Electromagnetismo I. Semestre: TAREA 4 Y SU SOLUCIÓN Dr. A. Reyes-Coronado

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1 Electromgnetismo I Semestre: 24-2 TAREA 4 Y SU SOLUCIÓN Dr. A. Reyes-Corondo Solución por Crlos Andrés Escobr Ruíz.- Problem: (25pts) Un esfer de rdio R, centrd en el origen, posee un densidd de crg ρ(r, θ) = k R (R 2r) sin θ, r2 donde k es un constnte y ls vribles r y θ son ls vribles usules en coordends esférics. Clcul el potencil de mner proximd pr puntos sobre el eje ê z lejos de l esfer. Solución l problem Ddo que el problem es obtener el potencil pr distncis grndes comprds con el rdio de l esfer, se justific hcer uso de l expnsión multipolr. L crg totl del sistem (término monopolr) está dd por [ ] Q = ρ dv = kr (R 2r) sin(θ) r 2 sin(θ) dr dθ dφ. () r2 Al relizr l integrción sobre r, tenemos que R (R 2r) dr = (Rr r 2 ) lo cul implic que l crg totl del sistem es cero Q =. R = R 2 R 2 =, (2) El siguiente término considerr es el dipolr, el cul está ddo por [ ] r cos(θ)ρ dv = kr (r cos(θ)) (R 2r) sin(θ) r 2 sin(θ) dr dθ dφ. () r2 Sin embrgo, l integrl sobre θ es nuevmente nul π sin 2 (θ) cos(θ) dθ = sin (θ) con lo cul l proximción dipolr no contribuye. π =, (4) El término cudrupolr está ddo por ( r 2 2 cos2 (θ) ) ( ρ dv = kr r cos(θ) ) [ ] (R 2r) sin(θ) r 2 sin(θ) dr dθ dφ. 2 r2 (5)

2 L integrl nterior es direct y su vlor es (k π 2 R 5 /48), con lo cul el potencil proximdo pr grndes distncis v como el término cudrupolr: φ(z) 4πɛ k π 2 R 5 48 r. (6) 2. Problem: (25pts) Cutro prtículs (un de crg q, otr de crg q y dos de crg 2q) están colocds como se muestr en l figur. Cd prtícul está un distnci del origen del sistem de coordends. Deriv un ecución proximd pr el potencil, válid pr puntos lejos del origen, en coordends esférics. 2q q 2q q Solución l problem 2 El término monopolr es nulo porque l crg totl del sistem es cero. El término dipolr pr un sistem de crgs puntules está ddo por p = i q i r i, (7) y pr este cso tenemos que p = (q q) ê z [ 2q 2q( )] ê y = 2q ê z. (8) Teniendo en cuent que p ˆr = 2q ê z ê r = 2q cos(θ), se sigue que el potencil pr distncis grndes (comprds con ) está ddo por φ 4πɛ p ê r r 2 = 4πɛ 2q cos(θ) r 2. (9). Problem: (25pts) L densidd superficil de crg pr un cscrón esférico de rdio R está dd por σ(θ) = k cos θ, donde k es un constnte. () Clcul el momento dipolr de est distribución de crg. (b) Clcul el potencil proximdo pr puntos lejnos de l esfer, y compr tu expresión con el resultdo excto, ddo por: φ(r, θ) = k R cos θ. ɛ r2 2

3 Solución l problem ) Por simetrí, el momento dipolr debe puntr en l dirección ê z, es decir, p = p ê z, donde p = zσ d. Entonces: p = (R cos(θ))(k cos(θ))r 2 sin(θ) dθ dφ, () de lo cul se sigue que con V el volumen de l esfer! π = 2πR k ( = 2πR k = 4πR k, cos 2 (θ) sin(θ) dθ, ) cos (θ) π p = 4π R k, ê z = V k ê z, () b) El potencil proximdo pr distncis grndes (comprds con R) es φ p ê r 4πɛ r 2 = kr ɛ cos(θ) r 2. (2) Vemos que est proximción corresponde l vlor excto, lo cul nos dice que todos los demás términos de l expnsión multipolr, excepto el dipolr, deben ser nulos. 4. Problem: (25pts) Dos crgs puntules, q y q están seprds por un distnci. Pr cd un de ls geometrís mostrds en l figur, clcul (i) el momento monopolr, (ii) el momento dipolr y (iii) el potencil proximdo pr vlores grndes de r, en coordends esférics, incluyendo ls contribuciones del monopolo y el dipolo. q q q q q q ()! (b)! (c)! Solución l problem 4 En este cso procedemos l cálculo directo prtir de ls fórmuls pr los términos monopolres y dipolres. Después escribimos el potencil proximdo en función de estos últimos.

4 ) i) Q = 2q ; ii) p = q ê z, () φ [ ] 2q q cos(θ) 4πɛ r r 2. (4) b) i) Q = 2q ; ii) p = q ê z, (5) φ [ ] 2q q cos(θ) 4πɛ r r 2. (6) c) i) Q = 2q ; ii) p = 2q ê y, (7) φ [ ] 2q 2q sin(θ) sin(φ) 4πɛ r r 2. (8) En lo nterior hemos hecho uso de ê z ê r = cos(θ) y ê y ê r = sin(θ) sin(φ). 5. Problem TORITO: (pts) Muestr que el cmpo eléctrico de un dipolo puntul ddo por l expresión E Dipolr (r, θ) = p 4πɛ r (2 cos θ ê r sin θ ê θ ), se puede escribir en un form independiente de l loclizción del origen del sistem de coordends como: E Dipolr ( r ) = [ ( p ˆr)ˆr p ]. 4πɛ r Solución l problem 5 Escribimos el vector p en coordends esférics (sbemos que p punt en l dirección ê z ) y clculmos directmente el producto ( p ê r )ê r p: p = ( p ê r ) ê r ( p ê θ ) ê θ = p cos(θ) ê r p sin(θ) ê θ, (9) y que en coordends esférics se tiene que ê r = sin(θ) cos(ϕ) ê x sin(θ) sin(ϕ)ê y cos(θ)ê z, (2) ê θ = cos(θ) cos(ϕ) ê x cos(θ) sin(ϕ)ê y sin(θ)ê z, (2) (22) 4

5 con lo cul ( p ê r ) ê r p = p cos(θ) ê r p cos(θ) ê r p sin(θ) ê θ = 2p cos(θ) ê r p sin(θ) ê θ. (2) Por tnto 4πɛ r [( p ê r) ê r p ] = p 4πɛ r [2 cos(θ) ê r sin(θ) ê θ ], (24) lo cul nos dice que l expresión del cmpo eléctrico de un dipolo puntul puede ser escrito en un form independiente de l loclizción del origen del sistem de coordends como E dipolr ( r ) = 4πɛ r [( p ê r) ê r p ]. (25) 5

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