TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

Transcripción

1 TMA D MATMÁTICA (Oposcoes de ecudara) TMA 58 POBLACIO Y MUTRA. CODICIO D RPRTATIVIDAD D UA MUTRA. TIPO D MUTRO. TAMAÑO D UA MUTRA.. Itroduccó.. Tpos de Muestreo. 3. stmacó. 3.. Propedades de u Bue stmador stmadores Cetrados Cossteca fceca ufceca. 3.. Métodos de stmacó Putual stmacó por Máma Verosmltud Método de los Mometos Método de Mímos Cuadrados stmacó por Itervalos. 4. stadístcos. 5. rrores de Muestreo. 6. stmacó Putual. 6.. vel de Cofaza. 6.. Cálculo del Tamaño de ua Muestra que correspode a u rror stmacó de la Varaza Tamaño de la Muestra de la Varaza stmacó de la Proporcó Tamaño de ua muestra de la Proporcó. Bblografía Recomedada. /9

2 TMA 58 POBLACIO Y MUTRA. CODICIO D RPRTATIVIDAD D UA MUTRA. TIPO D MUTRO. TAMAÑO D UA MUTRA.. ITRODUCCIÓ. l obetvo de la stadístca es hacer ua fereca co respecto a la poblacó basádose e la formacó coteda e ua muestra. Como las poblacoes se descrbe medate medas umércas deomadas parámetros, el obetvo de la mayoría de las vestgacoes estadístcas es hacer ua fereca co respecto a uo o más parámetros de la poblacó. La geeraldad de los procedmetos de la fereca estadístca volucra ya sea la estmacó o be la prueba de hpótess. TIPO D MUTRO. Llamaremos muestra a la parte de la poblacó que utlzamos para coocer a toda la poblacó, auque sea de u modo apromado. Las muestras debe cumplr las sguetes codcoes: a) er Represetatva. sta codcó está asocada al tamaño de la muestra, ya que cuato más grade sea es evdete que más formacó proporcoará, y por lo tato, más represetatva. A su vez, el tamaño de la muestra també depede de la dspersó ya que, s la poblacó esta muy dspersa, tedremos que coger ua muestra de gra tamaño, para o perder mucha formacó. b) er Aleatora. Todos los aálss estadístcos se basa e que la muestra sea aleatora, es decr, que todos los elemetos de la poblacó tee la msma probabldad de formar parte de la muestra. caso cotraro, corremos el pelgro de coger ua subpoblacó, que es u subcouto de la poblacó que cumple ua determada codcó, co lo cual perdemos el prcpo de represetatvdad. el caso de que se perda la aleatoredad y, por lo tato la muestra o sea del todo represetatva, se dce que se ha cometdo errores de esgo. Otro fallo a la hora de elegr ua muestra es que ua varable codcoe a otra, ya que las varables debe ser depedetes y o codcoadas. emplo. U eemplo de ua muestra represetatva y aleatora es coger cco úmeros co dos decmales utlzado la fucó de Radomze, dode la poblacó es de 99 y la muestra es , 0 39, 0 30, 0 44, 0, 0 57 /9

3 Para aumetar la represetatvdad s ecesdad de aumetar el tamaño de la muestra se recurre al muestreo o téccas de muestreo. la práctca resuelve el problema de la represetatvdad. Hay varos tpos de muestreo: a) Muestreo Aleatoro mple. e realza e poblacoes e las que los datos so homogéeos. s decr, o este factores que produzca varabldad sstemátca. e este tpo de muestreo los elemetos de la poblacó homogéea se elge al azar. b) Muestreo Aleatoro stratfcado. e la poblacó este varabldad, este muestre cosste e descompoer la poblacó e partes que se llama estratos, de maera que detro de cada estrato los elemetos sea homogéeos, sedo dferetes los elemetos de estratos dsttos. Posterormete se realza u muestreo aleatoro smple e cada estrato, obteédose así la muestra. Crteros de stratfcacó. e debe coger como estratos aquellos factores que produce varabldad de los datos. Por eemplo, e las alturas de los españoles, los crteros de estratfcacó so: dad:,, 3 eo; H, M Zoa: Rural, Urbaa H M 3 Rural Urbaa Rural Urbaa Rural Urbaa Los cuadros represeta a los estratos. llamamos al tamaño del estrato y al tamaño de la muestra del estrato, la proporcó que este etre el tamaño de la muestra del estrato y el del estrato cocde co la proporcó que este etre el tamaño total de la muestra y el de la poblacó. c) Muestreo por coglomerados e aplca cuado la poblacó preseta heterogeedad y se actúa de la sguete maera: Paso : e descompoe la poblacó e clases llamadas coglomerados, de forma que detro de cada coglomerado haya la máma dspersó o heterogeedad (es decr, que haya de todo), de tal forma que los coglomerados se parezca etre sí. 3/9

4 Paso : Para elegr la muestra se realza u muestreo aleatoro de coglomerados. Cuado se elge u coglomerado, todos los elemetos del msmo forma parte de la muestra. d) Muestreo stemátco. e realza cuado los elemetos se ecuetra e ua lsta. Ua vez que se elge u úmero, el resto ya está codcoado. Para troducr la aleatoredad, se dce por dode se empeza a coger los elemetos. emplo. e ua lsta hay 00 úmeros y deseamos coger 5 de ellos, elegremos uo al azar etre los cuatro prmeros y, a partr de ese mometo, tomamos los elemetos cada cuatro. e) Muestreos Poletápcos. Los muestreos estratfcados se realza de la sguete maera: se forma estratos y después se hace u muestreo (de los tpos aterores), luego se hace otro, etc. Además, los tpos de muestreo puede ser co reemplazameto o s reemplazameto. Muestreo s reemplazameto. Ua vez tomado u elemeto o se devuelve a la poblacó. Muestreo co reemplazameto. l elemeto elegdo sí se devuelve a la poblacó, pudedo ser seleccoado de uevo. 3. TIMACIÓ. Icaremos el estudo estadístco de colectvos (poblacó) medate la eleccó de uos pocos (muestra), de los que ferremos las característcas de toda la poblacó. La stadístca Iferecal tratará de obteer formacó acerca de los parámetros poblacoales a partr de la muestra. Los stmadores so varables aleatoras utlzadas `para estmar parámetros de la poblacó. Los estmadores que proporcoa u úco valor para el parámetro poblacoal se deoma stmadores Putuales, metras que los que especfca u tervalo de valores se deoma stmadores por Itervalos. Para llevar a cabo tales estmacoes es ecesaro que la muestra sea represetatva de la poblacó, para lo cual ha de ser aleatora e su seleccó y poseer u adecuado tamaño. 3.. Propedades de u Bue stmador. Para que u estadístco sea cosderado u bue estmador de u parámetro dado, covee que reúa las sguetes propedades: 4/9

5 er Isesgado (cetrado) er Cosstete. er fcete. er ufcete. ea u estadístco ( del que os vamos a servr para estmar u parámetro ( stmadores Cetrados. Dremos que θ es u stmador Cetrado o Isesgado de θ s se verfca que (θ )θ. Por el cotraro, dremos que el estmador es esgado s (θ )θ+b(θ), y se deoma esgo del estmador a la catdad b(θ)(θ ) θ Cossteca. U estadístco θ utlzado para estmar u parámetro θ es cosstete s para tededo a fto, se verfca que θ θ e probabldad, para lo cual es sufcete que se cumpla las dos codcoes sguetes: ) Que sea Astótcamete Cetrado: (θ ) θ ) Que la Varaza teda a Cero: Var(θ ) fceca. para estmar u msmo parámetro θ teemos dos estmadores astótcamete cetrados θ y θ, decmos que θ es más efcete que θ s la varaza del prmero es meor que la del segudo. sto es, s Var(θ ) Var(θ ). La fceca Relatva de θ respecto de θ se defe como el cocete etre ambas varazas: Var( θ') efr ( θ' θ'' ) Var( θ' ') ufceca. U estmador θ del parámetro θ es ufcete s cotee tata formacó como la coteda e la propa muestra. Dcho de otra forma: Dremos que u estadístco TT(,,..., ) es ufcete para θ s la dstrbucó de,,..., dado T es depedete del valor del parámetro. 3.. Métodos de stmacó Putual. La stmacó Putual costtuye el método más elemetal de asgar los valores obtedos de la muestra (estadístcos) a toda la poblacó (parámetros). los métodos de estmacó putual se busca u estmador, co base e los datos muestrales, que proporcoe u úco valor del valor del parámetro. stmar u parámetro θ o es más que dar ua fucó de las observacoes que o depeda, por tato, del parámetro descoocdo: 5/9

6 θ θ (,,..., ) así pues, para cada valor de la muestra asga u valor al parámetro θ. A esta fucó se la deoma stmador y a sus valores stmacoes del Parámetro stmacó por Máma Verosmltud. ste método seleccoa como estmacó aquel valor del parámetro que tee la propedad de mamzar el valor de la probabldad de la muestra aleatora observada. otras palabras, el método de máma verosmltud cosste e ecotrar el valor del parámetro que mamza el valor de la fucó de verosmltud. deotamos a la fucó de verosmltud por L, es decr, la fucó de probabldad de la muestra (caso dscreto) o la de desdad de probabldad (caso cotuo), e ambos casos la fucó depede del parámetro descoocdo (o parámetros) θ, co lo que teemos:,, K, ) f ( ; ) L( θ; θ para ua muestra aleatora smple,,..., de ua dstrbucó co fucó de probabldad o desdad de probabldad f(;θ). La fucó L(θ;,,..., ), cosderada como fucó del parámetro θ, recbe el ombre de Fucó de Verosmltud de la Muestra. tg(,,..., ) es el valor de θ para el cual el valor de la fucó de verosmltud es máma, etoces Tg(,,..., ) es el estmador de máma verosmltud de θ. Así pues, el estmador mámo verosíml debe satsfacer la ecuacó: L(θ ;,,..., ) maº L(θ;,,..., ) θ Θ dode Θ es el spaco Paramétrco (couto de posbles valores del parámetro θ). l método de máma verosmltud tee la propedad de proporcoar estmadores que so fucoes de estadístcos sufcetes s y sólo s el estmador de máma verosmltud es úco. Debdo a la aturaleza de la fucó de verosmltud resulta a meudo mucho más fácl de obteer el estmador mámo verosíml del logartmo eperao de dcha fucó, L[L(θ;,,..., )], que de la propa fucó L(θ;,,..., ) Método de los Mometos. ste método es quzás el más atguo para la estmacó de parámetros. Cosste e gualar u determado úmero de mometos teórcos de la dstrbucó de poblacó co los correspodetes mometos muestrales para obteer ua o varas ecuacoes que, ua vez resueltas, permte estmar los parámetros descoocdos de la dstrbucó poblacoal. 6/9

7 3..3. Método de Mímos Cuadrados. l método de Mímos Cuadrados, troducdo por Legedre y Gauss, cosste e buscar los valores de los parámetros que mmza ua certa fucó cuadrátca de los msmos (la suma de los cuadrados de los errores). stos métodos so teresates debdo a sus propedades astótcas, pues para muestras grades: uele dar estmadores astótcamete cetrados, es decr, co u sesgo desprecable. Por lo geeral, so astótcamete ormales, es decr, que su dstrbucó de probabldad es apromadamete ormal stmacó Por Itervalos. Aú el estmador cetrado más efcete es mprobable que estme co eacttud el valor del parámetro de la poblacó. De aquí ace la ecesdad de obteer u tervalo detro del cual se espera hallar el valor del parámetro, lo que os lleva a la stmacó por Itervalos. Ua estmacó por tervalos de u parámetro θ de la poblacó es u tervalo de la forma θ L < θ < θ U dode θ L y θ U depede de las observacoes muestrales. Puesto que muestras dferetes geeralmete proporcoará valores dferetes de θ L y θ U, estos putos etremos del tervalo so valores aleatoros y se busca de modo que fado γ etre 0 y se verfque que P(θ L < θ < θ U )γ l Itervalo θ L < θ < θ U obtedo a partr de la muestra seleccoada recbe el ombre de Itervalo de Cofaza. l valor γ se deoma Coefcete de Cofaza. Los valores θ L y θ U so respectvamete Límte de cofaza Iferor y Límte de Cofaza uperor. 4. TADÍTICO. Defmos como stadístco cualquer fucó que depeda de los valores de la muestra. Dsttos tpos de stadístcos: ) Meda Muestral. + + K + e dfereca de la meda poblacoal µ e que es ua fucó y µ es u parámetro. 7/9

8 ) Varaza Muestral. s ( ) e dfereca de la varaza poblacoal, ya que es u úmero. 3) Cuasvaraza Muestral. ( ) 4) Proporcó Muestral. e defe para valores cualtatvos dode º de casos co cualdad y tamaño de la muestra. e defe por: p 5) Proporcó Poblacoal. e defe por Π La meda muestral puede tomar u couto de valores que depede de las varables,,...,. Los valores que puede tomar u stadístco t, t,..., t forma la poblacó del estadístco. La dstrbucó de frecuecas o de probabldad se llamará Dstrbucó del stadístco. emplo. Dada la poblacó {,3,5,7} co µ4 y 5, calcular la dstrbucó del estadístco de de tamaño : + Valores que puede tomar el stadístco: La meda de las medas muestrales es: µ que cocde co la meda de la poblacó. La varaza de las medas muestrales poblacó dvdda por. toces: 5, que cocde co la varaza de la 8/9

9 9/9 Por lo tato, la dstrbucó del stadístco de se austa a ua dstrbucó ormal de meda µ y varaza.así pues: µ, TORMA. Teorema Cetral del Límte. Cuado la poblacó es ormal, la dstrbucó del estadístco es ormal, co meda µ y varaza. 5. RROR D MUTRO. Calculemos la varaza de la meda muestral para establecer la precsó de las estmacoes: ) ( ) ( ( ) ( ) ( )( ) + Ahora be: ( ) ( ) V ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Por otra parte: ( ) ( ) ( )( ) + 0

10 0/9 Luego: ( )( ) ( ) V ) ( usttuyedo teemos: ) ( V V V Así pues: V poblacoal aza de la fucó e V poblacoal aza fucó de la cuas e var var ) ( PROP La cuasvaraza muestral es u estmador sesgado de la varaza poblacoal. Dem. Probaremos que (s ) ( ) s ( ) ( ) s Ahora be: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( )( ) ( ) + ( ) ( ) ( )

11 /9 toces: ( ) ( ) [ ] s ) ( V V V A la raíz cuadrada de la varaza de la meda muestral se le llama error de muestreo, y su valor es: V o també Llamaremos Factor de Correccó para Poblacoes Ftas a. la poblacó es fta ( ) se obtee que el error de muestreo es el cocete de la dervacó típca poblacoal y la raíz cuadrada del tamaño muestral. el caso de ua proporcó, al tratarse de ua meda, resulta que la proporcó muestral es u estmador sesgado de la proporcó poblacoal y P ) ( ρ pero e este caso se puede smplfcar más ( ) ( ) PQ P P ) ( (puesto que al tomar los valores 0 y, y Q P) co lo que el error de muestreo de la proporcó es PQ PQ p 6. TIMACIÓ PUTUAL. TAMAÑO D UA MUTRA. Cosste e asgar valores a u parámetro de la poblacó a partr de los valores de la muestra, dode la meda tee u valor determado que es estmado, o calculado.

12 Para ello se usa los estmadores, que so los estadístcos que da valores apromados del parámetro que se quere estmar. stmador Parámetro µ P Π La meda µ de la poblacó es apromadamete la que obteemos como meda de la muestra, y lo msmo ocurre co la varaza. Pero para saber como es de apromado debe coocerse el grado de apromacó que vee dado por la llamada Cota de rror e. e K La cota de error la utlzamos para estmar la meda de la poblacó medate el estmador meda muestral. Debemos saber que la cota de error depede de la dspersó del estadístco. Teemos que el estadístco es: µ, co, (,, K ) e puede tomar los valores de, pues todos tee 0 o se austa a la msma dstrbucó ormal. ua muestra -dmesoal (,,, ) se tee que: dode µ, + + K+ por lo tato podemos ver que la suma de varables ormales es també ormal y so détcamete dstrbudas e depedetes. e tee que: µ, µ, Para saber cuato vale la meda de ua poblacó se obtee ua muestra y se toma la meda de la msma como estmador. l problema está e que la cota de error o es segura, ya que todavía o sabemos el valor que debe tomar K. Para ello debemos platearos que vel de cofaza queremos e uestra estmacó. /9

13 6.. vel de Cofaza. e mde e térmos probablístcos, dode K se determa e fucó del vel de cofaza: ( µ < e) P () Para que esto suceda co ua probabldad elevada, se ecesta coocer el vel de cofaza, es decr, (dode para que el vel de cofaza sea alto debe ocurrr que sea muy pequeño). l vel de cofaza se defe como la probabldad de que la dfereca etre el estmador y el parámetro que se quere estmar sea meor que la cota de error, o sea (). l vel de cofaza suele establecerse etre 0 95 y 0 99, es decr Tpfcado se tee que: P µ < K µ P < K P( Z < K ) dode Z (0,). Por lo tato teemos que K Z Y de aquí deducmos que el error es e Z Debemos saber que la cota de error depede de: De la dspersó de la poblacó. Del tamaño de la muestra. Del vel de Cofaza. emplo. otas de Boquímca {8, 8 33, 8, 8, 7, 6, 8 9, 7, 7 8, 8 5} 7'78 0'95 Podemos tomar Z Z '96 0'975 e Z '96 0 '4 y obteemos que µ 7 '78 ± ' 4 3/9

14 6.. Cálculo del Tamaño de ua Muestra que Correspode a u rror. defmos e como el error mámo admsble, y partmos de la fórmula del error e Z se tee que: e Z e Z Z Z e e sta fórmula la aplcaremos porque coocemos osotros. Z y porque e lo damos embargo, esta fórmula sólo os srve para muestreos sobre poblacoes ftas o ftas co reemplazameto. Por lo tato, para poblacoes ftas utlzaremos esta otra fórmula: e Z sta fórmula del error para poblacoes ftas aparece a partr de la de poblacoes ftas, pero añadédole u térmo llamado Factor de Correccó, que es, sedo el tamaño de la poblacó y es el tamaño de la muestra. Además, podemos decr que este factor de correccó dsmuye el error, ya que <, por razoes obvas. el caso, ahora, de que queramos calcular el tamaño de ua muestra para poblacoes ftas, utlzaremos la fórmula: + Por lo tato, recaptulado teemos que: Poblacó Ifta Poblacó Fta e rror e Z Z Tamaño de la Muestra Z e + 4/9

15 6.3. stmacó de la Varaza. També se puede estmar la varaza medate la cuasvaraza ( ) pero como Z procede de ua dstrbucó ormal y la cuasvaraza o, teemos que establecer ua ueva fórmula del error, que es: e t, Como vemos, aparece u térmo uevo que es la dstrbucó cotua t-tudet, que depede del vel de cofaza que queramos para la cota del error y de los grados de lbertad -, dode es el tamaño de la muestra. Aálogamete a lo hecho ates, podemos establecer ua fórmula para la cota del error pero e poblacoes ftas, que depede de la cuasvaraza: t, OB Vamos a establecer ua relacó etre la varaza y la cuasvaraza, de maera que podamos coocer la cota de error, coocda ua o coocda la otra. s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s o lo que es lo msmo s Por lo tato se tee que: Poblacó Ifta Poblacó Fta rror e t, ó e t, ó t, t, emplo. e quere medr la efectvdad de u somífero. Para ello se aplca a 7 persoas que duerme ua meda de 8 h. Co ua desvacó de 0 5 h. stmar la efectvdad del somífero co ua cofaza del 95%. 5/9

16 Resolucó. Como la coclusó que queremos sacar es geeral, supodremos ua poblacó fta. 7 8' s 0'5 0'95 La efectvdad del somífero es el estmador. Teemos que calcular el error, ya que 8 horas. e t, como 0 05 y -6 etoces t 0 05,6 0'5 toces e ' 0' 3 horas. 6 Luego µ ±e 8 ±0 3 horas µ (8 07,8 33) 6.4. Tamaño de la Muestra de la Varaza. ste ahora u problema, porque para coocer el tamaño de la muestra ecestamos más datos, ya que hasta ahora hemos partdo de la muestra ya etraída. Para ver el tamaño de la muestra, hemos de teer e cueta la Paradoa de Fredma que dce que cuado o coocemos la varaza y queremos saber el tamaño de la muestra, debemos usar ua de estas tres opcoes: ) La varaza de u estudo smlar. ) La varaza de ua muestra ploto. 3) Ua muestra lo más grade posble. emplo. Queremos estmar la efectvdad de u fármaco co u error de muto (mámo). Cuátos pacetes tedría que recbr el fármaco? Z e 60 0'95 0'05 '96 t, Z e 6/9

17 La epresó ateror o podemos resolverla ya que os falta la varaza y al o teer ua muestra smlar, podemos calcularla a partr de la muestra del eemplo ateror, auque la varaza de la muestra ploto o es la varaza que buscamos, pero se aproma. '96 (0'5) ' Para o perder precsó apromamos por arrba. Cuado queremos reducr el error a la mtad ecestamos aumetar el tamaño de la muestra cuatro veces. e' Z 4 Z Z e Para poblacoes pequeñas, s ésta se duplca, el tamaño de la muestra també se duplca. ésta vuelve a duplcarse, da u resultado mayor, pero llega u mometo e el que por mucho que aumete la poblacó, su tamaño o fluye e el de la muestra. Lm stmacó de la Proporcó. defmos Π como la proporcó poblacoal y defmos p como la proporcó muestral, la cual se austa a ua dstrbucó p( p) Π, dode es el tamaño muestral, se tee que las cotas de error para poblacoes ftas e ftas so: p( p) e Z Cota de error para poblacoes ftas. Y añadédole el factor de correccó: Z p( p) Cuado queramos estmar el Itervalo de Cofaza de la Proporcó Poblacoal, éste os vedrá dado por la proporcó muestral y por la cota de error. s decr: Π * * p ±e dode p * p*00 y e * e*00, que se da e tato por ceto. 7/9

18 6.6. Tamaño de ua Muestra de la Proporcó. Para ua poblacó fta se tee que, despeado de la fórmula de la cota de error: Z p( p) e Pero esta fórmula o os srve, pues o tee setdo que s queremos hallar el tamaño de la muestra, estemos utlzado la proporcó muestral. Por tato, para poder solucoar este problema, susttumos e la fórmula la proporcó muestral por la proporcó poblacoal. Z Π( Π) e l problema se platea cuado tampoco coocemos Π. toces la preguta sería Cómo estudar Π s coocerlo? La solucó a este problema cosste e elegr ua de las sguetes opcoes: ) Tomar Π de u estudo smlar. ) Tomar Π de ua muestra ploto. 3) Darle a Π el valor que haga mámo a. s decr, os plateamos el caso más desfavorable de modo que así o podamos errar, y dcho valor es Π0 5. l tamaño de ua muestra para poblacoes ftas se obtee medate la sguete fórmula: + Π OB. Podríamos establecer la relacó e dode h es el ídce de proporcó de h error. s decr, s h es porque se quere u error que sea la mtad de la proporcó poblacoal. toces, utlzado esta relacó se tee que: Z Π( Π) Z h Π Π h emplo. Qué tamaño de muestra se ecestaría para estmar el porcetae de fumadores de la Regó de Murca, sabedo que e u estudo ateror se coocó que fumaba el 30%, y que podemos permtros u error mámo del 5%? abemos que: 0'95 Z '96 e 5% e 0 05 Π 30% Π 0 3 8/9

19 Z ( ) Π Π ( '96) 0'30'7 3'7 33 e 0'05 emplo. quséramos hacer u estudo para saber a cuátos de los 4 que estamos e este aula habría que etrevstar para calcular el porcetae de fumadores bao las codcoes del eemplo ateror, se tee que: 33 3' BIBLIOGRAFÍA RCOMDADA. Itroduccó a la Teoría de la stadístca. Aut.: Mood/Graybll. d. Agular. Itroduccó a la Probabldad y la Medda. Aut. Procopo Zoroa. d. PPU 9/9