UNIDAD 8 Geometría analítica

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1 UNIDD Geometría analítica. Un enfoque distinto: geometría analítica con ectores Pág. de VECTRES EN EL PLN En un sistema de ejes cartesianos, cada punto se describe mediante sus coordenadas: (, 4), (6, 6). La flecha que a de a se llama ector y se representa por. Es el ector de origen y extremo. l ector podríamos describirlo así: desde aanzamos 5 unidades en el sentido de las X y subimos dos unidades en el sentido de las Y. (5, ) 5 (, 4) (6, 6) Eso se dice más breemente así: las coordenadas de son (5, )., mejor, así = (5, )., simplemente, así (5, ). Las coordenadas de un ector se obtienen restando las coordenadas de su origen a las de su extremo: (6, 6), (, 4) = (6, 6) (, 4) = (5, ) Módulo de un ector,, es la distancia de a. Se designa así:. Si las coordenadas de son (x, y), entonces = x + y. Dirección de un ector es la de la recta en la que se encuentra y la de todas sus paralelas. Cada dirección admite dos sentidos opuestos. P Q Por ejemplo, PQ y PR son ectores de sentidos opuestos. R Dos ectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. En tal caso, tienen las mismas coordenadas. Dos ectores iguales = '' situados en rectas distintas (y, por tanto, paralelas) determinan un paralelogramo ''. ' '

2 UNIDD Geometría analítica. Un enfoque distinto: geometría analítica con ectores Pág. de VECTRES EN EL PLN quí tenemos un ejemplo: (, 3), (4, ), '(, 3), '(5, ). Comprueba que los ectores y '' son iguales. Representándolos, obseramos que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. ' Pero también podemos comprobarlo mediante sus coordenadas: ' Coordenadas de : (4, ) (, 3) = (3, 5) (3, 5) Coordenadas de '' : (5, ) (, 3) = (3, 5) '' (3, 5) = '' CTIVIDDES Representa los ectores y CD, siendo (, ), (, 7), C(6, 0), D(3, 6) y obsera que son iguales. Comprueba que = CD hallando sus coordenadas. Calcula su módulo. (, 7) 7 D(3, 6) Solución: = (, 7) (, ) = ( 3, 6) = 3 5 (, ) CD = (3, 6) (6, 0) = ( 3, 6) 3 C(6, 0) CD = 3 5 Tenemos tres puntos de coordenadas (3, ), (4, 6) y C (0, 0). Halla las coordenadas del punto D para que los ectores y CD sean iguales. Solución: D (, 7)

3 UNIDD Geometría analítica. Un enfoque distinto: geometría analítica con ectores Pág. 3 de PERCINES CN VECTRES PRDUCT DE UN VECTR PR UN NÚMER Los ectores se designan también mediante una letra minúscula con una flechita encima. Para ello, se suelen utilizar las letras u,, w, y, si se necesitan más, x, y, z. El producto de un número k por un ector es otro ector k que tiene: Módulo: igual al producto del módulo de por el alor absoluto de k: k = k Dirección: la misma que. Sentido: el mismo que el de o su opuesto, según k sea positio o negatio, respectiamente.,5 0,5 0 = 0 El producto 0 es igual al ector cero, 0. Es un ector cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, su módulo es cero. Carece de dirección. El ector se designa por y se llama opuesto de. Las coordenadas del ector k se obtienen multiplicando por k las coordenadas de. Las coordenadas de 0 son (0, 0). Las coordenadas de son las opuestas de las coordenadas de. u (x, y) ku (kx, ky ) u ( x, y) 0 (0, 0) SUM DE VECTRES Para sumar dos ectores, u y, se procede del siguiente modo: se sitúa a continuación de u, de manera que el origen de coincida con el extremo de u. La suma u + es el ector cuyo origen es el de u y extremo el de. u u Si colocamos u y con origen común y completamos un paralelogramo, la diagonal cuyo origen es el de u y es el ector suma u +. u + Las coordenadas del ector u + se obtienen sumando las coordenadas de u con las de. Por ejemplo: u u (7, 3), (4, 5) u + = (7 + 4, 3 + 5) = (, ) u +

4 UNIDD Geometría analítica. Un enfoque distinto: geometría analítica con ectores Pág. 4 de CTIVIDDES a) Representa los ectores u =, = C, siendo (, 3), (4, 5), C(6, ). Halla sus coordenadas. b) Representa u + y halla sus coordenadas. c) Representa 3u, u y 0 y halla sus coordenadas. d) Representa y halla las coordenadas del ector 3u 4. (, 3) u (4, 5) a) u = (3, ); = (, 7) u + C(6, ) b) u + = (5, 5) c) 3u = (9, 6); u = ( 6, 4); 0u = (0, 0) d) 3u 4 = (, 34) u 0 u u 4 3u 4 u 3u

5 UNIDD Geometría analítica. Un enfoque distinto: geometría analítica con ectores Pág. 5 de REST DE VECTRES Para restar dos ectores, u y, se le suma a u el opuesto de : u = u + ( ) u u u Si colocamos u y con origen común y completamos un paralelogramo, la diagonal que a del extremo de al extremo de u es u. Las coordenadas del ector u se obtienen restándole a las coordenadas de u las de. Por ejemplo: u (7, 3), (4, 5) u = (7 4, 3 5) = (3, ) u u CMINCIÓN LINL DE VECTRES Dados dos ectores, u,, y dos números, a, b, el ector au + b de u y. se dice que es una combinación lineal Por ejemplo, 4u +, u + son combinaciones lineales de u y. 4u + u + u También se pueden formar combinaciones lineales de más de dos ectores. Por ejemplo, au + b + cw. Vamos a er un ejemplo: Si u (7, 4), ( 5, ) y w (, ): a) Hallar las coordenadas de 3 u. b) Calcular el alor de x e y para que se cumpla la siguiente igualdad: xu + y = w. a) 3u = 3(7, 4) ( 5, ) = (, ) ( 0, 4) = (, ) + (0, 4) = (3, ) 7x 5y = b) x(7, 4) + y( 5, ) = (, ) ï (7x 5y, 4x y) = (, ) ï 4x y = La solución de este sistema de ecuaciones es: x =, y = 5 Por tanto, u 5 = w.

6 UNIDD Geometría analítica. Un enfoque distinto: geometría analítica con ectores Pág. 6 de CTIVIDDES Dibuja en tu cuaderno dos ectores u y que sean, aproximadamente, como los del dibujo, y obtén gráficamente el ector 5u +3. u 5u + 3 5u 3 u ( 5, ), ( 4, 0), w (3, 6). a) Halla las coordenadas de 3u + 0w. b) erigua el alor de x e y para que se cumpla que x u + y w =. a) 3u + 0w = (97, 04) b) x = 4; y = 7 VECTRES QUE REPRESENTN PUNTS Si un ector tiene su origen en el punto (origen de coordenadas), entonces las coordenadas del ector coinciden con las de su extremo. (coordenadas del ector ) = (coordenadas del punto ) (x, y) (0, 0) (x, y) Por eso, los puntos del plano pueden ser descritos por ectores con origen en. Esta propiedad es muy útil para obtener las coordenadas de puntos a los que se puede llegar mediante un recorrido ectorial.

7 UNIDD Geometría analítica. Un enfoque distinto: geometría analítica con ectores Pág. 7 de Fíjate bien en estos dos ejemplos: EJEMPL Desde el punto (3, 7) nos moemos en la dirección de (4, ) el doble de su longitud. Después nos moemos el triple de w (, 3). qué punto llegamos? 3w nalíticamente: P = + + 3w = (3, 7) + (4, ) + 3(, 3) = (4, ) P Puesto que P (4, ), las coordenadas de P son (4, ). EJEMPL El segmento cuyos extremos son (, 4) y (0, 0) se diide en tres trozos iguales. Cuáles son las coordenadas de los dos puntos que marcan la partición? P Q = = (0, 0) (, 4) = (9, 6) = = (9, 6) = (3, ) 3 3 P = + = (, 4) + (3, ) = (4, 6) Q = P + = (4, 6) + (3, ) = (7, ) Por tanto, las coordenadas de P y Q son: P(4, 6), Q(7, ) CTIVIDDES Desde el punto (, 9) nos moemos en la dirección de (, ) cuatro eces su longitud. Después nos moemos el triple de w (, ). Di las coordenadas del punto al que se llega. P (0, 4) Halla el punto medio del segmento de extremos (, 4), (9, ). Para ello, utiliza el ector. Las coordenadas de M, punto medio del segmento de extremos y, son (5, 6).

8 UNIDD Geometría analítica. Un enfoque distinto: geometría analítica con ectores Pág. de CTIVIDDES 3 Diidimos el segmento de extremos (, ), (6, ) en cinco partes iguales. Localiza mediante sus coordenadas los cuatro puntos de separación. Para ello, utiliza el ector = /5. S R Q P Las coordenadas de P son (4, 4); las de Q, (7, 6); las de R, (0, ), y las de S, (3, 0). PUNT MEDI DE UN SEGMENT M es el punto medio de. Por tanto: M = ; M = + M = + (x, y ) (x, y ) M (x x, y y ) Si (x, y ) y (x, y ), entonces: M = (x, y ) + (x x, y y ) = ( x + x x, y + y y ) = = ( x + x, y + y ) ( = x + x y, + y ) Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de sus extremos.

9 UNIDD Geometría analítica. Un enfoque distinto: geometría analítica con ectores Pág. 9 de quí tienes dos ejemplos que te ayudarán a entender estos conceptos: EJEMPL Hallar las coordenadas del punto medio del segmento de extremos (7, 0), (, ). btención paso a paso: M M = + M = + = (7, 0) + (4, ) = (7, 0) + (, 4) = (9, 6) Las coordenadas de M son, pues, (9, 6) btención aplicando la fórmula: M (, ) = (9, 6) EJEMPL Hallar las coordenadas del punto simétrico de (7, ) respecto de P(4, 4). ' (x, y) P(4, 4) (7, ) Si ' es el simétrico de respecto de P, entonces P es el punto medio del segmento '. Por tanto, las coordenadas de P son la semisuma de las de y ' : 4 = x + 7 y x = ; 4 = + y = 6 Las coordenadas de ' son (, 6). CTIVIDDES Halla las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos: a) (, 5), (4, ) b) P(7, 3), Q( 5, ) c) R(, 4), S(7, ) d) ( 3, 5), (4, 0) a) M = (, 3) b) c) M = (4, 3) d) M = (, ) 5 M = (, ) Halla las coordenadas del punto simétrico de respecto de P en los siguientes casos: a) (4, ), P( 7, ) b) (, 4), P(5, ) a) Las coordenadas de ' son (, 5). b) Las coordenadas de ' son (, 6).

10 UNIDD Geometría analítica. Un enfoque distinto: geometría analítica con ectores Pág. 0 de CMPRCIÓN DE SI TRES PUNTS ESTÁN LINEDS (x, y ) C(x 3, y 3 ) Los puntos, y C están alineados siempre que los ectores y C tengan la misma dirección, y esto ocurre si sus coordenadas son proporcionales. (x, y ) El símbolo // puesto entre dos ectores denota que son paralelos, es decir, que tienen la misma dirección., y C están alineados si //C es decir, si (x x, y y ) son proporcionales a (x 3 x, y 3 y ). Esto es, si se cumple: x = y y x x 3 x y 3 y Por ejemplo: EJEMPL Comprobar si los puntos (, ), (6, ), C(, ) están alineados. = (6, ( )) = (4, ) C = ( 6, ) = (, ) Las coordenadas son proporcionales, pues (, ) = (4, ). Por tanto, //C y los puntos están alineados. EJEMPL eriguar el alor de m para que estén alineados los puntos P(, 4), Q(5, ), R(6, m). PQ = (4, 6) QR = (, m + ) 4 = 6 m + = 6 =,5 m = 3,5 m + 4 Para que P, Q, y R estén alineados, ha de ser m = 3,5.

11 UNIDD Geometría analítica. Un enfoque distinto: geometría analítica con ectores Pág. de CTIVIDDES Comprueba si R(, 7), S(5, ) y T(5, 5) están alineados. 3? RS no es paralelo a ST. 0 4 erigua el alor de a para que los puntos R(, 7), S(5, ) y Q(a, 5) estén alineados. a = 4 3 Dados los puntos (0, ), (, 5), P(x, y), aerigua qué relación deben cumplir x e y para que P esté alineado con y. y = x + 4 erigua el alor de t para que (, ), (7, ) y C(t, t) estén alineados. t = 5 En la figura siguiente cómo es posible que el rectángulo, que tiene 5 Ò 3 = 65 cuadritos, se pueda descomponer en los mismos cuatro fragmentos que el cuadrado, que tiene Ò = 64 cuadritos? C I II II I I II I II El secreto está en que los puntos C no están alineados. Compruébalo tomando (0, 0), (5, ), (, 3), C(3, 5) y probando que el ector no es paralelo al ector. y 3 no son paralelos, pues?. 5 C y 3 no son paralelos, pues?. 3 5 Los puntos,, y C no están alineados.