IDENTIFICACIÓN DE LOS TIPOS DE FUERZAS EJERCIDAS ENTRE LOS CUERPOS, DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

Transcripción

1 1. ANÁLISIS DE LA PARTÍCULA 1.1. Descomposición de fuerzas en un plano Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro. Está caracterizada por su punto de aplicación, su magnitud y su dirección. Ahora estudiaremos los efectos de las fuerzas sobre las partículas. El uso de partículas no implica que nuestro estudio se limite a al de corpúsculos pequeños. Como se sabe la magnitud de la fuerza se mide en newton (N) S.I.. La dirección de una fuerza se define por su línea de acción y su sentido. A Fuerza sobre una partícula IDENTIFICACIÓN DE LOS TIPOS DE FUERZAS EJERCIDAS ENTRE LOS CUERPOS, DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE Para analizar los efectos que ejercen los cuerpos sobre otro trabajamos sobre un modelo que llamamos diagrama de cuerpo libre (D.C.L). El diagrama de cuerpo libre consiste en aislar el cuerpo estudiado, dibujarlo solo, reemplazando cada cuerpo que esté en contacto con él por la fuerza correspondiente. Para hacer un buen D.C.L. identificaremos los principales tipos de fuerzas que se ejercen entre los cuerpos. Fuerzas externas en un cuerpo: Son aquellas fuerzas ejercidas por otros cuerpos. Fuerzas internas: fuerzas ejercidas por las mismas partes del cuerpo y que hacen que el funcione como una unidad. Como estas fuerzas hacen parte del mismo cuerpo nunca se dibujan en un D.C.L Fuerzas puntuales: se ejercen sobre un solo punto del cuerpo. Fuerzas de cables o puntales. Fuerzas distribuidas o de superficie: Son ejercidas sobre un superficie de contacto o sobre un área. Caso de nuestros pies sobre el suelo. Estas fuerzas se expresan por unidad de longitud o de área. Fuerzas gravitatorias: Fuerzas de atracción entre cuerpos. Caso del peso de un cuerpo, W = m.g, para los cuerpos analizados en este curso esta fuerza siempre estará en el D.C.L.

2 Tipos de fuerzas de acuerdo con su origen: Fuerzas de contacto: Cuando dos cuerpos están en contacto se pueden dar fuerzas puntuales y fuerzas distribuidas. En ambos casos la fuerza de contacto se puede expresar en función de sus componentes, una normal a la superficie de contacto, que la llamamos normal, y otra paralela que corresponde a la fuerza de fricción. La normal y la de fricción son fuerzas que tienen características diferentes. La normal siempre estará presente, mientras que la fuerza de fricción depende de las características de los materiales en contacto. Ffr N F Fuerza puntual Ffr N F Fuerza distribuida Fuerzas de cables y cuerdas; Un cable siempre ejerce un fuerza en la misma dirección del cable y siempre hacia afuera del cuerpo afectado. Piense en empujar un carrito con una cuerda o tira. Imposible!. por eso se llama tira o tirante, siempre su efecto es de halar y no de empujar. D.C.L del poste Fuerza sobre el anclaje T, tensión del cable W Ffr Poste con contraviento N Fuerzas de cables sobre poleas: para realizar el diagrama de cuerpo libre de la polea o del cable habría que separar ambos cuerpos y dibujar las fuerzas que se están ejerciendo sobre ellos, en este caso como no es un punto único de contacto entonces se ejercen fuerzas distribuidas, normales a la superficie (radiales) y perpendiculares a ella (de fricción tangenciales).

3 Del cable T T Esquema general De la pared T T T T Fuerzas de contacto en el perno Del cable mas la polea, note que desaparecen las fuerzas distribuidas (son internas entre cable y polea) W Del objeto De la polea DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE Fuerzas ejercidas por resortes: Un resorte puede tanto empujar como tirar. La fuerza de un resorte siempre es proporcional a la deformación y se conoce como fuerza elástica. Dependiendo de si se analiza el resorte o el cuerpo o cuerpos que están en contacto con él, el diagrama de cuerpo libre, DCL, será: Resorte comprimido Fuerzas de la pared sobre el resorte Fuerza del resorte sobre la pared Resorte estirado Fr= k. L. donde: k es la constante de rigidez del resorte. L es el cambio de longitud del resorte. L = Lfinal + Linicial Las fuerzas ejercidas por cuerpos deformables se pueden modelar por medio de resortes, por ejemplo, la fuerza ejercida por un suelo blando sobre mi pie constituye una fuerza elástica ( o sea de resorte) sobre mí.

4 EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA Estudiaremos primero el efecto de las fuerzas sobre cuerpos que se pueden modelar como una partícula, o sea aquellos donde todas las fuerzas son concurrentes en un punto o aquellos cuerpos donde no se producen efectos de rotación y el movimiento solo puede darse en una dirección (cuerpos sometidos a fuerzas paralelas sin efecto de rotación). La condición para que una partícula esté en equilibrio o reposo es que la fuerza neta aplicada sobre ella sea igual a cero (primera ley de Newton). Esta condición implica que la resultante R sea cero y por lo tanto no se producirán efectos de traslación sobre el cuerpo en ninguna dirección. Notemos que cuando se habla de un vector igual a cero se está condicionando a que cada una de sus componentes sea cero. En ningún caso una componente anula a otra componente, por lo tanto es condición necesaria que cada componente sea cero. F r = 0 esta ecuación es una ecuación vectorial. Al descomponer las fuerzas y hacer la sumatoria por componentes nos resultan tres ecuaciones escalares independientes: Fx= 0 Fy= 0 Fz= 0 r r r r r F = 0 = Fx. i + Fy. j+ Fz. k Tanto la resultante de las fuerzas en X como la de Y y la de Z deben ser iguales a cero. En el caso de estudiar cuerpos modelados en un plano XY, la componente en Z de las fuerzas, de hecho es igual a cero, por lo tanto las condiciones o ecuaciones de equilibrio independientes son dos, en vez de tres. Ejemplos Ejercicio de Bedford A B C Una barra de 200 lb es suspendida de tres resortes de igual longitud, con constantes de rigidez kc=k A =400 lp/pie, y k B =300 lb/pie. Determine las tensiones en los resortes si la barra permanece horizontal. Siempre que resolvemos un problema debemos plantear desde el principio la ecuación o ecuaciones que necesitamos para resolver las incógnitas. Aquí la ecuación principal es la ecuación de equilibrio de la barra. Por que se puede aplicar esta ecuación si las fuerzas no son concurrentes?.

5 Suma y resta de vectores La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo. Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores. Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa. Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante Resultante de varias fuerzas concurrentes Consideremos un partícula A donde actúan varias fuerzas coplanarias, es decir, varias fuerzas contenidas en un solo plano S A Q P A P R Q S Como todas las fuerzas pasan por el punto A pueden sumarse por la regla del polígono. Como la regla del polígono es equivalente es equivalente a la aplicación consecutiva de la ley del paralelogramo, el vector R así obtenido representa el resultado de las fuerza concurrentes, es

6 decir la fuerza única que produce sobre la partícula. Como se sabe no importa el orden en que se sumen los vectores P,Q, y S que representan las fuerzas dadas Descomposición de una fuerza en sus componentes Hemos visto que dos ó mas fuerzas que actúan sobre una partícula pueden reemplazarse por una fuerza única que produce el mismo efecto sobre la partícula; estas fuerzas se llaman componentes de la fuerza original F y el proceso de remplazar a F por ellas se llama descomposición de la fuerza F en sus componentes. Q Q Q A P F A P F A F P Es evidente que para cada fuerza F existe un Número infinito de conjuntos posibles Los conjuntos más importantes, en lo que se refiere a las aplicaciones prácticas, son los de dos una fuerza F puede descomponerse en dos componentes es ilimitado como se aprecia en las graficas anteriores. Hay dos casos de particular interés: 1.- Se conoce P una de las dos componentes. La segunda componente Q se obtiene aplicando la regla del triángulo al unir el extremo de P con el extremo de F; A P F Q La magnitud y dirección de Q se determinan gráficamente ó por trigonometría. Cuando ya se ha determinado Q, ambas componentes P y Q deben aplicarse en A 2.- Se conoce la línea de A acción de cada componente. La magnitud y dirección de las componentes se obtiene aplicando la ley del paralelogramo y trazando por el extremo de F líneas paralelas a las líneas de acción. A P F Q

7 Este proceso conduce a dos componentes P y Q muy bien definidas que pueden determinarse gráficamente ó mediante la ley de los senos. Ejemplo Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determinar su resultante Q=60N A P=40 N Solución grafica Se traza a escala un paralelogramo con lados iguales a P y Q. Se mide la magnitud y dirección de la resultante; se encuentra que sus valores son: R= 98 N α=35 R=98N@35 También puede emplearse la regla del triángulo. Se dibujan las fuerzas P y Q uniendo el extremo de una con el origen de la otra. Nuevamente se mide la magnitud y la dirección resultante R= 98 N α=35 R=98N@35

8 60 97, Este dibujo resulta de hacerlo exacto usando autocad podemos observar que mediante este método la exactitud dependerá de las herramientas a usarse Solución trigonométrica. Se emplea de nuevo la regla del triángulo; se conocen dos lados y el angulo. Aplicamos la ley de los cosenos R 2 =P 2 +Q 2-2PQ cos B R 2 =(40N) 2 +(60N) 2-2(40N)(60N)cos 155 R=97.7 N Ahora aplicando la ley de los senos SenA senb SenA sen155 = = Q R Usando la calculadora obtenemos A= 15 α=20 +A=35

9 Es decir Componentes rectangulares de una fuerza Componentes rectangulares de una fuerza. Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les denomina componentes.. Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares del vector rojo. Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones

10 Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del vector a. y Las 2 últimas son para hallar el vector a (Teorema de Pitágoras a partir de sus componentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la dirección del vector a (ángulo) con la función trigonométrica tangente. Ejemplo: Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º. Encuentre las componentes rectangulares y represéntelas en un plano cartesiano. El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo igual a 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X. La componente en Y tiene módulo igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y. Esto se ilustra en la figura 3.

11 SUMA DE VECTORES RECTANGULARES. EMPLEANDO EL METODO DE LAS COMPONENTES Cuando vamos a sumar vectores, podemos optar por descomponerlos en sus componentes rectangulares y luego realizar la suma vectorial de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de las resultantes en las direcciones x e y. Ejemplo: Sumar los vectores de la figura 1 mediante el método de las componentes rectangulares.

12 Lo primero que debemos hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de esta forma orientarnos mejor. Esto se ilustra en la figura 2 A continuación realizamos las sumas de las componentes en X y de las componentes en Y: Adición de fuerzas sumando las componentes X e Y

13 Suma de Vectores La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente. Procedimiento Gráfico Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo: Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera: Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan

14 (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores. Método Algebraico para la Suma de vectores Dados tres vectores La expresión correspondiente al vector suma es: o bien siendo, por tanto, La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:

15 Conmutativa a + b = b + a Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro o vector 0 a + 0 = 0 + a = a Elemento simétrico u opuesto a' a + a' = a' + a = 0 a' = -a ejemplo: Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determinar la resultante de las fuerzas sobre los pernos. F2=80N y 20 F1=150N A x F4=100N F3=110N F 2 cos20 j Solución 20 F = sen30 j 1 30 F sen20 i 2 F = cos30 i 1 F 4 cos15 i F 3 j F sen30 j 4 15

16 Una vez que hemos descompuesto sus correspondientes proyecciones en los ejes X y Y. Resumimos Fuerza Magnitud N Componente x,n Componente Y,N F F F F R x =199.1 R y =14.3 Por lo tanto la resultante R de las cuatro fuerzas es R=R x i + R y j R=(199.1N)i+(14.3N)j La magnitud y la dirección de la resultante pueden ahora determinarse. En el triangulo mostrado. 199,6 14, ,1

17 Ry 14.3 tanα = = = 4. 1 R x 14.3 R= = senα R = < Equilibrio de una partícula En las secciones anteriores se expusieron los métodos para determinar la resultante de varias fuerzas que actúan sobre una partícula. Aunque no ha ocurrido no ha ocurrido en ninguno de los problemas examinados hasta ahora, es posible que la resultante sea cero. En estos casos, el efecto neto de las fuerzas dadas es cero y se dice que la partícula esta en equilibrio. Entonces se tiene la siguiente definición: Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en equilibrio. Una partícula sujeta a la acción de dos fuerzas estará en equilibrio si ambas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos. Entonces la resultante de las fuerzas es cero. Otro caso de una partícula en equilibrio se muestra en la figura 2.27, donde aparecen cuatro fuerzas que actúan sobre A. En la figura 2.28, la resultante de las fuerzas dadas se determina por la regla del polígono. Empezando en el punto O con F 1 y acomodando las fuerzas punta a cola, se encuentra que la punta de F 4 coincide con el punto de partida O, así que la resultante R del sistema de fuerzas dado es cero y la partícula está en equilibrio.

18 El polígono cerrado de la figura 2.28 proporciona una expresión gráfica del equilibrio de A. Para expresar en forma algebraica las condiciones del equilibrio de una partícula se escribe R = F = 0 (2.14) Descomponiendo cada fuerza F en sus componentes rectangulares, se tiene: Fyj F xi ( Fx ) i+ ( Fy) j = 0 ( + ) = 0 Se concluye que las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de una partícula son: x y F = 0 F = 0 Regresando a la partícula mostrada en la figura 2.27, se comprueba que las condiciones de equilibrio se satisfacen. Se escribe:

19 Fx = 300 (200 ) Sen30 (400 ) Sen30 = = 0 Fy = (200 ) Cos30 + (400 ) Cos30 = = Primera Ley de Newton del movimiento A finales del siglo XVII Sir Isaac Newton formuló tres leyes fundamentales en las que se basa la ciencia de la mecánica. La primera de estas leyes puede enunciarse como sigue: Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula permanecerá en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se moverá con velocidad constante en línea recta (si originalmente estaba en movimiento). De esta ley y de la definición de equilibrio expuesta en la sección anterior, se deduce que una partícula en equilibrio puede estar en reposo o moviéndose en línea recta con velocidad constante. En la siguiente sección se considerarán varios problemas concernientes al equilibrio de una partícula. PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA. DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE En la práctica, un problema de ingeniería mecánica se deriva de una situación física real. Un esquema que muestra las condiciones físicas del problema se conoce como diagrama espacial. Los métodos de análisis estudiados en las secciones anteriores se aplican a un sistema de fuerzas que actúan sobre una partícula. Un gran número de problemas que tratan de estructuras pueden reducirse a problemas concernientes al equilibrio de una partícula. Esto se hace escogiendo una partícula significativa y dibujando un diagrama separado que muestra a ésta y a todas las fuerzas que actúan sobre ella. Dicho diagrama se conoce como diagrama de cuerpo libre.

20 Por ejemplo, considérese el embalaje de madera de 75 kg mostrado en el diagrama espacial de la figura Este descansaba entre dos edificios y ahora es levantado hacia la plataforma de un camión que lo quitará de ahí. El embalaje está soportado por un cable vertical unido en A a dos cuerdas que pasan sobre poleas fijas a los edificios en B y C. Se desea determinar la tensión en cada una de las cuerdas AB y AC. Para resolver el problema debe trazarse un diagrama de cuerpo libre que muestre a la partícula en equilibrio. Puesto que se analizan las tensiones en las cuerdas, el diagrama de cuerpo libre debe incluir al menos una de estas tensiones y si es posible a ambas. El punto A parece ser un buen cuerpo libre para este problema. El diagrama de cuerpo libre del punto A se muestra en la figura 2.29b. Ésta muestra al punto A y las fuerzas ejercidas sobre A por el cable vertical y las dos cuerdas. La fuerza ejercida por el cable está dirigida hacia abajo y es igual al peso W del contenedor. De acuerdo con la ecuación (1.4), se escribe W = mg = (75 kg)(9.81 m/s 2 ) = 736 N

21 y se indica este valor en el diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas ejercidas por las dos cuerdas no se conocen, pero como son iguales en magnitud a la tensión en la cuerda AB y en la cuerda AC, se representan con T AB y T AC y se dibujan hacia fuera de A en las direcciones mostradas por el diagrama espacial. No se incluyen otros detalles en el diagrama de cuerpo libre. Puesto que el punto A está en equilibrio, las tres fuerzas que actúan sobre él deben formar un triángulo cerrado cuando se dibujan de punta a cola. Este triángulo de fuerzas ha sido dibujado en la figura 2.29c. Los vectores T AB y T Ac de las tensiones en las cuerdas pueden encontrarse gráficamente si el triángulo se dibuja a escala, o pueden encontrarse mediante la trigonometría. Si se escoge el último método de solución, con la ley de los senos se escribe TAB TAC 736 = = Sen60 Sen40 Sen80

22 Cuando una partícula está en equilibrio bajo tres fuerzas, el problema siempre puede resolverse dibujando un triángulo de fuerzas. Cuando una partícula está en equilibrio bajo más de tres fuerzas, el problema puede resolverse gráficamente dibujando un polígono de fuerzas. Si se desea una solución analítica, se deben resolver las ecuaciones de equilibrio dadas en la sección 2.9: x y F = 0 F = 0 Estas ecuaciones pueden resolverse para no más de dos incógnitas; en forma semejante, el triángulo de fuerzas usado en el caso de equilibrio bajo tres fuerzas puede resolverse para dos incógnitas. Los tipos más comunes de problemas son aquellos donde las dos incógnitas representan 1) las dos componentes (o la magnitud y dirección) de una sola fuerza, 2) las magnitudes de las dos fuerzas, cada una de dirección conocida. También se encuentran problemas que requieren la determinación del valor máximo o mínimo de la magnitud de una fuerza Problemas relacionados con el equilibrio de una partícula Cuando una partícula está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula debe ser igual a cero. En el caso de una partícula sobre la que actúan fuerzas coplanares, expresar este hecho proporcionará dos relaciones entre las fuerzas involucradas. Como se vio en los problemas resueltos que se acaban de presentar, estas relaciones se pueden utilizar para determinar dos incógnitas (como la magnitud y la dirección de una fuerza o las magnitudes de dos fuerzas). En la solución de un problema que involucre elequilibrio de una partícula, el primer paso consiste en dibujar un diagrama de cuerpo libre. Este diagrama muestra la partícula y todas las fuerzas que actúan sobre la misma. Se debe indicar en el diagrama de cuerpo libre la magnitud de las fuerzas conocidas así como cualquier ángulo o dimensión que defina la dirección de una fuerza. Cualquier magnitud o ángulo desconocido debe ser designado por un símbolo apropiado. No se debe incluir ninguna otra información adicional en el diagrama de cuerpo libre. Es indispensable dibujar un diagramo de cuerpo libre claro y preciso para poder resolver cualquier

23 problema de equilibrio. La omisión de este paso puede ahorrar lápiz y papel, pero es muy probable que esa omisión lo lleve a una solución incorrecta. Caso 1. Sí sólo están involucradas tres fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, el resto de la solución se lleva a cabo más fácilmente uniendo en un dibujo la parte terminal de una fuerza con la parte inicial de otra, con el fin de formar un triangulo de fuerzas. Este triángulo se puede resolver mediante gráficas o por trigonometría para un máximo de dos incógnitas. Caso 2. Si están involucradas más de tres fuerzas, lo más conveniente es emplear una solución analítica. Los ejes X y Y, se seleccionan y cada una de las fuerzas mostradas en el diagrama de cuerpo libre se descompone en sus componentes X y Y. Al expresar que tanto la suma de las componentes en X como la suma de las componentes en Y de las fuerzas son iguales a cero, se obtienen dos ecuaciones que se pueden resolver para no más de dos incógnitas. Se recomienda que cuando se emplee una solución analítica se escriban las ecuaciones de equilibrio en la misma forma que las ecuaciones (2) y (3) del problema resuelto. La práctica adoptada por algunos estudiantes de colocar al inicio las incógnitas del lado izquierdo de la ecuación y las cantidades conocidas del lado derecho de la misma puede llevar a una confusión al momento de asignarle el signo correcto a cada uno de los términos. Se ha señalado que, independientemente del método empleado para resolver un problema de equilibrio bidimensional, sólo puede determinarse un máximo de dos incógnitas. Si un problema bidimensional involucra más de dos incógnitas, se deben obtener una o más relaciones adicionales a partir de la información contenida en el enunciado del problema. Algunos de los siguientes problemas contienen pequeñas poleas. Se supondrá que las mismas están libres de fricción, por tanto, la tensión en la cuerda o cable que pasa por una polea es la misma en cada uno de sus lados. En el capítulo 4 se expondrá la razón por la que la tensión es la misma.

24 ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: 1.- descomponer la fuerza de 800 lb de magnitud en dos componentes a lo largo de la línea a-a y b-b. Determinar por trigonometría el ángulo α si la componente de F en la dirección b-b es de 120 N. F a 50 α b b a 2.-Determinar la magnitud y dirección de la menor fuerza F que mantendrá en equilibrio ala caja mostrada en la figura. Observar que la fuerza ejercida por los rodillos sobre la caja es perpendicular al plano indicado. 30 Kg 15 α