfica de una ecuación lineal de la forma ax + by = c es una recta ; y recíprocamente toda recta es la gráfica de una ecuación lineal. A la expresión ax + by = c se le conoce como ecuación general de la recta (siempre que a y b no sean ambos cero). RECTAS PARALELAS: Teorema: Dos rectas (no verticales) son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. 85

6 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Si L L entonces 1 m 1 = m. ( L L : se lee L 1 1 paralela a L ) RECTAS PERPENDICULARES: Teorema: Dos rectas con pendientes m 1 y m son perpendiculares si y sólo si m 1. m =-1 Si L1 L entonces m 1. m =-1ó m 1 1 =. m ( L 1 L : Se lee L 1 perpendicular a L ) Ejercicios: Determinación de la ecuación de una mediatríz. Determine la ecuación para la mediatriz del segmento de recta que une a ( 4,3) con ( 1,0). La mediatriz debe pasar por el punto medio del segmento, entonces lo primero será calcular el punto medio entre los puntos. M M x1 + x y1 + y =, = ( 3, 3 ) = ( 1.5,1.5 ) =, La pendiente de la recta que une los puntos (-4,3) y (1,0) es: 86

7 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 y y m = = = ; esta recta es perpendicular a la mediatriz; por lo tanto la x x pendiente de la mediatriz será 5 simplificada será y = x + 4 ó 5 x 3y + 1 = 0 3 En la gráfica se ilustran el segmento y su mediatriz m 1 = y su ecuación será y = x + ; que 3 3 Ejercicios diversos: I. Escribe una ecuación para la recta que satisface las condiciones dadas: a) La recta L tiene pendiente 4 y pasa por el punto (-3,4). b) La recta L tiene pendiente 3 y pasa por el punto (-,-1). c) La recta T pasa por el origen y tiene pendiente 4. d) La recta L tiene pendiente 1 y ordenada al origen 4 4 e) La recta L tiene pendiente 1 y corta al eje Y en (0,-3). f) La recta R tiene pendiente 1 e intersección con el eje X es 4 g) La recta R tiene una intersección con el eje X de 5 y una intersección con el eje Y de 1. h) La recta V es vertical y pasa por el punto (-3,4). i) La recta H es horizontal y pasa por el punto (-3,4). 87

8 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 II. Qué pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos cosas?. a) Y=3X-; 6X-Y=0 b) X=-; Y=4 c) X=(Y-); Y=-1/(X-1) d) X+5Y=3; 10X-4Y=7 III. Encuentre la recta que pasa por (,-1) y que: a) pasa por (-3,5) b) es paralela a X-3Y=5 c) es perpendicular a X+Y=3 d) es perpendicular al eje Y IV. Encuéntrese la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas X+Y=1 y 3X+Y=5 y que es paralela ala recta 3X-Y=4 V. La recta L es perpendicular a la recta X+3Y=6 y pasa por el punto ( 3,1 ). Dónde corta al eje Y? VI. Determine la ecuación para la mediatriz del segmento de recta que une los puntos donde la recta 5Y-3X=, intercepta a los ejes. 88

9 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 El Círculo: Un círculo se define como el conjunto de todos los puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo es constante. El punto fijo se llama el centro, C, y la distancia constante al centro del círculo se llama el radio, r (donde r>0). Coloquemos un círculo de radio r en el plano cartesiano, con el centro en el punto ( h, k), elijamos un punto en el plano y llamémosle ( x, y). Véase en la siguiente figura: Círculo con centro en (h, k) y radio r La definición de un círculo nos dice que para que ( x, y) esté en el circulo la distancia del centro ( h, k) a ( x, y) debe ser r. Por la fórmula de la distancia, tenemos: ( x h) + ( y k) = r Si eliminamos el radical, elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación se obtiene lo siguiente: ( x h) + ( y k) = r A esta fórmula se le conoce como la forma canónica o forma estándar de la ecuación de un círculo con centro ( h, k) y radio r. El centro y el radio son todo lo que se necesita para describir o graficar un círculo. 89

10 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Ejemplo 1 Determinar la ecuación de un círculo con: (a) Centro (, 5) y radio 6 1 (b) Centro, 3 y radio Solución (a) Si observamos la forma canónica, puesto que el centro es (, 5), tenemos h = y k = 5; como el radio es 6, r = 6. ( x h) + ( y k) = r ( x ) + ( y 5) = 6 x x Sustituimos h =, k = 5, y r = 6 4x y + y 4x y 10y + 5 = 36, ordenando y reduciendo términos semejantes nos queda: 10 7 = 0 1 (b) Puesto que el centro es, 3, y el radios, tenemos que: 1 h =, k = 3 y r =, x h + y k = r ( ) ( ) 1 x x + ( y ( 3) ) = ( ) 1 + ( y + 3) = Por lo tanto, la ecuación del círculos es 1 x + ( y + 3) = si desarrollamos los binomios, queda: 9 x + y x + 6y + = 0 4 Aunque ambas formas de la respuesta son aceptables, la forma canónica de la ecuación tiene la ventana significativa de facilitar el reconocimiento del centro y del radio. 90

11 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Ejemplo Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones: (a) ( + 3) + ( y 4) = 8 Solución x (b) x + y = 9 (a) Reconocemos que la ecuación dada está en la forma canónica para la ecuación de un círculo, ( x h) + ( y k) = r de modo que podemos leer los valores h, k y r, teniendo cuidado con los signos. x h = x + 3 h = 3 h = -3 y k = y 4 k = 4 r = 8 r = 8 = Así, el centro del círculo es (-3, 4); el radio es.8. Con esta información, podemos trazar fácilmente la gráfica del círculo, como aparece en la figura siguiente: ( x + 3) + ( y 4) = 8 (b) La ecuación x + y = 9 también está en forma canónica.(se puede pensar como ( x 0) + ( y 0) = 3.) En consecuencia, el centro es (0,0) y el radio es 3. La gráfica se muestra a continuación 91

12 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Ejemplo 3 Determinar el centro y el radio de x + y 4x + 8y = 5 Solución Determinados el centro y el radio completando el cuadrado. x + y 4x + 8y = ( x 4x + ) + ( y + 8y + ) = 5 Sumamos 4 y 16 a los dos lados de la ecuación. ( x 4x + 4) + ( y + 8y + 16) = Reescribimos las expresiones cuadráticas en forma factorizada. ( x ) + ( y + 4) = 5 Así, tenemos un círculo con centro (, 4) Ejercicios 5 y radio 5 = 5. En los ejercicios 1-3, escriba una ecuación del círculo con el centro C y el radio r dados. 1. C = (,3); r = 3 1. C =,4 ; r = C =, ; r = 7 9

13 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 En los siguientes ejercicios, identifique el centro y el radio del círculo dado. 4. ( x 3) + ( y ) = x + y = ( ) 7 x + y + = 7. x + y + 6y = 0 8. x 4x + y = 1 9. Trace la gráfica de cada uno de los siguientes círculos: a. ( x ) + ( y + 3) = 4 b. x + y + 6x 10y + 33 = 0. c. x + y 4x + 1y 9 = 0 93

14 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 La Parábola: Una parábola es el conjunto de puntos en un plano cuya distancia a un punto fijo es igual a su distancia a una recta fija. El punto fijo es el foco y la recta fija es la directriz. Véase la figura siguiente: Figura 1 La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz es el eje de simetría, y el punto donde la parábola interseca a su eje de simetría es el vértice. Véase la figura siguiente: Figura Analizaremos las parábolas que tienen su eje de simetría horizontal o vertical. 94

15 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 La parábola con vértice (0,0) Llamaremos p a la distancia entre el foco y el origen (p>0), de modo que la distancia entre el origen y la directriz también es p. Por lo tanto, las coordenadas del foco F son ( 0, p ) y la ecuación de la directriz es y = p. Véase la figura 3 Figura 3 Por definición de una parábola, si elegimos cualquier punto P( x, y) de la parábola, la distancia de P( x, y) al foco F ( 0, p), es igual a la distancia del punto P ( x, y) al punto L( x, p). (Observe que L( x, p) es el punto que se utiliza para determinar la distancia perpendicular a la directriz que es la recta y = -p.) PF = PL Utilizamos la formula de la distancia ( x 0) + ( y p) = ( x x) + ( y + p) elevamos al cuadrado a ambos lados para obtener x 0 + y p = y + p ( ) ( ) ( ) x + ( y p) = ( y + p ) x + + y py + p = y + py p, Lo que implica x = 4 py A esta fórmula se le conoce como la forma canónica de la ecuación de una parábola con foco ( 0, p ) y directriz y = p. Ésta es una parábola con vértice en el origen y que tiene al eje y como su eje de simetría. Ejemplo: Determinar el foco y la directriz de la parábola y 1 x 3 =. 95

16 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Solución Para una parábola dada en la forma x = 4 py, sabemos que la ecuación de la directriz es y = p y el foco es ( 0, p ), por lo que necesitamos identificar p. 1 Podemos escribir la ecuación y = x en la forma x = 4 py, despejando 3 1 y = x x = 3y 3 Comparamos esto con la forma canónica para identificar p: x = 4 py 3 x = 3y Vemos que 4 p = 3 p = Por lo tanto, el foco es 0, y la directriz es y =. Véase la figura x : Figura 4. Ahora analizaremos la parábola con vértice en el origen pero simétrica con respecto del eje x. El foco es F ( p,0) y la directriz x = p, como vemos en la figura siguiente (fig 5)7: 96

17 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Figura 5 Como en el caso de la parábola simétrica con respecto al eje y, podemos deducir la ecuación de la parábola simétrica con respecto al eje x utilizando la fórmula de la distancia. Obtenemos lo siguiente: y = 4 px, ésta es la parábola con vértice en el origen y que tiene como eje de simetría al eje x Luego: la forma canónica para la ecuación de una parábola con foco F ( p,0) y directriz x = p es: y = 4 px Observemos más de cerca las diferencias entre las dos formas canónicas: El elemento clave para determinar si la parábola abre hacia arriba (abajo) o hacia la derecha (izquierda) es el término de segundo grado (al cuadrado). Sólo existe un término de segundo grado en al ecuación de la parábola; si existe un término x, la parábola abre hacia arriba o hacia abajo (simetría con respecto del eje y), pero si existe un término y, la parábola abra hacia la derecha o hacia la izquierda (simetría con respecto del eje x). Ejemplo: Determinar el foco y la directriz de la parábola Solución: Observemos que como existe término x = y. parábola simétrica con respecto del eje x y utilizamos la forma y (y no existe x ), tenemos una y = 4 px. 97

18 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 1 Despejamos y, en x = y y = x. Comparamos esto con la forma canónica de la parábola, con vértice en el origen y simétrica con respecto al eje x para identificar p: y = 4 px y = x tenemos 4 p = p = El foco,0 y la directriz es x =. Véase la figura Figura 6 Ejemplo: Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, si su foco es (0, -3). Solución Como el foco (0,-3) está sobre el eje y, la parábola es simétrica con respecto del eje y, su ecuación será de la forma x = 4 py. Como tenemos que el foco es (0, -3), entonces p = 3. Por lo tanto, la ecuación es x = 4( 3)y, o sea x = 1y E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Encuentra el vértice, foco y directriz de la parábola. Traza su gráfica, mostrando el foco y la directriz. 1. 8y = x. y 3x = 3. ( x + ) = 8( y 1) 98

19 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 4. ( y ) 1 = ( 3) 4 x 5. y = x 4x + 6. x + 0y = 10 Encuentra una ecuación para la parábola de la figura:

20 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 LA ELIPSE: Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano (llamados focos) sea una constante positiva. La elipse es muy útil para proporcionar un modelo matemático de varios fenómenos físicos, como las órbitas de los planetas. Podemos construir una elipse en papel así: clava dos tachuelas en el papel en dos puntos cualesquiera F y F ' y sujeta los extremos de un trozo de hilo a las tachuelas. Tras enrollar el hilo alrededor de un lápiz y tensarlo, igual que en el punto P de la figura siguiente: Figura 7 Mueve el lápiz de modo que el hilo se mantenga tenso, La suma de las distancias d ( F, P) y d ( F', P) es la longitud del hilo y, por lo tanto, es constante; así, el lápiz trazará una elipse con focos en F y F `. El punto medio del segmento F` F se llama centro de elipse. Si cambiamos las posiciones de F y F' pero mantenemos fija la longitud del hilo, podemos variar considerablemente la forma de la elipse. Si F y F ' están a una distancia tal que d( F, F' ) sea casi la misma que la longitud del hilo, la elipse es plana. Si d ( F, F' ) está cercana a cero, la elipse es casi circular. Si F = F ', obtendremos un círculo con centro F. A fin de obtener una ecuación sencilla para una elipse, escojamos el eje x como la recta que pasa por los focos F y F ', con el centro de la elipse en el origen. Si F tiene coordenadas ( c,0) con c > 0, entonces, como en la figura 8, F ' Tiene coordenadas ( c,0) ; por lo tanto, la distancia entre F y F ' es c. La suma constante de las distancias de P desde F y F ' se denotará con a. Para obtener puntos fuera del eje x, debemos tener a > c; esto es, a > c. Por P x, y está en la elipse si y sólo si definición, ( ) ( P, F ) + D( P, F' ) = a d 100

21 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Figura 8. Si usamos la fórmula de la distancia y eliminamos radicales, llegamos a la siguiente ecuación: x y + = 1, en donde b = a c. b a Dado que c > 0 y b = a c, se deduce que a > b y, por lo tanto, a > b. Podemos encontrar las intersecciones en x de la elipse, haciendo y = 0 en la ecuación, de manera que obtendremos x / a = 1 o bien x = a ; en consecuencia, las intersecciones x son a y a. Los puntos correspondientes a,0 V a,0 de la gráfica se llaman vértices de la elipse (fig. 9). V ( ) y ( ) El segmento de recta V ' V es el eje mayor. De igual forma, si hacemos x = 0 en la ecuación obtenemos: y / b = 1, ó y = b. Por lo tanto, las intersecciones en y son b y b. El segmento entre M '( 0, b) y M ( 0,b) se denomina eje menor de la elipse. Figura

22 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Del mismo modo, si tomamos los focos sobre el eje y, obtenemos la ecuación x b + a y = 1. En este caso, los vértices de la elipse son (,±a) menor son ( ± b,0) según se expone en la figura y los puntos extremos del eje Figura 10 Ejemplo: Graficar las siguiente elipse e identificar los focos : x + y = Solución (a) Para graficar una elipse con el centro en el origen, comparamos nuestra x 0 ecuación con la forma canónica de la elipse + = 1. y obtenemos a b a = 16 a = 4 y b = 9 b = 3. (Recuerde que a y b son positivos) Graficamos los vértices ( ± 4,0) y los extremos del eje menor, ( 0, ± 3) y graficamos la elipse, como se muestra en la figura

23 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Figura 11. Observe que a > b y c = a b = 16 9 = 7 c = 7. Por lo tanto, los focos son ( ± 7,0). Ejemplo: Graficar 16x + 4y = 16 Identificar sus focos Solución Primero escribiremos la ecuación en forma canónica. Para obtener un 1 del lado derecho, debemos dividir entre16. 16x + 4y = 16 Dividimos ambos lados entre x y 16 = Simplificamos. x 1 canónica. + y 4 = 1 La ecuación está ahora en forma Si comparamos nuestra ecuación con ambas formas canónicas de la elipse, observamos que el denominador de y es mayor que el denominador de x ; por lo tanto, como a debe ser mayor que b, utilizamos la segunda forma x y + = 1una elipse con foco en el eje y. Por lo tanto, a b a = 4 a = y b = 1 b = 1 Graficamos los vértices ( 0, ± ) y los extremos del eje menor ( 1,0 ) gráfica de la elipse, Véase la figura 1. ± y trazamos la 103

24 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Observe que (, 3) 0 ±. a > b y c = a b = 4 1 = 3 c = 3.Los focos son Ejercicios Figura 1 En los ejercicios 1-5, identifique los vértices y los focos de la elipse. 1. x + y 49 9 = 1. x + y 1 18 = 1 3. x + y 4 9 = x + 9y = 5 5. y + 30x = 30 En los ejercicios 6-8, grafique la elipse e identifique los vértices y los focos. 6. x + y = x + y = x + 8y = 1 En los ejercicios 9-11, escriba la ecuación de la elipse utilizando la información dada. 9. La elipse tiene focos en (, 0) y (-, 0) y vértices en (4, 0) y (-4, 0) 10. La elipse tiene focos en (0, 3) y (0, -3) y vértices en (0, 5) y (0, -5) 104

25 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión La elipse tiene centro en el origen; su eje mayor es horizontal, con longitud 8; la longitud del eje menor es

26 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 La hipérbola Una hipérbola es el conjunto de puntos en el plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es una constante positiva. Los puntos fijos son los focos de la hipérbola. Vea figura siguiente: Obtengamos una ecuación de esta hipérbola. Escojamos un sistema de coordenadas con focos F 1 (c,0) y F (,0) c constante a : O sea d P, F ) d( P, F ) a ( 1 = Por la definición de la hipérbola, si elegimos cualquier punto P( x, y) sobre ella, el valor absoluto de la diferencia de las distancias de P( x, y) a F 1 (c,0) y a F ( C,0) es constante. Llamemos a esta distancia Utilizamos la fórmula de la distancia: ( x c) + ( y 0) ( x + c) + ( y 0) = a Si trabajamos con esta ecuación como hicimos en el caso de la elipse, obtenemos x y = 1 siendo b = c a b a Las intersecciones de la gráfica de esta ecuación con el eje x quedan determinadas al hacer y = 0 : x a x a x a b y 0 b = = reemplazamos y = 0 ; despejamos x. = 1 x = a x = ± a, Las intersecciones con el eje x son ± a 106

27 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Los puntos V ( ) y ( ) de recta V1V a,0 1 V a,0 son los vértices de esta hipérbola, y el segmento es el eje transversal (ver figura página siguiente). El segmento de recta que une los puntos W 1 ( 0,b) y W ( 0, b) de la hipérbola. Lo anterior lo podemos resumir así: es el eje conjugado La gráfica de la ecuación x y = 1, es una hipérbola con b a centro en ( 0,0) y vértices en ( ± a,0). Los focos son ( ± c,0), donde c = a + b. Los extremos del eje conjugado son ( 0, ± b). La longitud del eje transversal es a, la longitud del eje conjugado es b y las asíntotas de la b hipérbola son y = ± x a Ejemplo: En la figura siguiente se muestra la gráfica de la hipérbola x y = Como a = 16 a = 4, los ± 4,0. Además, vértice son ( ) b = 9 b = 3 y como c = a + b, tenemos que c = = 5 c = 5. Por lo tanto, los focos son ( ± 5,0). Las asíntotas son: 3 3 y = x y la otra y = x

28 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Del mismo modo, si tomamos los focos sobre el eje y, obtenemos la ecuación y a b x = 1 siendo b = c a, Los elementos de esta hipérbola se pueden resumir como sigue: La gráfica de la ecuación y x = 1, es una hipérbola con centro en b a ( 0,0) y vértices en ( 0, ± a). Los focos son ( 0, ± c), donde c = a + b. Los extremos del eje conjugado son ( ± b,0). La longitud del eje transversal es a, la longitud del eje conjugado es b y las a asíntotas de la hipérbola son y = ± x b E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S En los ejercicios 1-3, identifique los vértices, los focos, y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola. 1. x y 9 16 = 1. y x 1 18 = x 9y = 5 108

29 Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 En los ejercicios 4-5, grafique la hipérbola e identifique los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas. 4. x y = x y = 4 109