UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-13-5-M CURSO: Matemática Básica SEMESTRE: Primero CÓDIGO DEL CURSO: 13 TIPO DE EXAMEN: Primera Retrasaa FECHA DE EXAMEN: e mayo e 17 RESOLVIÓ EL EXAMEN: Juan Carlos Martini Palma DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Juan Carlos Martini Palma COORDINADOR: Ing. José Alfreo González Díaz REVISÓ EL EXAMEN: Ing. Renato Ponciano

2 Matemática Básica Temario W Tema 1: ( puntos) a. Calcule el límite b. Calcule la integral efinia c. Calcule y x lim x x x x 1 x Tema : ( puntos) y 3x x Encuentre el volumen el cono circular recto más grane que puee inscribirse en una esfera e raio 4 cm. Tema 3 ( puntos) Encuentre el volumen que se genera al girar el área elimitaa por y x alreeor e y 4 y x & Tema 4 ( puntos) Un tanque tiene la forma e la mita inferior e una esfera e 4 metros e iámetro y se encuentra lleno e agua. Encuentre el trabajo realizao para bombear el agua hasta tres metros por encima e la parte superior el tanque. Tema 5 ( puntos) Dos barcos parten e un mismo punto y al mismo tiempo, el primero se irige al norte a km/h y el seguno se irige al este a 3 km/h. Cómo varia la istancia entre ellos tres horas espués e haber partio?

3 Matemática Básica SOLUCIÓN DEL EXAMEN TEMARIO A Tema 1: ( puntos) a. Calcule el límite lim x x x No. Explicación 1. Primero se evalua el limite y se emuestra que tiene forma ineterminaa. Operatoria 8 lim x (x3 x 4 ) = = Forma ineterminaa. Como el limite tiene forma ineterminaa se aplica L Hôpital al limite erivano el numeraor y enominaor inepenientemente y se vuelve a evaluar. 8 lim x (x3 x 4 ) = lim x (3x x ) = lim x (x3 x 4 ) = 3 b. Calcule la integral efinia x 1 x No. Explicación 1. Al graficar la función se puee observar que que esta compuesta e os rectas oblicuas que se intersectan en (.5,). Por las propieaes el valor absoluto se sabe que una recta es la función y la otra recta es el negativo e la función. Operatoria f(x) = x 1

4 Matemática Básica. La función tambien se puee escribir como una función efinia a trozos. x + 1, x <.5 x 1 = { x 1, x.5 3. La integral ahora se puee separar en os integrales simples. x 1.5 x = ( x + 1)x + (x 1)x.5 4. Se resuelven las integrales y se suman..5 ( x + 1)x + (x 1)x = 1 4 = 5 =.5 = x 1 x =.5 c. Calcule y x y 3x x No. Explicación Operatoria 1. Para calcular esta erivaa se ebe utilizar la regla e la caena. Primero se sustituye la expresión que esta entro el raical para simplificar el calculo. f(x) = 3x + x U = 3x + x f(x) = U. Se eriva la nueva expresión. x U = 1 U. x U

5 Matemática Básica 3. Se calcula la erivaa e U usano el teorema e la erivaa e una suma y la regla e la caena. x U = (3x + x) = x x U = 3 + x = x 4. x U = 1 U. x U = Se sustituyen U y su erivaa en la expresión anterior y se simplifica. x 3x + x = 1 3x + x (3 + 1 x ) x+1 x x = = 3x + x 3x + x 3 x + 1 = x 3x + x x 3x + x = 3 x + 1 6x + x Tema : ( puntos) Encuentre el volumen el cono circular recto más grane que puee inscribirse en una esfera e raio 4 cm.

6 Matemática Básica No EXPLICACION OPERATORIA 1. Primero se efine la función a optimizar, esta seria el volumen el cono. Como el volumen el cono epene e os variables no se puee aplicar el criterio e la primera erivaa. V c (r, h) = πr h 3. Se ebe escribir una variable en terminos e la otra para poer aplicar el criterio. Se ibuja la sección transversal e la esfera para visualizar la relación entre variables. En la figura se puee observar que r y h están relacionaas por meio e triangulos rectangulos y se usa la variable auxiliar y para realizar los calculos. 3. Usano el teorema e pitagoras y se puee escribir en terminos e r para luego sustituir en h. h = 4 + y y + r = 16 r = 16 y 4. Se sustituye h en la ecuación e volumen. V c (y) = π(16 y )(4 + y) 3 V c (y) = π( y 4y y 3 ) 3 5. Se calculan las erivaas utilizano la regla e la caena. r V c (r) = r π( y 3 4y + 16y + 64) 3 = ( π 3 ) ( 3y 8y + 16)

7 Matemática Básica 7. La primera erivaa se iguala a para encontrar los valores críticos e la función. ( π 3 ) ( 3y 8y + 16) = 3y 8y + 16 = y 1 = 4 3 ; y = 4 h = 4 + y = = Se escoge el valor positivo ya que el volumen está restringio por V c. Luego se calculan las imensiones el cono. r = 16 y = = V max = V c (1.33) = 79.43cm 3 r c = cm ; h c = cm

8 Matemática Básica Tema 3 ( puntos) Encuentre el volumen que se genera al girar el área elimitaa por y x alreeor e y 4 y x & No EXPLICACION OPERATORIA 1. En la gráfica se puee observar el área transversal el sólio y el eje sobre el cual va a girar.. Se igualan las funciones para encontrar los puntos e intersección e las curvas para eterminar los límites e integración. El valor absoluto se puee escribir como una función a trazos para facilitar el cálculo. x, x < x = { x, x x = x x = x = x x = 3. Se calcula el área e las aranelas, que está aa por la resta el raio mayor menos el raio menor. A = π(r r )

9 Matemática Básica R = x + 4 r = (x ) + 4 A = π((x + 4) (x + ) ) El volumen está ao por la suma e toas las rolanas, que se expresa como una integral efinia. Porque el sólio es simétrico se calcula la integral e a y se multiplica por. Se expanen los términos e la integral y se operan los términos semejantes. 6. Se separa la integral y se resuelve caa una. b V = A(x)x a V = π((x + 4) (x + ) )x V = π (x + 8x + 16 (x 4 + 4x + 4))x = π ( x 4 3x + 8x + 1)x V = π [ x 4 x V = π [ 3 5 3x x + 8xx + 1x] ] V = 56π 5 u3 = u 3 V = 56π 5 u 3 = u 3

10 Matemática Básica Tema 4 ( puntos) Un tanque tiene la forma e la mita inferior e una esfera e 4 metros e iámetro y se encuentra lleno e agua. Encuentre el trabajo realizao para bombear el agua hasta tres metros por encima e la parte superior el tanque. No. Explicación Operación b W = F(x)x a 1. El trabajo realizao por la bomba está aa por la integral e trabajo. La grafica e la sección transversal el tanque es un semicírculo e raio. El tanque está compuesto por círculos. f(x) = 4 x. Para calcular la fuerza se necesita conocer la masa y la aceleración el agua. El iferencial e masa se calcula usano la ensia el agua y la aceleración es igual a la gravea. ρ = m V = 1 [kg m 3] m = 1 V V = A c y = πr y 3. Para calcular el área e los círculos que componen el tanque se ebe conocer x que es el raio e los círculos. y = 4 x x = 4 y A c = π ( 4 y ) = π(4 y ) 4. Se calcula el iferencial e fuerza necesaria para mover el agua fuera el tanque. F = a m = 1π(4 y )(9.8)y

11 Matemática Básica 5. La istancia que se mueve el agua es la iferencia entre 3m sobre la superficie y el lugar one está el agua y. = 3 y 6. Se sustituye la masa y la istancia encontraa en la ecuación e trabajo. W = (3 y) (98 π(4 y )) y 7. Se integran ambos laos e la expresión, lo límites e la integral el lao erecho son e - a, porque ahí es one existe el agua. W W = 98π [(3 y)(4 y )]y 8. Se expane el término a integrar y se separa la integral. (1 3y 4y + y 3 )y = 1y 3y + y 3 y y 4y y 9. Se resuelve caa integral y se suman los resultaos. W = 98π( ) = 196π W = 196π J = 615,75.16 J

12 Matemática Básica Tema 5 ( puntos) Dos barcos parten e un mismo punto y al mismo tiempo, el primero se irige al norte a km/h y el seguno se irige al este a 3 km/h. Cómo varia la istancia entre ellos tres horas espués e haber partio? No. Explicación Operación 1. Se ibuja el problema, one x(t) es la istancia que recorre el barco que va al este; y(t) la istancia el que va al norte y (t) es la istancia entre los barcos.. 3. Se sabe que la istancia es el proucto e la velocia por el tiempo, por lo que se efinen x(t) y y(t). Como un braco va hacia el Este y el otro hacia el Norte se sabe que hay 9 entre las trayectorias por lo que se forma un triángulo rectángulo. Se puee calcular (t) utilizano el teorema e Pitágoras. x(t) = 3t y(t) = t (t) = x (t) + y (t) = (3t) + (t) 4. La razón e cambio instantánea es la primera erivaa e la velocia, por lo que se ebe calcular x (t). 5. Se valúa la erivaa en t=3. y (t) = 18t + 8t 9t + 4t (t) = = 36.6 km (9)(3) + (4)(3) (3) = 36.6km

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