En consecuencia: Z=f(x,y)=f[ x(t) ; y(t) ]= F(t) (1) que resulta en definitiva una función de la variable t.la llamaremos Función Compuesta de t.

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1 TEMA 4 (Últma mocacó ) CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II FUNCIONES COMPUESTAS DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE. Coseramos e prmer térmo a có e os arables Z=(;) spogamos, aemás qe é o so arables epeetes, so coes e a úca arable t, es ecr: =(t) ; =(t) bao estas crcstacas para caa alor e t correspoe pto [ (t) ; (t) ]. E cosececa: Z=(,)=[ (t) ; (t) ]= F(t) () qe reslta e eta a có e la arable t.la llamaremos Fcó Compesta e t. =(t) =(t) c z=(,) t z=f(t) z Las relacoes =(t) e =(t) pee coserarse e el plao, como las ecacoes paramétrcas e a cra C. Los alores e Z e la epresó () so los alores qe toma la có e os arables Z=(,) e los ptos e la cra C. Los resltaos qe se obtee e el aálss matemátco co este tpo e coes se pee stetzar meate el sgete teorema: Teorema : S (,) es erecable e (,) como có e os arables las coes =(t) é =(t) so erables respecto e la arable t, etoces la có z=f(t) es erable respecto e t seo s eraa: z t (, ) (, ) t t Demostracó:.Dao qe la có Z=(,) es erecable poemos escrbr: z z z

2 Doe, tee a cero cao, hace lo propo. Deo estas epresoes por t, reslta: z t z t z t t t epresó qe para t 0 tee límte e ambos membros a qe, por hpótess =(t) é =(t) so erables respecto e t, aemás, teeo e ceta qe, tee a cero cao ; tee a cero, qe, estos cremetos lo hace cao t tee a cero,reslta: Como z z z lm lm t 0 t to t t t t z z ; o epee e t z t z, tee a cero co t, reslta t z t Esto se pee aplcar al caso e a có =F(X,X,...X) e oe X=X(t)...X=X(t) lego: =F(X,X,...X)=F(t) Los resltaos eqaletes al teorema ateror se epoe e el sgete teorema: Teorema : S =F(X,X,...X) es erecable e (X,X,...X) como có e arables las coes X=X(t)...X=X(t) so erables respecto e t, etoces la có F(t) aa por F(t)==F[ X(t),...,X(t)] es erable respecto e t seo s eraa: t... t t t t Como la emostracó e este teorema se realza por meo e razoameto smlar al teorema ateror, se ea como eercco.

3 FUNCIONES COMPUESTAS DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES Coseremos ahora el caso e a có e os arables Z=(,) las qe a s ez epee e otras os arables =(,) e =(,) Etoces es : Z=[(,),(,)] = F(,) (3) Grácamete se pee represetar este caso,por las sgetes aplcacoes: =(,) =(,) z=(,) z=f(,) z Este caso se stetza meate el sgete Teorema 3 : S Z=(,) es erecable e (,) como có e os arables las coes =(,) ; =(,) so erables respecto e las arables epeetes (,), etoces la có F(,) aa por la epresó (3) es erable respecto e las arables,, seo ss eraas: z z z z z z Demostracó: Dao al argmeto cremeto, mateeo costate el alor e, etoces é recbrá los cremetos, respectamete cosecetemete se erá cremetao e qe como es erecable se pee escrbr: (, ) (, ) oe, tee acero cao cremetao e poemos escrbr qe:, tee a cero; e la msma maera 3

4 (, ) (, ) ' ' Deo estas epresoes por, respectamete,obteemos (, ) (, ) (, ) (, ) ' ' tomao límtes para 0 e caso 0 e el otro reslta: lm lm 0 0 * Iem para Haceo las msmas coseracoes realzaas al emostrar el Teorema e la epeeca e las eraas parcales respecto e los cremetos ; coserao qe,, ', ' tee a cero tamete co ; se obtee: (, ) (, ) (, ) como se qería emostrar. (, ) (, ) (, ) FUNCIONES COMPUESTAS DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES Falmete,coserao el caso geeral e a có e arables epeetes z=(,,...,) caa a e las cales es a s ez a có e m arables. =(,,...,m) =(,,...,m) 3=3(,,...,m)... =(,,...,m) Etoces reslta qe z es có e m arables,,...,m o sea: z=(,,...,) = F(,,...,m) 4

5 los resltaos eqaletes a los teoremas estaos,e este caso, ee aos por el sgete Teorema 4 : " S z=(,,...,) es erecable e las como có e arables aemás,las coes =(,,...,m) so a s ez erables respecto e las arables, etoces la có z=f(,,...,m) es erable respecto e las arables s eraa es gal a: z z z z z Daa la smlt e la emostracó co el teorema ateror, o lo esarrollaremos.e eta: a có erecable e coes erables es erable. DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES COMPUESTAS Hasta ahora hemos estao la erabla e las coes compestas.a cotacó estaremos la erecabla e coes compestas.por comoa smplca estaremos el caso e a có e arables qe a s ez epee e os arables,aqe los resltaos obteos tega alez geeral. Ecemos el sgete: Teorema 5: " S =(,,...,) es erecable e las (=,,...) como có e arables las coes =(,) so a s ez erecables e ; como coes e os arables, etoces la có =F(,) aa por =[(,),(,),...,(,)] es erecable e, " Demostracó: Por hpótess es erecable; poemos escrbr etoces s cremeto total e la sgete maera:...() 5

6 6 oe los tee a cero cao los cremetos tee a cero. També por hpótess, las coes = (,) so erecables respecto e,; por lo tato ss cremetos totales se pee epresar como:...() oe ; tee a cero cao ; tee a cero. Reemplazao () e (), obteemos esarrollao,actoreao oreao,reslta: Llamao ; al prmero sego corchete,respectamete,se e qe, cao, tee a cero tamete co,,, també lo hace, poemos escrbr:...(3) epresó qe agrpaola e otro moo pee ser escrta:...(4) Tato e (3) como e (4), tee a cero cao, hace lo propo,como hemos sto. La epresó (3) os ca qe es erecable como có e e, pesto qe go e los paretess epee e ó ; por lo cúal qea emostrao el teorema.

7 7 De la epresó (4) ecmos : qe epresa el " Prcpo e la arabla e la orma erecal e prmer ore " o " Prcpo e Cach ". Por otra parte, teeo e ceta las órmlas e eracó e coes compestas, emos qe: ; qe reemplazaas e la (3), esprecao los tesmos e ore speror ; ale ecr, tomao el tesmo prcpal, reslta: E térmos geerales poemos epresar qe " Ua có erecable e coes erecables, es erecable " DERIVADAS SUCESIVAS DE FUNCIONES COMPUESTAS Coseremos el caso a esarrollao e a có =(,,...,), oe =(,) para =,,..., ; ale ecr, a có e arables, las qe a s ez epee e os arables,. Reslta etoces qe es có compesta e, : =(,,...,) = [ (,); (,);...;(,) ]= F(,) Hemos sto como se calcla las eraas prmeras: ; (5) qeremos calclar ahora las eraas e sego ore: ; ;

8 8 para ello, e el caso e ebemos erar la prmera e la (5) co respecto e. pesto qe la eraa e a sma es gal a la sma e las eraas.para prosegr ebemos teer e ceta qe lo ecerrao etre parétess es procto e coes, qe eramos como tal: Para poer realzar la ebemos eteer qe se trata e la eraa e la ea có (compesta) co respecto e ; es ecr ebemos oler a aplcar las órmlas e eracó e coes compestas.co esto reslta : lo qe reemplazao e la epresó ateror os a: aálogamete poemos emostrar qe : Calclemos ahora :

9 9 coserao qe: reslta e eta : e la msma maera se calcla las eraas e ore speror. DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR DE FUNCIONES COMPUESTAS Daa la có = (X,X,...,X), có erecable e las arables seo las arables X coes erecables e las arables, teremos : = (X,X,...,X) X=X(,) ) (. ) ( X=X(,)... X=X(,) La erecal sega se obtee erecao la sega epresó (). Lego : () () a qe la erecal e a smatora es gal a la smatora e las erecales, aplcao la erecal e procto se obtee esta epresó.

10 0 Como es la erecal e a ea có e arables se terá : reemplazao la epresó e () teremos : Como las X so coes e, s erecal será reemplazao las erecales e X, X por esta últma epresó se obtee la e có e,.

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