Integración múltiple. Langley Photography/Getty Images

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1 Integrción múltiple En este cpítulo se introduce el concepto de integrles dobles sobre regiones en el plno e integrles triples sobre regiones en el espcio. En este cpítulo, se prenderá: Cómo evlur un integrl iterd encontrr el áre de un región pln. (.) Cómo usr un integrl doble pr encontrr el volumen de un región sólid. (.) Cómo escribir evlur integrles dobles en coordends polres. (.) Cómo encontrr l ms de un lámin pln, el centro de ms de un lámin pln los momentos de inerci usndo integrles dobles. (.) Cómo usr un integrl doble pr encontrr el áre de un superficie. (.5) Cómo usr un integrl triple pr encontrr el volumen, centro de ms momentos de inerci de un región sólid. (.) Cómo escribir evlur integrles triples en coordends cilíndrics esférics. (.7) Cómo usr un jcobino pr cmbir vribles en un integrl doble. (.8) Lngle Photogrph/Gett Imges El centro de presión de un vel es ese punto en el cul l fuer totl erodinámic puede considerrse que ctú. Y que l vel es representd por un región pln, cómo se pueden usr ls integrles dobles pr encontrr el centro de presión sobre un vel? (Ver sección., sección proecto.) Se puede proimr el volumen de un región sólid encontrndo l sum de los volúmenes de prisms rectngulres representtivos. Como ument el número de prisms rectngulres, l proimción tiende ser más más ect. En el cpítulo se prenderá usr integrles múltiples pr encontrr el volumen de un región sólid. 98

2 98 CAPÍTULO Integrción múltiple. Integrles iterds áre en el plno Evlur un integrl iterd. Utilir un integrl iterd pr hllr el áre de un región pln. Integrles iterds NOTA En los cpítulos 5 se estudirán vris plicciones de l integrción de funciones de vris vribles. Este cpítulo es mu similr l cpítulo 7 que ilustr el uso de l integrción pr hllr áres plns, volúmenes, áres de superficies, momentos centros de ms. En el cpítulo se vio cómo derivr funciones de vris vribles con respecto un vrible mnteniendo constntes ls demás vribles. Emplendo un procedimiento similr se pueden integrr funciones de vris vribles. Por ejemplo, dd l derivd prcil f, entonces, considerndo constnte, se puede integrr con respecto pr obtener f, f, d d Integrr con respecto. Mntener constnte. d C C. Scr como fctor constnte. Un primitiv (o ntiderivd) de es. C es un función de. L constnte de integrción, C(), es un función de. En otrs plbrs, l integrr con respecto, se puede recobrr ƒ(, ) sólo prcilmente. Cómo recobrr totlmente un función de prtir de sus derivds prciles es un tem que se estudirá en el cpítulo 5. Por hor, lo que interes es etender ls integrles definids funciones de vris vribles. Por ejemplo, l considerr constnte, se puede plicr el teorem fundmentl del cálculo pr evlur d. es l vrible Sustituir por El resultdo de integrción los límites es un función es fij. de integrción. de. De mner similr se puede integrr con respecto, mnteniendo fij. Ambos procedimientos se resumen como sigue. h h f, d f, h h g g f, d f, g g fh, fh, f, g f, g Con respecto. Con respecto. Nótese que l vrible de integrción no puede precer en ninguno de los límites de integrción. Por ejemplo, no tiene ningún sentido escribir d.

3 SECCIÓN. Integrles iterds áre en el plno 985 EJEMPLO Integrr con respecto Evlur d. Solución Se consider constnte se integr con respecto, con lo que se obtiene d. Integrr con respecto. En el ejemplo nótese que l integrl define un función de que puede ser integrd ell mism, como se muestr en el ejemplo siguiente. EJEMPLO Evlur L integrl de un integrl d d. Solución Utilindo el resultdo del ejemplo, se tiene d d d Integrr con respecto.. : = L región de integrción pr f, d d Figur. L integrl del ejemplo es un integrl iterd. Los corchetes usdos en el ejemplo normlmente no se escriben. Ls integrles iterds se escriben normlmente como b g g ( f, d d d c h h f, d d. Los límites interiores de integrción pueden ser vribles con respecto l vrible eterior de integrción. Sin embrgo, los límites eteriores de integrción deben ser constntes con respecto mbs vribles de integrción. Después de relir l integrción interior, se obtiene un integrl definid ordinri l segund integrción produce un número rel. Los límites de integrción de un integrl iterd definen dos intervlos pr ls vribles. Así, en el ejemplo, los límites eteriores indicn que está en el intervlo los límites interiores indicn que está en el intervlo. Juntos, estos dos intervlos determinn l región de integrción de l integrl iterd, como se muestr en l figur.. Como un integrl iterd es simplemente un tipo especil de integrl definid, en el que el integrndo es tmbién un integrl, se pueden utilir ls propieddes de ls integrles definids pr evlur integrles iterds.

4 98 CAPÍTULO Integrción múltiple L región está limitd o cotd por b g () g () Áre = b g () d g () egión verticlmente simple Figur. d g g b Áre de un región pln En el resto de est sección se verá desde un perspectiv nuev un viejo problem, el de hllr el áre de un región pln. Considérese l región pln cotd por b g () g (), como se muestr en l figur.. El áre de está dd por l integrl definid b g g d. Áre de. Usndo el teorem fundmentl del cálculo, se puede reescribir el integrndo g g como un integrl definid. Concretmente, si se consider fij se dej que vríe desde g hst g, se puede escribir g g d g g g. g Combinndo ests dos integrles, se puede epresr el áre de l región medinte un integrl iterd b g g b g d d d g b g g d. Áre de. d L región está limitd o cotd por c d h () h () Colocr un rectángulo representtivo en l región ud determinr el orden los límites de integrción. Un rectángulo verticl implic el orden d d, donde los límites interiores corresponden los límites o cots superior e inferior del rectángulo, como se muestr en l figur.. Este tipo de región se llm verticlmente simple, porque los límites eteriores de integrción representn ls rects verticles b. De mner similr, un rectángulo horiontl implic el orden d d, donde los límites interiores están determindos por los límites o cots iquierd derech del rectángulo, como se muestr en l figur.. Este tipo de región se llm horiontlmente simple, porque los límites eteriores representn ls rects horiontles c d. Ls integrles iterds utilids en estos dos tipos de regiones simples se resumen como sigue. c h Áre = c d h () d d h () egión horiontlmente simple Figur. h ÁEA DE UNA EGIÓN EN EL PLANO. Si está definid por b g () g (), donde son continus en, b, está dd por b A Figur. (verticlmente simple).. Si está definid por c d h () h (), donde h h son continus en c, d, entonces el áre de está dd por c d A g g h h d d. d d. g g Figur. (horiontlmente simple). NOTA H que observr que en ests dos integrles el orden de integrción es diferente; el orden d d corresponde un región verticlmente simple, el orden d d corresponde un región horiontlmente simple.

5 SECCIÓN. Integrles iterds áre en el plno 987 Si los cutro límites de integrción son constntes, l región de integrción es rectngulr, como ocurre en el ejemplo. EJEMPLO Áre de un región rectngulr Utilir un integrl iterd pr representr el áre del rectángulo que se muestr en l figur.. d d c c Figur. egión rectngulr b b Solución L región de l figur. es verticlmente simple horiontlmente simple, por tnto se puede empler culquier orden de integrción. Eligiendo el orden d d, se obtiene lo siguiente. b d b d d d d Integrr con respecto. c b c d c d d c b Integrr con respecto. d cb Nótese que est respuest es consistente con los conocimientos de l geometrí. EJEMPLO Hllr el áre por medio de un integrl iterd π Áre = Figur.5 : π 5π cos sen π Δ 5π / π / sen cos π d d = cos = sen π Utilir un integrl iterd pr hllr el áre de l región limitd o cotd por ls gráfics de f sen sin g cos between entre 5. L curv seno constitue el límite o cot superior. L curv coseno constitue el límite o cot inferior. Solución Como ƒ g se dn como funciones de, es conveniente un rectángulo representtivo verticl, se puede elegir d d como orden de integrción, como se muestr en l figur.5. Los límites eteriores de integrción son 5. Ddo que el rectángulo está limitdo o cotdo, superiormente por ƒ() sen e inferiormente por g cos, se tiene 5 Áre Are de of 5 5 cos sin 5. sin sen cos sen sin d cos d d sin sen cos d sen Integrr con respecto. Integrr con respecto. NOTA L región de integrción en un integrl iterd no necesrimente debe estr cotd por rects. Por ejemplo, l región de integrción que se muestr en l figur.5 es verticlmente simple un cundo no tiene rects verticles como fronters iquierd derech. Lo que hce que l región se verticlmente simple es que está limitd o cotd superiormente e inferiormente por gráfics de funciones de.

6 988 CAPÍTULO Integrción múltiple Con frecuenci, uno de los órdenes de integrción hce que un problem de integrción resulte más sencillo de como result con el otro orden de integrción. Por ejemplo, hcer de nuevo el ejemplo con el orden d d; sorprenderá ver que l tre es formidble. Sin embrgo, si se lleg l resultdo, se verá que l respuest es l mism. En otrs plbrs, el orden de integrción fect l complejidd de l integrción, pero no el vlor de l integrl. EJEMPLO 5 Comprción de diferentes órdenes de integrción : = (, ) Dibujr l región cu áre está representd por l integrl d d. Después hllr otr integrl iterd que utilice el orden d d pr representr l mism áre mostrr que mbs integrles dn el mismo vlor. ) Áre = d d Solución De cuerdo con los límites de integrción ddos, se sbe que Límites interiores de integrción. lo cul signific que l región está limitd o cotd l iquierd por l prábol l derech por l rect. Además, como b) Figur. : = Áre = d d (, ) Límites eteriores de integrción. se sbe que está limitd o cotd inferiormente por el eje, como se muestr en l figur.. El vlor de est integrl es d d Integrr con respecto. d Integrr con respecto. Pr cmbir el orden de integrción d d, se coloc un rectángulo verticl en l región, como se muestr en l figur.b. Con esto se puede ver que los límites o cots constntes sirven como límites eteriores de integrción. Despejndo de l ecución, se conclue que los límites interiores son. Por tnto, el áre de l región tmbién se puede representr por Evlundo est integrl, se ve que tiene el mismo vlor que l integrl originl. d d d Integrr con respecto. d d. d d. Integrr con respecto.

7 SECCIÓN. Integrles iterds áre en el plno 989 Alguns veces no es posible clculr el áre de un región con un sol integrl iterd. En estos csos se divide l región en subregiones de mner que el áre de cd subregión pued clculrse por medio de un integrl iterd. El áre totl es entonces l sum de ls integrles iterds. TECNOLOGÍA Algunos pquetes de softwre pueden efectur integrción simbólic de integrles como ls del ejemplo. Tles progrms se pueden utilir pr evlur ls integrles de los ejercicios ejemplos ddos en est sección. EJEMPLO Un áre representd por dos integrles iterds Hllr el áre de l región que se encuentr bjo l prábol L prábol form el límite o cot superior. sobre el eje, sobre l rect. L rect el eje formn el límite o cot inferior. Solución Pr emper se divide en dos subregiones como se muestr en l figur.7. = + = (, ) Áre = d d + Figur.7 + d d En mbs regiones es conveniente usr rectángulos verticles se tiene Are d d Áre d d d d El áre de l región es 5/ uniddes cudrds. Trtr de comprobr el resultdo usndo el procedimiento pr hllr el áre entre dos curvs, que se presentó en l sección 7.. NOTA En los ejemplos, h que observr l ventj de dibujr l región de integrción. Se recomiend desrrollr el hábito de hcer dibujos como ud pr determinr los límites de integrción de tods ls integrles iterds de este cpítulo. En este punto, uno se puede preguntr pr qué se necesitn ls integrles iterds. Después de todo, se sbe usr l integrción convencionl pr hllr el áre de un región en el plno. (Por ejemplo, comprr l solución del ejemplo de est sección con l del ejemplo en l sección 7..) L necesidd de ls integrles iterds será más clr en l sección siguiente. En est sección se prest especil tención los procedimientos pr determinr los límites de integrción de ls integrles iterds, el conjunto de ejercicios siguiente está diseñdo pr dquirir práctic en este procedimiento importnte.

8 99 CAPÍTULO Integrción múltiple. Ejercicios En los ejercicios, evlur l integrl.. d.. >. d, 5. d. ln 7. d, > 8. e 9. e d. En los ejercicios, evlur l integrl iterd.. d d... d d 5. cos d d d d.... d d. 5. d d. cos 7. r dr d En los ejercicios, evlur l integrl iterd impropi... d d d d.. e d d d d sen sin d d sin sen d d cos cos d d e d d r dr d r sen sin dr d cos d cos ln ln d d d d d sen sin cos d d d d d e d d d d d d r dr d En los ejercicios 5 8, utilir un integrl iterd pr hllr el áre de l región = 5 En los ejercicios 9, utilir un integrl iterd pr clculr el áre de l región limitd o cotd por ls gráfics de ls ecuciones. 9.,,.,., 5,. 9,,, 9. b.,, 5.,.,, En los ejercicios 7 5, dibujr l región de integrción cmbir el orden de integrción. 7. f, d d 8. ln 9. f, d d f, d d f, d d 5. En los ejercicios 55, dibujr l región cu áre está dd por l integrl iterd. Después cmbir el orden de integrción mostrr que mbos órdenes dn l mism áre. (8, ) 55. d d d d (, ) (, ) e = cos d d (, ) (, ) 5 5 f, d d f, d d f, d d f, d d d d

9 59... d d.. d d. 5. Pr pensr Dr un rgumento geométrico pr l iguldd. Verificr l iguldd nlíticmente (, 5 ) d d d d d d 5 d d 5 (5, 5) = Pr discusión = 5 5 d d d d d d d d d d. Pr pensr Completr ls integrles iterds en form tl que cd un represente el áre de l región (ver l figur). Entonces demostrr que mbs integrles tienen l mism áre. ) Áre d d b) Áre d d CAS CAS CAS SECCIÓN. Integrles iterds áre en el plno 99 En los ejercicios 7 7, utilir un sistem lgebrico por computdor evlur l integrl iterd En los ejercicios 77 78, ) dibujr l región de integrción, b) cmbir el orden de integrción c) usr un sistem lgebrico por computdor mostrr que mbos órdenes dn el mismo vlor En los ejercicios 79 8, usr un sistem lgebrico por computdor proimr l integrl iterd cos sin d d sen sin d d d d d d e d d d d r cos dr d 5r dr d d d d d En los ejercicios 7 7, trr l región de integrción. Después evlur l integrl iterd. (Observr que es necesrio cmbir el orden de integrción.) 7. d d e d d 7. = 7. sen sin d d 7. = (, ) d d e d d sen sin d d Verddero o flso? En los ejercicios 87 88, determinr si l declrción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que demuestre que es fls. 87. Desrrollo de conceptos 8. Eplicr qué se quiere decir con un integrl iterd. Cómo se evlú? 8. Describir regiones que sen verticlmente simples regiones que sen horiontlmente simples. 85. Dr un descripción geométric de l región de integrción si los límites interiores eteriores de integrción son constntes. 8. Eplicr por qué lguns veces es un ventj cmbir el orden de integrción. 88. b d c c d f, d d f, d d b f, d d f, d d

10 99 CAPÍTULO Integrción múltiple. Integrles dobles volumen Utilir un integrl doble pr representr el volumen de un región sólid. Utilir ls propieddes de ls integrles dobles. Evlur un integrl doble como un integrl iterd. Hllr el vlor promedio de un función sobre un región. Integrles dobles volumen de un región sólid Superficie: = f(, ) Se sbe que un integrl definid sobre un intervlo utili un proceso de límite pr signr un medid cntiddes como el áre, el volumen, l longitud de rco l ms. En est sección, se usrá un proceso similr pr definir l integrl doble de un función de dos vribles sobre un región en el plno. Considérese un función continu f tl que f, pr todo, en un región del plno. El objetivo es hllr el volumen de l región sólid comprendid entre l superficie dd por f, Superficie sobre el plno. Figur.8 el plno, como se muestr en l figur.8. Pr emper se sobrepone un red o cudrícul rectngulr sobre l región, como se muestr en l figur.9. Los rectángulos que se encuentrn completmente dentro de formn un prtición interior, cu norm está definid como l longitud de l digonl más lrg de los n rectángulos. Después, se elige un punto i, i en cd rectángulo se form el prism rectngulr cu ltur es f i, i, como se muestr en l figur.. Como el áre del i-ésimo rectángulo es A i Áre del rectángulo i-ésimo. se sigue que el volumen del prism i-ésimo es f i, i A i Volumen del prism i-ésimo. el volumen de l región sólid se puede proimr por l sum de iemnn de los volúmenes de todos los n prisms, n f i, i A i i Sum de iemnn. como se muestr en l figur.. Est proimción se puede mejorr tomndo redes o cudrículs con rectángulos más más pequeños, como se muestr en el ejemplo. Superficie: = f(, ) f( i, i ) ( i, i ) Los rectángulos que se encuentrn dentro de formn un prtición interior de Figur.9 Prism rectngulr cu bse tiene un áre de A i cu ltur es f i, i Figur. Volumen proimdo por prisms rectngulres Figur.

11 SECCIÓN. Integrles dobles volumen 99 EJEMPLO Aproimr el volumen de un sólido Aproimr el volumen del sólido comprendido entre el prboloide f, l región cudrd dd por,. Utilir un prtición formd por los cudrdos cuos ldos tengn un longitud de. Superficie: f(, ) = Figur. Solución Pr emper se form l prtición especificd de. En est prtición, es conveniente elegir los centros de ls subregiones como los puntos en los que se evlú f,. 8, 8 8, 8 8, 5 8 8, 7 8 8, 8 8, 8 8, 5 8 8, , 8 5 8, 8 5 8, , , 8 7 8, 8 7 8, , 7 8 Como el áre de cd cudrdo es f i i A i i i i.7. A i, i el volumen se puede proimr por l sum Est proimción se muestr gráficmente en l figur.. El volumen ecto del sólido es (ver el ejemplo ). Se obtiene un mejor proimción si se us un prti- ción más fin. Por ejemplo, con un prtición con cudrdos con ldos de longitud, l proimción es.8. TECNOLOGÍA Alguns herrmients de grficción tridimensionles pueden representr figurs como l mostrd en l figur.. L gráfic mostrd en l figur. se dibujó con un herrmient de grficción. En est gráfic, obsérvese que cd uno de los prisms rectngulres está dentro de l región sólid. Figur. En el ejemplo, h que observr que, usndo prticiones más fins, se obtienen mejores proimciones l volumen. Est observción sugiere que se podrí obtener el volumen ecto tomndo un límite. Es decir, Volumen lím lim El significdo ecto de este límite es que el límite es igul L si pr todo > eiste un > tl que n i L n i f i, i A < i f i, i A i. pr tod prtición de l región pln (que stisfg < ) pr tod elección posible de i i en l región i-ésim. El uso del límite de un sum de iemnn pr definir un volumen es un cso especil del uso del límite pr definir un integrl doble. Sin embrgo, el cso generl no requiere que l función se positiv o continu.

12 99 CAPÍTULO Integrción múltiple EXPLOACIÓN Ls cntiddes en l tbl representn l profundidd (en uniddes de rds) de l tierr en el centro de cd cudrdo de l figur DEFINICIÓN DE INTEGAL DOBLE Si ƒ está definid en un región cerrd cotd del plno, entonces l integrl doble de ƒ sobre está dd por f, d A lím lim n f i, i A i i siempre que el límite eist. Si eiste el límite, entonces ƒ es integrble sobre. NOTA Un ve definids ls integrles dobles, se verá que un integrl definid ocsionlmente se llm integrl simple. Pr que l integrl doble de ƒ en l región eist es suficiente que pued epresrse como l unión de un número finito de subregiones que no se sobrepongn (ver l figur.) que sen verticl u horiontlmente simples, que ƒ se continu en l región. Un integrl doble se puede usr pr hllr el volumen de un región sólid que se encuentr entre el plno l superficie dd por f,. Aproimr el número de rds cúbics de tierr en el primer octnte. (Est eplorción l sugirió obert Vojck, idgewood High School, idgewood, NJ.) VOLUMEN DE UNA EGIÓN SÓLIDA Si ƒ es integrble sobre un región pln f, pr todo, en, entonces el volumen de l región sólid que se encuentr sobre bjo l gráfic de ƒ se define como V f, da. Propieddes de ls integrles dobles Ls integrles dobles tienen muchs de ls propieddes de ls integrles simples. = TEOEMA. POPIEDADES DE LAS INTEGALES DOBLES Sen ƒ g continus en un región cerrd cotd del plno, se c un constnte.. cf, da c f, da. f, ± g, da f, da ± g, da. f, da, si f, Dos regiones no se sobreponen si su intersección es un conjunto de áre. En est figur, el áre del segmento de l rect común es Figur.. f, da g, da, si f, g, f, da 5. f, da donde es l unión de dos subregiones que no se sobreponen. f, da,

13 SECCIÓN. Integrles dobles volumen 995 Altur: = (,, ) Bse: = Volumen: Figur.5 = A d (,, ) Sección trnsversl tringulr = = Sección trnsversl tringulr Figur. Plno: = (,, ) Evlución de integrles dobles Normlmente, el primer pso pr evlur un integrl doble es reescribirl como un integrl iterd. Pr mostrr cómo se hce esto, se utili el modelo geométrico de un integrl doble: el volumen de un sólido. Considérese l región sólid cotd por el plno ƒ(, ) por los tres plnos coordendos, como se muestr en l figur.5. Cd sección trnsversl verticl prlel l plno es un región tringulr cu bse tiene longitud ( )/ cu ltur es. Esto implic que pr un vlor fijo de, el áre de l sección trnsversl tringulr es A bseheight (bse)(ltur) De cuerdo con l fórmul pr el volumen de un sólido de secciones trnsversles conocids (sección 7.), el volumen del sólido es b Volumen A d Este procedimiento funcion sin importr cómo se obteng A(). En prticulr, A() se puede hllr por integrción, como se muestr en l figur.. Es decir, se consider constnte, se integr desde hst pr obtener A d.. d. Combinndo estos resultdos, se tiene l integrl iterd Volumen f, da d d. Pr comprender mejor este procedimiento, se puede imginr l integrción como dos brridos. En l integrción interior, un rect verticl brre el áre de un sección trnsversl. En l integrción eterior, l sección trnsversl tringulr brre el volumen, como se muestr en l figur.7. Integrr con respecto pr obtener el áre de l sección trnsversl Figur.7 Integrr con respecto pr obtener el volumen del sólido

14 99 CAPÍTULO Integrción múltiple El teorem siguiente lo demostró el mtemático itlino Guido Fubini (879-9). El teorem estblece que si es verticl u horiontlmente simple ƒ es continu en,l integrl doble de ƒ en es igul un integrl iterd. TEOEMA. TEOEMA DE FUBINI Se ƒ continu en un región pln.. Si está definid por b g g, donde g g son continus en, b, entonces b g f, da f, d d.. Si está definid por c d h h, donde h h son continus en c, d, entonces d h f, da f, d d. c g h EJEMPLO Evlución de un integrl doble como integrl iterd Evlur f(, ) da = : f(, ) d d El volumen de l región sólid es. Figur.8 da donde es l región dd por,. Solución Como l región es un cudrdo, es verticl horiontlmente simple se puede empler culquier orden de integrción. Se elige d d colocndo un rectángulo representtivo verticl en l región, como se muestr en l figur.8. Con esto se obtiene lo siguiente. da 5 d 5 d d d L integrl doble evlud en el ejemplo represent el volumen de l región sólid que fue proimdo en el ejemplo. Nótese que l proimción obtenid en el ejemplo es buen.7 contr un cundo se empleó un prtición que constb sólo en cudrdos. El error se debe que se usron los centros de ls subregiones cudrds como los puntos pr l proimción. Esto es comprble l proimción de un integrl simple con l regl del punto medio.

15 SECCIÓN. Integrles dobles volumen 997 EXPLOACIÓN El volumen de un sector de prboloide El sólido del ejemplo tiene un bse elíptic (no circulr). Considerr l región limitd o cotd por el prboloide circulr, > el plno. Cuánts mners de hllr el volumen de este sólido se conocen hor? Por ejemplo, se podrí usr el método del disco pr encontrr el volumen como un sólido de revolución. Todos los métodos emplen integrción? L dificultd pr evlur un integrl simple b f d depende normlmente de l función ƒ, no del intervlo [, b]. Ést es un diferenci importnte entre ls integrles simples ls integrles dobles. En el ejemplo siguiente se integr un función similr l de los ejemplos. Nótese que un vrición en l región llev un problem de integrción mucho más difícil. EJEMPLO Hllr el volumen por medio de un integrl doble Hllr el volumen de l región sólid cotd por el prboloide plno. el Solución Hciendo, se ve que l bse de l región, en el plno, es l elipse, como se muestr en l figur.9. Est región pln es verticl horiontlmente simple, por tnto el orden d d es propido. Límites o cots vribles pr : Límites o cots constntes pr : El volumen está ddo por V 8. cos cos d d d d d d Ver figur.9b. sen. Fórmul de Wllis. NOTA En el ejemplo, observr l utilidd de l fórmul de Wllis pr evlur cos n d. Est fórmul se puede consultr en l sección 8.. Superficie: f(, ) = Bse: ( )/ ( )/ Volumen: ( )/ ( ) d d ( )/ ) b) Figur.9

16 998 CAPÍTULO Integrción múltiple En los ejemplos, los problems se podrín hber resuelto emplendo culquier de los órdenes de integrción porque ls regiones ern verticl horiontlmente simples. En cso de hber usdo el orden d d se hbrín obtenido integrles con dificultd mu precid. Sin embrgo, h lguns ocsiones en ls que uno de los órdenes de integrción es mucho más conveniente que otro. El ejemplo muestr uno de estos csos. EJEMPLO Comprción de diferentes órdenes de integrción Superficie: f, ) e ) = Hllr el volumen de l región sólid cotd por l superficie f, e Superficie. los plnos,,, como se muestr en l figur.. = = = L bse está cotd por,,. Figur. Solución L bse de en el plno está cotd por ls rects,. Los dos posibles órdenes de integrción se muestrn en l figur.. : (, ) : (, ) (, ) (, ) e d d e d d Figur. Estbleciendo ls integrles iterds correspondientes, se ve que el orden d d requiere l primitiv (o ntiderivd) e d, l cul no es un función elementl. Por otro ldo con el orden d d se obtiene l integrl e d d e d e d e e e e.. NOTA Trtr de utilir un integrdor simbólico pr evlur l integrl del ejemplo.

17 SECCIÓN. Integrles dobles volumen 999 EJEMPLO 5 Volumen de un región cotd por dos superficies Prboloide: = Plno: = : Figur. Hllr el volumen de l región sólid cotd superiormente por el prboloide e inferiormente por el plno, como se muestr en l figur.. Solución Igulndo los vlores, se determin que l intersección de ls dos superficies se produce en el cilindro circulr recto ddo por Como el volumen de es l diferenci entre el volumen bjo el prboloide el volumen bjo el plno, se tiene d d Volumen d d d 8 d d cos cos d d d.. d sen. Fórmul de Wllis. Vlor promedio de un función ecordr de l sección. que pr un función f en un vrible, el vlor promedio de f sobre [, b] es b f d. b Dd un función de f en dos vribles, se puede encontrr el vlor de f sobre l región como se muestr en l siguiente definición. DEFINICIÓN DEL VALO POMEDIO DE UNA FUNCIÓN SOBE UNA EGIÓN Si f es integrble sobre l región pln, entonces el vlor promedio de f sobre es Af, da donde A es el áre de.

18 CAPÍTULO Integrción múltiple EJEMPLO Encontrr el vlor promedio de un función 5 (, ) Figur. f(, ) = (, ) (, ) (, ) Encontrr el vlor promedio de f, sobre l región, donde es un rectángulo con vértices (, ), (, ), (, ) (, ). Solución El áre de l región rectngulr es A (ver l figur.). El vlor promedio está ddo por A f, da 8. 9 d d d d. Ejercicios Aproimción En los ejercicios, proimr l integrl f, da dividiendo el rectángulo con vértices (, ), (, ), (, ) (, ) en ocho cudrdos igules hllndo l sum 8 f i, i A i donde i, i es el centro del cudrdo i-ésimo. i Evlur l integrl iterd comprrl con l proimción.. d d.. d d. 5. Aproimción L tbl muestr vlores de un función ƒ sobre un región cudrd. Dividir l región en cudrdos igules elegir i, i como el punto más cercno l origen en el cudrdo i-ésimo. Comprr est proimción con l obtenid usndo el punto más lejno l origen en el cudrdo i-ésimo. f, d d d d d d. Aproimción L figur muestr ls curvs de nivel de un función ƒ en un región cudrd. Aproimr l integrl emplendo cutro cudrdos tomndo el punto medio de cd cudrdo como i, i. En los ejercicios 7, dibujr l región evlur l integrl iterd f, da. 7. d d d d... f, d d d d e d d e d d 8 sen sin cos d d d d

19 SECCIÓN. Integrles dobles volumen En los ejercicios, dr un integrl pr cd orden de integrción utilir el orden más conveniente pr evlur l integrl en l región.. da = + + = : rectángulo con vértices,,, 5,, 5,,. 5.. sin sen sen sin da : rectángulo con vértices,, da : triángulo cotdo por,,, e da,,,,, = = : triángulo cotdo por,, 7. da : región cotd por, : región cotd por,, : el sector circulr en el primer cudrnte cotdo por 5,, : semicírculo cotdo por, En los ejercicios, utilir un integrl doble pr hllr el volumen del sólido indicdo... =.. da da da = = = = = = = CAS 9. Integrl impropi. Integrl impropi En los ejercicios, utilir un sistem lgebrico por computdor hllr el volumen del sólido... = ( + ) ( + ) < < = 8 = = En los ejercicios, dr un integrl doble pr hllr el volumen del sólido limitdo o cotdo por ls gráfics de ls ecuciones..,,,, primer octnte.,,,,, 5 5.,,,,,. r = < < + = = = e ( + )/ = =

20 CAPÍTULO Integrción múltiple CAS 7.,, primer octnte 8.,, primer octnte 9.,, primer octnte.,,, En los ejercicios, estblecer un integrl doble pr encontrr el volumen de un región sólid limitd por ls gráfics de ls ecuciones. No evlur l integrl... = = +..,, sen sin,,, 5 5.,., 8 En los ejercicios 7 5, utilir un sistem lgebrico por computdor hllr el volumen del sólido limitdo o cotdo por ls gráfics de ls ecuciones. 7. 9, 8. 9, 9, primer octnte Si f es un función continu tl que f, en un región de áre, demostrr que f, da. 5. Hllr el volumen del sólido que se encuentr en el primer octnte, cotdo por los plnos coordendos el plno b c, donde >, b >, c >. En los ejercicios 5 58, trr l región de integrción. Después evlur l integrl iterd, si es necesrio, cmbir el orden de integrción. 5. e d d ln,,,,,,,,.5 rccos = 55. d d sen sin sen sin d d cos d d = ln d d ln e d d Vlor promedio En los ejercicios 59, encontrr el vlor promedio de f (, ) sobre l región. 59. f, : rectángulo con vértices,,,,,,,. f(, ) : rectángulo con vértices (, ), (5, ), (5, ), (, ). f,. : cudrdo con vértices,,,,,,, f, : triángulo con vértices (, ), (, ), (, ). f, e : triángulo con vértices (, ), (, ), (, ). f, sen : rectángulo con vértices (, ), (, ),(, ), (, ) 5. Producción promedio L función de producción Cobb-Dougls pr un fbricnte de utomóviles es f,.. donde es el número de uniddes de trbjo es el número de uniddes de cpitl. Estimr el nivel promedio de producción si el número de uniddes de trbjo vrí entre 5 el número de uniddes de cpitl vrí entre 5.. Tempertur promedio L tempertur en grdos Celsius sobre l superficie de un plc metálic es T(, ), donde están medids en centímetros. Estimr l tempertur promedio si vrí entre centímetros vrí entre centímetros. Desrrollo de conceptos 7. Enuncir l definición de integrl doble. Dr l interpretción geométric de un integrl doble si el integrndo es un función no negtiv sobre l región de integrción. 8. Se un región en el plno cu áre es B. Si ƒ(, ) k pr todo punto (, ) en, cuál es el vlor de f, da? Eplicr. 9. Se un conddo en l prte norte de Estdos Unidos, se ƒ(, ) l precipitción nul de nieve en el punto (, ) de. Interpretr cd uno de los siguientes. f, da ) f, da b) da 7. Identificr l epresión que es inválid. Eplicr el ronmiento. ) f, d d b) c) f, d d d) 7. Se l región pln un círculo unitrio el máimo vlor de f sobre se. Es el vlor más grnde posible de f, d d igul? Por qué sí o por qué no? Si es no, cuál es el vlor más grnde posible? f, d d f, d d

21 SECCIÓN. Integrles dobles volumen Probbilidd Un función de densidd de probbilidd conjunt de ls vribles letoris continus es un función ƒ(, ) que stisfce ls propieddes siguientes. ) pr todo b) f,, f, da c) En los ejercicios 7 7, mostrr que l función es un función de densidd de probbilidd conjunt hllr l probbilidd requerid Pr discusión 7. Ls siguientes integrles iterds representn l solución l mismo problem. Cuál integrl iterd es más fácil de evlur? Eplicr el ronmiento. 77. Aproimción En un fábric de cemento l bse de un montón de ren es rectngulr con dimensiones proimds de por metros. Si l bse se coloc en el plno con un vértice en el origen, ls coordends de l superficie del montón son (5, 5, ), (5, 5, ), (5, 5, ), (5, 5, ), (5, 5, 7) (5, 5, ). Aproimr el volumen de l ren en el montón. 78. Progrmción Considerr un función continu f, sobre l región rectngulr con vértices (, c), (b, c), (, d) (b, d) donde < b c < d. Dividir los intervlos, b c, d en m n subintervlos, de modo que los subintervlos en un dirección dd sen de igul longitud. Escribir un progrm pr que un herrmient de grficción clcule l sum n i m j sen d d P[, ] f, da f,, 5,, en elsewhere culquier otro punto P, f,,,, elsewhere en culquier otro punto P, f, 79,, P, f, e,, P, b f i, j A i c d f, da donde i, j es el centro de un rectángulo representtivo en. CAS Aproimción En los ejercicios 79 8, ) utilir un sistem lgebrico por computdor proimr l integrl iterd, b) utilir el progrm del ejercicio 78 pr proimr l integrl iterd con los vlores ddos de m n., sen d d, en elsewhere culquier otro punto elsewhere en culquier otro punto 79. sen sin d d cos d d 8. Aproimción En los ejercicios 8 8, determinr qué vlor proim mejor el volumen del sólido entre el plno l función sobre l región. (Hcer l elección con bse en un dibujo del sólido sin relir ningún cálculo.) m, n 8 m, n 8 f, : cudrdo con vértices,,,,,,, ) b) c) 5 d) 5 e) f, : círculo cotdo por 9 ) 5 b) 5 c) 5 d) 5 e) 5 Verddero o flso? En los ejercicios 85 8, determinr si l declrción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que demuestre que es fls. 85. El volumen de l esfer está ddo por l integrl V 8 8. Si f, g, pr todo, en, ƒ g son continus en, entonces f, da g, da. 87. Se f e t dt. Hllr el vlor promedio de f en el intervlo,. 88. Hllr e e d. Sugerenci: Evlur e d. 89. Determinr l región en el plno que mimi el vlor de 9 da. 9. Determinr l región en el plno que minimi el vlor de da. 9. Hllr rctn rctn d. (Sugerenci: Convertir l integrl en un integrl doble.) 9. Utilir un rgumento geométrico pr mostrr que 9 d d. 9 d d 9. m, n e 8 d d d d m, n Preprción del emen Putnm b 9. Evlur em b, e má d d, donde b son positivos. 9. Probr que si > no eiste un función rel u tl que, pr todo en el intervlo cerrdo, u u u d. Estos problems fueron preprdos por el Committee on the Putnm Prie Competition. The Mthemticl Assocition of Americ. Todos los derechos reservdos.

22 CAPÍTULO Integrción múltiple. Cmbio de vribles: coordends polres Epresr evlur integrles dobles en coordends polres. Integrles dobles en coordends polres Alguns integrles dobles son mucho más fáciles de evlur en form polr que en form rectngulr. Esto es sí especilmente cundo se trt de regiones circulres, crdioides pétlos de un curv ros, de integrndos que contienen. En l sección. se vio que ls coordends polres r, de un punto están relcionds con ls coordends rectngulres (, ) del punto, de l mner siguiente. r cos r sin sen r tn EJEMPLO Utilir coordends polres pr describir un región Utilir coordends polres pr describir cd un de ls regiones mostrds en l figur.. ) Figur. b) Solución π ) L región es un curto del círculo de rdio. Est región se describe en coordends polres como θ r, : r,. r θ r r θ (r i, θ i ) b) L región const de todos los puntos comprendidos entre los círculos concéntricos de rdios. Est región se describe en coordends polres como r, : r, Ls regiones del ejemplo son csos especiles de sectores polres. Sector polr Figur.5 r, : r r r, como el mostrdo en l figur.5. Sector polr.

23 SECCIÓN. Cmbio de vribles: coordends polres 5 π (r i, θ i ) β α i g θi r i g L red o cudrícul polr se sobrepone sobre l región Figur. Pr definir un integrl doble de un función continu f, en coordends polres, considerr un región limitd o cotd por ls gráfics de r g r g ls rects En lugr de hcer un prtición de en rectángulos pequeños, se utili un prtición en sectores polres pequeños. A se le superpone un red o cudrícul polr formd por ros o semirrects rdiles rcos circulres, como se muestr en l figur.. Los sectores polres i que se encuentrn completmente dentro de formn un prtición polr intern, cu norm es l longitud de l digonl más lrg en los n sectores polres. Considerr un sector polr específico i, como se muestr en l figur.7. Se puede mostrr (ver ejercicio 75) que el áre de i es A i r i r i i Áre de. donde r i r i. Esto implic que el volumen del sólido de ltur fr i cos i, r i sin r seni sobre es proimdmente fr i cos i, r i sen sin ir i r i i se tiene f, da n i i. i fr i cos i, r isen sin ir i r i i. L sum de l derech se puede interpretr como un sum de iemnn pr f(r cos, r sen )r. L región corresponde un región S horiontlmente simple en el plno r, como se muestr en l figur.8. Los sectores polres i corresponden los rectángulos S el áre de S es r i i. i, A i i Por tnto, el ldo derecho de l ecución corresponde l integrl doble S fr cos, r sen sin r da. A prtir de esto, se puede plicr el teorem. pr escribir f, da S fr cos, rsen sin r da g sen g fr cos, r sin r dr d. Esto sugiere el teorem siguiente, cu demostrción se verá en l sección.8. π θ θ β θ r = g ( θ) r = g ( θ) i S i r r (r i, θi ) α (r i, θi ) r El sector polr es el conjunto de todos los puntos r, tl que r r r. Figur.7 i egión S horiontlmente simple Figur.8

24 CAPÍTULO Integrción múltiple TEOEMA. CAMBIO DE VAIABLES A LA FOMA POLA Se un región pln que const de todos los puntos (, ) (r cos, r sen ) que stisfcen ls condiciones g () r g (),, donde ( ). Si g g son continus en [, ] f es continu en, entonces f, da g g fr cos, r sen sin r dr d. EXPLOACIÓN Volumen de un sector prboloide En l eplorción de l págin 997 se pidió resumir los diferentes métodos hst hor estudidos pr clculr el volumen del sólido limitdo o cotdo por el prboloide, > el plno. Ahor se conoce un método más. Utilirlo pr encontrr el volumen del sólido. NOTA Si f, es no negtiv en, entonces l integrl del teorem. puede interpretrse como el volumen de l región sólid entre l gráfic de ƒ l región. Cundo se us l integrl en el teorem., segurrse de no omitir el fctor etr de r en el integrndo. L región puede ser de dos tipos básicos, regiones r-simples regiones -simples, como se muestr en l figur.9. π g g egión r-simple Figur.9 Límites o cots fijs pr θ: θ = β α θ β Límites o cots vribles pr r: g ( θ) r g ( θ) θ θ = α π r = r h r egión -simple Límites o cots vribles pr θ: h (r) θ h (r) Límites o cots fijs pr r: r r r h r = r EJEMPLO Evlur un integrl usndo coordends polres doble : r 5 θ π egiónr-simple Figur. π Se l región nulr comprendid entre los dos círculos 5. Evlur l integrl da. Solución Los límites o cots polres son r 5, como se muestr en l figur.. Además, r cos r sin sen. Por tnto, se tiene da 5 5 r cos cos cos r cos r cos r sin sen dr d r sen sin r sin r dr d sen sin 5 sen d sen sin d sin sen d cos.

25 SECCIÓN. Cmbio de vribles: coordends polres 7 En el ejemplo, notr el fctor etr de r en el integrndo. Esto proviene de l fórmul pr el áre de un sector polr. En notción diferencil, se puede escribir da r dr d lo que indic que el áre de un sector polr ument l lejrse del origen. Superficie: = EJEMPLO Cmbio de vribles coordends polres Utilir ls coordends polres pr hllr el volumen de l región sólid limitd superiormente por el hemisferio Hemisferio que form l superficie superior. Figur. : + NOTA Pr ver l ventj de ls coordends polres en el ejemplo, h que trtr de evlur l integrl iterd rectngulr correspondiente d d. e inferiormente por l región circulr dd por como se muestr en l figur.. Solución egión circulr que form l superficie inferior. En l figur. se puede ver que tiene como límites o cots, que. En coordends polres, ls cots son r con ltur r. Por consiguiente, el volumen V está ddo por V f, da r r dr d r d d.979. TECNOLOGÍA Todo sistem lgebrico por computdor que clcul integrles dobles en coordends rectngulres tmbién clcul integrles dobles en coordends polres. L rón es que un ve que se h formdo l integrl iterd, su vlor no cmbi l usr vribles diferentes. En otrs plbrs, si se us un sistem lgebrico por computdor pr evlur d d se deberá obtener el mismo vlor que se obtuvo en el ejemplo. Así como ocurre con coordends rectngulres, l integrl doble da puede usrse pr clculr el áre de un región en el plno.

26 8 CAPÍTULO Integrción múltiple EJEMPLO Hllr áres de regiones polres r = cos θ π : π π θ r cos θ θ = π Utilir un integrl doble pr hllr el áre encerrd por l gráfic de r cos. Solución Se un pétlo de l curv mostrd en l figur.. Est región es r-simple los límites son los siguientes. Límites o cots fijs pr. r cos Por tnto, el áre de un pétlo es Límites o cots vribles pr r. Figur. θ = π A da 9 9 r cos cos r dr d d cos d cos d 9 sen. Así, el áre totl es A 9. π θ = π Como se ilustr en el ejemplo, el áre de un región en el plno puede representrse medinte A Si g, se obtiene A lo cul concuerd con el teorem.. Hst hor en est sección, todos los ejemplos de integrles iterds en form polr hn sido de l form g g g g g r dr d. r dr d fr cos, r sen sin r dr d r g d en donde el orden de integrción es primero con respecto r. Alguns veces se puede simplificr el problem de integrción cmbindo el orden de integrción, como se ilustr en el ejemplo siguiente. g d r = π θ θ = π e inferior- EJEMPLO 5 Cmbio del orden de integrción Hllr el áre de l región cotd superiormente por l espirl mente por el eje polr, entre r r. r egión -simple Figur. π : θ r r Solución L región se muestr en l figur.. Ls cots o límites polres de l región son r r. Por tnto, el áre de l región puede evlurse como sigue. r A r d dr dr r r dr r

27 SECCIÓN. Cmbio de vribles: coordends polres 9. Ejercicios En los ejercicios se muestr l región pr l integrl f, da. Decir si serín más convenientes coordends rectngulres o polres pr evlur l integrl..... En los ejercicios 5 8, utilir ls coordends polres pr describir l región mostrd En los ejercicios 9, evlur l integrl doble dibujr l región. cos. r sen sin dr d r dr d. sen r dr d fr, da, r sen sin cos dr d. 9 r r dr d. 5. r dr d. En los ejercicios 7, evlur l integrl iterd psndo coordends polres. 7. d d 8.. d d.. d d. En los ejercicios 7 8, combinr l sum de ls dos integrles iterds en un sol integrl iterd psndo coordends polres. Evlur l integrl iterd resultnte En los ejercicios 9, utilir coordends polres pr escribir evlur l integrl doble f, da sin sen θ 9. d d cos d d sen d d d d 5 d d cos 8 d d f,, :,, f, e, : 5, d d d d d d f, rctn :,,, f, 9, : 9,, Volumen En los ejercicios 8, utilir un integrl doble en coordends polres pr hllr el volumen del sólido limitdo o cotdo por ls gráfics de ls ecuciones..,, primer first octnt octnte.,, 5.,, 5. ln,,, 7. Interior l hemisferio e interior l cilindro 8. Interior l hemisferio eterior l cilindro re r dr d sin senr dr d d d d d

28 CAPÍTULO Integrción múltiple 9. Volumen Hllr tl que el volumen en el interior del hemisferio en el eterior del cilindro se l mitd del volumen del hemisferio.. Volumen Utilir un integrl doble en coordends polres pr hllr el volumen de un esfer de rdio.. Volumen Determinr el diámetro de un orificio cvdo verticlmente trvés del centro del sólido limitdo o cotdo por ls gráfics de ls ecuciones 5e,, si se elimin l décim prte del volumen del sólido. CAS. Diseño industril Ls superficies de un lev de doble lóbulo se representn por ls desigulddes r cos donde tods ls medids se dn en pulgds. ) Utilir un sistem lgebrico por computdor representr gráficmente l lev. b) Utilir un sistem lgebrico por computdor proimr el perímetro de l curv polr Ést es l distnci que recorre un pie en contcto con l lev durnte un giro completo de ést. c) Utilir un sistem lgebrico por computdor hllr el volumen del cero en l lev. Áre En los ejercicios 8, utilir un integrl doble pr clculr el áre de l región sombred... π r cos. r = cos θ 5 7 r = π r = Áre En los ejercicios 9 5, trr un gráfic de l región limitd por ls gráfics de ls ecuciones. Después, usr un integrl doble pr encontrr el áre de l región. 9. Dentro del círculo r cos fuer del círculo r. 5. Dentro de l crdioide r cos fuer del círculo r. 5. Dentro del círculo r cos fuer de l crdioide r cos. 5. Dentro de l crdioide r cos fuer del círculo r cos. 5. Dentro de l curv ros r sen fuer del círculo r. 5. Dentro del círculo r fuer de l crdioide r cos. Desrrollo de conceptos 55. Describir l prtición de l región de integrción en el plno cundo se utilin coordends polres pr evlur un integrl doble. 5. Eplicr cómo psr de coordends rectngulres coordends polres en un integrl doble. 57. Con sus propis plbrs, describir regiones r-simples regiones -simples. 58. Cd figur muestr un región de integrción pr l integrl doble f, da. Pr cd región, decir si es más fácil obtener los límites de integrción con elementos representtivos horiontles, elementos representtivos verticles o con sectores polres. Eplicr el ronmiento. ) b) c) 59. Se l región limitd por el círculo π. r = + cos θ π ) Estblecer l integrl f, da. b) Convertir l integrl en el inciso ) coordends polres. c) ué integrl deberí elegirse pr evlur? Por qué? π r = sen θ π r = cos θ r = + senθ Pr discusión. Pr pensr Sin desrrollr cálculos, identificr l integrl doble que represente l integrl de f() sobre un círculo de rdio. Eplicr el ronmiento. ) r dr d b) c) r dr d d) r dr d r dr d

29 SECCIÓN. Cmbio de vribles: coordends polres. Pr pensr Considerr el progrm escrito en el ejercicio 78 de l sección. pr proimr integrles dobles en coordends rectngulres. Si el progrm se us pr proimr l integrl doble fr, da en coordends polres, cómo h que modificr ƒ pr introducirl l progrm? Como los límites de integrción son constntes, describir l región pln de integrción.. Aproimción Ls secciones trnsversles horiontles de un bloque de hielo desprendido de un glcir tienen form de un curto de un círculo con rdio proimdo de 5 pies. L bse se divide en subregiones como se muestr en l figur. En el centro de cd subregión, se mide l ltur del hielo, dndo los puntos siguientes en coordends cilíndrics. ) Aproimr el volumen del sólido. b) El hielo pes proimdmente 57 librs por pie cúbico. Aproimr el peso del sólido. c) Aproimr el número de glones de gu en el sólido si h 7.8 glones de gu por pie cúbico. CAS Aproimción En los ejercicios, utilir un sistem lgebrico por computdor proimr l integrl iterd... π 5 π 8 5 r r sen sin dr d 5re r dr d π 5,, 7, 5,, 8, 5,,, 5,,, 5,, 9, 5,, 9, 5,,, 5,,, 5,, 5, 5,,, 5,, 5 9, 5,, 5, 5,, 5 5, 5,, 5 8, 5,, 5, 5, 7, 5, 5, 7, 8, 5, 7,, 5, 7,, 5, 7 π 8, Aproimción En los ejercicios 5, determinr qué vlor se proim más l volumen del sólido entre el plno l función sobre l región. (elir l elección l vist de un dibujo del sólido no efectundo cálculo lguno.) Verddero o flso? En los ejercicios 7 8, determinr si l declrción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que demuestre que es fls. 7. Si fr, da >, entonces fr, > pr todo r, en. 8. Si fr, es un función constnte el áre de l región S es el doble del áre de l región, entonces fr, da S fr, da. 9. Probbilidd El vlor de l integrl d se requiere en el desrrollo de l función de densidd de probbi- e lidd norml. ) Utilir coordends polres pr evlur l integrl impropi. I e d e d b) Utilir el resultdo del inciso ) pr clculr I. PAA MAYO INFOMACIÓN Pr más informción sobre este problem, ver el rtículo Integrting e Without Polr Coordintes de Willim Dunhm en Mthemtics Techer. 7. Utilir el resultdo del ejercicio 9 un cmbio de vribles pr evlur cd un de ls integrles siguientes. No se requiere hcer ningun integrción. ) b) e d e d 7. Poblción L densidd de poblción en un ciudd se proim medinte el modelo ƒ(, ) e.( ), 9, donde se miden en mills. Integrr l función de densidd sobre l región circulr indicd pr proimr l poblción de l ciudd. 7. Probbilidd Hllr k tl que l función f, ke,, e da, elsewhere en resto I se un función de densidd de probbilidd. 7. Pr pensr Considerr l región limitd o cotd por ls gráfics de,, l integrl doble f da. Determinr los límites de integrción si l región está dividid en ) elementos representtivos horiontles, b) elementos representtivos verticles c) sectores polres. 7. epetir el ejercicio 7 con un región limitd o cotd por l gráfic de l ecución. 75. Mostrr que el áre A del sector polr (ver l figur) es A rr, donde r r r es el rdio promedio de. 5. ƒ(, ) 5 ; : semicírculo:, ) b) c) d) e) 8. ƒ(, ) ; : curto de círculo: 9,, ) 5 b) 8 c) d) 5 e) θ r r r

30 CAPÍTULO Integrción múltiple. Centro de ms momentos de inerci Hllr l ms de un lámin pln utilindo un integrl doble. Hllr el centro de ms de un lámin pln utilindo integrles dobles. Hllr los momentos de inerci utilindo integrles dobles. Ms g En l sección 7. se nliron vris plicciones de l integrción en ls que se tení un lámin pln de densidd constnte. Por ejemplo, si l lámin que corresponde l región, que se muestr en l figur., tiene un densidd constnte, entonces l ms de l lámin está dd por Ms Mss A da da. Densidd constnte. = = b Lámin de densidd constnte Figur. g Si no se especific otr cos, se supone que un lámin tiene densidd constnte. En est sección, se etiende l definición del término lámin pr brcr tmbién plcs delgds de densidd vrible. Ls integrles dobles pueden usrse pr clculr l ms de un lámin de densidd vrible, donde l densidd en (, ) está dd por l función de densidd. DEFINICIÓN DE MASA DE UNA LÁMINA PLANA DE DENSIDAD VAIABLE Si es un función de densidd continu sobre l lámin que corresponde un región pln, entonces l ms m de l lámin está dd por m, da. Densidd vrible. NOTA L densidd se epres normlmente como ms por unidd de volumen. Sin embrgo, en un lámin pln l densidd es ms por unidd de áre de superficie. EJEMPLO Hllr l ms de un lámin pln (, ) = (, ) = (, ) Lámin de densidd vrible, Figur.5 Hllr l ms de l lámin tringulr con vértices (, ), (, ) (, ), ddo que l densidd en, es,. Solución Como se muestr en l figur.5, l región tiene como fronters, / (o /). Por consiguiente, l ms de l lámin es m da d d 9 9. d d NOTA En l figur.5, nótese que l lámin pln está sombred; el sombredo más oscuro corresponde l prte más dens.

31 SECCIÓN. Centro de ms momentos de inerci EJEMPLO Hllr l ms emplendo coordends polres (, ) + = Hllr l ms de l lámin correspondiente l porción en el primer cudrnte del círculo donde l densidd en el punto (, ) es proporcionl l distnci entre el punto el origen, como se muestr en l figur.. Solución En todo punto (, ), l densidd de l lámin es, k k. Densidd en, :, k Figur. Como, l ms está dd por m k da k d d. Pr simplificr l integrción, se puede convertir coordends polres, utilindo los límites o cots r. Por tnto, l ms es m k da kr r dr d 8k 8k k. kr kr dr d d d TECNOLOGÍA En muchs ocsiones, en este teto, se hn menciondo ls ventjs de utilir progrms de computción que relin integrción simbólic. Aun cundo se utilicen tles progrms con regulridd, h que recordr que sus mejores ventjs sólo son provechbles en mnos de un usurio conocedor. Por ejemplo, nótese l simplificción de l integrl del ejemplo cundo se convierte l form polr. Form rectngulr k d d Form polr kr dr d Si se tiene cceso progrms que relicen integrción simbólic, se recomiend utilirlos pr evlur mbs integrles. Algunos progrms no pueden mnejr l primer integrl, pero culquier progrm que clcule integrles dobles puede evlur l segund integrl.

32 CAPÍTULO Integrción múltiple Momentos centros de ms i i ( i, i ) En lámins de densidd vrible, los momentos de ms se definen de mner similr l empled en el cso de densidd uniforme. Dd un prtición de un lámin, correspondiente un región pln, considerr el rectángulo i-ésimo i de áre A i, como se muestr en l figur.7. Suponer que l ms de i se concentr en uno de sus puntos interiores i, i. El momento de ms de i respecto l eje puede proimrse por medio de i (Ms)( Mss i ) i, i A i i. De mner similr, el momento de ms con respecto l eje puede proimrse por medio de M (ms)( i ) M (ms)( i ) Figur.7 (Ms)( Mss i ) i, i A i i. Formndo l sum de iemnn de todos estos productos tomndo límites cundo l norm de se proim, se obtienen ls definiciones siguientes de momentos de ms con respecto los ejes. MOMENTOS Y CENTO DE MASA DE UNA LÁMINA PLANA DE DENSIDAD VAIABLE Se un función de densidd continu sobre l lámin pln. Los momentos de ms con respecto los ejes son M, da M (, da. Si m es l ms de l lámin, entonces el centro de ms es, M m, M m. Si represent un región pln simple en lugr de un lámin, el punto, se llm el centroide de l región. En lguns lámins plns con densidd constnte, se puede determinr el centro de ms (o un de sus coordends) utilindo l simetrí en lugr de usr integrción. Por ejemplo, considerr ls lámins de densidd constnte mostrds en l figur.8. Utilindo l simetrí, se puede ver que en l primer lámin en l segund lámin. : : Lámin de densidd constnte simétric con respecto l eje Figur.8 Lámin de densidd constnte simétric con respecto l eje

33 SECCIÓN. Centro de ms momentos de inerci 5 EJEMPLO Hllr el centro de ms Densidd vrible: ρ (, ) = k = (, ) egión prbólic de densidd vrible Figur.9 Hllr el centro de ms de l lámin que corresponde l región prbólic egión prbólic. donde l densidd en el punto, es proporcionl l distnci entre, el eje, como se muestr en l figur.9. Solución Como l lámin es simétric con respecto l eje el centro de ms está en el eje. Así,. Pr hllr, primero clculr l ms de l lámin. Mss Ms Después se hll el momento con respecto l eje. Así,, k M k d d k d k k k 5k 5 k d d k d k k 5 5 9k 5 8 d 5 8 d 7 7 Densidd vrible: ρ(, ) = k Figur. : Centro de ms: ( ), 7 M m 9k5 9k/5 5k5 el centro de ms es, 7. 7 Aunque los momentos M M se pueden interpretr como un medid de l tendenci girr en torno los ejes o, el cálculo de los momentos normlmente es un pso intermedio hci un met más tngible. El uso de los momentos M M es encontrr el centro de ms. L determinción del centro de ms es útil en muchs plicciones, que permite trtr un lámin como si su ms se concentrr en un solo punto. Intuitivmente, se puede concebir el centro de ms como el punto de equilibrio de l lámin. Por ejemplo, l lámin del ejemplo se mntendrá en equilibrio sobre l punt de un lápi colocdo en, como se muestr en l figur.. 7,

34 CAPÍTULO Integrción múltiple Momentos de inerci M M Los momentos utilidos en l determinción del centro de ms de un lámin se suelen llmr primeros momentos con respecto los ejes. En cd uno de los csos, el momento es el producto de un ms por un distnci. M, da M, da Distnci Ms Distnci Ms l eje l eje Ahor se introducirá otro tipo de momento, el segundo momento o momento de inerci de un lámin respecto de un rect. Del mismo modo que l ms es un medid de l tendenci de l mteri resistirse cmbios en el movimiento rectilíneo, el momento de inerci respecto de un rect es un medid de l tendenci de l mteri resistirse cmbios en el movimiento de rotción. Por ejemplo, si un prtícul de ms m está un distnci d de un rect fij, su momento de inerci respecto de l rect se define como I md (ms)(distnci). Igul que ocurre con los momentos de ms, se puede generlir este concepto pr obtener los momentos de inerci de un lámin de densidd vrible respecto de los ejes. Estos segundos momentos se denotn por I e I, en cd cso el momento es el producto de un ms por el cudrdo de un distnci. I, da I, da Cudrdo de Ms Cudrdo de Ms l distnci l distnci l eje l eje NOTA En el cso de un lámin en el plno, I represent el momento de inerci de l lámin con respecto l eje. El término momento polr de inerci se debe que en el cálculo se utili el cudrdo de l distnci polr r. A l sum de los momentos I e I se le llm el momento polr de inerci se denot por I. EJEMPLO Hllr el momento de inerci Hllr el momento de inerci respecto del eje de l lámin del ejemplo. I, da r, da Solución I k k De cuerdo con l definición de momento de inerci, se tiene k ,78k 5. d k d d d

35 SECCIÓN. Centro de ms momentos de inerci 7 El momento de inerci I de un lámin en rotción puede utilirse pr medir su energí cinétic. Por ejemplo, consideremos un lámin pln que gir en torno un rect con un velocidd ngulr de rdines por segundo, como se muestr en l figur.. L energí cinétic E de l lámin en rotción es E I. Energí cinétic del movimiento girtorio. Por otro ldo, l energí cinétic E de un ms m que se mueve en líne rect un velocidd v es E mv. Energí cinétic del movimiento rectilíneo. Lámin pln girndo rdines por segundo Figur. Por lo tnto, l energí cinétic de un ms que se mueve en líne rect es proporcionl su ms, pero l energí cinétic de un ms que gir en torno un eje es proporcionl su momento de inerci. El rdio de giro r de un ms en rotción m con momento de inerci I se define como r I m. dio de giro. Si tod l ms se loclir un distnci r de su eje de giro o eje de rotción, tendrí el mismo momento de inerci, por consiguiente, l mism energí cinétic. Por ejemplo, el rdio de giro de l lámin del ejemplo respecto l eje está ddo por I m,78k5 5k EJEMPLO 5 Cálculo del rdio de giro Densidd vrible: ρ (, ) = Figur. (, ) π : π sen π Hllr el rdio de giro con respecto l eje de l lámin que corresponde l región : sen sin,, donde l densidd en, está dd por,. Solución L región se muestr en l figur.. Integrndo, sobre l región, se puede determinr que l ms de l región es. El momento de inerci con respecto l eje es I sin sen sen sin d d d sen sin d sin (sen ) cos. Por tnto, el rdio de giro con respecto l eje es I m.97.

36 8 CAPÍTULO Integrción múltiple. Ejercicios En los ejercicios, hllr l ms de l lámin descrit por CAS ls desigulddes, ddo que su densidd es,. (Sugerenci: Alguns de ls integrles son más simples en coordends polres.).,., 9.,., 9 En los ejercicios 5 8, hllr l ms el centro de ms de l lámin con cd densidd. 5. : cudrdo con vértices (, ), (, ), (, ), (, ) k ) b) c). : rectángulo con vértices,,,,, b,, b k ) b) 7. : triángulo con vértices (, ), (, ), (, ) k ) b) c) 8. : triángulo con vértices (, ), (/, ), (, ) k k k k ) b) k k k 9. Trslciones en el plno Trsldr l lámin del ejercicio 5 cinco uniddes l derech determinr el centro de ms resultnte.. Conjetur Utilir el resultdo del ejercicio 9 pr formulr un conjetur cerc del cmbio en el centro de ms cundo un lámin de densidd constnte se trsld c uniddes horiontlmente o d uniddes verticlmente. Es l conjetur verdder si l densidd no es constnte? Eplicr. En los ejercicios, hllr l ms el centro de ms de l lámin limitd o cotd por ls gráfics de ls ecuciones con l densidd o densiddes que se especificn. (Sugerenci: Alguns de ls integrles son más sencills en coordends polres.).,,, k.,,, k.,,,, k.,,,, k 5. e,,, ) k b) k. e,,, ) k b) k 7.,, k 8. 9,, k 9. sen, L,, L, k. cos L,,, L, k.,, k.,,, k En los ejercicios, utilir un sistem lgebrico por computdor pr hllr l ms el centro de ms de l lámin limitd o cotd por ls gráfics de ls ecuciones con l densidd dd.. e,,,, k. ln,,, e, k k 5.. r cos, r cos, En los ejercicios 7, verificr los momentos de inerci ddos hllr. Suponer que l densidd de cd lámin es grmos por centímetro cudrdo. (Ests regiones son forms de uso común empleds en diseño.) 7. ectángulo 8. Triángulo rectángulo h 9. Círculo. Semicírculo. Curto del círculo. Elipse b I = bh I = b h k I = π I = 8 π CAS En los ejercicios, hllr I, I, I,, pr l lámin limitd o cotd por ls gráfics de ls ecuciones. Utilir un sistem lgebrico por computdor fin de evlur ls integrles dobles.., b,,, k.,, 5.,, >,.,, 7.,,, 8.,, 9.,,.,, k k k, k k k k h b b I = bh I = b h I = π I = πb( + b )

37 SECCIÓN. Centro de ms momentos de inerci 9 CAS En los ejercicios, dr l integrl doble requerid pr hllr el momento de inerci I, con respecto l rect dd, de l lámin limitd o cotd por ls gráfics de ls ecuciones. Utilir un sistem lgebrico por computdor evlur l integrl doble.. b, rect:.,,,, k, rect: line:..,,,,, rect: rect: 5.,,, rect:.,, rect: k, line: > b k, line: k, line: k, line: Desrrollo de conceptos k, line: 7. Dr ls fórmuls pr hllr los momentos el centro de ms de un lámin pln de densidd vrible. 8. Dr ls fórmuls pr hllr los momentos de inerci con respecto los ejes de un lámin pln de densidd vrible. 9. Con ls propis plbrs, describir qué mide el rdio de giro. Pr discusión 5. El centro de ms de l lámin de densidd constnte mostrdo en l figur es, 8 5. Hcer un conjetur cerc de cómo cmbirá el centro de ms, si l densidd ρ(, ) no es constnte. Eplicr. (Hcer l conjetur sin relir cálculo lguno.) Hidráulic En los ejercicios 5 5, determinr l posición del eje horiontl en el que debe siturse un compuert verticl en un pres pr logrr que no h momento que ocsione l rotción bjo l crg indicd (ver l figur). El modelo pr es I ha donde es l coordend del centroide de l compuert, I es el momento de inerci de l compuert con respecto l rect, h es l profundidd del centroide bjo l superficie A es el áre de l compuert. h b b = L = L = L = = I ha d d b = L = L 8 (, 5) ), k b) c), k d), k, k 55. Demostrr el teorem de Pppus siguiente: se un región pln se L un rect en el mismo plno tl que L no cort el interior de. Si r es l distnci entre el centroide de l rect, entonces el volumen V del sólido de revolución generdo por revolución de en torno l rect está ddo por V ra, donde A es el áre de. POYECTO DE TABAJO Centro de presión sobre un vel El centro de presión sobre un vel es quel punto p, p en el cul puede suponerse que ctú l fuer erodinámic totl. Si l vel se represent medinte un región pln, el centro de presión es p da da p da da. Considerr un vel tringulr con vértices en (, ), (, ) (, 5). Verificr los vlores de cd integrl. ) da b) da 5 c) da 55 Clculr ls coordends p, p del centro de presión. Dibujr un gráfic de l vel e indicr l loclición del centro de presión.

38 CAPÍTULO Integrción múltiple.5 Áre de un superficie Utilir un integrl doble pr hllr el áre de un superficie. Superficie: = f(, ) Figur. Superficie: = f (, ) egión en el plno T i S i T i Áre de un superficie En este punto se tiene un grn cntidd de conocimientos cerc de l región sólid que se encuentr entre un superficie un región en el plno cerrd limitd o cotd, como se muestr en l figur.. Por ejemplo, se sbe cómo hllr los etremos de ƒ en (sección.8), el áre de l bse del sólido (sección.), el volumen del sólido (sección.) el centroide de l bse de (sección.). En est sección se verá cómo hllr el áre de l superficie superior del sólido. Más delnte se prenderá clculr el centroide del sólido (sección.) el áre de l superficie lterl (sección 5.). Pr emper, considerr un superficie S dd por f, Superficie definid sobre un región. definid sobre un región. Suponer que es cerrd cotd que ƒ tiene primers derivds prciles continus. Pr hllr el áre de l superficie, se construe un prtición intern de que consiste en n rectángulos donde el áre del rectángulo i-ésimo i es A i i i, como se muestr en l figur.. En cd i se i, i el punto más próimo l origen. En el punto i, i, i i, i, f i, i de l superficie S, se construe un plno tngente T i. El áre de l porción del plno tngente que se encuentr directmente sobre i es proimdmente igul l áre de l superficie que se encuentr directmente sobre i. Es decir, T i S i. Por tnto, el áre de l superficie de S está dd por n S i n T i. i i Pr hllr el áre del prlelogrmo T i, notr que sus ldos están ddos por los vectores u i i f i, i i k Figur. A i v i j f i, i i k. De cuerdo con el teorem.8, el áre de está dd por donde i j k u v i f i, i i T i u v, i i f i, i f i, i i i i f i, i i i j i i k f i, i i f i, i j k A i. Por tnto, el áre de T es u v f i, i f i, i i A i, El áre de Surfce l superficie re of de S n i n f i, i f i, i A i. i S i Esto sugiere l definición siguiente de áre de un superficie.

39 SECCIÓN.5 Áre de un superficie DEFINICIÓN DEL ÁEA DE UNA SUPEFICIE Si ƒ sus primers derivds prciles son continus en l región cerrd en el plno, entonces el áre de l superficie S dd por f, sobre está dd por Áre de l Surfce superficie re ds Pr memorir l integrl doble pr el áre de un superficie, es útil notr su semejn con l integrl de l longitud del rco. Longitud sobre el eje : Longitud de rco en el plno : Áre en el plno : Áre de un superficie en el espcio: f, f, da. b d b b ds f d da ds f, f, da Igul que ls integrles pr l longitud de rco, ls integrles pr el áre de un superficie son menudo mu difíciles de clculr. Sin embrgo, en el ejemplo siguiente se muestr un tipo que se evlú con fcilidd. EJEMPLO El áre de l superficie de un región pln Plno: = Hllr el áre de l superficie de l porción del plno que se encuentr sobre el círculo en el primer cudrnte, como se muestr en l figur.5. Solución Como f, f,, el áre de l superficie está dd por S f, f, da Fórmul pr el áre de l superficie. : + Figur.5 da da Sustituir. da. Observr que l últim integrl es simplemente por el áre de l región. es un curto del círculo de rdio, cu áre es o. Por tnto, el áre de S es S re áre of de.

40 CAPÍTULO Integrción múltiple EJEMPLO Hllr el áre de un superficie Superficie: f(, ) = + Hllr el áre de l porción de l superficie f, (,, ) que se encuentr sobre l región tringulr cuos vértices son,,, como se muestr en l figur..,,,,, Solución Como f, f,, se tiene S f, f, da da. ) = : En l figur.b se ve que los límites o cots de son. Por lo que l integrl será S d d d d d Tbls de integrción (péndice B). Fórmul regl de l potenci. ln = ln ln.8. b) Figur. Prboloide: = + + : + Figur.7 EJEMPLO Cmbio de vribles coordends polres Hllr el áre de l superficie del prboloide que se encuentr sobre el círculo unidd o unitrio, como se muestr en l figur.7. Solución Como f, f,, se tiene S f, f, da da. Se puede psr coordends polres hciendo r cos r sen sin. Entonces, como l región está cotd por r, se tiene S r 55 r r dr d d d

41 SECCIÓN.5 Áre de un superficie EJEMPLO Hllr el áre de un superficie Hemisferio: f(, ) = : + 9 Figur.8 Hllr el áre de l superficie S correspondiente l porción del hemisferio Hemisferio. que se encuentr sobre l región limitd o cotd por el círculo 9, como se muestr en l figur.8. Solución f, 5 f, Ls primers derivds prciles de ƒ son, de cuerdo con l fórmul pr el áre de un superficie, se tiene ds f, f, da Así, el áre de l superficie es S 5 5 da. Se puede psr coordends polres hciendo r cos r sen sin. Entonces, como l región está cotd por r, se obtiene S da r dr d 5 r 5 r d 5 da 5 d f, 5 Hemisferio: f(, ) = : + Figur.9 El procedimiento utilido en el ejemplo puede etenderse pr hllr el áre de l superficie de un esfer utilindo l región limitd o cotd por el círculo, donde < < 5, como se muestr en l figur.9. Se puede mostrr que el áre de l superficie de l porción del hemisferio f, 5 que se encuentr sobre l región circulr es 5 S 5 da 5 r dr d 5 r 5 5. Tomndo el límite cundo tiende 5 multiplicndo el resultdo por dos, se obtiene el áre totl, que es. (El áre de l superficie de un esfer de rdio r es S r.)

42 CAPÍTULO Integrción múltiple L regl de Simpson o l regl del trpecio pueden usrse pr proimr el vlor de un integrl doble, siempre que se pued obtener l primer integrl. Esto se ilustr en el ejemplo siguiente. Prboloide: f(, ) = EJEMPLO 5 Aproimción del áre de un superficie medinte l regl de Simpson Hllr el áre de l superficie del prboloide f, Prboloide. que se encuentr sobre l región cudrd cotd por, como se muestr en l figur.5. Solución Utilindo ls derivds prciles f, f, se tiene que el áre de l superficie es Figur.5 r = sec θ θ = π θ = π Un curto de l región está cotd por r sec Figur.5 :. S f, f, da da da. En coordends polres, l rect está dd por r cos o r sec, en l figur.5 se puede determinr que un curto de l región está limitd o cotd por r sec Hciendo r cos r sin sen se obtiene S da Por último, usndo l regl de Simpson con n, se proim est integrl simple S sec d 7.5. sec r r dr d r sec d sec d.. TECNOLOGÍA L mor prte de los progrms de computción que relin integrción simbólic con integrles múltiples tmbién relin técnics de proimción numérics. Si se dispone de uno de estos progrms, se recomiend usrlo pr proimr el vlor de l integrl del ejemplo 5.

43 SECCIÓN.5 Áre de un superficie 5.5 Ejercicios En los ejercicios, hllr el áre de l superficie dd por f, sobre l región. (Sugerenci: Alguns de ls integrles son más sencills en coordends polres.). f, : triángulo cuos vértices son (, ), (, ), (, ). f, 5 : cudrdo cuos vértices son (, ), (, ), (, ), (, ). f, 7. f,, :, : : cudrdo cuos vértices son (, ), (, ), (, ), (, ) : cudrdo cuos vértices son (, ), (, ), (, ), (, ) 7. f, 8. : rectángulo cuos vértices son (, ), (, ), (, ), (, ). f(, ). f,,, : f,. f,,, :.. En los ejercicios 5 8, hllr el áre de l superficie. 5. Porción del plno en el primer octnte. Porción del prboloide en el primer octnte 7. Porción de l esfer 5 en el interior del cilindro 9 8. Porción del cono en el interior del cilindro CAS En los ejercicios 9, dr un integrl doble que represente el áre de l superficie f, sobre l región. Utilindo un sistem lgebrico por computdor, evlur l integrl doble. 9.. f, 9 f, f,, :, 9. f, ln sec, :, tn f,, : b, < b < f,, : f, : triángulo cuos vértices son (, ), (, ), (, ) f,, : : triángulo cuos vértices son (, ), (, ), (, ). f(, ) 9. f,, : f,, : f,.. Aproimción En los ejercicios 5, determinr qué vlor se proim más l áre de l superficie f, sobre l región. (Elegir el vlor bsándose en un dibujo de l superficie no medinte l utilición de cálculos.) 5. : cudrdo cuos vértices son (, ), (, ), (, ), (, ) ) b) c) d) 7 e). f, : círculo limitdo o cotdo por 9 ) b) 5 c) d) 55 e) 5 En los ejercicios 9, formulr un integrl doble que proporcione el áre de l superficie en l gráfic de ƒ sobre l región. 9.. f,, :, f, cos, :, f, f, : cudrdo cuos vértices son (, ), (, ), (, ), (, ) f,, :,. f, e sen sin. f, cos, : 9 CAS En los ejercicios 7 8, utilir un sistem lgebrico por computdor proimr l integrl doble que represent el áre de l superficie de l gráfic de ƒ sobre l región {, :, }. 7. f, e 8. f, 5 5. f, e, :,. f, e sen sin, :, Desrrollo de conceptos, : 5. Enuncir l definición, con integrl doble, del áre de un superficie S dd por f, sobre un región en el plno.. Considerr l superficie f(, ) el áre de superficie de f sobre cd región. Sin integrr, ordenr ls áres de superficie desde l menor hst l mor. Eplicr el ronmiento. ) : rectángulo con vértices (, ), (, ), (, ), (, ) b) : triángulo con vértices (, ), (, ), (, ) c) {(, ): sólo el primer cudrnte} 7. Aumentrá el áre de superficie de l gráfic de un función f(, ) sobre un región si l gráfic de f cmbió k uniddes verticlmente? Por qué sí o por qué no?

44 CAPÍTULO Integrción múltiple Pr discusión 8. esponder ls siguientes pregunts cerc del áre de superficie S sobre un superficie dd por un función positiv f (, ) sobre un región en el plno. Eplicr cd respuest. ) Es posible pr S igulr el áre de? b) Puede S ser mor que el áre de? c) Puede S ser menor que el áre de?. Diseño industril Un empres produce un objeto esférico de 5 centímetros de rdio. Se hce un perforción de centímetros de rdio trvés del centro del objeto. Clculr ) el volumen del objeto b) el áre de l superficie eterior del objeto.. Modelo mtemático Un rnchero construe un grnero de dimensiones por 5 pies. En l figur se muestr l form simétric l ltur elegids pr el tejdo. 5 (, 5) (5, ) (, 7) 9. Hllr el áre de l superficie del sólido intersección de los cilindros (ver l figur). (5, ) + = + = r r = k +, k > Figur pr 9 Figur pr. Mostrr que el áre de l superficie del cono k, k > sobre l región circulr r en el plno es r k (ver l figur). 5 ) Utilir ls funciones de regresión de un herrmient de grficción pr hllr un modelo de l form b c d pr el perfil del techo. b) Utilir ls funciones de integrción numéric de un herrmient de grficción el modelo del inciso ) pr proimr el volumen del espcio de lmcenje en el grnero. c) Utilir ls funciones de integrción numéric de un herrmient de grficción el modelo del inciso ) pr proimr el áre de l superficie del techo. d) Aproimr l longitud de rco de l rect del techo clculr el áre de l superficie del techo multiplicndo l longitud de rco por l longitud del grnero. Comprr los resultdos ls integrciones con los encontrdos en el inciso c). POYECTO DE TABAJO Cpilridd Un propiedd mu conocid de los líquidos se llm cpilridd, consiste en que scienden por conductos verticles mu estrechos. L figur muestr dos plcs que formn un cuñ estrech dentro de un recipiente con líquido. L superficie superior del líquido tom un form hiperbólic dd por 9 pulg θ = rctn (.) k donde, están medids en pulgds. L constnte k depende del ángulo de l cuñ, del tipo de líquido del mteril de ls plcs. pulg ) Hllr el volumen del líquido que h scendido por l cuñ. (Tomr k. ) b) Hllr el áre de l superficie horiontl del líquido que h scendido por l cuñ. Adptción de un problem sobre cpilridd de Cpillr Phenomen de Thoms B. Greenslde, Jr., Phsics Techer, mo de 99. Con utorición del utor.

45 SECCIÓN. Integrles triples plicciones 7. Integrles triples plicciones Utilir un integrl triple pr clculr el volumen de un región sólid. Hllr el centro de ms los momentos de inerci de un región sólid. egión sólid Integrles triples El procedimiento utilido pr definir un integrl triple es nálogo l utilirlo pr integrles dobles. Considerr un función f en tres vribles que es continu sobre un región sólid cotd. Entonces, se encierr en un red de cubos se form un prtición intern que const de todos los cubos que quedn completmente dentro de, como se muestr en l figur.5. El volumen del i-ésimo cubo es V i i i i. Volumen del i-ésimo cubo. L norm de l prtición es l longitud de l digonl más lrg en los n cubos de l prtición. En cd cubo se elige un punto i, i, i se form l sum de iemnn n f i, i, i V i. i Tomndo el límite cundo se lleg l siguiente definición. Volumen de n Figur.5 i V i Alguns de ls propieddes de ls integrles dobles epuests en el teorem. pueden replnterse en términos de integrles triples.. f,, dv.. DEFINICIÓN DE INTEGAL TIPLE Si f es continu sobre un región sólid cotd, entonces l integrl triple de f sobre se define como f,, dv lim lím n f i, i, i V i siempre que el límite eist. El volumen de l región sólid está ddo por dv. Volumen de cf,, dv c f,, ± g,, dv f,, dv En ls propieddes dds rrib, es l unión de dos subregiones sólids que no se sobreponen. Si l región sólid es simple, l integrl triple f,, dv puede evlurse con un integrl iterd utilindo lguno de los seis posibles órdenes de integrción: d d d d d d f,, dv d d d i d d d f,, dv ± d d d f,, dv d d d. g,, dv

46 8 CAPÍTULO Integrción múltiple EXPLOACIÓN Volumen de un sector prboloide En ls págins 997, se pidió resumir ls diferentes forms estudids hst hor pr hllr el volumen del sólido limitdo o cotdo por el prboloide, el plno. Ahor se conoce un método más. Utilirse pr hllr el volumen del sólido. > L versión siguiente del teorem de Fubini describe un región que es considerd simple con respecto l orden d d d. Pr los otros cinco órdenes pueden formulrse descripciones similres. TEOEMA. EVALUACIÓN MEDIANTE INTEGALES ITEADAS Se f continu en un región sólid definid por b, donde h, h, g h h, g b h f,, dv h son funciones continus. Entonces, g, g, g, g, f,, d d d. Pr evlur un integrl iterd triple en el orden d d d, se mntienen constntes pr l integrción más interior. Después, se mntiene constnte pr l segund integrción. EJEMPLO Evlur un integrl iterd triple Evlur l integrl iterd triple e d d d. Solución Pr l primer integrción, se mntienen constntes se integr con respecto. e d d d e d d Pr l segund integrción, mntener constnte se integr con respecto. e d d e 9 e d e d d d Por último, se integr con respecto. 9 e d 9 e 9 e El ejemplo muestr el orden de integrción d d d. Con otros órdenes, se puede seguir un procedimiento similr. Por ejemplo, pr evlur un integrl iterd triple en el orden d d d, se mntienen constntes pr l integrción más interior se integr con respecto. Después, pr l segund integrción, se mntiene constnte se integr con respecto. Por último, pr l tercer integrción, se integr con respecto.

47 SECCIÓN. Integrles triples plicciones 9 = g (, ) Figur.5 Figur.55 = g (, ) Proección sobre el plno L región sólid se encuentr entre dos superficies Figur.5 Elipsoide: + + = + = Pr hllr los límites ddo un orden determindo de integrción, por lo generl se consej determinr primero los límites más interiores, que pueden ser funciones de ls dos vribles eteriores. Después, proectndo el sólido sobre el plno coordendo de ls dos vribles eteriores, se pueden determinr sus límites de integrción medinte los métodos usdos pr ls integrles dobles. Por ejemplo, pr evlur f,, d d d primero se determinn los límites de, entonces l integrl tom l form g, f,, d g, d d. Proectndo el sólido sobre el plno, se pueden determinr los límites de de de l mism mner que se hio en el cso de ls integrles dobles, como se muestr en l figur.5. EJEMPLO Integrl triple pr hllr un volumen Hllr el volumen del elipsoide ddo por. Solución Como en l ecución, juegn ppeles similres, el orden de integrción es probblemente irrelevnte, se puede elegir rbitrrimente d d d. Además, se pueden simplificr los cálculos considerndo sólo l porción del elipsoide que se encuentr en el primer octnte, como se muestr en l figur.5. Pr el orden d d d, se determinn primero los límites o cots de. Los límites o cots de son, como se ve en l figur.55,, por lo que el volumen del elipsoide es dv V rcsin rcsen rcsen rcsin d d d d d d d d d Tbls de integrción (péndice B), fórmul 7. d

48 CAPÍTULO Integrción múltiple El ejemplo es poco usul en el sentido de que con los seis posibles órdenes de integrción se obtienen integrles de dificultd comprble. Trtr de empler lgún otro de los posibles órdenes de integrción pr hllr el volumen del elipsoide. Por ejemplo, con el orden d d d se obtiene l integrl Si se resuelve est integrl, se obtiene el mismo volumen que en el ejemplo. Esto es siempre sí; el orden de integrción no fect el vlor de l integrl. Sin embrgo, el orden de integrción menudo fect l complejidd de l integrl. En el ejemplo, el orden de integrción propuesto no es conveniente, por lo que se puede cmbir el orden pr simplificr el problem. EJEMPLO Evlur V 8 Cmbir el orden de integrción sen sin d d d. d d d. π : π (,, ) π π Solución Obsérvese que después de un integrción en el orden ddo, se encontrrí l integrl sin sen d, que no es un función elementl. Pr evitr este problem, se cmbi el orden de integrción d d d, de mner que se l vrible eterior. Como se muestr en l figur.5, l región sólid está dd por, l proección de en el plno proporcion los límites,. Por tnto, l evlución de l integrl triple usndo el orden d d d produce sen d d d sen d d sen d d (,, ) π π sen d π = Figur.5 π. sen cos d

49 SECCIÓN. Integrles triples plicciones EJEMPLO Determinción de los límites de integrción = Dr un integrl triple pr el volumen de cd un de ls regiones sólids. = = ) L región en el primer octnte cotd superiormente por el cilindro comprendid entre los plnos verticles b) El hemisferio superior ddo por c) L región cotd inferiormente por el prboloide superiormente por l esfer Figur.57 Figur.58 : Hemisferio: : = Bse circulr: + = Solución ) En l figur.57, obsérvese que el sólido está cotdo inferiormente por el plno superiormente por el cilindro. Por tnto,. Límites o cots pr. Proectndo l región sobre el plno se obtiene un prlelogrmo. Como dos de los ldos del prlelogrmo son prlelos l eje, se tienen ls cots siguientes: Por tnto, el volumen de l región está ddo por V dv b) Pr el hemisferio superior ddo por, se tiene. Cots pr. En l figur.58, obsérvese que l proección del hemisferio sobre el plno es el círculo ddo por, se puede usr el orden d d o el orden d d. Eligiendo el primero se obtiene. d d d. Figur.59 Esfer: + + = Prboloide: = + : + lo cul implic que el volumen de l región está ddo por V dv c) Pr l región cotd inferiormente por el prboloide superiormente por l esfer, se tiene. Cots pr. L esfer el prboloide se cortn en. Además, en l figur.59 se puede ver que l proección de l región sólid sobre el plno es el círculo ddo por. Utilindo el orden d d se obtiene lo cul implic que el volumen de l región está ddo por V dv d d d. d d d.

50 CAPÍTULO Integrción múltiple NOTA En ingenierí en físic, el momento de inerci de un ms se us pr hllr el tiempo requerido pr que un ms lcnce un velocidd de rotción dd con respecto un eje, como se muestr en l figur.. Cunto mor es el momento de inerci, mor es l fuer que h que plicr l ms pr que lcnce l velocidd desed. Figur. EXPLOACIÓN Dibujr el sólido (de densidd uniforme) limitdo o cotdo por donde. A prtir del dibujo, estimr ls coordends del centro de ms del sólido. Ahor utilir un sistem lgebrico por computdor verificr l estimción. ué se observ? Centro de ms momentos de inerci En el resto de est sección se nlin dos plicciones importntes de ls integrles triples l ingenierí. Considérese un región sólid cu densidd está dd por l función de densidd. El centro de ms de un región sólid de ms m está ddo por,,, donde m,, dv Ms del sólido. M,, dv Primer momento con respecto l plno. M,, dv Primer momento con respecto l plno. M,, dv Primer momento con respecto l plno. M m, Ls cntiddes M, M, M se conocen como los primeros momentos de l región con respecto los plnos,, respectivmente. Los primeros momentos de ls regiones sólids se tomn con respecto un plno, mientrs que los segundos momentos de los sólidos se tomn con respecto un rect. Los segundos momentos (o momentos de inerci) con respecto los ejes, son los siguientes.,, dv Momento de inerci con respecto l eje. I I I Momento de inerci con respecto l eje. Momento de inerci con respecto l eje. En problems que requieren el cálculo de los tres momentos, puede horrrse un cntidd considerble de trbjo emplendo l propiedd ditiv de ls integrles triples escribiendo I I I, donde I, I, e I son,, dv I I I,, dv,, dv M m, I I I,,, dv,, dv M m. e I I I

51 SECCIÓN. Integrles triples plicciones EJEMPLO 5 Hllr el centro de ms de un región sólid (,, ) Densidd vrible:,, k Figur. Hllr el centro de ms del cubo unidd mostrdo en l figur., ddo que l densidd en el punto (,, ) es proporcionl l cudrdo de su distnci l origen. Solución Como l densidd en (,, ) es proporcionl l cudrdo de l distnci entre (,, ) (,, ), se tiene Est función de densidd se puede utilir pr hllr l ms del cubo. Debido l simetrí de l región, culquier orden de integrción producirá integrles de dificultd comprble. El primer momento con respecto l plno es Nótese que puede scrse como fctor fuer de ls dos integrles interiores, que es constnte con respecto. Después de fctorir, ls dos integrles interiores son igules con respecto l ms m. Por tnto, se tiene Así,,, k. k k k m k d k M k k M k d k 7k. M m k 7k k k d d d d d d d d d. 7. d d d d d Por último, por l nturle de l simetrí de, en est región sólid, se tiene, el centro de ms es 7, 7,. 7

52 CAPÍTULO Integrción múltiple EJEMPLO Momentos de inerci de un región sólid Hemisferio: = Densidd vrible:,, k Figur. Bse circulr: + = Hllr los momentos de inerci con respecto los ejes de l región sólid comprendid entre el hemisferio el plno, ddo que l densidd en (,, ) es proporcionl l distnci entre (,, ) el plno. Solución L densidd de l región está dd por,, k. Considerndo l simetrí de este problem, se sbe que I I, sólo se necesit clculr un momento, digmos I. De cuerdo con l figur., se elige el orden d d d se escribe,, dv I k k k k 5 k d k k 5 5 5k 5 5 8k. cos d Por tnto, I 8k I. d d 5 d k d d d 5 d d d d d sen sin. Fórmul de Wllis. En el ejemplo, los momentos de inerci con respecto los ejes son igules. Sin embrgo, el momento con respecto l eje es diferente. Prece que el momento de inerci con respecto l eje deb ser menor o mor que los momentos clculdos en el ejemplo? elindo los cálculos, se determin que I k. Esto indic que el sólido mostrdo en l figur. present resistenci mor l rotción en torno los ejes o que en torno l eje.

53 SECCIÓN. Integrles triples plicciones 5. Ejercicios CAS CAS En los ejercicios 8, evlur l integrl iterd.. d d d.. d d d. 5. e d d d. 7. cos d d d 8. En los ejercicios 9, utilir un sistem lgebrico por computdor evlur l integrl iterd. 9.. En los ejercicios, utilir un sistem lgebrico por computdor proimr l integrl iterd... En los ejercicios 8, dr un integrl triple pr el volumen del sólido.. El sólido en el primer octnte cotdo por los plnos coordendos el plno 5. El sólido cotdo por 9,, 5. El sólido cotdo por el prboloide. El sólido limitdo por. 7. El sólido que es el interior común bjo de l esfer 8 sobre el prboloide 8. El sólido limitdo rrib por el cilindro bjo por el prboloide Volumen En los ejercicios 9, utilir un integrl triple pr hllr el volumen del sólido mostrdo en l figur. 9.. = 9 9 sen sin = d d d = d d d d d d e d d d 8 = 9 9 e d d d sen sin d d d d d d ln d d d.. Volumen En los ejercicios, usr un integrl triple pr encontrr el volumen del sólido limitdo por ls gráfics de ls ecuciones..,, primer octnte. 9,,,, 5.,,,,.,,, primer octnte En los ejercicios 7, dibujr el sólido cuo volumen está ddo por l integrl iterd reescribir l integrl utilindo el orden de integrción indicdo eescribir usndo el orden d d d. eescribir usndo el orden d d d. eescribir utilindo el orden d d d. eescribir utilindo el orden d d d. eescribir utilindo el orden d d d. + + = 9 d d d d d d d d d d d d d d d d d d eescribir utilindo el orden d d d. = En los ejercicios, dr los seis posibles órdenes de integrción de l integrl triple sobre l región sólid, dv..,, :,,.,, :,, 5.,, : 9,.,, :,, =

54 CAPÍTULO Integrción múltiple En los ejercicios 7 8, l figur muestr l región de integrción de l integrl dd. eescribir l integrl como un integrl iterd equivlente con los otros cinco órdenes. 7. d d d 8. Ms centro de msmen los ejercicios 9, hllr l ms ls coordends indicds del centro de ms del sólido de densidd dd cotdo por ls gráfics de ls ecuciones. 9. Hllr utilindo,, k.. Hllr utilindo,, k.. Hllr utilindo,, k.. Hllr utilindo,, k. Ms centro de msmen los ejercicios, formulr ls integrles triples pr hllr l ms el centro de ms del sólido cotdo por ls gráfics de ls ecuciones... =,, k,, k = :,,, : 5 5,,, :,,,,, b,, b,, b,,, b,, c = 9 : b, b, c >,,, c 9 9 d d d = CAS CAS CentroideMEn los ejercicios 9 5, hllr el centroide de l región sólid cotd por ls gráfics de ls ecuciones o descrit en l figur. Utilir un sistem lgebrico por computdor evlur ls integrles triples. (Suponer densidd uniforme hllr el centro de ms.) 9. h 5. 9,, r, h 5. 5.,,,,,, Momentos de inercimen los ejercicios 55 58, hllr I, I, e I pr el sólido de densidd dd. Utilir un sistem lgebrico por computdor evlur ls integrles triples. 55. ) 5. ),, k b) b),, k cm k k 57. ),, k 58. ) k b) b) cm = 5 cm (5,, ) (,, ) k k (,, ) = Pr pensrmen l figur se muestr el centro de ms de un sólido de densidd constnte. En los ejercicios 5 8, hcer un conjetur cerc de cómo cmbirá el centro de ms,, con l densidd no constnte,,. Eplicr. 5.,, k.,, k 7.,, k 8.,, k 8 (,, 5) CAS Momentos de inercimen los ejercicios 59, verificr los momentos de inerci del sólido de densidd uniforme. Utilir un sistem lgebrico por computdor evlur ls integrles triples. 59. I m L I m I m L L L

55 SECCIÓN. Integrles triples plicciones 7. I m b I mb c I m c c b Pr discusión 8. About Pr pensr It Of the De integrls ls integrles ( ) c), cuál es igul f,, d d d? Eplicr. c b ) b) f,, d d d f,, d d d c) f,, d d d Momentos de inercimen los ejercicios, dr un integrl triple que represente el momento de inerci con respecto l eje de l región sólid de densidd..,, :,,.,, :, k En los ejercicios, utilindo l descripción de región sólid, dr l integrl pr ) l ms, b) el centro de ms c) el momento de inerci con respecto l eje.. El sólido cotdo por con l función de densidd k. El sólido en el primer octnte cotdo por los plnos coordendos 5 con función de densidd Desrrollo de conceptos k 5. Definir un integrl triple describir un método pr evlur un integrl triple.. Determinr si el momento de inerci con respecto l eje del cilindro del ejercicio 59 umentrá o disminuirá con l densidd no constnte,,. 7. Considerr el sólido A el sólido B de pesos igules que se muestrn en l figur. ) Como los sólidos tienen el mismo peso, cuál tiene l densidd mor? b) Cuál sólido tiene el momento de inerci mor? Eplicr. c) Los sólidos se hcen rodr hci bjo en un plno inclindo. Empien l mismo tiempo l mism ltur. Cuál llegrá bjo primero? Eplicr. CAS Vlor promediomen los ejercicios 9 7, hllr el vlor promedio de l función sobre el sólido ddo. El vlor promedio de un función continu f(,, ) sobre un región sólid es f,, dv V donde V es el volumen de l región sólid. 9. f(,, ) sobre el cubo en el primer octnte cotdo por los plnos coordendos, los plnos,. 7. f,, sobre el cubo en el primer octnte cotdo por los plnos coordendos los plnos,. 7. f,, sobre el tetredro en el primer octnte cuos vértices son,,,,,,,,,, 7. f(,, ) sobre el sólido cotdo por l esfer. 7. Hllr l región sólid donde l integrl triple dv es un máimo. Utilir un sistem lgebrico por computdor proimr el vlor máimo. Cuál es el vlor máimo ecto? CAS 7. Hllr l región sólid donde l integrl triple dv es un máimo. Utilir un sistem lgebrico por computdor proimr el vlor máimo. Cuál es el vlor máimo ecto? 75. Encontrr en l integrl triple. d d d 5 7. Determinr el vlor de b de mner que el volumen del elipsoide b 9 es. Eje de revolución Eje de revolución Preprción del emen Putnm 77. Evlur lím... n cos n... n d d... d n. Sólido A Sólido B Este problem fue preprdo por el Committee on the Putnm Prie Competition. The Mthemticl Assocition of Americ. Todos los derechos reservdos.

56 8 CAPÍTULO Integrción múltiple.7 Integrles triples en coordends cilíndrics esférics Epresr evlur un integrl triple en coordends cilíndrics. Epresr evlur un integrl triple en coordends esférics. The Grnger Collection θ = PIEE SIMON DE LAPLACE (79-87) Uno de los primeros en utilir un sistem de coordends cilíndrics fue el mtemático frncés Pierre Simon de Lplce. Lplce h sido llmdo el Newton de Frnci, publicó muchos trbjos importntes en mecánic, ecuciones diferenciles probbilidd. r i r i θ Volumen del bloque cilíndrico: V i r i r i i i Figur. i = θ π Integrles triples en coordends cilíndrics Muchs regiones sólids comunes como esfers, elipsoides, conos prboloides pueden dr lugr integrles triples difíciles de clculr en coordends rectngulres. De hecho, fue precismente est dificultd l que llevó l introducción de sistems de coordends no rectngulres. En est sección se prenderá usr coordends cilíndrics esférics pr evlur integrles triples. ecuérdese que en l sección.7 se vio que ls ecuciones rectngulres de conversión coordends cilíndrics son AYUDA DE ESTUDIO Un mner fácil de recordr ests ecuciones es observr que ls ecuciones pr obtener son igules que en el cso de coordends polres que no cmbi. En este sistem de coordends, l región sólid más simple es un bloque cilíndrico determindo por como se muestr en l figur.. Pr epresr un integrl triple por medio de coordends cilíndrics, supóngse que es un región sólid cu proección sobre el plno puede describirse en coordends polres. Es decir, r cos r sen sin. r r r,,, :, está en, r, : Si ƒ es un función continu sobre el sólido, se puede epresr l integrl triple de ƒ sobre como h f,, dv, donde l integrl doble sobre se evlú en coordends polres. Es decir, es un región pln que es r-simple o -simple. Si es r-simple, l form iterd de l integrl triple en form cilíndric es,, g r g. h, g f,, dv g h, h, f,, d da h r cos, r sen sin h r cos, r sin sen fr cos, r sen sin, r d dr d. NOTA Éste es sólo uno de los seis posibles órdenes de integrción. Los otros cinco son d d dr, dr d d, dr d d, d dr, d dr d. d

57 SECCIÓN.7 Integrles triples en coordends cilíndrics esférics 9 θ = Integrr con respecto r θ = Integrr con respecto θ = Integrr con respecto Figur. θ = π θ = π θ = π Pr visulir un orden de integrción determindo ud contemplr l integrl iterd en términos de tres movimientos de brrido, cd uno de los cules greg un dimensión l sólido. Por ejemplo, en el orden dr d d, l primer integrción ocurre en l dirección r, quí un punto brre (recorre) un ro. Después, medid que ument, l rect brre (recorre) un sector. Por último medid que ument, el sector brre (recorre) un cuñ sólid como se muestr en l figur.. EJEMPLO EXPLOACIÓN Volumen de un sector prboloide En ls págins 997, 8, se pidió resumir ls forms, conocids pr hllr el volumen del sólido cotdo por el prboloide, > el plno. Ahor se conoce un método más. Utilícese pr hllr el volumen del sólido. Comprr los diferentes métodos. Cuáles son ls ventjs desventjs de cd uno? Hllr el volumen emplendo coordends cilíndrics Hllr el volumen de l región sólid que cort en l esfer el cilindro r sin sen, como se muestr en l figur.5. Esfer: + + = Solución Como r, los límites o cots de son r r. Se l proección circulr del sólido sobre el plno. Entonces los límites o cots de son r sen sin. Por tnto, el volumen de es r Figur.5 Cilindro: r = sen θ V sen sen sen sen r r r d dr d r r r dr d r 8 8 cos d r r d dr d cos sen d sen sen d

58 CAPÍTULO Integrción múltiple EJEMPLO Hllr l ms emplendo coordends cilíndrics r Hllr l ms de l porción del elipsoide ddo por, situd sobre el plno. L densidd en un punto del sólido es proporcionl l distnci entre el punto el plno. Solución L función de densidd es r,, k. Los límites o cots de son r Elipsoide: + + = Figur. donde r, como se muestr en l figur.. L ms del sólido es m r k k k 8k 8r r r r r r dr d d k. kr d dr d d dr d L integrción en coordends cilíndrics es útil cundo en el integrndo precen fctores con l epresión como se ilustr en el ejemplo. EJEMPLO Hllr el momento de inerci Figur.7 5 Limitdo o cotdo por : = + = Hllr el momento de inerci con respecto l eje de simetrí del sólido limitdo o cotdo por el prboloide el plno, como se muestr en l figur.7. L densidd en cd punto es proporcionl l distnci entre el punto el eje. Solución Como el eje es el eje de simetrí,,, k, sigue que k dv. I En coordends cilíndrics, r. Por tnto, se tiene I k k k k 5 r d d 5 d r rr dr d d d d k k 5.

59 SECCIÓN.7 Integrles triples en coordends cilíndrics esférics ρ i ρ i sen φ i θ i ρi φi Bloque esférico: V i i sen i i i i Figur.8 Integrles triples en coordends esférics Ls integrles triples que involucrn esfers o conos son menudo más fáciles de clculr medinte l conversión coordends esférics. ecordr que en l sección.7 se vieron ls ecuciones rectngulres pr conversión coordends esférics En este sistem de coordends, l región más simple es un bloque esférico determindo por,, : donde,,, como se muestr en l figur.8. Si,, es un punto en el interior de uno de estos bloques, entonces el volumen del bloque puede ser proimdo por V sen sin (ver ejercicio 8 en los ejercicios de solución de problems de este cpítulo). Utilindo el proceso hbitul que comprende un prtición interior, un sum un límite, se desrroll l versión siguiente de un integrl triple en coordends esférics pr un función continu ƒ en l región sólid. Est fórmul puede modificrse pr empler diferentes órdenes de integrción se puede generlir regiones con límites o cots vribles. Como ls integrles triples en coordends cilíndrics, ls integrles triples en coordends esférics se evlún emplendo integrles iterds. Como sucede con ls coordends cilíndrics, se puede visulir un orden determindo de integrción contemplndo l integrl iterd en términos de tres movimientos de brrido, cd uno de los cules greg un dimensión l sólido. Por ejemplo, l integrl iterd sin sen cos sen sin sin sen cos. sin sen, f,, dv d d d (que se usó en el ejemplo ) se ilustr en l figur.9. f, sin sen cos, sen sin sen sin, cos sen sin d d d. Cono: Esfer: + = + + = 9 ρ = θ ρ φ vrí desde hst mientrs se mntienen constntes Figur.9 vrí desde hst mientrs se mntiene constnte vrí desde hst NOTA Cundo l letr grieg se emple en coordends esférics no está relciond con l densidd. Es l nálog tridimensionl de l r que se utili en coordends polres. En este teto, en los problems en los que se empleen coordends esférics un función de densidd, se usrá un símbolo diferente pr denotr l densidd.

60 CAPÍTULO Integrción múltiple EJEMPLO Hllr un volumen en coordends esférics Hoj superior del cono: = + Hllr el volumen de l región sólid limitd o cotd inferiormente por l hoj superior del cono superiormente por l esfer 9, como se muestr en l figur.7. Solución En coordends esférics, l ecución de l esfer es 9. Figur.7 Esfer: + + = 9 L esfer el cono se cortn cundo 9, como cos, se tiene que Por consiguiente, se puede utilir el orden de integrción,,. El volumen es cos V dv sen sin cos d d d. sen sin d d d d 9.5. d d d, donde EJEMPLO 5 Hllr el centro de ms de un región sólid Hllr el centro de ms de l región sólid de densidd uniforme, limitd o cotd inferiormente por l hoj superior del cono superiormente por l esfer 9. Solución Como l densidd es uniforme, se puede considerr que l densidd en el punto,, es k. Por l simetrí, el centro de ms se encuentr en el eje, sólo se necesit clculr M m, donde m kv 9k por el ejemplo. Como cos, se sigue que M Por tnto, k dv k k k M m 8k8 9k 9.9 el centro de ms es proimdmente,,.9. sin sen d cos sen sin d k d d d d d d 8k 8.

61 SECCIÓN.7 Integrles triples en coordends cilíndrics esférics.7 Ejercicios CAS En los ejercicios, evlur l integrl iterd. 5 r. r cos dr d d. r d dr d En los ejercicios 7 8, utilir un sistem lgebrico por computdor evlur l integrl iterd En los ejercicios 9, dibujr l región sólid cuo volumen está ddo por l integrl iterd, evlur l integrl iterd. e r r d dr d r d dr d.. En los ejercicios, convertir l integrl de coordends rectngulres coordends cilíndrics coordends esférics, evlur l integrl iterd más sencill cos r cos cos sin sen 5 e d d d sin sen d d d sen sin cos d d d re r d dr d r sen sin d d dr dr d d cos d d d sen sin d d d sin sen d d d 9 9. d d d d d d d d d Volumen En los ejercicios 7, utilir coordends cilíndrics pr hllr el volumen del sólido. 7. Sólido interior 8. Sólido interior eterior 9. Sólido limitdo rrib por bjo por. Sólido limitdo rrib por bjo por d d d 5r CAS CAS. Sólido limitdo o cotdo por ls gráfics de l esfer r del cilindro r cos. Sólido interior l esfer sobre l hoj superior del cono Ms En los ejercicios, utilir coordends cilíndrics pr hllr l ms del sólido..,, : 9,,, k.,, : e,,,,, k En los ejercicios 5, utilir coordends cilíndrics pr hllr l crcterístic indicd del cono que se muestr en l figur. h 5. Volumen Hllr el volumen del cono.. Centroide Hllr el centroide del cono. 7. Centro de ms Hllr el centro de ms del cono suponiendo que su densidd en culquier punto es proporcionl l distnci entre el punto el eje del cono. Utilir un sistem lgebrico por computdor evlur l integrl triple. 8. Centro de ms Hllr el centro de ms del cono suponiendo que su densidd en culquier punto es proporcionl l distnci entre el punto l bse. Utilir un sistem lgebrico por computdor evlur l integrl triple. 9. Momento de inerci Suponer que el cono tiene densidd uniforme mostrr que el momento de inerci con respecto l eje es I mr. r. Momento de inerci Suponer que l densidd del cono es,, k hllr el momento de inerci con respecto l eje. Momento de inerci En los ejercicios, usr coordends cilíndrics pr verificr l fórmul dd pr el momento de inerci del sólido de densidd uniforme.. Cp cilíndric: I m b < r b, = h ( r r h (

62 CAPÍTULO Integrción múltiple CAS. Cilindro circulr recto: I m r sin sen, h Utilir un sistem lgebrico por computdor clculr l integrl triple. Pr discusión 8. Convertir l integrl desde coordends rectngulres ) coordends cilíndrics b) esférics. Sin clculr, qué integrl prece ser más sencill de evlur? Por qué? Volumen En los ejercicios, utilir coordends esférics pr clculr el volumen del sólido.. Sólido interior 9, eterior, rrib del plno.. Sólido limitdo rrib por bjo por,. sin CAS 5. El toro ddo por sen. (Utilir un sistem lgebrico por computdor evlur l integrl triple.). El sólido comprendido entre ls esfers b, b >, e interior l cono Ms En los ejercicios 7 8, utilir coordends esférics pr hllr l ms de l esfer de densidd especificd. 7. L densidd en culquier punto es proporcionl l distnci entre el punto el origen. 8. L densidd en culquier punto es proporcionl l distnci del punto l eje. Centro de ms En los ejercicios 9, utilir coordends esférics pr hllr el centro de ms del sólido de densidd uniforme. 9. Sólido hemisférico de rdio r. Sólido comprendido entre dos hemisferios concéntricos de rdios r, donde r < Momento de inerci En los ejercicios, utilir coordends esférics pr hllr el momento de inerci con respecto l eje del sólido de densidd uniforme.. Sólido limitdo o cotdo por el hemisferio, el cono cos,. Sólido comprendido entre dos hemisferios concéntricos de rdios r, donde r < 9. Hllr el volumen de l esfer en cutro dimensiones w evlundo 5. Utilir ls coordends esférics pr mostrr que e d d d. dw d d d. En los incisos ) b), hllr el volumen de ls esfers deformds. Estos sólidos se usn como modelos de tumores. ) Esfer deformd b) Esfer deformd. sin 8 sin, d d d Preprción del emen Putnm 5. Encontrr el volumen Find the de volume l región of the de region puntos of (, po, ) en form tl que 8. Este problem fue preprdo por el Committee on the Putnm Prie Competition. The Mthemticl Assocition of Americ. Todos los derechos reservdos. POYECTO DE TABAJO Esfers deformds. sin 8 sin sen sen sen sen, Desrrollo de conceptos. Dr ls ecuciones de conversión de coordends rectngulres coordends cilíndrics vicevers.. Dr ls ecuciones de conversión de coordends rectngulres coordends esférics vicevers. 5. Dr l form iterd de l integrl triple f,, dv en form cilíndric.. Dr l form iterd de l integrl triple f,, dv en form esféric. 7. Describir l superficie cu ecución es un coordend igul un constnte en cd un de ls coordends en ) el sistem de coordends cilíndrics b) el sistem de coordends esférics. Generdo con Mple PAA MAYO INFOMACIÓNMPr más informción sobre estos tipos de esfers, ver el rtículo Het Therp for Tumors de Leh Edelstein-Keshet en The UMAP Journl. Generdo con Mple

63 SECCIÓN.8 Cmbio de vribles: jcobinos 5.8 Cmbio de vribles: jcobinos Comprender el concepto de jcobino. Utilir un jcobino pr cmbir vribles en un integrl doble. CAL GUSTAV JACOBI (8-85) El jcobino recibe su nombre en honor l mtemático lemán Crl Gustv Jcobi, conocido por su trbjo en muchs áres de mtemátic, pero su interés en integrción provení del problem de hllr l circunferenci de un elipse. Jcobinos En un integrl simple b f d se puede tener un cmbio de vribles hciendo gu, con lo que d gu du, obtener b d f d f gugu du c donde gc b gd. Nótese que el proceso de cmbio de vribles introduce, en el integrndo, un fctor dicionl gu. Esto tmbién ocurre en el cso de ls integrles dobles f, da S f gu, v, hu, v du dv u v u v Jcobino donde el cmbio de vribles gu, v hu, v introduce un fctor llmdo jcobino de con respecto u v. Al definir el jcobino, es conveniente utilir l notción siguiente que emple determinntes. DEFINICIÓN DEL JACOBIANO Si gu, v hu, v, entonces el jcobino de con respecto u v, denotdo por, u, v, es, u, v u u v u v u v. EJEMPLO El jcobino de l conversión rectngulr-polr Hllr el jcobino pr el cmbio de vribles definido por r cos Solución De cuerdo con l definición de un jcobino, se obtiene, r, r r cos r sin sen sen sin r cos r cos r sen sin r. r sin sen.

64 CAPÍTULO Integrción múltiple β α θ T(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) r= S r = b θ = β r = θ = β θ = α θ = α b r = b S es l región en el plno r que corresponde en el plno Figur.7 + = 5 (, ) + =, ( ) egión en el plno Figur.7 v = v = 5 v u = (, ) S egión S en el plno uv Figur.7 = 8 (, ) ( 8, ) u = = (, ) u (, ) (, ) r El ejemplo indic que el cmbio de vribles de coordends rectngulres polres en un integrl doble se puede escribir como f, da S f r cos, r sin sen r dr d, r > S, f r cos, r sen sin dr d r, donde S es l región en el plno que corresponde l región en el plno, como se muestr en l figur.7. Est fórmul es semejnte l de l págin. En generl, un cmbio de vribles está ddo por un trnsformción biectiv (o uno uno) T de un región S en el plno uv en un región en el plno dd por Tu, v, gu, v, hu, v donde g h tienen primers derivds prciles continus en l región S. Nótese que el punto u, v se encuentr en S el punto, se encuentr en. En l mor prte de ls ocsiones, se busc un trnsformción en l que l región S se más simple que l región. EJEMPLO Hllr un cmbio de vribles pr simplificr un región Se l región limitd o cotd por ls rects, como se muestr en l figur.7. Hllr un trnsformción T de un región S tl que S se un región rectngulr (con ldos prlelos los ejes u o v). Solución Pr emper, se u v. esolviendo este sistem de ecuciones pr encontrr se obtiene Tu, v,, donde u v Los cutro límites de en el plno dn lugr los límites siguientes de S en el plno uv. Límites en el plno r, u v., Límites en el plno uv L región S se muestr en l figur.7. Nótese que l trnsformción T Tu, v, u v, u v u u v v trnsform los vértices de l región S en los vértices de l región. Por ejemplo, T,,, T,, 8, T,,, 8 T,,, 5.

65 SECCIÓN.8 Cmbio de vribles: jcobinos 7 Cmbio de vribles en integrles dobles TEOEMA.5 CAMBIO DE VAIABLES EN INTEGALES DOBLES Se un región verticl u horiontlmente sencill en el plno se S un región verticl u horiontlmente sencill en el plno uv. Se T desde S hst ddo por T(u, v) (, ) (g(u, v), h(u, v)), donde g h tienen primers derivds prciles continus. Suponer que T es uno uno ecepto posiblemente en l fronter de S. Si f es continu en (, )(u, v) no es cero en S, entonces, f, d d S f gu, v, hu, v v du dv. u, v (u, v + v) S (u + u, v + v) DEMOSTACIÓN Considerr el cso en el que S es un región rectngulr en el plno uv con vértices u, v, u u, v, u u, v v, u, v v, como se muestr en l figur.7. Ls imágenes de estos vértices en el plno se muestrn en l figur.75. Si u v son pequeños, l continuidd de g de h implic que es proimdmente un prlelogrmo determindo por los vectores MN \ M \. Así pues, el áre de es (u, v) (u + u, v) Áre de S uv u >, v > Figur.7 u A MN \ M \. Pr u v pequeños, ls derivds prciles de g h con respecto u pueden ser proimds por g u u, v Por consiguiente, gu u, v gu, v u h u u, v hu u, v hu, v. u MN \ gu u, v gu, v i hu u, v hu, vj P g u u, v ui h u u, v u j ui u u uj. M = (, ) = g(u, v) = h(u, v) Los vértices en el plno son Mgu, v, hu, v, Ngu u, v, hu u, v, Pgu u, v v, hu u, v v, gu, v v, hu, v v. Figur.75 N De mner similr, se puede proimr por vi lo que implic que v v vj, M\ i j k u u MN \ M \ u u u vk. u u v v v v v v Por tnto, en l notción del jcobino,, A MN \ M v \ u v. u, Como est proimción mejor cundo u v se proimn, el cso límite puede escribirse como, da MN \ M v \ du dv. u, Por tnto,, f, d d Sf gu, v, hu, v v du dv. u,

66 8 CAPÍTULO Integrción múltiple Los dos ejemplos siguientes muestrn cómo un cmbio de vribles puede simplificr el proceso de integrción. L simplificción se puede dr de vris mners. Se puede hcer un cmbio de vribles pr simplificr l región o el integrndo f,, o mbos. EJEMPLO Un cmbio de vribles pr simplificr un región + = Figur.7 + = = = Se l región limitd o cotd por ls rects, como se muestr en l figur.7. Evlur l integrl doble da. Solución De cuerdo con el ejemplo, se puede usr el cmbio siguiente de vribles. u v, u v, Ls derivds prciles de son u, v, u, lo cul implic que el jcobino es, u, v u u v v 9 9. Por tnto, por el teorem.5, se obtiene da S u v u v, 9 u uv v dv du 9 u v uv 9 8u 8u du 9 8u u u 9. v du v dv du u,

67 SECCIÓN.8 Cmbio de vribles: jcobinos 9 EJEMPLO Un cmbio de vribles pr simplificr un integrndo Se l región limitd o cotd por el cudrdo cuos vértices son,,,,,,. Evlur l integrl sen sin da. (, ) = (, ) (, ) (, ) + = = + = Solución Obsérvese que los ldos de se encuentrn sobre ls rects,,,, como se muestr en l figur.77. Hciendo u v, se tiene que los límites o cots de l región S en el plno uv son u como se muestr en l figur.78. Despejndo en términos de u v se obtiene u v v u v. egión en el plno Figur.77 v v = v = u = (, ) S egión S en el plno uv Figur.78 u = (, ) (, ) (, ) u Ls derivds prciles de son u, v, u, lo cul implic que el jcobino es, u, v u. u v Por el teorem.5, sigue que sen sin da sin sen v u dv sen sin v dv cos v dv v sin v sen sin sin sen.. v u sin v sen sen sen sin du dv En cd uno de los ejemplos de cmbio de vribles de est sección, l región S h sido un rectángulo con ldos prlelos los ejes u o v. En ocsiones, se puede usr un cmbio de vribles pr otros tipos de regiones. Por ejemplo, Tu, v, trnsform l región circulr u v en l región elíptic.

68 5 CAPÍTULO Integrción múltiple.8 Ejercicios CAS En los ejercicios 8, hllr el jcobino, /u, v pr el cmbio de vribles indicdo.. u v, u v. u bv, cu dv. u v, u v. uv u, uv 5. u cos v sen sin, u sin sen v cos. u, v 7. e u sen sin v, e u cos v 8. u, u v v En los ejercicios 9, dibujr l imgen S en el plno uv de l región en el plno utilindo ls trnsformciones dds. 9. u v. u v v (, ) En los ejercicios, verificr el resultdo del ejemplo indicdo por estblecer l integrl usndo d d o d d pr da. Después, usr un sistem lgebrico por computdor pr evlur l integrl.. Ejemplo. Ejemplo En los ejercicios 5, utilir el cmbio de vribles indicdo pr hllr l integrl doble. 5.. da da u v u v (, ) (, ) u v 5 (, ) (, ). u v. v u u v (, ), ) u v u v (, ) (, ) 5 ) ) ) ) ), ) (, ) ), ) v u, ) 8, ), ) Figur pr 5 Figur pr 7. da 8. (, ) (, ) (, ) (7, ) (, ) (, ) (, ) 8 9. e da. sen sin da En los ejercicios 8, utilir un cmbio de vribles pr hllr el volumen de l región sólid que se encuentr bjo l superficie f, sobre l región pln.... (, ) u v u (, ) (, ) v, uv u = f, 8 = (, ) : región limitd por el cudrdo con vértices (, ), (, ), (, ), (, ) f, : región limitd por el prlelogrmo con vértices (, ), (, ), (, 5), (, ) f, e = = (, ) (, ) e da u v u v u v, v : región cotd por el cudrdo cuos vértices son,,,,,,, (, ) = (, ) = = =

69 SECCIÓN.8 Cmbio de vribles: jcobinos 5. f, sen sin : región cotd por el cudrdo cuos vértices son,,,,,,, f, : región cotd por el prlelogrmo cuos vértices son,,,, 5,,, f, : región cotd por el prlelogrmo cuos vértices son,,,,, 5,, f, : región cotd por el triángulo cuos vértices son,,,,,, donde > f, : región cotd por ls gráfics de,,, Sugerenci: Hcer u, vu. 9. L sustitución u v hcen l región (ver l figur) en un simple región S en el plno uv. Determinr el número totl de ldos de S que son prlelos culquier de los ejes u o v. 8. Considerr l región en el plno cotd por l elipse b ls trnsformciones u bv. ) Dibujr l gráfic de l región su imgen S bjo l trnsformción dd. b) Hllr (, 7) (, ) 8, u, v. (, ) Pr discusión c) Hllr el áre de l elipse.. Encontrr un trnsformción Tu, v, gu, v, hu, v que l plicr l región resultrá en l imgen S (ver l figur). Eplicr el ronmiento. v 5 (, ) (, ) (, ) (, ) 5 (, ) (, ) 5 S (, ) (, ) 5 u. Utilir el resultdo del ejercicio pr hllr el volumen de cd uno de los sólidos boveddos que se encuentr bjo l superficie f, sobre l región elíptic. (Sugerenci: Después de hcer el cmbio de vribles ddo por los resultdos del ejercicio, hcer un segundo cmbio de vribles coordends polres.) ) b) En los ejercicios 5, hllr el jcobino,, /u, v, w pr el cmbio de vribles indicdo. Si f u, v, w, gu, v, w, hu, v, w, entonces el jcobino de, con respecto u, v w es u v,,. u, v, w u v u v w 5. u v, uv w, uvw. u v, v w, u w 7. u v, u v, uvw 8. u v w, uv, u v w 9. Coordends esférics f, ; : 9 f, A cos : b sin cos, sin sin, cos. Coordends cilíndrics r cos, r sen sin, b ; Desrrollo de conceptos. Enuncir l definición de jcobino.. Describir cómo usr el jcobino pr hcer un cmbio de vribles en integrles dobles. sen sen sen Preprción del emen Putnm. Se A el áre de l región del primer cudrnte cotd por l rect, el eje l elipse 9. Hllr el número positivo m tl que A es igul l áre de l región del primer cudrnte cotd por l rect m, el eje l elipse 9. Este problem fue preprdo por el Committee on the Putnm Prie Competition. The Mthemticl Assocition of Americ. Todos los derechos reservdos.

70 5 CAPÍTULO Integrción múltiple Ejercicios de repso En los ejercicios, evlur l integrl... En los ejercicios, trr l región de integrción. Después, evlur l integrl iterd. Cmbir el sistem de coordends cundo se conveniente Áre En los ejercicios 7, dr los límites pr l integrl doble f, da pr mbos órdenes de integrción. Clculr el áre de hciendo f, e integrndo. 7. Triángulo: vértices 8. Triángulo: vértices 9. El áre mor entre ls gráfics de 5. egión cotd por ls gráfics de. egión encerrd por l gráfic de. egión cotd por ls gráfics de,,. egión cotd por ls gráfics de. egión cotd por ls gráfics de Pr pensr En los ejercicios 5, dr un rgumento geométrico pr l iguldd dd. Verificr l iguldd nlíticmente. 5. d d d d. ln d d 9 5 d d d d d d d d e d d,,,,,,,,,, 8 e d d d d Volumen En los ejercicios 7 8, utilir un integrl múltiple un sistem de coordends decudo pr hllr el volumen del sólido Sólido cotdo por ls gráfics de,, e d d, CAS 8. Sólido cotdo por ls gráfics de,,,, Vlor promedio En los ejercicios 9, encontrr el promedio de f(, ) sobre l región. 9. f() : rectángulo con vértices (, ), (, ), (, ), (, ). f() : cudrdo con vértices (, ), (, ), (, ), (, ). Tempertur promedio L tempertur en grdos Celsius sobre l superficie de un plc metálic es T(, ) donde están medidos en centímetros. Estimr l tempertur promedio si vrí entre centímetros vrí entre 5 centímetros.. Gnnci promedio L gnnci pr l empres P grcis l mrketing de dos bebids dietétics es P donde representn el número de uniddes de ls dos bebids dietétics. Usr un sistem lgebrico por computdor pr evlur l doble integrl lcnndo l gnnci promedio semnl si vrí entre 5 uniddes vrí entre 5 uniddes. Probbilidd En los ejercicios, hllr k tl que l función se un función de densidd conjunt hllr l probbilidd requerid, donde d b P b, c d f, d d... Aproimción En los ejercicios 5, determinr qué vlor se proim mejor l volumen del sólido entre el plno l función sobre l región. (Hcer l elección l vist de un dibujo del sólido no relindo cálculo lguno.) 5.. f, ke,, P, f, k,, P.5,.5 f, : triángulo con vértices,,,,, 9 ) b) 5 c) d) e) f, : círculo limitdo o cotdo por c, en elsewhere resto, elsewhere en resto ) b) 5 c) d) e) 5

71 Ejercicios de repso 5 Verddero o flso? En los ejercicios 7, determinr si l declrción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que demuestre que es fls Si ƒ es continu sobre, 9.. b c da da entonces En los ejercicios, evlur l integrl iterd convirtiendo coordends polres. h d b f g d d f, da f, da. cos d d d d <. d d. Áre En los ejercicios, usr l doble integrl pr encontrr el áre en l región sombred... π r = + cos θ d f dc g d cos d d π d d r = sen θ 8. Combinr l sum de ls dos integrles iterds en un sol integrl iterd convirtiendo coordends polres. Evlur l integrl iterd resultnte. 8 d d d d CAS Ms centro de ms En los ejercicios 9, hllr l ms el centro de ms de l lámin limitd o cotd por ls gráfics de ls ecuciones con l densidd o densiddes dds. Utilir un sistem lgebrico por computdor evlur ls integrles múltiples. 9.,, primer cudrnte k ) b). h primer cudrnte L L, CAS En los ejercicios, hllr I, I, I,, pr l lámin limitd o cotd por ls gráfics de ls ecuciones. Utilir un sistem lgebrico por computdor evlur ls integrles dobles.., b,,,.,, >, Áre de un superficie En los ejercicios, hllr el áre de l superficie dd por f, sobre l región.. f (, ) 5 {(, ): 5} CAS. f,, :, Utilir un sistem lgebrico por computdor evlur l integrl. 5. f(, ) 9 8 k k, k k : triángulo limitdo por ls gráfics de ls ecuciones,. Volumen En los ejercicios 5, utilir un integrl múltiple un sistem de coordends decudo pr hllr el volumen del sólido. 5. Sólido limitdo o cotdo por ls gráfics de h, eterior l cilindro e interior l hiperboloide. Sólido restnte después de perforr un orificio de rdio b trvés del centro de un esfer de rdio b < 7. Considerr l región en el plno limitd o cotd por l gráfic de l ecución 9. ) Convertir l ecución coordends polres. Utilir un herrmient de grficción pr representr l ecución. b) Utilir un integrl doble pr hllr el áre de l región. CAS c) Utilir un sistem lgebrico por computdor determinr el volumen del sólido sobre l región bjo el hemisferio 9.. f(, ) : triángulo limitdo por ls gráfics de ls ecuciones,. 7. Proectr construcción Un nuevo uditorio es construido con un cimiento en form de un curto de un círculo de 5 pies de rdio. Así, se form un región limitd por l gráfic de 5 con. Ls siguientes ecuciones son modelos pr el piso el techo. Piso: Techo: 5 ) Clculr el volumen del curto, el cul es necesrio pr determinr los requisitos de clor enfrimiento. b) Encontrr el áre de superficie del techo.

72 5 CAPÍTULO Integrción múltiple CAS 8. Áre de un superficie El techo del escenrio de un tetro l ire libre en un prque se model por f, 5 e cos. Investigción Considerr un segmento esférico de ltur h de un esfer de rdio, donde h de densidd constnte,, k (ver l figur). CAS donde el escenrio es un semicírculo limitdo o cotdo por ls gráfics de 5. ) Utilir un sistem lgebrico por computdor representr gráficmente l superficie. b) Utilir un sistem lgebrico por computdor proimr l cntidd de pies cudrdos de techo requeridos pr cubrir l superficie. En los ejercicios 9 5, evlur l integrl iterd En los ejercicios 5 5, utilir un sistem lgebrico por computdor evlur l integrl iterd b c Volumen En los ejercicios 55 5, utilir un integrl múltiple pr clculr el volumen del sólido. 55. El sólido interior ls gráfics de r cos r 5. El sólido interior ls gráfics de r, r sen Centro de ms En los ejercicios 57, hllr el centro de ms del sólido de densidd uniforme limitdo o cotdo por ls gráfics de ls ecuciones. 57. El sólido interior l hemisferio, eterior l cono 58. L cuñ:, cc >,, 59., primer octnte. 5, (el sólido mor) Momento de inerci En los ejercicios, hllr el momento de inerci del sólido de densidd dd. I d d d d d d d d d d d d d d d d d d cos,. El sólido de densidd uniforme interior l prboloide, eterior l cilindro 9,.., densidd proporcionl l distnci l centro ) Hllr el volumen del sólido. b) Hllr el centroide del sólido. c) Utilir el resultdo del inciso b) pr loclir el centroide de un hemisferio de rdio. d) Hllr lím lim e) Hllr I. f) Utilir el resultdo del inciso e) pr hllr I pr un hemisferio.. Momento de inerci Hllr el momento de inerci con respecto l eje del elipsoide donde >., En los ejercicios 5, dr un interpretción geométric de l integrl iterd. 5.. En los ejercicios 7 8, hllr el jcobino, /u, v pr el cmbio de vribles indicdo. 7. u v, 8. u v, En los ejercicios 9 7, utilir el cmbio de vribles indicdo pr evlur l integrl doble. 9. ln da 7. sen sin r u v, (, ) (, ) (, ) h. sin sen d d d r d dr d (, ) u v u v u v 5 h u, = da = 5 = v u 5 = 5

73 Solución de problems 55 SP Solución de problems. Hllr el volumen del sólido de intersección de los tres cilindros,, (ver l figur).. Sen, b, c d números reles positivos. El primer octnte del plno b c d se muestr en l figur. Mostrr que el áre de l superficie de est porción del plno es igul A c b c donde A es el áre de l región tringulr en el plno, como se muestr en l figur. d) Demostrr l identidd trigonométric sen sin cos e) Demostrr que tn. I ƒ) Utilir l fórmul pr l sum de un serie geométric infinit pr verificr que n d d. g) Utilir el cmbio de vribles u v pr demostrr que n d d I I. n n. Considerr un césped circulr de pies de rdio, como se muestr en l figur. Supóngse que un rocidor distribue gu de mner rdil de cuerdo con l fórmul f r r r (medido en pies cúbicos de gu por hor por pie cudrdo de césped), donde r es l distnci en pies l rocidor. Hllr l cntidd de gu que se distribue en hor en ls dos regiones nulres siguientes. A r, : r 5, B r, : 9 r, u u } } u dv du v 9. Es uniforme l distribución del gu? Determinr l cntidd de gu que recibe todo el césped en hor.. Deducir el fmoso resultdo de Euler que se mencion en l sección 9., completndo cd uno de los psos. n, n ) Demostrr que dv u v u rctn v C. u b) Demostrr que utilindo l sustitución c) Demostrr que u u I I u u u dv du v rctn sen sin cos u sin sen. d utilindo l sustitución u sin sen. dv du u v 8 B 5. L figur muestr l región limitd o cotd por ls curvs,, Utilir el cmbio de,. vribles u v u v pr hllr el áre de l región. A = pies pie = = =

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