Y resolvemos esta indeterminación por L Hôpital, derivando arriba y abajo:

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Joaquín Flores Silva
hace 5 años
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1 1.- Considerad la función: f(x) = ln x x a) Dad el dominio de f y estudiad si tiene una asíntota horizontal. b) Calculad una primitiva de f usando el método de integración por partes. Indicación: Fijaos que f puede escribirse como: f(x) = 1 ln x x c) Calculad el área de la región limitada entre la curva y = f(x) y la recta y = 0 para x 1. a) Para calcular el dominio nos fijamos en ambos elementos del cociente. El numerador es un logaritmo, por lo que lo de dentro debe ser mayor que cero, así que tenemos ya una primera limitación que es: x>0. El denominador es un polinomio, por lo que no da problemas más que cuando se anule. Por lo tanto tenemos x 2 0, es decir x 0, pero esta condición ya estaba incluida en la anterior. Por lo tanto tenemos que: D = (0, ) Para tener una asíntota horizontal estudiamos el límite en el infinito, es decir: ln x lim f(x) = lim x = Y resolvemos esta indeterminación por L Hôpital, derivando arriba y abajo: lim f(x) = 1 = lim x 2x = lim 1 x 2x = lim 1 2x = 1 = 0 Por lo tanto, SI que hay una asíntota horizontal en y=0 en el infinito. b) Calculamos la primitiva por partes: Hacemos: Y tenemos: F(x) = 1 ln x dx x u = ln x du = 1 x dx dv = 1 x dx v = 1 1 dx = x x F(x) = ln x 1 1 x x 1 ln x dx = x x + 1 ln x dx = x x 1 x + C c) Para calcular el área pedida hemos de mirar si la función corta al eje x en algún punto. Por lo tanto, hacemos: 1 1 x ln x = 0 = 0 No pasa nunca x ln x = 0 x = 1 Por lo tanto, lo que nos están pidiendo es que calculemos la integral:

2 S = 1 ln x x Se trata de una integral impropia ya que uno de sus límites de integración es infinito pero, como ya sabemos una primitiva suya, podemos plantear fácilmente el paso al límite: dx S = 1 ln x x dx = lim = lim 1 ln x x ln a a 1 ln 1 a dx = lim [F(a) F(1)] El primero de estos límites es una indeterminación que resolvemos, como antes, por L Hôpital: Por lo que tenemos: 2.- Considerad la función: para x > 0. ln a 1 lim a = lim a 1 = lim 1 a = 1 = 0 ln a S = lim a 1 ln 1 a 1 1 = [ 0 0] [ 0 1] = 1 1 f(x) = 2x ln x a) Calculad la ecuación de la recta tangente a la función en el punto x = 1. b) Calculad los extremos relativos de la función f(x) y clasificadlos. c) Calculad la primitiva de f(x), denotada por F(x), que verifica F(1) = 2. a) La ecuación de la recta tangente tendrá como pendiente el valor de la derivada en x=1 y pasará por el punto (1, f(1)). Así que: f(1) = 2 1 ln 1 = = 0 Por lo tanto, el punto será el (1, 0). Veamos la derivada: f (x) = 2 2x ln x + 2x 1 = 4x ln x + 2x x Si ahora calculamos su valor para x=1 tenemos que: Por lo tanto, la recta pedida será de la forma: f (1) = 4 1 ln = = 2 y = m x + b y = 2 x + b Y debe cumplir que pasa por el punto (1,0), es decir: Por lo tanto, la recta pedida es: 0 = b b = 2 y = 2x 2 b) Al tratarse de una función que es producto de dos funciones continuas y derivables (al menos para x>0, que es donde está definida), sus extremos serán los puntos que anulen la derivada, es decir:

3 f (x) = 0 4x ln x + 2x = 0 2x (2 ln x + 1) = 0 2x = 0 x = 0 (no pertenece al Dominio) 2 ln x + 1 = 0 ln x = 1 e = e x = 1 2 e = 1 2,7183 = 0,61 e Nos falta saber qué tipo de extremo es. Podemos dar valores a f (x) (por ejemplo 0,5 y 0,7 o podemos calcular la segunda derivada y sustituir f (x) = 4 ln x + 4x = 4 ln x + 6 f = 4 ln e + 6 x = = = 4 > 0 mínimo 2 c) Para calcular la primitiva, integramos por partes, haciendo: u = ln x du = 1 x dx Por lo tanto, nuestra primitiva será: F(x) = ln x 2x 3 dv = 2x dx v = 2 x dx = 2x 3 2x 3 1 2x dx = x 3 ln x 2 3 x dx = 2x 3 ln x 2 3 x 3 = 2x 3 ln x 1 + C 3 Como que nos dan una condición a verificar, podemos calcular C, que valdrá: F(1) = 2 Y la primitiva es: 3.- Calculad: ln C = C = 2 C = = 20 9 F(x) = x 3 ln x a) Estudiad el crecimiento de la funcióng(x) = (3 x) e. b) Calculad P (x), el polinomio de Taylor de grado 2 alrededor de a = 0 de la función f(x) = x e. c) Según el residuo de Taylor en valor absoluto, dad cuál es el máximo error que se comete si aproximamos f(x) = x e en el intervalo [0; 0,9] por el polinomio P2(x) calculado en el apartado anterior. a) Como que g(x) es el producto de dos funciones continuas y derivables, también lo será. Por lo tanto, hemos de estudiar el comportamiento de su derivada, en concreto, de los puntos en los que se anula, que es cuando cambiará de creciente a decreciente. Así que: Si igualamos a cero tenemos que: g (x) = ( 1) e + (3 x) e ( 1) = (x 4) e g (x) = 0 (x 4) e = 0 e = 0 No sucede nunca x 4 = 0 x = 4

4 Así que el único punto donde cambia de comportamiento es en x=4. Si miramos los signos en x=0 y en x=6 tenemos que: g (0) = (0 4) e = 4 1 = 4 < 0 Decreciente g (6) = (6 4) e = 2 0, = 0, > 0 Creciente Por lo tanto hay un mínimo en x=4 y la función es decreciente en (-, 4) y creciente en (4, ). b) Para calcular el polinomio de Taylor de grado 2 necesitamos evaluar la función y sus derivadas en el punto pedido. Y eso nos da: f(0) = x e = 0 e = 0 1 = 0 f (x) = 1 e + x e ( 1) = (1 x) e f (0) = (1 0) e = 1 1 = 1 f (x) = 1 e + (1 x) e ( 1) = (x 2) f (0) = (0 2) e = 2 Por lo tanto, el polinomio pedido es: c) El resto de Taylor viene definido por: P, (x) = (x 0) + 1! 2! (x 0) = x x R, (x) = f (c) (x 0) con c (0, x) 3! Por lo tanto, necesitamos la tercera derivada de f(x). Y el resto vale: f (x) = 1 e + (x 2) e ( 1) = (3 x) e (3 c) e R, (x) = (x 0) con c (0, x) 3! Y aquí es donde aplicamos el resultado del primer apartado!!!!! Hemos visto que la función g(x)=f (x) es decreciente en (-, 4), por lo tanto, también lo es en el intervalo (0, 0.9) y posemos acotar g(c) con g(0), es decir con: f (0) = g(0) = (3 0) e = 3 Por lo tanto, podemos acotar el resto de Taylor como: Y el error pedido es: (3 c) e R, (x) = (x 0) 3 3! 6 x = x 2 R, (0,9) (0,9) = 0, Considerad un cono de 18 m 3 de volumen, ver figura, que tiene un radio de la base r, una altura h y una arista (generatriz) a. a) Justificad que la fórmula de la arista del cono es: a = r + h = 54 h + h

ya que: 18 = V = 1 3 r h r = 3 18 h = 54 h Y sustituyendo en la expresión anterior, tenemos que: a = a(h) = h + 54 h = h + 54 h b) Como que nos piden que la arista sea mínima, lo que hemos de hacer

5 b) Calculad la altura del cono que tiene la longitud de la arista mínima. Comprobad que se trata efectivamente de un mínimo. a) La arista, la altura y el radio del cono se relacionan mediante el teorema de Pitágoras, por lo que tenemos que: a = h + r Como que nos dan el volumen, podemos establecer una relación entre h y r ya que: 18 = V = 1 3 r h r = 3 18 h = 54 h Y sustituyendo en la expresión anterior, tenemos que: a = a(h) = h + 54 h = h + 54 h b) Como que nos piden que la arista sea mínima, lo que hemos de hacer es derivar esta expresión e igualarla a cero, y tenemos que: Si igualamos a cero tenemos que: 2h 54 h 2 h + 54 h a (h) = 1 2 h + 54 h 2h 54 h = 54 2h h 2 h + 54 h = 0 2h = 0 2h = h h h = 54 2 = 27 h = 27 = 3 2,048 Para saber si es máximo o mínimo, damos valores a la derivada a ambos lados de 2,048, por ejemplo, en h=1 y h=3 y tenemos:

6 a (1) = a (3) = = = Por lo tanto, se trata efectivamente de un mínimo. = 15,188 8,529 = 1,78 < 0 = 4,090 7,676 = 0,533 > 0

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