MAE275 Probabilidad y Estadística

Transcripción

1 1.- Para cada uno de los experimentos a seguir, describa el espacio muestral e indique el número de sus elementos. (a) En una linea de produción se cuenta el número de piezas defectuosas en un intervalo de una hora. (b) Una carpeta con diez nombres contiene tres nombres de mujeres. Se selecciona una ficha tras otra, hasta el último nombre de mujer ser seleccionado, y se anota el número de fichas seleccionadas. (c) De una población de diabeticos, tres personas son seleccionadas al azar, con reposición y se anota el sexo de cada una de ellas. (d) Una muestra de agua es retirada de un rio y se observa la concentración de mercurio en el agua (mg/ml). (e) De un grupo de cinco personas {A, B, C, D, E}, se sortean dos, una tras otra, con reposición, y se anota la configuración formada. (f) Como quedaría el espacio muestral del item (e) si las retiradas fuesen sin reposición? 2.- Dos focos se mantienen encendidos hasta que dejan de funcionar. Se supone que ninguno durará más de 1600 horas. Defina el espacio muestral del experimento y los sucesos: (a) Ambos focos duran menos de 1000 horas. (b) Ninguno se funde antes de las 100 horas. (c) El menor tiempo de duración de los dos focos es 100 horas. 3.- Cierta ciudad de habitantes tiene tres periódicos, A, B y C. De estos, A y C son periódicos de la mañana y B es vespertino. Los porcentajes de habitantes que leen estos periódicos son: A el 10 %, B el 30 %, C el 5 %, A y B el 8 %, A y C el 2 %, B y C el 4 % y A, B y C el 1 %. (a) Determine el número de personas que lee sólo un periódico. (b) Cuántas personas leen por lo menos 2 periódicos? (c) Cuántas personas leen al menos un periódico en la mañana y uno vespertino? (d) Cuántas personas no leen ningún periódico? (e) Cuál es el porcentaje de personas que leen B ó C, pero no A? Sea Ω = {1, 2, 3,...}. Se define P(A) =. Demuestre que P(A) es una función de 2x x A probabilidad. 5.- Demostrar que 1 P(A c ) P(B c ) P(A B) 6.- Un sistema contiene dos componentes C 1 y C 2 y se conecta de tal manera que éste funciona si cualesquiera de los componentes funcionan. Se sabe que la probabilidad de que el Página 1 de 6

2 sistema funcione con sólo el componente C 1 es 0,8, la probabilidad de que funcione con sólo el componente C 2 es 0,7; y la probabilidad de que funcione con ambos componentes es 0,71. Calcular la probabilidad de que el sistema funcione. 7.- Sea P(A c ) = 1 3, P(A B) = 5 6 y P(Bc ) = 1 2. Calcular: a) P(A B), b) P(A Bc ) y c) P(A c B) 8.- Demuestre que P((A B c ) c (A c B) c ) = 1 (P(A) P(A B)) (P(B) P(A B)) 9.- Sean A 1, A 2 y A 3 sucesos tales que A 1 A 2 A 3 = Ω y tomando en consideración que A 1 A 2 = A 1 A 3 = A 2 A 3. Sabiendo que P(A 1 ) = 1 4, P(A 2) = 1 2 y P(A 1 A 2 ) = 1 8. Hallar P(A 3) 10.- La probabilidad de que Elena apruebe Probabilidades es 0,55 y de que apruebe Calculo es 0,40. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de 0,25. Cuál es la probabilidad de que Elena: (a) Apruebe por lo menos uno de los dos cursos? (b) Apruebe solo uno de los dos cursos? (c) No apruebe ninguno de los dos cursos? 11.- Se posee una urna con 7 fichas, de las cuales 3 son blancas y el resto son verdes. Se seleccionan 3 fichas al azar de la urna, de una en una y sin reemplazo: (a) Calcular la probabilidad de que las dos primeras fichas seleccionadas sean blancas y la última sea verde. (b) Calcular la probabilidad de que hayan exactamente una ficha blanca y dos verdes Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 bolas azules. Tres jugadores A, B y C extraen una bola, sin devolución y en este mismo orden. Gana el primer jugador que saca bola blanca. Calcular la probabilidad de que gane el jugador C Un grupo de personas está compuesto de 5 médicos y 7 paramédicos. Se eligen al azar 2 de ellos. (a) Cuál es la probabilidad de que el primero de los seleccionados sea paramédico y el segundo médico? (b) Cuál es la probabilidad de que el segundo seleccionado sea médico? (c) Cuál es la probabilidad de que ambos seleccionados sean paramédicos? 14.- Una prueba contiene dos problemas. Se sabe que 132 estudiantes resolvieron el primero, 86 se equivocaron en el segundo, 120 resolvieron ambos y 54 se equivocaron en apenas un problema. Cuál es la probabilidad de que un alumno, escogido al azar: (a) se equivocó en ambos problemas? (b) consiguió resolver sólo el segundo problema? Página 2 de 6

3 15.- La señora K, cuando tiene dolores de cabeza, escoge al azar entre dos analgésicos. Si uno de ellos tiene probabilidad 3/4 de aliviar el dolor y el otro tiene probabilidad 2/3, cuál es la probabilidad de que el dolor de cabeza de la señora K pase? 16.- Considere el lanzamiento simultáneo de una moneda y un dado. Defina los eventos: En la moneda se obtiene cara y En el dado sale 6. Determine si los eventos son independientes Demuestre que si A y B en Ω son eventos independientes, entonces: (a) A y B c son independientes (b) A c y B son independientes (c) A c y B c son independientes 18.- En un estudio de una enfermedad al pulmón se examinan a personas mayores de 60 años. Se halla que personas de este grupo son fumadores. Entre los fumadores padecen de desórdenes pulmonares. Entre los que no fuman tienen desórdenes pulmonares. Son los eventos fumadores y desórdenes pulmonares independientes? 19.- Las probabilidades de que dos eventos independientes ocurran son p y q, respectivamente. Cuál es la probabilidad: (a) De que ninguno de estos eventos ocurra? (b) De que por lo menos uno de estos eventos ocurra? 20.- Suponga las siguientes probabilidades: P(A) = 0,75; P(B A) = 0,9; P(B A c ) = 0,8; P(C A B) = 0,8; P(C A B c ) = 0,6; P(C A c B) = 0,7 y P(C A c B c ) = 0,3. Calcule: (a) P(A B C), (b) P(B C), (c) P(C) y (d) P(A B C) 21.- En un club de amigos, 10 practican tenis, 7 practican fútbol, 4 practican ambos deportes y los restantes 5 no practican algún deporte. Si se elige una de estas personas al azar, calcule la probabilidad que, (a) Al menos practique un deporte. (b) No practique tenis. (c) Practique tenis y no practique fútbol. (d) Practique tenis dado que no practica fútbol. (e) Practique fútbol dado que no practica tenis Sean los eventos A y B tales que P(A) = 0,4, P(B) = 0,3 y P(A B) = 0,1. Encuentre (a) P(A B); (b) P(B A); (c) P(A A B); (d) P(A A B); (e) P(A B A B) 23.- Un total de 500 parejas casadas y en las cuales marido y mujer trabajan, fueron encuestados sobre sus salarios anuales, con la información resultante resumida en la tabla: Por ejemplo, en 36 de las parejas, la esposa ganó más y el esposo ganó menos de $ Si una de las parejas se elige al azar, cuál es Página 3 de 6

4 Esposo Esposa Menos de $ Más de $ Menos de $ Más de $ (a) la probabilidad de que el marido gane menos de $ ? (b) la probabilidad condicional de que la esposa gane más de $ dado que el esposo gana más que esta cantidad? (c) la probabilidad condicional de que la esposa gane más de $ dado que el esposo gana menos de esta cantidad? 24.- Considere que las probabilidades relacionadas a los eventos G: gustar de gatos y A: gustar de perros sean P(G) = 1/4; P(A G) = 1/2 y P(G A) = 1/4. Responda: (a) Los eventos G y A son mutuamente excluyentes? Justifique. (b) Los eventos G y A son independientes? Justifique. (c) Calcule la probabilidad de no gustar de gatos dado que gusta de perros. (d) Calcule la probabilidad de no gustar de gatos y no gustar de perros Un total de estudantes de cierta Universidad, cuya área de estudio y sexo fueron registrados, respondieron a la siguiente pregunta: Usted está a favor, es contrario, o no tiene opinión sobre la democratización del acesso a la Universidad para los estudantes de los Liceos Municipales? El resumen de las respuestas está es la tabla: Área Género Opinión Sí No No tiene opinión Ingeniería M F Humanas M F Salud M F Si entre los alumnos escogemos uno aleatoriamente, cuál es la probabilidad de: (a) Ser del sexo femenino y ser favorable; (b) Ser contrario, sabiendo que es del área de ingeniería; (c) Ser del sexo femenino y del área de la salud, sabiendo que no tiene opinión En una fabrica de tornillos, las máquinas A, B y C producen 25, 35 y 40 por ciento del total producido, respectivamente. De la producción de cada maquina 5, 4 y 2 por ciento, Página 4 de 6

5 respectivamente, son tornillos defectuosos. Se escoge al azar un tornillo y se verifica que es defectuoso. Cuál es la probabilidad de que el tornillo provenga de la maquina A? De la B? De la C? 27.- En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es de 0,1. La probabilidad de que la alarma funcione sabiendo que se produce peligro es de 0,95. La probabilidad de que funcione la alarma dado que no hay peligro es de 0,03. Hallar la probabilidad de que: (a) No haya habido peligro sabiendo que la alarma funcionó. (b) Haya un peligro o que la alarma no funcione. (c) No funcione la alarma En una granja se tiene que la probabilidad que un animal tenga la gripe aviar es 0, 3. La probabilidad que la reacción a una prueba sea negativa para un animal sano es 0, 9 y que sea positiva para un animal enfermo es 0, 8. (a) Calcule la probabilidad que para un animal elegido al azar, el examen sea positivo. (b) Calcule la probabilidad que el animal elegido al azar esté enfermo, dado que el examen fue positivo En cada una de 10 urnas (U 1, U 2,..., U 1 0) hay 10 fichas. La n-ésima urna contiene n fichas blancas y (10 n) fichas negras. Se selecciona una urna al azar y de ésta se saca una ficha. Si se conoce que la ficha seleccionada es blanca, cuál es la probabilidad de que la ficha provenga de la urna 4? 30.- Dos proveedores A y B, entregan la misma pieza a un fabricante. Se sabe que el 5 % y 9 % de las piezas entregadas por A y B, respectivamente, son defectuosas y que A entrega cuatro veces más piezas que B. Si se extrae al azar una pieza y no es defectuosa, cuál es la probabilidad de que la haya fabricado A? 31.- La producción de un artefacto está dada por tres máquinas. La máquina I produce el 20 % del total, pero su 5 % sale defectuoso. La máquina II produce el 40 % del total, pero su 6 % sale defectuoso. Y la máquina III produce el 40 % del total, pero su 8 % sale defectuoso. Si se selecciona un artículo de la producción total, determinar la probabilidad de que: (a) el artículo sea defectuoso. (b) el artículo provenga de la máquina II sabiendo que es defectuoso. (c) el artículo no sea defectuoso, dado que proviene de la máquina I. (d) el artículo proviene de la máquina III, dado que no es defectuoso. (e) Existe independencia entre la característica ser defectuoso, de un artefacto y el hecho de ser producido por la primera máquina? 32.- La probabilidad de que Alicia estudie para su examen de Estadística es de 0.2. Si estudia, la probabilidad de que apruebe el examen es de 0.8. En tanto que si no estudia, la probabilidad es de 0.5. Página 5 de 6

6 (a) Cuál es la probabilidad de que Alicia apruebe Estadística? (b) Dado que Alicia aprobó su examen, cuál es la probabilidad de que haya estudiado? 33.- Suponga que la ciencia médica ha desarrollado una prueba para el diagnóstico del cáncer que tiene el 95 % de exactitud tanto en los pacientes que tienen cáncer como entre los que no tienen. Si 0.5 % de la población realmente tiene cáncer, calcular la probabilidad de que determinado individuo tenga cáncer, si la prueba dice que tiene Las llamadas telefónicas a una empresa son recibidas por tres recepcionistas A, B y C, de tal manera que de las 200 llamadas recibidas en un dia, 60 son atendidas por la recepcionista A, 80 por B y las restantes por C. La recepcionista A se equivoca al pasar la llamada en un 2 % de las veces, la recepcionista B en un 5 % y la C en un 3 %. Hallar la probabilidad de que al pasar una llamada recibida en la empresa, ésta sea pasada al lugar equivocado 35.- Un virus peligroso está presente en el 0.01 % de la población nacional. Se tiene una prueba clínica para detectar la presencia del virus, y esta prueba es correcta en el 99 % de los casos (es decir, entre los portadores del virus, la prueba dá positivo el 99 % de las veces y entre los no portadores dá negativo el 99 % de las veces). Un individuo tomado al azar en la población es sometido a la prueba y el resultado de ésta es positivo. Al conocer el resultado de la prueba, cuál es la probabilidad de que este individuo sea realmente un portador del virus?. Comente sobre el valor de esta probabilidad. Página 6 de 6