GUÍA EXAMEN EXTRAORDINARIO MATEMÁTICAS II. Turno vespertino Mayo 2018

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1 GUÍA EXAMEN EXTRAORDINARIO MATEMÁTICAS II Turno vespertino Mayo 2018 ELABORARON Prof. Luis Castillo Peña Prof. Juan Domínguez Martínez Prof. Nicolás Sánchez Hernández Profa. Ana Margarita Granados Molina Profa. Maribel Morales Villafuerte Prof. Gustavo Peralta Enríquez Profa. María Teresa Plata Jiménez Prof. Leonardo Damián Soria Rodríguez Prof. Oscar Sosa Flores GUÍA VIGENTE

2 Hoja de asesorías Es requisito que algún profesor de la academia de Matemáticas del turno vespertino revise el correcto avance de tu guía, con la finalidad de que llegues lo mejor preparado para presentar el examen extraordinario. Bloque I: Fecha: Firma del profesor: Bloque II: Fecha: Firma del profesor: Bloque III: Fecha: Firma del profesor: Bloque IV: Fecha: Firma del profesor: Bloque V: Fecha: Firma del profesor: Bloque VI: Fecha: Firma del profesor: 1

3 DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO N 2 LIC. JESÚS REYES HEROLES ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II GUIA EXAMEN EXTRAORDINARIO BLOQUE I. Ángulos y triángulos INSTRUCCIONES: Relacione las columnas proporcionada en la primera columna, con la gráfica que le corresponde en la segunda columna Definición Grafica Ángulo Agudo ( ) a. Ángulo Recto ( ) b. Ángulo Obtuso ( ) c. Ángulo llano ( ) d. Ángulos Complementarios ( ) e. Ángulos Suplementarios ( ) f. Ángulo Conjugados ( ) g. 2

4 Ángulos opuestos por el vértice ( ) h. Ángulos Adyacentes ( ) i. Ángulo nulo ( ) j. INSTRUCCIONES: REALIZA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS 2. Dado ángulo A = (7x + 4), y ángulo B = (3x + 16) A, hallar: La medida del ángulo A y B si son complementarios. La medida del ángulo B si son suplementarios. La medida del ángulo A y B si son conjugados. 3. Sean M y N dos ángulos conjugados, donde M = 2(4x-10), N = 10(x+2) ; encuentra la medida del ángulo B Hallar la medida del ángulo AOB y BOC. C (7x + 53) 0 B D o (3x + 85) 0 A 4. Hallar la medida del ángulo AOB y BOC y los valores de x y y. C (15y + 8) 0 B 5. Hallar la medida del ángulo AOB y BOC. D (5x + 2) 0 o B (6x - 8) 0 A C (10x + 25) o (10x - 5) o O A 3

5 6. Resuelve los siguientes ejercicios. Sean A y B dos ángulos suplementarios, donde A=8(2x-3) y B=10(x+3.5). Encuentra la medida del ángulo A. Encuentra las medidas de los ángulos AOB y BOC. Sean A y B dos ángulos complementarios, donde A=4(x+3) y B=7(x-3). Determina la medida del ángulo B. Encuentra las medidas de los ángulos AOB y BOC. Halla el valor de x e y con base en la siguiente figura. Si MP QR, determina el valor de x, así como la medida de los ángulos STP, PTV, RVW y QVW. 7. En la siguiente figura el ángulo 3 mide 125 ; encuentra la medida de los demás ángulos, si AB CD. Y argumenta que criterio utilizaste 1 2 1= 5= A 4 3 2= 6= 3= 7= 4= 8= 5 6 C D 8 7 B 8. Si r1 r2 hallar el valor de x y y r1 r2 150 (15x + 30) (12y + 36) 4

6 9. Sean A, B y C los ángulos interiores de un triángulo; donde A = (2x + 35), B = (4x 10), C = (3x 7). Determina la medida de los ángulos. 10. Define los siguientes tipos de triángulos de acuerdo con la medida de sus lados. Triángulo Equilátero. Triángulo Isósceles. Triángulo Escaleno. 11. En los casos siguientes indique cuáles son los triángulos congruentes y establecer el criterio de congruencia respectivo 5

7 12. En la siguiente figura se muestran dos triángulos congruentes, encuentre el valor de x e y. 13. Si un edificio de 150 metros de altura proyecta una sombra de 300 metros a cierta hora de la tarde, cuál será la longitud de la sombra de un poste de 3 metros de altura? 14. Encuentre 6

8 TEOREMA DE THALES 15. Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, dos segmentos cualesquiera de una de éstas son proporcionales a los dos segmentos correspondientes de la otra. Las rectas A, B y C son paralelas, encontrar la longitud de x: 5 2 x 7 A B C 16. Las rectas A y B son paralelas. Teniendo en cuenta las medidas que se dan en el dibujo, Se puede asegurar que la recta C es paralela a las rectas A y B? Justifica tu respuesta. 4.5 cm 9 cm 6 cm 3 cm A B C 17. Encuentra el valor de los segmentos a y b: 2 b a 7

9 18. Encuentra los valores de x y y. 19. Determine el valor de x para las siguientes figuras. Problemas de aplicación: 20.- Calcula la longitud de una escalera sabiendo que está apoyada en la pared a una distancia de 1.80 m de la pared y alcanza una altura de 7 m Calcula la altura de un triángulo equilátero de 8 cm de lado 8 cm 4 cm 8

10 23.- Calcula la altura de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. Serán iguales sus áreas? 24.- En el siguiente triángulo rectángulo: qué expresión algebraica representa la hipotenusa? A a = 4x - 1 c =? C b = 2x + 2 B 25.- Un albañil apoya una escalera contra un muro vertical. Calculen a qué altura se encuentra la parte superior de la escalera. 9

11 26. Encuentra el valor del segmento HG, de la siguiente figura. Bloque 2. Propiedades de los polígonos Llena la siguiente tabla, anexa una imagen de cada polígono. NOMBRE NÚMERO DE LADOS. Triángulo. Cuatro Cinco Hexágono Siete Ocho Eneágono Define los siguientes conceptos. Polígono. Polígono Convexo. Polígono Cóncavo. Ángulo Central. Diagonal. Ángulo interior. Ángulo exterior. 10

12 Completa la siguiente tabla. CALCULO FORMULA Número total de diagonales Diagonales de un vértice Ángulo interior Ángulo exterior Ángulo central En un hexágono regular calcula: a) La medida de cada ángulo interior. b) La medida de cada ángulo exterior c) El número total de diagonales. El ángulo exterior de un polígono regular mide 45. Halla: a) El número de lados. b) La suma de los ángulos interiores. c) El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono. d) La medida de cada ángulo interior. Calcula el área de un pentágono de lado 5cm. Y 3.44cm de apotema. El ángulo interior de un polígono regular mide 156. Determina: a) El número de lados del polígono b) El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono. c) El valor de cada ángulo exterior. Un polígono regular tiene 15 lados. Determina: a) La suma de ángulos interiores. b) La medida de cada ángulo interior. c) La medida de cada ángulo exterior. d) El número total de las diagonales que se pueden trazar en el polígono. El área de un polígono regular es de 58.14cm 2, la longitud de su lado y apotema son 4 y 4.5cm, respectivamente, Cuántos lados tiene? Un octágono regular tiene un área de 309.2cm 2. Si su apotema mide 9.66cm, Cuánto mide uno de sus lados? Selecciona la respuesta que consideres la adecuada. 1.- Puntos donde concurren dos lados de cualquier polígono. A) Diagonal B) Vértice C) Ángulo D) Área 11

13 2.- Medida de la superficie de un polígono. A) Altura B) Perímetro C) Circunferencia D) Área 3.- Suma de las longitudes de los lados de un polígono. A) Altura B) Polígonos C) Perímetro D) Área Hallar la suma de los ángulos interiores de un octágono. Un polígono regular tiene 12 lados. 1. halla la medida de cada ángulo interior. 2. hallar el número de diagonales que pueden trazarse desde todos sus vértices. 3. hallar la medida de cada ángulo central del polígono. Los ángulos interiores de un hexágono se representan con: A=5x, B=3x, C=2.5x, D=3.5x, E=5x y F=5x. Hallar la medida del ángulo A. Encuentra la medida del ángulo C de un pentágono cuyos ángulos interiores se representan con: A=2x, B=x, C=3x, D=4x, E=5x 12

14 El ángulo exterior de un polígono regular mide 45. Halla: a) El número de lados. b) La suma de los ángulos interiores. c) El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono. d) La medida de cada ángulo interior. Un polígono regular tiene 15 lados. Encuentra: e) La suma de los ángulos interiores. f) La medida de cada ángulo interior. 1) Calcule el área de un hexágono regular si la longitud de su apotema es de 5 3 2) Calcule el perímetro, si la longitud de un lado es de 4 2 y el número de lados es Obtén el volumen de: 13

15 Volumen de un contenedor 1. 14

16 BLOQUE 3. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA 1) Conteste los datos faltantes de la tabla siguiente: Elemento Definición Figura Cuerda Diámetro 15

17 Arco Secante Tangente 2) Conteste los datos faltantes de la tabla siguiente: Tipo de ángulo Posición del vértice Diagrama Formula de la medida Ángulo central Ángulo inscrito Ángulo semiinscrito Si el área de un círculo es 625 pi. Calcular el radio y la longitud de la circunferencia. Determinar el radio y el área del círculo si la longitud de la circunferencia es 8 pi. 16

18 En cada uno de los siguientes ejercicios encuentra la medida del ángulo o arco que se te indica. El punto O representa el centro de la circunferencia. B A x O z=50 C ANB=84 AMC=140 X Z A= 24 BC=36 x= 17

19 x = Calcula el área de la parte sombreada. El lado de cada cuadrado mide 12cm. El radio de la circunferencia mide 20cm. La figura muestra un círculo inscrito en un cuadrado, cuál es el área sombreada?: 18

20 BLOQUE IV. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. DESCRIBES LAS 6 RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA RESOLVER TRIANGULOS RECTANGULOS B Hipotenusa c a Lado opuesto del < A A b Lado adyacente del < A C Halla el valor de las razones trigonométricas para el ángulo A y el ángulo B del triángulo rectángulo. ANGULO A B Seno c = X B a = 16 Coseno A b = 30 C Tangente Cotangente Secante cosecante A partir de un triángulo equilátero de lado 2 unidades de longitud, obtener las razones trigonométricas de los ángulos de 30 y 60 19

21 Sea un triángulo rectángulo isósceles de lados iguales de una unidad de longitud, obtenga las razones trigonométricas del ángulo de 45 Obtenga el valor exacto de la expresión trigonométrica dada. No use calculadora. cos 2 ( π ) 3 sen 60 cos30 6tan30 + 7tan60 3sen π 5cos π 4 4 Resuelva los triángulos rectángulos completando la siguiente tabla No. Cateto (a) Cateto (b) Hipotenusa (c) A B a) b) c) 5 12 d) 8 17 e) Desde un avión que está a 1800 m sobre el centro de una ciudad, el ángulo de depresión a otra población es de Calcula la distancia entre las dos poblaciones. 2. Calcula la altura de una torre si desde un punto situado a un kilómetro de la base se ve la cúspide con un ángulo de elevación de Un asta bandera está fijada verticalmente en lo alto de un edificio. Desde un punto a 50 m del pie del edificio los ángulos de elevación al pie y a la punta del asta son de y Halla la medida del asta. 4. Desde lo alto de una torre de 37 m, los ángulos de depresión de dos objetos situados de un mismo lado y en la misma línea horizontal que el pie del edificio, son, respectivamente, y Encuentra la distancia entre los dos objetos. 5. Desde la cumbre de un cerro de 300 m de alto, el ángulo de depresión de un barco es de Calcula la distancia del barco al punto de observación. 20

22 6. Unos observadores en dos pueblos A y B, a cada lado de una montaña de pies de altura, miden los ángulos de elevación entre el suelo y la cumbre de la montaña. Suponiendo que los pueblos y la montaña están en el mismo plano vertical, calcule la distancia en metros entre ellos. 7. Una bandera está a la orilla de un acantilado de 50 pies de altura, en la orilla de un rio de 40 pies de ancho. Un observador en la orilla opuesta del rio mide un ángulo de 9 entre la visual a la punta de la asta y su visual a la base dl asta. Calcule la altura de la asta. 21

23 BLOQUE V. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Dada la siguiente función, estudia todas sus características. Representa su gráfica. y = sen (5x) 1) Dominio: Dom(f) = R 2) Recorrido: Im(f) = [-1, 1] 3) Periodicidad: Como la función seno es periódica de período 2π, la función f(x) = sen (5x) es periódica de período: 2π = 5x x = 2π/5 Es periódica de período 2π/5. También podemos hallar el período de la función así: f(x) = sen(5x) = sen(5x + 2π) = sen[ 5 (x + 2π/5) ] = f(x + 2π/5) También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula: Periodo = 2π/5 4) Puntos de corte: Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función. Puntos de corte con el eje Y: Si x = 0 y = sen 0 y = 0 (0, 0) Puntos de corte con el eje X: Si y = 0 0 = sen (5x) 5x = 0 ó 5x = π x = 0 ó x = π/5 (0,0), (π/5, 0) 5) Máximos y mínimos: Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función. Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación: 22

24 1 = sen (5x) 5x = π/2 x = π/10 (π/10, 1) Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación: -1 = sen (5x) 5x = 3π/2 x = 3π/10 (3π/10, -1) Dada la siguiente función, estudia todas sus características. Representa su gráfica. y = 2 cos(x) 1) Dominio: Dom(f) = R 2) Recorrido: Im(f) = [-2, 2] 3) Periodicidad: Como la función coseno es periódica de período 2π, la función f(x) = 2 cos(x) tiene el mismo período: 2π. También podemos sacar el período de la función así: f(x) = 2 cos(x) = 2 cos(x + 2π) = f(x + 2π) 4) Puntos de corte: Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función. Puntos de corte con el eje Y: Si x = 0 y = 2 cos 0 y = 2 (0, 2) Puntos de corte con el eje X: Si y = 0 0 = 2 cos(x) cos(x) = 0 x = π/2 ó x = 3π/2 Luego los puntos de corte con el eje X son: (π/2, 0), (3π/2, 0) 5) Máximos y mínimos: Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función. Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación: 2 = 2 cos(x) 1 = cos(x) x = 0 ó x = 2π (0, 2), (2π, 2) Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación: 23

25 -2 = 2 cos(x) -1 = cos(x) x = π (π, -2) Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica. y = cotg(2x) 1) Dominio: La función cotangente no está definida en: kπ, k Z Por tanto, nuestra función tampoco estará definida en: 2x = kπ k Z x = kπ/2, k Z Luego: Dom(f) = R - { kπ/2 k Z } 2) Recorrido: Im(f) = R 3) Periodicidad: Como la función cotangente es periódica de período π, la función f(x) = cotg (2x) es periódica de período: 2x = π x = π/2 Es periódica de período π/2. También podemos sacar el período de la función así: f(x) = cotg(2x) = cotg(2x + π) = cotg( 2(x + π/2) ) = f(x + π/2) También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula: 24

26 Periodo = π/2 4) Puntos de corte: La función cotangente no corta al eje Y, por tanto, la función f(x) = cotg(2x) tampoco. Sabemos que la función cotangente corta al eje X en:0 = cotg(x) x = π/2 ó x = 3π/2 En nuestro caso: 0 = cotg(2x) 2x = π/2 ó 2x = 3π/2 x = π/4 ó x = 3π/4 Como el período de nuestra función es π/2, los puntos de corte con el eje X en el primer período son: (π/4, 0), (3π/4, 0) 5) Máximos y mínimos: La función cotangente no tiene máximos ni mínimos, por tanto, f(x) = cotg(2x) tampoco los tiene. 25

27 BLOQUE VI. LEYES DE SENOS Y COSENOS 1. Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC si a = 22 m, <A 35 0,<B = 65 0 a) <A = 80 0, b = 34.7 m,c = 37.7 m b) <A = 80 0, b = 43.7 m,c = 73.7 m c) <A = 80 0, b = 44.7 m,c = 77.7 m 2. Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC si c = 15 m, <A ,<B = 52 0 a) <C = , a = 98 m, b = 38.6 m b) <C = 19 0, a = m, b = 38.6 m c) <C = , a = m, b = 38.6 m 3. Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC si a = 36 m, b = 48 m, c = 30 m, a) <A = ,<B = , <C = b) <A = ,<C = , <B = <A = ,<H = 92 0, <D =