Matemáticas II Hoja 9: Derivadas y Aplicaciones. Representación de Funciones.

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Patricia Ponce Benítez
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1 Profesor: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachillerato) Matemáticas II Hoja 9: Derivadas y Aplicaciones Representación de Funciones Ejercicio 1: (Continuación del Ejercicio 1 de la Hoja 8) + 1 a 1 e < 0 0 Para a 0, estudiar la derivabilidad de f () en 0 Ejercicio : > 0 Dada la función sen, se pide: a) Determinar, justificando la respuesta, la ecuación 0 tiene alguna solución en el intervalo abierto π,π b) Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de y f () en el punto ( π, f ( π )) Recuérdese que la recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto Ejercicio : (Continuación del Ejercicio de la Hoja 8) f + A ) ( a) Estudiar f () es derivable para A 8 > b) Hallar los puntos en los que 0 c) Hallar el máimo absoluto y mínimo absoluto de () f en el intervalo [,8] 4 Ejercicio 4: Hallar el dominio de definición y las abcisas de los puntos donde la función ( )( 9 ) F( ) alcanza sus máimos y mínimos relativos 1

2 Profesor: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachillerato) Ejercicio 5: Dada la función cos se pide: a) Calcular los etremos relativos de () b) Calcular los puntos de infleión de () f en el intervalo ( π,π ) f en el intervalo ( π,π ) Ejercicio 6: (Continuación del Ejercicio 4 de la Hoja 8) g( ) ln Calcular g ( e) Dada ( ) Ejercicio 7: Dado el polinomio P ( ) + a + b + c, obtener los valores de a, b y c de modo que se verifiquen las condiciones guientes: El polinomio P () tenga etremos relativos en los puntos de abcisas 1 La recta tangente a la gráfica de () P en el punto (, (0)) 0 P sea y + 1 y Ejercicio 8: Hallar el valor de λ para que la función: λ e 1 sen sea continua Razonar la respuesta > 0 0 Ejercicio 9: 1 e k cos 1 sen < 0 0 > 0 Hallar el valor de k para que f () sea continua en 0 Ejercicio 10: (Continuación del Ejercicio 5 de la Hoja 8) a) Hallar el dominio de definición de la función b) Hallar el conjunto de puntos en los que la función f () tiene derivada

3 Profesor: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachillerato) Ejercicio 11: 4 a + 1 a) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en 1 Para este valor de a obtener los otros puntos en que f tiene un etremo relativo b) Obtener las asíntotas de de la gráfica de y f () para a 1 c) Esbozar la gráfica de la función para a 1 Ejercicio 1: (Continuación del Ejercicio 6 de la Hoja 8) Demostrar que la ecuación m 0 sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número m Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan Ejercicio 1: Hallar los valores mínimo y máimo de la función 1 Ejercicio 14: Calcular los guientes límites: a) lim e b) lim 0 1+ tan 1 tan Ejercicio 15: 1 ( + 1) Obtener, eisten, los máimos y mínimos relativos y las asíntotas de f () Ejercicio 16: a) Estudiar y obtener las asíntotas b) Estudiar los intervalos de concavidad y conveidad c) Representar la función gráficamente

4 Profesor: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachillerato) Ejercicio 17: Los puntos P (1,,1 ), Q (,1,1 ) y A (a,0,0) con a >, determinan un plano π que corta a los semiejes potivos de OY y OZ en los puntos B y C respectivamente Calcular el valor de a para que el tetraedro determinado por los puntos A, B, C y el origen de coordenadas tenga volumen mínimo Ejercicio 18: Calcula los guientes límites: a a) ( ) lim 1+ arctan 0 + e b) lim 7 + 5e Ejercicio 19: ln( + 4 5) a) Determinar el dominio de definición de f () y las asíntotas verticales de su gráfica b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f () Ejercicio 0: ( ) ln + k f > 0 0 a) Determinar el valor de k para que f () sea continua en R b) Hallar los puntos de corte con los ejes coordenados c) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abcisa 1 Ejercicio 1: a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f () b) Hallar los puntos de infleión de la gráfica de f () c) Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica de f () 4

5 Profesor: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachillerato) Ejercicio : a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto ( 1, ( 1) ) f b) Determinar los puntos de intersección de la recta hallada en el apartado anterior con la gráfica de f Ejercicio : e + ae a) Hallar los etremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f () b) Estudiar para que valor, o valores, de a la función f tiene alguna asíntota horizontal Ejercicio 4: Sabiendo que el volumen de un cubo de lado a es V ( a) a centímetros cúbicos, calcular el volumen mínimo de V ( ) + V ( y) + y 5 Ejercicio 5: Calcular las derivadas de las guientes funciones: a) ( ) b) Ejercicio 6: π g ( ) cos 8 1 a) Hallar el punto o puntos de la gráfica de f en los que la pendiente de la recta tangente sea 1 b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f () en 1 c) Sea g una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g ( 0) 0, g ( ) Demostrar que eiste al menos un punto c en el intervalo (,) 0 tal que g ( c) 1 5

6 Profesor: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachillerato) Ejercicio 7: ln 1 ( + a) 1 b 1+ a > 0 y 0 0 a) Hallar los valores de a y b para los cuales la función f () es continua en 0 b) Para a b 1, estudiar la función f es derivable, utilizando la definición de derivada Ejercicio 8: Si la derivada de la función f () es: f ( ) ( 1) ( 5) a) Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f b) Obtener los valores de para los cuales f tiene máimos relativos, mínimos relativos y puntos de infleión Ejercicio 9: + 1 a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f en 0 b) Estudiar cuándo se verifica que 0 Puesto que f ( 1) f ( 1) 0 Eiste contradicción con el Teorema de Rolle en el intervalo [ 1,1 ]? Ejercicio 0: ( 1) ( ) f e + Dibujar la gráfica de f (), estudiando el crecimiento, decrecimiento, puntos de infleión y asíntotas 6

7 Profesor: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachillerato) Ejercicio 1: ( 1 ( ) ) < a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f () b) Hallar los máimos y mínimos locales de f () c) Dibujar la gráfica de f () Ejercicio : ( ln ) a) Obtener los máimos y mínimos relativos b) Obtener los puntos de infleión de la función Ejercicio : a) Hallar sus asíntotas y etremos locales b) Calcular los puntos de infleión e Ejercicio 4: f + + ) + 1 ( a) Obtener los máimos y mínimos relativos b) Obtener los puntos de infleión de la función 7

8 Profesor: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachillerato) Ejercicio 5: e a) Calcular el dominio y las asíntotas de la función b) Obtener los intervalos de crecimiento, máimos y mínimos c) Obtener los intervalos de concavidad y puntos de infleión Ejercicio 6: a + b < 1 Hallar a y b para que f sea continua y derivable en R Ejercicio 7: + + a cos a + b a) Hallar a y b para que f sea continua en R < 0 0 < π π b) Estudiar la derivabilidad de f para los valores a y b obtenidos en el apartado anterior Ejercicio 8: + m donde m > 0 a) Para cada valor de m, hallar el valor de a > 0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (, f ( a) ) a pase por el origen de coordenadas b) Hallar el valor de m para que la recta y sea tangente a la gráfica de f Ejercicio 9: Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máima 8

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