RESUMEN DE DERIVADAS. TVM = f(x) = lim 1+2h+h 2-1. = lim 1+h) lim. = 0 = lim h2+h)

Transcripción

1 RESUMEN DE DERIVADAS Tasa de variación Media. Definición: se llama tasa de variación media (TVM) de una función f(x) entre los valores x 1 y x 2 al cociente entre el incremento que experimenta la variable dependiente y : f(x), y el incremento la variable independiente x : x TVM = f(x) x = f(x 2)-f(x 1 ) x 2 -x 1 Por ejemplo, si x representa el tiempo empleado y f(x) el espacio recorrido por un móvil, la tasa de variación media representa la velocidad media de dico móvil en ese recorrido. Si vamos acercando x 2 a x 1, es decir, acemos tender x a cero, lo que obtenemos es la tasa de variación instantánea (velocidad instantánea) en el punto x 1. Definición: Llamamos Derivada de la función f(x) en el punto x 0, al límite del cociente incremental f(x) x, cuando el x tiende a cero. Lo denotamos como: f (x 0) f (x 0 ) = 0 = fx 0+)- f(x 0 ) Para mayor operatividad emos llamado al x. Ejemplo 1: Calculamos la derivada de la función f(x) = x 2 en el punto x=1 f (1) = 0 f1+)- f(1) = 1+) = = 0 = 2+) )=2 Diremos entonces que la derivada de la función f(x) = x 2 en el punto x=1 es 2 y lo escribiremos: f (1)=2 1

2 Ejemplo 2: Calcula la derivada de la función f(x) = x, en el punto x=2 el límite da una indeterminación del tipo 0 0, que se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador: Función derivada Si no especificamos el punto x 0 en el que queremos allar la derivada, el resultado es una función de x: La Función derivada de f(x)= f (x) f (x) = fx+) - f(x) = 0 Diremos entonces que la función derivada de f(x) = x 2 es f (x)=2x y para calcular su derivada en cualquier punto, no tenemos más que sustituir dico punto en la función derivada. Ejemplo 3: Si calculamos la función derivada de la función del ejemplo 1 tendremos: f (x) = 0 fx+)- f(x) = 0 x+) 2 x 2 = 0 x 2 +2x+ 2 - x 2 = 0 0 = 0 2x+) = = 0 2x+)=2x Repitiendo el proceso anterior para el resto de las funciones que conocemos, obtenemos la tabla de derivadas que se adjunta como Anexo I. Derivadas sucesivas Dado que la función derivada de una función f(x) es otra función, siempre podremos calcular su derivada y el resultado será la derivada segunda de f(x)= f (x). Este proceso se puede repetir indefinidamente obteniendo así las derivadas. segunda, tercera, cuarta etc. 2

3 Si la función está definida en un intervalo, [x 1,x 2 ], en los extremos sólo podremos acercarnos por uno de los lados y será necesario definir las derivadas laterales de la siguiente forma: Derivada lateral por la izquierda - f (x 0 ) = fx 0+)- f(x 0 ) = Derivada lateral por la dereca f (x + 0 ) = fx 0+)- f(x 0 ) = Está claro que, si una función tiene derivada en un punto es porque tiene derivada por la dereca y por la izquierda de ese punto, y además son iguales. Reglas de derivación: Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables? en de las cuales conocemos su derivada. Podemos conocer la derivada de funciones creadas a partir de ellas de la siguiente manera: I) Producto de una constante por una función (k f) (x)=k f (x) II) Suma: (f+g) (x)=f (x) + g (x) III) Producto: (f g) (x)=f (x) g(x)+f(x) g (x) IV) Cociente: f(x) - f(x) g (x) =f x) gx) g(x) g(x)) 2 V) Función compuesta (regla de la cadena): (g f) (x)=(g(f(x)) =g (f(x)) f (x) Derivación Logarítmica Se utiliza para derivar potencias en las que, tanto la base como el exponente son funciones, utilizando las propiedades de los logarítmos. Veamos un ejemplo. Ejemplo 4: Vamos a calcular la derivada de la función: f(x) =(sen x) 2x+3 Tomamos logaritmos en los dos miembros: Ln [f(x)] = Ln (sen x) 2x+3 Ln [f(x)] = (2x+3) Ln sen x Derivando en los dos miembros y teniendo en cuenta que en el primero tenemos la derivada de un logaritmo y en el segundo, la derivada de un producto: f (x) f(x) despejando f (x) = (2x+3) Ln sen x + (2x+3) cosx sen x f (x)= f(x) [2 Ln sen x + (2x+3) tg x] = 2 Ln sen x + (2x+3) tg x f (x)= (sen x) 2x+3 [2 Ln sen x + (2x+3) tg x] 3

4 Derivación implícita Se utiliza cuando la función y=f(x) no está dada de forma explícita. Una solución es despejar la y pero mucas veces es más largo y tedioso que derivar directamente utilizando la derivada de la composición de funciones. Ejemplo 5: Halla la derivada de la función: x 2 + y 2 =2 Derivando en ambos miembros tenemos: 2x + 2y y =0 y = -2x 2y = -x y si despejamos y y lo sustituimos, llegaríamos al mismo resultado que si ubiéramos despejado y en primer lugar ( y =2-x 2 ) y luego ubiéramos derivado. ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Diremos que una función es derivable en un punto x 0 si tiene derivada en ese punto, es decir: f(x) es derivable en x 0 f (x 0 ) Diremos que una función f(x) es derivable en un intervalo [a,b] fx) es derivable en (a,b) f (a + ) f (b - ) Nota: Las funciones polinómicas, exponencial, logarítmica, son continuas y derivables en todos los puntos de su dominio. Toda función f(x) derivable en un punto, es continua en este punto. Sin embargo una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en él. Por esta razón cuando tengamos que estudiar la derivabilidad de una función en un punto, debemos comprobar previamente que es continua en él pues si no lo es, no puede ser derivable. Ejemplo 6: Estudia la derivabilidad de la siguiente función: f(x)= x2 +sen x si x 0 e 2x 1 si x>0 Si x 0, ambas funciones son continuas y derivables. Estudiamos x=0. Estudiamos primero la continuidad pues si no es continua, no puede ser derivable. f(0)=0 - f(x) = - (x2 + sen x)=0 + f(x) = + e 2x -1 =0 luego, existe límite y coincide con f(0) 4

5 Por lo tanto la función es continua en x=0. Para x 0 la función es derivable y su derivada sería: 2x+cosx si x<0 f (x) = 2e 2x si x>0 Para que sea derivable en x=0, deben ser iguales la derivada por la dereca y por la izquierda f (0 - )= - f (x)= - (2x+cosx)=1 f (0 + )= + f (x)= + 2e 2x =2 Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en x=0 Luego: f(x) es derivable en R- {0} Ejemplo 7: Estudia la derivabilidad de la función f(x)= x x si x 0 f(x)= -x si x<0 Si x 0 la función es continua y derivable dado que está definida por polinomios. Estudiamos primero la continuidad en x=0. f(0)=0 - f(x)= - x=0 f(x)= -x=0 + + Estudiamos la derivabilidad en x=0: f (0 - )= - f (x)= - -x=-1 f (0 + )= + f (x)= + x=1 Por tanto f(x) es continua en x=0 ya que tiene tiene límite y coincide con el valor de la función. como las derivadas laterales no coinciden, la función f(x)= x no es derivable en x=0. Luego, f(x)= x es derivable en R-{0} y su derivada viene dada por la expresión: 1 si x>0 f (x)= -1 si x<0 Ejemplo 8: Halla los valores de a y b para lque la función: f(x)= ax +b si x<0 sen 2x + cos x si x 0 sea continua y derivable en x=0 5

6 Estudiamos la continuidad: f(0)=1 - f(x) = - (ax + b)=b + f(x) = f(x) = + f(x) b=1 + sen 2x +cos x=1 si b =1 La función es continua en x=0 Para x 0, la función es derivable para cualquier valor de a y b f (0 - )= - f (x)= - a=a f (0 + )= + f (x)= + 2cos 2x sen x=2 f (0 - )= f (0 + ) a=2 Luego para que f(x) sea continua y derivable en x=0 tiene que ser a=2 y b=1. CONSECUENCIAS DE LA DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN. TEOREMA DE ROLLE. Si una función f(x) verifica que: Es continua en un intervalo cerrado [a,b] Es derivable en el intervalo abierto (a,b) f(x) toma valores iguales en los extremos del intervalo, es decir: f(a)=f(b) f(a)=f(b) entonces existe al menos un punto c (a,b) tal que f (c)=0 Geométricamente, este teorema expresa la existencia de un punto c (a,b) tal que la recta tangente en (c, f(c)) es paralela al eje OX (un máximo o un mínimo de la función). En el caso particular en que f(a)=f(b)=0, el teorema de Rolle podría enunciarse como sigue: Entre cada dos raíces de una función derivable existe al menos una raíz de la función derivada. A partir de este enunciado se podrá deducir cierta información sobre el número de raíces reales de una función f(x) cuando conozcamos las de f (x), por ejemplo: 6

7 Si f (x) no tiene raíces reales, f(x) tiene, como máximo, una raíz real. Si f (x) tiene una raíz real, el número máximo de raíces de f(x) será dos. Y así sucesivamente Ejemplo 9: Dada la función f(x)= x, comprueba si se cumplen las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [-a,a] f(x) es continua en todo su dominio R y, por tanto, también será continua en el intervalo [-a,a]. Por otra parte, también sabemos (ejemplo 8) que no es derivable en el punto x=0. En consecuencia, no será derivable en cualquier intervalo que contenga al punto x=0. Lo que sucede en cualquier intervalo de la forma (-a,a). Además, se verifica que f(-a)=f(a)=a ya que dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto. Se cumplen las ipótesis primera y tercera (continuidad en el cerrado y toma valores iguales en los extremos del intervalo) y no se cumple la segunda (derivabilidad en el abierto). Al no cumplirse todas las ipótesis, no se cumplirá la tesis. Ejemplo 10: Dada la función f(x)=x 2-4x+1, verifica las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo [1,3]? En caso afirmativo, encontrar el valor c (1,3) donde se anula la derivada. Como la función dada es una función polinómica, será continua y derivable R y, en particular, será continua en el cerrado [1,3] y derivable en el abierto (1,3). Además, f(1)= -2 = f(3) es decir, toma valores iguales en los extremos del intervalo. Por tanto, se cumplen las ipótesis del teorema de Rolle y, en consecuencia, podemos afirmar que en algún c (1,3), se verifica que f (c)=0. como f (x)=2x-4, f (c)=2c-4 2c -4 =0 c=2 Luego el punto intermedio donde se anula la derivada de nuestra función es c = 2. Ejemplo 11: Indica si es aplicable el Teorema de Rolle a la función x+1 si 1 x<3 f (x)= 7-x si 3 x 5 Si x 3 y x 5, la función es continua y derivable por estar definida por polinomios. Estudiamos la continuidad en el punto x = 3 donde existe un cambio de definición de f: 7

8 La función es continua en x=3 y por lo tanto en el intervalo cerrado [1,5] Estudiamos la derivabilidad en el punto x = 3: f (3 - )= x 3-1=1 f (3 + )= x = -1 Como las derivadas laterales en el punto x = 3 son distintas, la función no es derivable en ese punto f no es derivable en el abierto (1,5). Si verifica que toma el mismo valor en los extremos: f(1)=f(5)=2 Al no cumplirse todas las ipótesis, no se puede aplicar el teorema y no podemos saber si existe o no, un punto en el intervalo abierto con tangente orizontal. Ejemplo 12: Aplicando el teorema de Rolle, justifica que la gráfica de la función f (x) = 3x 5 + 7x + 1, no puede cortar 2 veces al eje orizontal. La función f es continua ya que es polinómica. Además f( 2) = 109 y f(0) = 1, así pues, el teorema debolzano nos asegura que f corta al menos una vez al eje orizontal en un punto c perteneciente al intervalo ( 2, 0). Si cortara al eje orizontal en otro punto d, se tendría que f(c) = 0 y f(d) = 0 y, por tanto, se podría aplicar el teorema de Rolle en el intervalo cerrado de extremos c y d y resultaría que la derivada de f se anularía al menos una vez. Sin embargo, la derivada de f es f (x) = 15x4 + 7 que no se anula nunca porque siempre es positiva. Así pues, la suposición que se izo de que cortaba más veces al eje orizontal es falsa TEOREMA DE VALOR MEDIO O DE LAGRANGE Si una función f(x) verifica que: f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] f(x) es derivable en el intervalo abierto (a,b) entonces existe al menos un punto c (a,b) tal que: f (c) = fb)-f(a) b-a 8

9 lo que quiere decir es que en algún punto intermedio, la pendiente de la tangente en ese punto (f (c)) es igual que la pendiente de la cuerda que pasa por (a f(a)) y (b,f(b)). Si la gráfica corresponde al espacio recorrido por un móvil entre dos puntos, lo que quiere decir es que existe un punto intermedio en que la velocidad instantánea coincide con la velocidad media. Ejemplo 13: Aplicar el teorema del valor medio, si es posible, a la función x 2-3x+2 en [-2,-1]. Calcular el valor correspondiente de c. Puesto que la función f es una función cuadrática será continua en [-2,-1] y derivable en el abierto (-2,-1). Por tanto, se cumplen las ipótesis del teorema del valor medio y, en consecuencia, sabemos que existe un c (-2,-1) que verifica: f (c)= f"-1#-f(-2) -1-(-2) = = -6 como f (x)=2x-3 f (c) = 2c-3 2c-3=-6 c= Ejemplo 14: Sea f la siguiente función: f(x)= x2 +ax+b si x<2 2x si x 2 Existen valores de a y b para los cuales f satisface las ipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 4]? Razona la contestación y, en caso afirmativo, calcula dicos valores. Para todos los puntos del intervalo [0, 4] que no sean x=2, la función es continua y derivable por estar definida por polinomios. Estudiamos si se cumplen las condiciones del teorema para x=2. En primer lugar, la función debe ser continua en x = 2: f(2)=4 para que tenga límite debe cumplir: 4+2a+b=4 2a+b=0 También debe ser derivable en x=2. La derivada, si x es distinto de 2, viene dada por: 9

10 Para que f sea derivable en x = 2 debe cumplirse que: como 2a+b=0 2a+4=0 a=-2 Luego, si a=-2 Y b=4, f(x) satisface las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo [0, 4]. Ejemplo 15: La función f(x) = 3x 2 es continua y derivable en todo R, podemos encontrar un punto c, por ejemplo, en el intervalo (0, 4) cuya tangente a la curva sea paralela a la cuerda que une los puntos de abscisas x = 0; x = 4. f (x) = 6x; f (c) =6c f(0) = 0; f(4) = 48 f (c)= f4)-f(0) 6c= Teorema de Caucy. 6c = 12 c = 2 Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a. b] y derivables en (a, b), entonces, existe un punto c (a, b) tal que: fb)-f(a) = f (c) g(b)-g(a) g (c) Regla de L Hôpital. Sean f(x) y g(x) dos funciones que verifican que: Son derivables en un cierto intervalo (exceptuando el valor de a) g (x) 0 x a x a fx)= x a gx)=0 entonces se cumple que: x a f(x) g(x) = x a f (x) g (x) Esta regla es una consecuencia del teorema de Caucy y nos permite obtener fácilmente ciertos límites que, por otro camino resultarían más difíciles de calcular. Así mismo esta regla se puede aplicar también si x a g(x) límites infinitos que den estos tipos de indeterminaciones. f(x) es del tipo o a 10

11 Ejemplo 16: Calcula 1-cos x x 2 Es una indeterminación del tipo 0/0 y tanto cos x como x 2 son derivables en un intervalo que contenga al cero. Aplicamos la regla de L Hôpital: 1-cos x x 2 = sen x 2x = cosx 2 = 1 2 La regla se puede aplicar sucesivamente, tantas veces como sea necesario, mientras se mantenga la indeterminación. Ejemplo 17: Calcula %x x 2 %x x 2 = 0 0 = 2x 2%x x = x 2x %x 2 +1 = 1 2%x 2 +1 = 1 2 Ejemplo 18: Calcula x sen x 1-cos x x sen x 1-cos x = & & = sen x+xcos x sen x = & & = cox+cos x-x sen x cosx = 2 Ejemplo 17: Calcula x x 2 e x 1+e 2x= = * 2x e x + x 2 e x 2e 2x = * e x "2x+x 2 # 2e 2x = = * "2x+x 2 # 2e x = = * 2+2x 2e x = = * 2 2e x =0 Ejemplo 17: Calcula x sen x 1-cos x Ln(cos 3x) Ln (cos 2x) = & & = -3 sen 3x cos3x -2cos2x cos2x = = 3 tg 3x 2 tg 2x =0 0 = 91+tg 2 3x 41+tg 2 2x =

12 ANEXO I: TABLA DE DERIVADAS 12