GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II

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Gabriel Vera Gómez
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GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Ejercicios Eámenes Anteriores. Ejercicio. Se dobla en dos una hoja de cartulina de 4 por 36 cm para formar un rectángulo de 4 por 8 cm, como se muestra en la figura siguiente.

() Escribe una fórmula V( ) para el volumen de la caja en función de, determina el dominio apropiado de la función V y dibuja esquemáticamente la función V( ).

1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Ejercicios Eámenes Anteriores. Ejercicio. Se dobla en dos una hoja de cartulina de 4 por 36 cm para formar un rectángulo de 4 por 8 cm, como se muestra en la figura siguiente. Después se cortan, de las esquinas del rectángulo doblado, cuatro cuadrados de longitud. Se desdoblan la hoja y las seis solapas hacia arriba para formar una caja con paredes y tapa. () Escribe una fórmula V( ) para el volumen de la caja en función de, determina el dominio apropiado de la función V y dibuja esquemáticamente la función V( ). () Calcula los valores de pertenecientes al dominio de definición de la función V que da un volumen de cm 3. (3) Calcula el valor de que maimiza la función V( ). Cuál es el volumen máimo? Ejercicio. () Escribe la fórmula de Taylor alrededor de a = de orden n, siendo n un número natural, de la función seno hiperbólico senh. () Comprueba razonadamente que cosh z< para todo z,. (3) Comprueba que el error que se produce al aproimar senh por su polinomio de Taylor alrededor de a = de orden 6 es menor que 5 4, si,. Ejercicio 3. Encuentra las dimensiones de un cono circular recto de volumen máimo que se puede inscribir en una esfera de radio R. Cuál es el volumen de dicho cono? Y la relación (el cociente) entre dicho volumen y el de la esfera?

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Ejercicios Eámenes Anteriores. Ejercicio 4. () Calcula, mediante integración, el área de una sección parabólica (observa el dibujo) de base b y altura h.

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Ejercicios Eámenes Anteriores. Ejercicio 4. () Calcula, mediante integración, el área de una sección parabólica (observa el dibujo) de base b y altura h. h () Calcula el volumen de un sólido sabiendo que su base es un triángulo equilátero de lado y las secciones perpendiculares a la base, paralelas a uno de sus lados, son secciones parabólicas de doble altura que base. b Ejercicio 5. Determina, aplicando algún criterio de convergencia, si la integral convergente. En caso afirmativo calcula su valor. d es + Ejercicio 6. Considera la función f : (,) f () = log. () Calcula los siguientes límites lim log y lim f( ). + () Justifica que la integral impropia f ()d es convergente. Ejercicio 7. Considera la circunferencia C de radio r > centrada en el origen de coordenadas y los puntos A = (, r) y ( ) B= r,. Sea L el arco de C con trazo continuo que une A con B. Calcula las coordenadas del P =, y del arco L para que el triangulo ABP punto ( ) tenga área máima. Calcula además el área de dicho triángulo. Recuerda que el área del triangulo ABP viene dada por AB AP.

$() Usa integración por partes y el método de descomposición en fracciones simples para calcular una primitiva de la función f( ): = e.$

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Ejercicios Eámenes Anteriores. Ejercicio 8. () Usa integración por partes y el método de descomposición en fracciones simples para calcular una primitiva de la función f( ): = e. e + ( ) () Enuncia correctamente el criterio de comparación por paso al límite para integrales impropias. Usa este criterio para establecer la convergencia de la integral (3) Calcula el valor de la integral f ( d ). f ( d ). Ejercicio 9. Considera la curva C dada por la ecuación polar r( θ ) = + cos( θ ). ) Determina las coordenadas de los puntos de tangente vertical y horizontal de C. ) Estudia las posibles simetrías de la curva C y dibújala esquemáticamente, indicando las coordenadas de los puntos de corte con los ejes coordenados. 3) Calcula la longitud de la curva C. 4) Encuentra la ecuación cartesiana de la curva C y describe de qué curva se trata. Ejercicio. Considera la curva, llamada lágrima, que mostramos a continuación, OY OX parametrizada por ( t) = acos t, y() t bsent bsen(), t = con t [, π ] y ab>,. ) Indica las coordenadas cartesianas de los puntos de corte (y el valor del parámetro) con los ejes coordenados. Asimismo, comprueba que ( (π t), y(π t) ) = ( (t), y(t) ), para todo t,π y deduce, por tanto, que la curva es simétrica respecto del eje OX. ) Calcula las coordenadas cartesianas de los puntos con tangente horizontal. 3) Calcula el área encerrada por la curva. 3

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Ejercicios Eámenes Anteriores. Ejercicio. Considera la curva C de ecuación polar r = cos θ. () Calcula las coordenadas cartesianas de los puntos de tangente horizontal y de los puntos de tangente vertical. Realiza un dibujo esquemático de la curva. () Calcula el área encerrada por la curva C. (3) Calcula la longitud de la curva C. Ejercicio. Considera las cardioides de ecuaciones polares C r = cosθ y C r = + cos θ. () Dibuja las gráficas de C y C, estudiando sus puntos de corte. () Calcula el área de la zona A del plano definida por la siguiente propiedad A:= { P : P es interior a C y es eterior a C }. (3) Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la cardioide C en los puntos de corte que tiene con la recta y =. Ejercicio 3. Considera la función f(, y) = log. 4 y ) Indica su dominio de definición y realiza un dibujo esquemático de su gráfica. ) Cuál es la dirección de máimo crecimiento de la función f en el punto (, )? Cuánto vale la pendiente máima en ese punto? En qué direcciones es nula la derivada direccional de la función f en el punto (, )? 3) Considera las funciones () t = tcos( πt) e yt () = tsen( πt) y zt f( t yt) Calcula el vector tangente a la curva Ct () = ( t (), yt (), zt ()) en (,, log 3). 4) Considera las funciones uv (, ) = u + v e zuv (, ) f uv (, ), yuv (, ) función = ( ) en el punto ( ) punto (, )? () = (), (). Calcula z (). yuv (, ) =. u v Calcula las derivadas parciales de la,. Es diferenciable la función zuv (, ) en el Ejercicio 4. ) Sean f y g dos funciones, de una variable, suficientemente regulares. Comprueba que la función, de dos variables, zuv (, ) = f( u) + gv ( ) verifica que (, ) uv,. z u v = para todo ( ) ) Sea z = z(, y) una función suficientemente regular que verifica z zyy = y considera el cambio de variables u = y, v= + y. Transforma la ecuación anterior mediante el cambio de variables dado en otra ecuación en las variables u, v y z. 3) A la vista de los resultados anteriores, muestra dos ejemplos no triviales de funciones z = z(, y) que verifican la ecuación z z =. yy uv 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Ejercicios Eámenes Anteriores. Ejercicio 5. Considera la función zy y 4 (, ) = ) Determina su dominio de definición y realiza un dibujo esquemático de su gráfica. ) Calcula la dirección de máimo crecimiento en el punto (, ) y el valor de la correspondiente derivada direccional. 3) Calcula el vector tangente, en el punto (,, ), a la curva que se obtiene al cortar la gráfica de la función z = z(, y) con el plano y z =. Ejercicio 6. Considera la función zy = ( y ) (, ) log ) Determina su dominio de definición y realiza un dibujo esquemático de la gráfica de la función. ) Calcula la dirección de máimo crecimiento en el punto (, 3 ) y el valor de la correspondiente derivada direccional. 3) Calcula el vector tangente, en el punto (,,log ), a la curva que se obtiene al cortar la gráfica de la función z = z(, y) con el plano y =. 5

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