VARIABLES ALEATORIAS. Ing. Andrés Álvarez Cid

Transcripción

1 VARIABLES ALEATORIAS Ing. Andrés Álvarez Cid

2 VALOR ESPERADO CASO DISCRETO Sea X una variable aleatoria discreta con un conjunto de valores posibles D y una función de probabilidad p(x). El valor esperado o valor medio de X, denotado por E(X) o µx, es: E X = μ X = σ xεd xp(x) El valor esperado es un operador lineal. 1. Homogeneidad. 2. Superposición.

3 EJEMPLO Considere una universidad que tiene estudiantes y sea X=el número de cursos en los cuales está inscrito un estudiante seleccionado al azar. La tabla de distribución se muestra a continuación. x Inscritos a) Calcule las funciones de probabilidad y distribución. b) Calcule el valor esperado de la función de probabilidad.

4 VALOR ESPERADO CASO CONTINUO El valor esperado o valor medio de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es: E X = μ X = xf x dx El valor esperado es un operador lineal. 1. Homogeneidad. 2. Superposición.

5 EJEMPLO La función de densidad de probabilidad de las ventas semanales de grava X fue: f x = x2 0 x 1 f x = 0 en otro caso a) Grafique la función. b) Determine si es una función de densidad legítima. c) Si es así, calcule si valor esperado.

6 EJERCICIO Exactamente después de nacer, cada niño recién nacido es evaluado en una escala llamada escala Apgar. Las evaluaciones posibles son 1,2,,9, con la evaluación del niño determinada por el tono muscular, esfuerzo para respirar, irritabilidad, etc. Sea X la evaluación Apgar de un niño seleccionado al azar nacido en cierto hospital durante el siguiente año y suponga la siguiente función de probabilidad. X P(x)

7 EJERCICIO Suponga que en una ciudad diferente la variable aleatoria X=intervalo de tiempo entre dos carros consecutivos seleccionados al azar tiene la siguiente función de densidad de probabilidad. f x = k x 4 x > 1 a) Determine el valor de k con el cual f(x) es una función de densidad. b) Obtenga la función de distribución acumulativa. c) Determine la probabilidad de que el intervalo exceda dos segundos. d) Obtenga el valor medio de la variable aleatoria.

8 FUNCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Sea X una variable aleatoria definida sobre el espacio muestral S, sea Y una regla de correspondencia que va de los números reales a los números reales, decimos que Y es función de X si para cada valor x en X la regla solo asigna un valor y en Y. Y = Y(X) El valor esperado de una función de una variable aleatoria se calcula de la siguiente manera. E Y X = σ x yp(x) E Y X = yf x dx

9 EJEMPLO Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad dada por la siguiente tabla. x p(x) 2/8 1/8 2/8 1/8 2/8 Nos interesa calcular la esperanza de la variable aleatoria Y=X 2.

10 MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA El n-esimo momento respecto al origen se define como el valor esperado de la función X n. E X n El n-esimo momento respecto al la media se define como el valor esperado de la función X n µ.se representa por la letra µ n y el subíndice n. μ n = E X μ n

11 VARIANCIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x). La variancia de X se define como el número. σ 2 = Var X = σ x x μ 2 p(x) Para una variable aleatoria continua X con función de densidad f(x) se define. σ 2 = Var X = x μ 2 f x dx La desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la variancia.

12 PROPIEDADES DE LA VARIANCIA 1. Var X 0 2. Var c = 0 3. Var cx = c 2 Var X 4. Var X + c = Var X 5. Var X = E X 2 E 2 X 6. En general Var X + Y Var X + Var Y

13 EJEMPLO La función de probabilidad X=el número de defectos importantes en un aparato eléctrico de un tipo seleccionado al azar es. x p(x) a) Calcule E(X). b) Calcule Var(X). c) La desviación estándar de X. d) Calcule Var(X) por fórmula abreviada.

14 EJEMPLO Calcule la media, la variancia y la desviación estándar de la variable aleatoria X con función de densidad. f x = 1 2 e x

15 EJERCICIO Calcule la media, la variancia y la desviación estándar de la variable aleatoria X con función de densidad. Cero en otro caso. f x = 1 x si 1 < x < 1