1. INTEGRALES MÚLTIPLES

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1 1. INTGALS MÚLTIPLS 1.1. INTGAL OBL SOB UN CTÁNGULO Se f : 2 un funión otd de dos vribles, denid sobre el retángulo = [, b] [, d] = {(x, y) 2 : x b, y d} A ontinuión se onsider un prtiión de en subretángulos. Pr ello se relizn dos prtiiones P y Q de [, b] y [, d] respetivmente, on siendo P {x 0 = < x 1 < x 2 < < x n = b} Q {y 0 = < y 1 < y 2 < < y n = d} x i x i 1 = b n y j y j 1 = d n = x pr todo i = 1,..., n = y pr todo j = 1,..., n enotmos por ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] los subretángulos de l prtiión de. Cd retángulo tiene áre A = x y. Si suponemos f 0 en, llmmos S l sólido uy tp superior es l grá de f y uy tp inferior es el retángulo. ligiendo un punto r ij ij pr el que f lnz un mínimo en ij, entones f(r ij ) A represent el volumen de un j retngulr de bse ij y ltur f(r ij ), siendo l sum s n = n 1 i,j=0 f(r ij ) A igul l volumen de un sólido insrito en S. e igul mner, si s ij ij es un punto pr el que f lnz un máximo en ij, l sum S n = n 1 i,j=0 f(s ij ) A es igul l volumen de un sólido irunsrito en S. Si llmmos V l volumen del sólido S, es lro que s n V S n. eniión 1.1. Si existen y son igules los límites lím s n = lím S n = V, n n entones se die que f es integrble en, y se esribe V = f(x, y) da = f(x, y) dx dy 1

2 Obsérvese que pr que tome sentido est onstruión, no es neesrio f 0. Si f tom vlores negtivos, l integrl se interpret omo un volumen on signo. Observión 1.1. L integrbilidd se puede reesribir omo l existeni del límite lím n 1 n i,j=0 f(x ij, y ij) A pr ulquier (x ij, y ij ) ij. n 1 A l sum i,j=0 f(x ij, y ij ) A se l llm sum de iemnn pr f. 2

3 Teorem 1.1. Tod funión ontinu f : denid sobre un retángulo es integrble. e heho, bst on que f se otd y que el onjunto de puntos donde es disontinu esté formdo por un unión nit de grás de funiones ontinus Propieddes de ls integrles dobles 1. (f + g) da = f da + g da 2. kf da = k f da 3. Si f g, entones f da g da 4. f da f da Teorem 1.2. (Fubini) Si f es ontinu en el retángulo = [, b] [, d], entones f es integrble en y f(x, y) da = b d f(x, y) dy dx = d b f(x, y) dx dy e heho, si f es otd y sus disontinuiddes formn un unión nit d de grás de funiones ontinus umpliéndose que f(x, y)dy existe pr todo x [, b], entones b d f(x, y)dydx = f(x, y)da Corolrio 1.1. Si f(x, y) = g(x)h(y) es ontinu en, entones g(x)h(y) da = b g(x) dx d h(y) dy 1.2. INTGAL OBL N GIONS LMNTALS eniión 1.2. Un región del plno se die que es de tipo 1 si se enuentr enerrd entre ls grás de dos funiones ontinus g 1 (x) y g 2 (x), esto es, = {(x, y) : x b, g 1 (x) y g 2 (x)} Se die que es de tipo 2 si se enuentr enerrd entre ls grás de dos funiones ontinus h 1 (y) y h 2 (y), esto es, = {(x, y) : y d, h 1 (y) x h 2 (y)} A ests regiones ls llmremos regiones elementles. 3

4 y y y = g 2 (x) d y = g 1 (x) b x x = h 1 (y) x = h 2 (y) x tipo 1 tipo 2 eniión 1.3. (Integrl sobre un región elementl) d un región elementl y un funión f : ontinu, se dene l integrl de f sobre, f(x, y) da, del siguiente modo: Se onsider un retángulo, on, y se dene l siguiente funión F : { f(x, y) si (x, y) F (x, y) = 0 si (x, y) / ntones f(x, y) da = F (x, y) da Observión 1.2. esult inmedito ver que l deniión es onsistente y no depende del retángulo elegido. Tmbién result evidente que, si f 0, entones f(x, y) da represent el volumen enerrdo entre l grá de f y l región. Teorem 1.3. Si f : es ontinu en un región de tipo 1, entones f(x, y) da = Si l región es de tipo 2, entones f(x, y) da = b g2 (x) g 1 (x) d h2 (y) h 1 (y) f(x, y) dy dx f(x, y) dx dy Observión 1.3. l áre de un región elementl se obtiene lulndo da, esto es, on f = Propieddes 1. (f + g) da = f da + g da. 2. kf da = k f da. 4

5 3. Si f g, entones f da g da da = A() siendo A() el áre de. 5. Si m f(x, y) M pr todo (x, y), entones ma() f(x, y) da MA() 6. Si = 1 2 sin que 1 y 2 se solpen slvo, quizá, en los bordes, entones f da = 1 f da + 2 f da. Teorem 1.4. (Teorem del vlor medio integrl pr integrles dobles) Se f : ontinu on un región elementl. ntones existe un punto (x 0, y 0 ) tl que Teorem 1.5. (Áres de superies) f(x, y) da = f(x 0, y 0 )A() d un superie S de euión z = f(x, y) on (x, y), un región elementl, y tl que f x y f y son ontinus, entones el áre de S, A(S), es A(S) = 1 + f x (x, y) 2 + f y (x, y) 2 da 1.3. CAMBIO VAIABL N INTGALS OBLS Se T un trnsformión desde el plno uv en el plno xy, T (u, v) = (x, y), donde x = x(u, v) y y = y(u, v) son funiones on derivds priles ontinus. Bjo ests ondiiones, se die que T es C 1. eniión 1.4. l jobino de T, un trnsformión C 1, es el determinnte (x, y) (u, v) = x u y u x v y v = x y u v x y v u Teorem 1.6. (Cmbio de vrible en integrles dobles) Se T : 2 1 un trnsformión C 1 y biyetiv denid entre dos regiones elementles, 2 ontenid en el plno uv y 1 ontenid en el plno xy. ntones, si f : 1 es integrble, f(x, y) dx dy = f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) 1 2 (u, v) du dv 5

6 Corolrio 1.2. Si l funión T trnsform oordends polres en rtesins, T (r, θ) = (x, y) on x = r os θ y = r sen θ, y r P (r, θ) θ x Coordends polres entones el jobino es (x, y) (r, θ) = os θ sen θ r sen θ r os θ = r(os2 θ + sen 2 θ) = r e modo que el teorem del mbio de vrible nos d f(x, y) dx dy = 1 f(r os θ, r sen θ)r dr dθ INTGAL TIPL L integrl triple se dene sobre un prlelepípedo retngulr B = {(x, y, z) : x b, y d, r z s} 3 de mner nálog omo se he on ls integrles dobles en retángulos: se he un prtiión de B en n 3 prlelepípedos B ijk, on i, j, k = 0,..., n 1, y se onsider l sum S n = n 1 i,j,k=0 f( ijk) V, donde V es el volumen de d B ijk y ijk B ijk. eniión 1.5. d f : B otd, si existe lím n S n (sin depender de los ijk elegidos), entones deimos que f es integrble sobre B y l integrl se esribe lím S n = f(x, y, z) dv = f dv n B B Ls propieddes y teorems pr integrles triples son ompletmente nálogos los obtenidos pr integrles dobles. Citemos los resultdos más relevntes. 6

7 Teorem 1.7. L integrl triple existe siempre que f : B se ontinu. e heho, bst que f se otd y ls disontinuiddes estén ontenids en grás de funiones ontinus de dos vribles. Teorem 1.8. (Fubini) Si f es ontinu en B = [, b] [, d] [r, s], entones f es integrble en B y B f(x, y, z) dv = b d s r f(x, y, z) dz dy dx xisten seis órdenes posibles de integrión pr ls integrles iterds, dndo todos el mismo resultdo INTGAL TIPL N GIONS LMNTALS Pr denir integrles triples en regiones más generles, deben onstruirse ls regiones elementles de dimensión 3. eniión 1.6. Un región sólid se die de tipo 1 si = {(x, y, z) : (x, y), u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} siendo u 1, u 2 : funiones ontinus denids sobre un región elementl del plno xy. eimos que es de tipo 2 si = {(x, y, z) : (y, z), u 1 (y, z) x u 2 (y, z)} siendo u 1, u 2 : funiones ontinus denids sobre un región elementl del plno yz. eimos que es de tipo 3 si = {(x, y, z) : (x, z), u 1 (x, z) y u 2 (x, z)} siendo u 1, u 2 : funiones ontinus denids sobre un región elementl del plno xz. A ests regiones sólids ls llmremos regiones elementles. eniión 1.7. (Integrl triple sobre un región elementl) Pr denir un integrl triple de f sobre un región elementl, f(x, y, z) dv, bst onstruir un j B que l onteng y denir un funión F : B que oinid on f en y vlg 0 fuer de. ntones, f(x, y, z) dv = B F (x, y, z) dv 7

8 Teorem 1.9. Si f : es ontinu en un región de tipo 1, entones f(x, y, z) dv = Si l región es de tipo 2, entones f(x, y, z) dv = Si l región es de tipo 3, entones f(x, y, z) dv = [ ] u2 (x,y) f(x, y, z) dz da u 1 (x,y) [ ] u2 (y,z) f(x, y, z) dx da u 1 (y,z) [ ] u2 (x,z) f(x, y, z) dy da u 1 (x,z) Observión 1.4. Si se onsider f = 1, entones el volumen de l region, V (), es igul l integrl V () = 1.6. CAMBIO VAIABL N INTGALS TIPLS Se T un trnsformión denid entre el espio uvw y el espio xyz, T (u, v, w) = (x, y, z), donde x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) son funiones on derivds priles ontinus. Bjo ests ondiiones, se die que T es C 1. eniión 1.8. l jobino de T, un trnsformión C 1, es el determinnte (x, y, z) (u, v, w) = x u y u z u x v y v z v dv x w y w z w Teorem (Cmbio de vrible en integrles triples) Se T : S 2 S 1 un trnsformión C 1 y biyetiv denid entre dos regiones sólids elementles, S 2 ontenid en el espio uvw y S 1 ontenid en el espio xyz. ntones, si f : S 1 es integrble, f(x, y, z) dx dy dz = S 1 = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) (x, y, z) S 2 (u, v, w) du dv dw 8

9 Corolrio 1.3. Si l funión T trnsform oordends ilíndris en rtesins, T (r, θ, z) = (x, y, z), on x = r os θ y = r sen θ z = z, z P (ρ, θ, z) z 0 θ ρ y x Coordends ilíndris se tiene el jobino (x, y, z) (r, θ, z) = os θ r sen θ 0 sen θ r os θ = r, de modo que el teorem del mbio de vrible qued sí: f(x, y, z) dx dy dz = S 1 f(r os θ, r sen θ, z)r dr dθ dz S 2 Corolrio 1.4. Si l funión T trnsform oordends esféris en rtesins, T (ρ, θ, φ) = (x, y, z), on x = ρ sen φ os θ y = ρ sen φ sen θ z = ρ os φ, 9

10 z P (ρ, θ, φ) φ ρ 0 y θ x Coordends esféris se tiene el jobino (x, y, z) (ρ, θ, φ) = sen φ os θ ρ sen φ sen θ ρ os φ os θ sen φ sen θ ρ sen φ os θ ρ os φ sen θ os φ 0 ρ sen φ = ρ 2 sen φ, de modo que el teorem del mbio de vrible qued sí: S 1 f(x, y, z) dx dy dz = = f(ρ sen φ os θ, ρ sen φ sen θ, ρ os φ)ρ 2 sen φ dρ dθ dφ. S 2 10

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