GUÍA PRÁCTICA PARA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS

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1 MATEMÁTICAS Col L Presetció Ecucioes Sistems Bchillerto GUÍA PRÁCTICA PARA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS. Ecucioes Poliómics Teorem Fudmetl del Álgebr: Todo poliomio de grdo posee ríces (solucioes) complejs.. Ecucioes Lieles El método seguir pr resolver u ecució liel ps por plicr ls propieddes lgebrics coocids e u ecució de primer grdo dd, hst llegr l form + b= 0 0, b, u vez coseguid dich form se plic ls propieddes: )Sim= k m+ k= + k )Sim= k m k= k b De form que + b= 0 + b b= 0 b = b = ( b) =.. Ecucioes Cudrátics Dd u ecució de segudo grdo e form geerl: sber que dich ecució tedrá: prtir de los siguietes métodos, segú el cso: Método : ls dos solucioes de l ecució viee dds por: Método : Si l ecució es del tipo + b+ c= 0 0, b,c debemos solucioes reles si b 4 c > 0 solució rel doble si b 4 c = 0 l form de hllrls será Nigu solució rel si b 4 c< 0 ± = b b 4 c + b= 0 se procede de l siguiete mer: = 0 + = ( + ) = + b= 0 = b 0 b 0 b Método : Si l ecució es del tipo c + = = = = ± c 0 c + c= 0 se procede de l siguiete mer: Método 4: Ruffii, dividimos probdo por los divisores eteros del térmio idepediete. El que quier coocer el método de form geerl o lgoritmo le sugiero que piche, ls siguietes direccioes web: Ecucioes Cúbics c b c d 0 0, b,c,d =. Desgrcidmete, o eiste Se trt de ecucioes del tipo u método t directo como pr ls cudrátics, uque sí eiste epresioes fórmuls que os d ls solucioes complejs de lgus ecucioes cúbics cuártics, pero osotros o ls vmos estudir. Vemos métodos propidos pr ls que os vmos ecotrr: Método : Co térmio idepediete, + b + c+ d = 0,d 0, b,c, Primero itetmos reducirl scdo lgú fctor comú etero. Segudo plicmos Ruffii, probdo por los divisores eteros del térmio idepediete. U vez reducid ecució de segudo grdo podemos proceder como e el prtdo terior. Ejemplo : = 0 Como vemos todos los térmios del poliomio so múltiplos de 6, etoces squemos fctor comú el 6, ( ) = + + =, hor plicmos Ruffii co los divisores eteros de 4, es decir, ±, ±, ± 4

2 MATEMÁTICAS Col L Presetció Ecucioes Sistems Bchillerto A prtir de quí podrímos hber resuelto u ecució cudrátic: + 4= 0 = 4 = 4 =± hbrímos teido ls tres solucioes =, =, = Método : Si termio idepediete, + b = 0 0, b + c= 0 0, c + b + c= 0 0, b,c Primero itetmos reducirl scdo lgú fctor comú etero. Segudo scmos fctor comú, siedo el míimo grdo que ecotremos e el poliomio. Tercero l hber reducido u ecució cudrátic procedemos como e dicho cso. Ejemplo Ejemplo Ejemplo = ( 5 ) = 0 = 0 = 0 = 0 5 = 0 = = 0 ( 7 + ) = 0 = 0 = =± = 0 =, = = 0 ( ) = 0 = 5+ 4= 0 = 4.4. Ecucioes de Orde Superior Método : Co térmio idepediete, primero itetmos reducirl scdo lgú fctor comú etero. Segudo plicmos Ruffii, probdo por los divisores eteros del térmio idepediete. U vez reducid ecució de tercer grdo podemos proceder como e el prtdo terior. Método : Si termio idepediete, primero itetmos reducirl scdo lgú fctor comú etero. Segudo scmos fctor comú, siedo el míimo grdo que ecotremos e el poliomio. Tercero l hber reducido simplificdo os qued seguro u ecució de ls resuelts e los csos teriores. Método : Bicudrds, se trt de ecucioes del tipo + b + c= 0, dichs ecucioes se resuelve siguiedo estos psos: ) Pr l ecució + b + c= 0 relizo el cmbio de vrible = t me qued t + bt+ c = 0 t = t ) Resuelvo t + bt+ c = 0 me qued ls solucioes t = t t = t = t = t ) Deshgo el cmbio de vrible resolvemos : t t t = = = t Ejemplo

3 MATEMÁTICAS Col L Presetció Ecucioes Sistems Bchillerto =, primero reducimos los coeficietes dividiedo etre porque todos so pres luego scmos fctor comú plicmos Ruffii u vez después l fórmul pr l de º grdo:, ( 5 4 ) ( ) + 5 = = 0 hor de l cúbic pero teímos u solucioes de l ecució iicil so: =, = 0, = 0, =, = 5 Ejemplo = 0 se trt de u ecució bicudrd, etoces vmos utilizr el cmbio de vrible, t = 8 = t sí se os qued l ecució e t + 9t 6 = 0 t = 7 t = 8 = 8 = 8 = t 7 = = 7 = 7 = qued: hor deshcemos el cmbio Ejemplo 4 4= 0 se trt de u ecució bicudrd, etoces vmos utilizr el cmbio de vrible, = t t = sí se os qued l ecució e hor deshcemos el cmbio qued: t t 4= 0 t = 4 t = = = o eiste solució t = 4 = 4 = 4 = ±. Ecucioes Rdicles.. Rdicles co igul ídice El proceso seguir es siempre el mismo, si el ídice es : ) Itetmos islr e u mismo miembro de l ecució todos los rdicles. b) Elevmos mbos miembros de l ecució simplificmos. Si h desprecido los rdicles procedemos resolver l ecució, si o, repetimos el proceso desde el pso ). c) U vez resuelt l ecució fil sldrá solucioes de más debido ls veces que hemos ido elevdo l epoete decudo. Hemos de comprobr cuáts de ls solucioes files verific l ecució que os d. Ejemplo + = + = 5= 0 = 5 Así pues os qued: =, =, = = = doble etoces tods ls + = + = + ( ) ( ) = + ( ) ( ) ( )( ) 4= = = ( ) ( ) = = 0 5 No eiste solucioes reles = + Aplicmos ) Aplicmos b) desrrollmos Aplicmos de uevo ) Aplicmos b) Desrrollmos, llevmos todo u miembro l resolver o h solucioes reles pero si dos complejs. Esto quiere decir que o eiste solucioes reles, es decir, igú úmero rel que verifique l ecució iicil.

4 MATEMÁTICAS Col L Presetció Ecucioes Sistems Bchillerto.. Rdicles co distito ídice (rro debido su lboriosidd) Elevmos mbos miembros l míimo comú múltiplo de todos los ídices. Simplificmos si somos cpces sí sucesivmete hst llegr elimir todos los rdicles o coseguir el mismo ídice, pr cotiur el proceso. Ejemplo + = = 4 5 ( ) ( 4 5 ) = 6 6 ( ) ( 4 5) ( ) ( 4 5) + = + = = = = 8, =, = 5+ = 8, =. Ecucioes Epoeciles Se trt de u proceso sistemático ) Idetifico mi bse e l ecució epoecil. ) Aíslo usdo ls propieddes = m m = ( ) + m m ) Relizo el cmbio de vrible t = 4) Resuelvo l ecució e t 5) Deshgo el cmbio de vrible resuelvo e. Es útil l siguiete propiedd: Dd l ecució provechmos que h u ríz e cd miembro de l ecució elevmos l m.c.m. de los ídices Desrrollmos usdo idetiddes otbles simplificmos. Resolvemos por Ruffii usdo el 8 u vez teemos l de segudo grdo por l fórmul. Nos sle tres solucioes Al comprobr ls tres solucioes e l ecució que os d descrtmos u porque o l verific os quedmos co dos. = =. Ejemplo = = = t t t + + = 7 t + t+ t = 7 t+ t+ 4t = 7 t = Como t = = = = Idetifico bse l islo medite ls propieddes Relizo el cmbio de vrible Desrrollo resuelvo t = Deshgo el cmbio de vrible plico l propiedd de 5) pr resolver l Ejemplo = = ( ) ( ) ( ) ( ) = = = t t t t t 6t 7= 0 t = 9 = 9 t = t = = = { = No eiste posible Idetificmos l bse, ojo, porque quí prece que h dos bses distits o es sí. Bie, hemos de elegir etre 9 pero si os dmos cuet e relidd ( ) ( ) 9 = = etoces, u vez clrdo esto, procedemos islrl co ls propieddes de ). Relizmos el cmbio de vrible. Resolvemos e t. Deshcemos el cmbio resolvemos e. ** Observció: si e u ecució epoecil os sle l resolver e t u vlor egtivo es imposible scr el correspodiete vlor de

5 MATEMÁTICAS Col L Presetció Ecucioes Sistems Bchillerto 4. Ecucioes Logrítmics Aquí teemos otro proceso sistemático mucho más breve ) Trsformmos todo lo se úmeros sueltos e logritmos usdo l propiedd: = log ( ) log + log = log ) Aplicmos ls siguietes propieddes log log = log log = log log = log = ) Pr llegr u epresió del tipo 4) Resolvemos l ecució resultte comprobmos que ls solucioes se positivs. Ejemplo log = log log = log log log000= log 0 = log log log log = log 0 4 = = = 0 0 = = 0 No válid ( 0 ) = 0 6 = 0 = 0 Trsformmos los úmeros sueltos e logritmos. Aplicmos ls propieddes de los logritmos. Aplicmos l propiedd del pso ) Resolvemos descrtmos ls solucioes que hg lo de detro del logritmo 0 ó egtivo. log + = + log Ejemplo ( ) log( + ) = + log 5 5 log( + ) log = log + log 5 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( log( + ) + log8) = log 4 5 ( log( + ) 8) = log 8 log( 8 + 8) = log 8 log( 8 + 8) = log 8 ( ) 5 log = log ( 5) = 8 = 8( + )( 5) = = 0 =, = 7 = 7 Trsformmos los úmeros sueltos e logritmos. Aplicmos ls propieddes de los logritmos hst coseguir log A = log B Aplicmos l propiedd del pso ) Resolvemos descrtmos ls solucioes que hg lo de detro del logritmo 0 ó egtivo.

6 MATEMÁTICAS Col L Presetció Ecucioes Sistems Bchillerto 5. Ecucioes Trigoométrics Cosejos o psos seguir pr poder resolver culquier ecució trigoométric: ) Siempre itetremos dejr culquier ecució co SÓLO UNA ÚNICA RT. Pr ello utilizremos fudmetlmete ests fórmuls: b) U vez psds tods ls RT u úic RT, etoces hcemos el cmbio de vrible. Ahor os qued geerlmete u ecució poliómic e. c) Resolvemos l ecució e t. Y os qued ls solucioes: ϡ ϡ Por ejemplo, si hemos hecho el cmbio, después de resolver l ecució e t os qued,, 0º 6 50º º 00º 5 ó Tods ests solucioes so está compredids e el itervlo 0º, 60º 0,. Depederá del ejercicio si os pide l solució que está e el primer cudrte o e º-º cudrte o e el itervlo que se por ejemplo,. d) Coss teer e cuet: El sólo se puede plicr vlores, El sólo se puede plicr vlores, El se puede plicr todos vlores reles. e) Tmbié ecotrremos SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICOS que podmos resolver osotros. Ls técics de resolució pr sistems so ls de siempre pero lgo modificds: Despejmos e l ecució o trigoométric sustituimos e l trigoométric. A cotiució resolvemos usdo el método de siempre. Reducció si se ve mu clro. 6. Ecucioes Rcioles p( ) Se trt de ecucioes de l form = 0. Pues bie, hemos de recordr sber que los deomidores uc q( ) puede ser cero, por lo tto o qued más remedio que pr que u frcció se igul cero el umerdor h de p( ) ser ecesrimete cero, es decir, 0 p( ) 0 q( ) = =. Así pues pr resolver u ecució rciol ecesitmos resolver úicmete su umerdor iguldo cero. 7. Sistems de Ecucioes Epoeciles El proceso es igul de sistemático que pr ls ecucioes epoeciles. Veámoslo. ) Idetifico ls bses b e el sistem epoecil. ) Aíslo b usdo ls propieddes ) Relizo el cmbio de vrible t = s = b 4) Resuelvo el sistem de ecucioes e t s = m m = ( ) + m m

7 MATEMÁTICAS Col L Presetció Ecucioes Sistems Bchillerto 5) Deshgo los cmbios de vrible resuelvo l l. Es útil l siguiete propiedd: = =. Ejemplo 5 = 7 t = t s= 7 t = 4 t = = 4 = = 0 s= 5 5t+ s= 0 s= 5 s= 5 5 = 5 = 8. Sistems de Ecucioes Logrítmicos E este cso teemos dos posibiliddes de resolver el sistem, culquier de ls dos es igulmete válid: ) º) plicmos ls propieddes de los logritmos; º) plicmos el resultdo: log = log = ; º) Obteemos u sistem de ecucioes o liel.(aprtdo 9) b) º) plicmos ls propieddes de los logritmos hst islr el log log ; º) Hcemos los cmbios de vrible u = log ; v = log ; º) resolvemos sistem e u v ; 4º) Deshcemos los cmbios de vrible k resolvemos e usdo est propiedd: log = k = log log = Ejemplo log + log = 5 Form ) Form b) log log = log log log = log0 u = log u v = = log + log = 5 log + log = 5 v = log u + v = 5 5 log = log0 u = u = log log = = = = = 0 v v log log 0 = = = = ( 0 ) = 0 0 = 0 = 0 = = = = 9 = 0 = Sistems de Ecucioes NO Lieles Aquí sólo h u método, que es sustitució. L úic peg es cómo plicrlo. U cosejo que fcilit ls cuets es despejr l vrible que os se más fácil. E qué setido puede ser más fácil: despejr l vrible que v sol e u de ls ecucioes, despejr e l ecució más liel (l que meos productos teg), evitr despejr l vrible siempre que v l deomidor. Ejemplo + = (*) fijos que l ecució más fácil de ls dos es l segud, mucho más fácil de despejr. = 5 ' + = + = ( 5 ' ) + = ' 5 + = 0' 5 = = 4 = 5 ' = 5 ' = 5 ' = 5 ' = 5 ' = 5 ' =± =± =, = = ( 5 ' )( ± ) = =, = 0. Sistems de Ecucioes Lieles 0.. Métodos Geerles Trdiciolmete hemos veido resolviedo los sistems que ecotrábmos medite sustitució, igulció reducció. Éste último lo vmos ver más cocretmete e el método de Guss. Pero los dos primeros so básicmete el mismo so siempre válidos útiles. Ejemplo + + z = 6 z = 6 z = 6 z = + z = + ( 6 ) = = = = = + z = 4 ( 6 ) 4 4+ = 0 = = = + =

8 MATEMÁTICAS Col L Presetció Ecucioes Sistems Bchillerto 0.. Método de Guss Prtimos de u mtriz, e ell vmos relizr u serie de opercioes válids, hst coseguir u mtriz trigulr superior. U vez coseguid l mism despejmos de bjo rrib si esfuerzo. Cosideremos u sistem c c. c + + z = c + + z = c + + z = c socido él teemos l mtriz de coeficietes Llmremos opercioes válids quells opercioes que plicds sobre ls fils de l mtriz de coeficietes del sistem, geer u uevo sistem, llmdo equivlete, que tiee ls misms solucioes que el origil. Opercioes Válids: ) Cmbir u fil por otr, por ejemplo, l ª v l ª l ª v l ª. Este cmbio o fect l solució del sistem. b) Multiplicr u fil por u úmero rel culquier. c) L fil i-ésim l cmbio por u combició liel de ell mism otrs fils. Por ejemplo, l primer fil l cmbio por u combició liel de l primer l segud fils. Otr premis teer e cuet pr resolver por Guss es el orde pr hcer ceros es siempre el mismo. º el elemeto de l ªF ªC; º el elemeto de l ªF ªC; por último el elemeto ªF ªC. Es recomedble empezr Guss siempre co u e el elemeto, eso os fcilit ls cuets. Así que si o lo teemos podemos cmbir u fil por otr si os iteres que es u operció válid. Ejemplo + + z = z = 6 + z = ª + ( ) ª z= 9 + z = 4 4 ª ( ) ª ª ( ) ª 0 0 z + + = = = z =. Otrs Ecucioes Se trt por ejemplo de productos de tods ls teriores combicioes de ls teriores e ls que se fctible resolver, Vemos lguos ejemplos: Ejemplo e e = 0 e e ( ) = 0 Ejemplo ( ) log( ) 0 siempre = 0 = 0 =, 6 = 0 =± = 0 log ( + 4 ) = = = doble Cuáles so ls ríces que so válids. Comprobémoslo sustituédols e el logritmo. = es l úic solució fctible. Ejemplo log 0 log 0 e se = = = =±