Tema 13. Aplicaciones de las derivadas
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- Carla Cortés Gallego
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1 Tma 3. Aplicacions d las drivadas. Monotonía. Crciminto y dcrciminto d una función.... Etrmos rlativos Optimización Curvatura Puntos d Inflión Propidads d las funcions drivabls, opital...
2 Tma 3. Aplicacions d la drivada. Monotonía. Crciminto y dcrciminto d una función En l tma antrior rlacionamos las drivadas con la pndint d las rctas tangnts a la gráfica dscrita por la función, s dcir, f ( s la pndint d la rcta tangnt a la gráfica f( n. Vamos a rlacionar l signo d mf ( con l crciminto o dcrciminto d la función; para sto nos valmos dl siguint jmplo: yf( 3-5 f (3-3 (- ( (-,- - (-, (, Signo f ( - Crciminto Página d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
3 Tma 3. Aplicacions d la drivada Claramnt vmos qu cuando f ( > la rcta tangnt s crcint, pus la pndint s positiva, y por lo tanto f( s crcint n. D igual forma si f ( < la rcta tangnt s dcrcint, pus su pndint s ngativa, y por lo tanto f( s dcrcint n Conclusión: a Si f ( > la función f( s strictamnt crcint n b Si f ( < la función f( s strictamnt dcrcint n. Etrmos rlativos Ants d rlacionar los trmos rlativos con la drivada dfinámoslos. Dfinición: Etrmo rlativo d una función f( s todo punto tal qu, para todo ntorno dl punto E(,r, s cumpl qu la función n st intrvalo crc y dcrc. Sgún crzca ants o dspués d, distinguimos dos tipos d trmos rlativos: a Máimo rlativo n : la función crc hasta y dcrc a partir d. b Mínimo rlativo n : la función dcrc hasta y crc a partir d. Está claro qu si s un trmo rlativo d f(, n st punto la gráfica ni crc ni dcrc, lugo una condición ncsaria s qu f (, así la pndint d la rcta tangnt s m, sindo por tanto parallo al j. Pro stá no s la única condición. Es ncsario, qu admás, s cumpla una sgunda condición qu admás nos prmit discrnir si s máimo o mínimo rlativo: Sa un punto d una función n l qu s cumpl a f ( b f ( < ntoncs (,f( s máimo rlativo Sa un punto d una función n l qu s cumpl a f ( b f ( > ntoncs (,f( s mínimo rlativo En la práctica, si s cumpl qu f ( y vindo l crciminto d la función ants y dspués dl punto podmos vr si s punto rlativo y si s máimo o mínimo. En l caso d qu f ( pro también f (, no podmos asgurar qu st punto sa trmo rlativo y hay qu studiar las drivadas d ordn suprior. Página 3 d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
4 Tma 3. Aplicacions d la drivada Ejrcicio : Estudiar la monotonía, y los trmos rlativos d las siguints funcions: a yf( Vamos l signo d la drivada: f (6-336 f ( -56(- (-3, 3 f (-3 (-, (,3 3 (3, Signo f ( - Crciminto (,f((,6 (3,f(3(3,5 f (< Máimo f (3> Mínimo Máimo M(,f((,6 Mínimo m(3,f(3(3,5 M m b y/ln( Primro studimos l dominio. Vamos los puntos qu no prtncn al dominio a > (por l logaritmo npriano b Dnominador s cro: ln(, asíntota vrtical Dom(f((, -{} ln( f ( ln ( ln( ln ( ln(- Página d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
5 Tma 3. Aplicacions d la drivada Admás d los puntos dond s anula la primra drivada hay qu añadir los puntos qu no prtncn al dominio, ya qu n llos pud cambiar l crciminto. En st caso añadimos. (, (, (, Signo f ( - - Crciminto Dom( f ( (,f((, Mínimo m(,f((, f (/> Mínimo m c y f ( DominioR-{} 8 f (, ( 8 3 f ( ( 8 Signo d f (: 8 No solución no trmos rlativos (f (> Sólo tnmos qu vr l crciminto ants y dspués d, qu no prtnc al dominio: Página 5 d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
6 Tma 3. Aplicacions d la drivada (-, (, Signo f ( Dominio Crciminto 3. Optimización En muchas situacions s plantan problmas d optimización, s dcir hacr qu una función sa máima o mínima para unas prmisas impustas. os casos d optimización qu trabajarmos s cuando la función dpnd d una sola variabl. Pasos a sguir para optimizar:. Eprsar la función qu dsamos optimizar n función todas variabls.. Si la función tin más d una variabl rlacionar las variabls con los datos dl problma y obtnr una función d una sola variabl. 3. Drivar la función, igualarla a cro y así obtnr los puntos rlativos. Comprobar, mdiant la sgunda drivada, si stos puntos son máimos o mínimos. Ejmplo: S quir construir bots d nlatar d forma cilíndrica d litros d capacidad. Calcular las dimnsions para qu l gasto sa mínimo y Vπ y y/(π El gasto s proporcional a la suprfici: Gasto(,yK SuprficiK( π π yg(k [π π (/π ]K[π /] G (K[π-/ ] π-/ π r π dm hy 3 dm π 5π G (π/ 3 G ( 3 5 π > Mínimo Página 6 d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
7 Tma 3. Aplicacions d la drivada Ejrcicio : Dscomponr l númro 8 n dos sumandos tal qu l quíntuplo dl cuadrado dl primro más l sétuplo dl cuadrado dl sgundo sa mínimo. 8y y8- f(,y5y 6 f(5 ( f (-8 /, y 88/ f ( f (/> Mínimo Ejrcicio 3: Una hoja d papl db contnr 8 cm d tto imprso, márgns suprior infrior d cm y latrals d cm. Obtnr las dimnsions qu minimizan la suprfici dl papl y y8 y8/ Ara(,y( (y A(( (8/836/8636/ A (-36/ 3cm y6cm A (7/ 3. Curvatura A (3> mínimo Dimnsions: 5cm cm Vamos las dfinicions d los dos tipos d curvaturas posibls n una función: Dfinición : Una función s cóncava hacia las y positivas o cóncava hacia arriba n un punto P(,y, si la rcta tangnt n st punto stá por dbajo d los puntos próimos a P. Gráficamnt tin forma d Dfinición : Una función s cóncava hacia las y ngativas o cóncava hacia abajo n un punto P(,y, si la rcta tangnt n st punto stá por ncima d los puntos próimos a P. Gráficamnt tin forma d. Página 7 d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
8 Tma 3. Aplicacions d la drivada Podmos sabr si una función s cóncava hacia arriba o hacia abajo a partir d la sgunda drivada: Si f ( >, ntoncs f( s cóncava hacia arriba n l punto (,f(. (Rcordar la curvatura d yf( y como f (> Si f ( <, ntoncs f( s cóncava hacia abajo n l punto (,f(. (Rcordar la curvatura d yf(- y como f (-< Ejmplo: yf( 3 f (6, si > cóncava hacia arriba y si < hacia abajo Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba 5. Puntos d Inflión Uno d los puntos más importants a la hora d rprsntar una función son los puntos d inflión; vamos qu s un punto d inflión: Dfinición: S dic qu f( tin punto d inflión n (,f( si n s punto cambia la curvatura d la función, s dcir pasa d sr cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o al rvés. En st punto la rcta tangnt a la función corta a la función. Vamos a vr la rlación ntr los puntos d inflión y las drivadas d la función, n l siguint torma: Si f( cumpl n qu la sgunda drivada s nula (f ( y admás la trcra drivada s distinta d cro (f (, ntoncs la función f( tin un punto d inflión n (,f(. En l caso d qu tanto f ( como f (, tndrmos qu rcurrir a las drivadas d ordn suprior, y vr l ordn d la primra no nula n. Página 8 d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
9 Tma 3. Aplicacions d la drivada Ejmplo: Estudia l crciminto, puntos rlativos, la curvatura y los puntos d inflión d la función f( Primro studimos l dominio Dom(fR-{-} ( f ( ( ( Vmos qu simpr s positiva para todo valor d qu prtnzca al dominio: (-,- - (-, Signo f ( No ist - Dom(f Crciminto No Punto rlativo Calculmos ahora la curvatura y los puntos d inflión ( f ( ( Como ( s positivo, sólo tnmos qu studiar l signo d (, por so no simplificamos la fracción. El signo d la sgunda drivada s: (-,- - (-, Signo f ( No ist - Dom(f - Cocavidad No P.I. Página 9 d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
10 Tma 3. Aplicacions d la drivada Ejrcicio : Estudiar monotonía y curvatura d f( Primro vmos l dominio d f(, como -(-, ntoncs Dom(fR-{} ( f '( ( ( ( ( ( No simplificamos la fracción para qu l signo dl dnominador sa simpr positivo (lvado a potncia par. El numrador s anula n y Dom(f (-, (, (, Signo f ( - No ist - Crciminto m(,f((, Dom(f f (< Mínimo ( ( f ''( ( ( ( ( ( 3 [( ( 8 6 8] ( ( ( ( / ( ( S anula n -/ ( 3 ( 6 ( (-,-/ -/ (-/, (, Signo f ( - No ist Concavidad PI(-/,f(-/ (-.5,/9 Dom(f f (-/ Página d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
11 Tma 3. Aplicacions d la drivada PI m 6. Propidads d las funcions drivabls, opital Ya hmos visto n l tma antrior qu hay límits qu, para calcularlos, s ncsario utilizar l torma d opital, vamos n qu consist: Torma: San f( y g( continuas y drivabls n qu vrifican: a f ( g( b f ( g( ± ntoncs s cumpl: f ( f '( g( g' ( Esta rgla s válida para R, o -. Esta rgla s pud aplicar sucsivas vcs si l límit sigu sindo / o / Página d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
12 Tma 3. Aplicacions d la drivada Ejmplos: sn( cos( a ' 3 6 b sn( ' cos( ' sn( ' cos( ln( c ' ln( d ln( / ' π tg( tg( π π π π π sn( cos( π ( sn ' ' π cos ( π ( cos ( π π cos ( ' Ejrcicios PAU: Sólo vrmos los qu stán rlacionados con la optimización y con opital. A Optimización Sptimbr. Pruba B. PR.- a Dada la función f(/ln( dfinida n [,], calcular la rcta tangnt con mayor pndint. Escribir cuación d dicha rcta a pndint d las rctas tangnts vin dada por la drivada d f( f (-/ /. Como tnmos qu buscar l valor con mayor pndint, la función a optimizar s f (, qu llamarmos g(, g(f (. Optimicémosla g ( - [,] 3 3 Vamos si s máima o mínima: g (/ 3-6/ g (/-3/8< máimo a pndint máima s m ma g(f (-///; sta s la pndint d la rcta tangnt n l punto P(,f((,/ln( a rcta tangnt s por tanto: y-(/ln(/(- y.5 ln( Página d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
13 Tma 3. Aplicacions d la drivada Junio 6. Pruba A. PR- Considérns las funcions f(, g(- -. Para cada rcta r prpndicular al j OX, san A y B los puntos d cort d dicha rcta con las gráficas d f y g, rspctivamnt. Dtrmíns la rcta r para la cual l sgmnto AB s d longitud mínima. as rctas prpndiculars al j OX son dl tipo. Cort con las gráficas a f( A(, o b g(- - B(,- -o ongitud sgmnto AB d(a,b ( AB (, d(. Como tin qu sr distancia mínima, calculmos la drivada d d( igualmos a cro d ( -. Vamos si s mínima o máima d ( d (> Mínimo Por tanto la rcta s. Corta con f( n (, (, y con g( n (,- - (,- Así la rcta qu minimiza la distancia ntr las dos funcions s A(, B(,- - - Sptimbr 8. Pruba B PR-. allar, d ntr los puntos d la parábola d cuación y -, los qu s ncuntran a distancia mínima dl punto A(-,-/ os puntos d la parábola son P(, -. a distancia ntr P y A s: d ( A, P AP, ( ( Página 3 d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
14 Tma 3. Aplicacions d la drivada 7 d( Nota si buscamos l valor qu minimic la distancia s cumplirá también qu para s valor d también srá mínima: f((d( f ( 3 - P(-, Vamos qu s mínimo f (, f (->, s mínimo 7 Ejrcicio 5: calcular l rctángulo d ára máima inscrita n una circunfrncia d radio cm: Ára(,y y A(yy y y y A (y y - y y 6 y y y y y cm cm (cuadrado Vamos qu s máima: A ( <. Máimo B opital PAU Sptimbr 6. Pruba A C-3. sn( sn( ln(cos( cos( cos( ' ( tg ( cos( ' tg( sn( PAU Junio 6 (Pruba A C-3. ln(cos( sn( cos( ' tg( ( tg ' ( Página d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
15 Tma 3. Aplicacions d la drivada PAU Junio 6 (Pruba BC-. Calcular a y b para qu l límit sa : a b cos( a b sn( b ( b para it sn( ' cos( a sn( cos( a cos( ' cos( sn( a a / PAU Sptimbr (Pruba A C-3 tg( ( tg ( ( tg ( π (6 ' 6 ( (6 3 ( tg π tg π tg (6 PAU Junio (Pruba B C- 3 sn ( ( ( ' sn sn sn ( ' cos( cos( sn ( cos( sn ( cos( PAU Sptimbr 5 (Pruba A C-. Calcular λ para qu l límit valga -: sn( cos ( λ sn( cos ( λ ' ' cos( sn( λ λ cos ( λ cos( λ sn( λ cos( λ λ λ λ±. PAU Sptimbr 5 (Pruba B C-3 ln( ln( sn( sn( sn( cos( ' cos( sn( ' cos( sn ( sn ( cos( PAU Junio 5 (Pruba A C-3 ln( ln( / ' ' Página 5 d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com
16 Tma 3. Aplicacions d la drivada Página 6 d 6 Tma laborado por José uis ornt (lorntjl@gmail.com PAU Junio 7 (Pruba A. C- ln( ln( ( ln( ln( ln( ln( ' ' PAU Sptimbr 7 (Pruba B C- ( ( ( ( ( ' '. PAU Junio 8 (Pruba A. C-: ( 8 6 ( ( cos 3 cos( ( ( ' 3 sn sn sn PAU Sptimbr 8 (Pruba B. C-3: Calcular a para qu l límit sa 8 8 ( ' ' a a a a a a a a a a a±
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