INTEGRALES DOBLES Y MÚLTIPLES

Transcripción

1 Análisis Mtemático C T.P. Nº TABAJO PÁCTICO Nº INTEALES DOBLES Y MÚLTIPLES Áre pln = dd olumen = f (, )dd ' ddd Áre de superficies lbeds = f f dd, sobre el plno. Cmbio de coordends: cos sen cos sen f (, )dd F(, ) dd ) Polres: f (,, )ddd b) Cilíndrics: r coscos r cossen f (,, )ddd F(,, ) ddd F(,, )r cosdrdd c) Esférics: rsen Coordends del centro de grvedd: ddd ; ddd ddd ; ddd dd ; dd = ddd ddd dd dd. Ddo el recinto del plno, se pide: ) epresentr el recinto b) Epresr I f (, ) dd medinte dos integrles simples sucesivs c) olver epresrl cmbindo el orden de integrción I ) : II ) : III ) : I ) :. Comprobr el vlor de ls siguientes integrles definids: ) ( ) dd 5 d) e dd b) dd e) dd c) 7 6 dd f) ( cos ) sendd

2 Análisis Mtemático C T.P. Nº. Dds ls integrles dobles: I ) sendd II) dd III) dd ) epresentr el recinto de integrción epresrlo en form nlític. b) Clculr l integrl propuest. c) Invertir el orden de integrción verificr el resultdo obtenido en b).. Hllr por integrción doble, el áre de l superficie limitd por el siguiente pr de curvs: ) = 5 ; 5 = 9 b) = ; = erificr l respuest cmbindo el orden de integrción. 5. Clculr por integrción doble el áre encerrd por cd uno de los siguientes pres de curvs: ) =, + = d) = 9+, = 9 b) =, = + e), + c) = ln, = e, =, = f) =, = + 6. Hllr ls coordends del centro de grvedd de ls superficies dds en el ejercicio nº suponiendo que l densidd es constnte. 7. Psr coordends polres, colocr los límites de integrción pr ls nuevs vribles luego resolver: dd ) dd ; b) 6 c) dd 8. Hllr el áre pln de cd un de ls siguientes superficies, plicndo coordends polres: ) Interior l circunferenci + = e interior l circunferenci + = 9/ b) (circunferenci) (+cos) (prábol) c) Interior l crdioide = +cos l derech de l rect cos = d), cos tg en el primer cudrnte. 9. Hllr el volumen de l región limitd por: ) =, =, =, =, =, = b) =, =, =, + =, = e c) + =, =, + = d) + =, =, = e) =, =, = - f) ++, ++,,, g) ++ = 8, =, + = 8, - = 8, =.. Usr l integrción triple pr hllr: ) El volumen, en el primer octnte, limitdo por =, = 6. b) El volumen, en el primer octnte, limitdo por = e =. Plnterlo proectndo sobre los tres plnos coordendos. c) El volumen, en el primer octnte, limitdo por = 9 = 9.

3 Análisis Mtemático C T.P. Nº d) El volumen, en el primer octnte, limitdo por +. e) El centro de grvedd del sólido limitdo por + =, + =, =, =.. Usr coordends cilíndrics o esférics pr resolver ls siguientes integrles: ) ( ) ddd b ) c ) d ) e ) h b b ( ddd ddd ddd ) ddd. Utilindo coordends cilíndrics determinr el volumen limitdo por: ) = +, = b) =, = c) + =, = (interior l superficie cónic) d) =, = cos, = e) + = 6, = (interior mbs superficies) f) =, = + g) +, /,,,.. Utilir coordends esférics pr: ) Clculr el volumen del cuerpo limitdo por + + = = + (l prte eterior con respecto l superficie cónic). b) Comprobr el resultdo del ejercicio c). c) Clculr el volumen del cuerpo limitdo por + + ( ) = l superficie = + (l prte interior respecto l superficie cónic). d) Clculr el volumen interior + =, debjo de + =, sobre el plno. e) Clculr el volumen encerrdo por: + + = ; = ; =.. Hllr el áre de l porción de: ) Prlelogrmo, sección del prism {, } con el plno =. b) Superficie cilíndric + = 6, interior l superficie + = 6. c) Superficie cónic + =, que qued sobre el cudrdo limitdo por =, =, =, = en el plno. d) Superficie cilíndric + = que está en el primer octnte sobre el triángulo limitdo por ls rects =, =, + = en el plno. e) Superficie cilíndric + = que qued entre los plnos =, =. f) Superficie cilíndric + = r que está entre los plnos = m, =. g) Prboloide = / + /, eterior = +. h) Superficie esféric + + = 5 comprendid entre = =. i) Prboloide + + = que está entre los plnos =, = =, en el primer octnte.

4 Análisis Mtemático C T.P. Nº EJECICIOS POPUESTOS. Clculr, plicndo coordends crtesins, el áre pln determind por: +,,.. Clculr el áre pln de l siguiente superficie: +cos (crdioide), (+cos) (prábol) tg (rect).. Clculr ls coordends del centro de grvedd del sólido limitdo por: =, =, =, =, =.. Clculr el volumen limitdo por: ) = + = 8. b) =, = +, = /, interior l prboloide. 5. ) Clculr el siguiente volumen, utilindo coordends esférics: d d d d d d. b) Plnter el volumen nterior en coordends crtesins. 6. Hllr el áre de l porción de: ) Superficie + =, comprendid entre = e = en el primer octnte. b) superficie + =, comprendid entre = + = /. 7. Plnter l integrl I d d / / / sen / / sen r cossen dr ) en coordends cilíndrics. b) en coordends crtesins. ESPUESTAS A LOS EJECICIOS. I ) ). I I ) ). I I I ) ). I ) ) (, ) (, ) (, ) (, ) ( -, ) (, / ) - - (, - )

5 Análisis Mtemático C T.P. Nº 5. I) b) d f(, ) d c) d f(, ) d. II) b) d f(, ) d c) d f(, ) d d f(, ) d. III) b) d f(, ) d d f(, ) d c) d f(, ) d. I) b) d f(, ) d d f(, ) d. I) ; II) 8 ; III) 9. ) 5; b) 9 c) 5. ) 7 e ; b) 6 ; c) e d) 8; e) - 6 ln ; ; f) ), ; b) ; 5 d f(, ) d d f(, ) d 8. ) ; b) ; c) d) 6 9. ) ; b) e - ; c) 8 ; d) 5 56 ; e) ; f) 5 ; g) 5. ) ; b) 6 8 ; c) ; d) 8 ; e) ; ; 5. ) ; b) 5 ; c) b ; d) h ; e) ) 9 ; b) 8 ; c) 6 ; d) ; e) 8 ; f) ; g) 9. ) ; b) 6 ; c) ; d) ; e) 5 7. ) ; b) 8; c) ; d) ; e) ; f) r ; g) m h) 5 ; i) 7 7 6

6 Análisis Mtemático C T.P. Nº 6 ESPUESTAS A LOS EJECICIOS POPUESTOS. 6. ) 6 5 / / 7 b ) Si proectmos sobre el plno. 8. ) b ) Posibles respuests / Si proectmos sobre el plno 6. ) d d d d ( ) b ) d d 5,, 7 7 d d d d d d d d d 7. ) Posibles respuests I I b ) Posibles respuests Si proectmos sobre el plno I Si proectmos sobre el plno I / / d d d d d d d d d d d d / d d 9 d d d d d 9 d d