10/04/2015. Ángel Serrano Sánchez de León

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1 0/04/05 Ángel Serrano Sánchez de León

2 0/04/05 Índice Distribuciones discretas de probabilidad Discreta uniforme Binomial De Poisson Distribuciones continuas de probabilidad Continua uniforme Normal o gaussiana Univariante Bivariante Multivariante Otras distribuciones de interés (ji cuadrado) t de Student F de Fisher Snedecor Relación entre distribuciones

3 0/04/05 Introducción En este tema vamos a estudiar algunas distribuciones de probabilidades importancias por su aplicación a numerosos problemas de Estadística. Pueden ser: Discretas: función de masa (o de probabilidad) y función de distribución (probabilidad acumulada). Continuas: función densidad de probabilidad y función de distribución (probabilidad acumulada). 3 3

4 0/04/05 Distribución discreta uniforme X toma los valores,,, n. Todos los posibles valores de la variable aleatoria son igualmente probables. La función de masa es: Ejemplo: f ( ) f ( n),,,, n n Dado de n = 6 caras f() = /6 Mazo de n = 40 cartas f() ) = /40 4 4

5 0/04/05 5 Distribución discreta uniforme Valor esperado de X: n n n i f i i i i i i i n n f X E ) ( ) ( Varianza de X: n i i n i n i i i i s n n f ) ( i i i 5

6 0/04/05 6 Distribución discreta uniforme En el caso de que X tome los valores consecutivos a, a +, a +,, b, con a b. El número total de valores es: n = b a + El número total de valores es: n = b a +. b a a b f, ) ( Valor esperado: a b a b V i ) ( b a X E Varianza: ) ( a b X V 6

7 0/04/05 Distribución discreta uniforme Función de masa para una variable que toma valores entre a y b (fuente: Wikipedia) 7 7

8 0/04/05 Distribución discreta uniforme Función de distribución para una variable que toma valores entre a y b (fuente: Wikipedia) 8 8

9 0/04/05 Distribución Binomial Proceso de Bernouilli: El eperimento consiste en n ensayos repetidos. El resultado de cada uno de los ensayos puede clasificarse en éito o fracaso (ecluyentes). La probabilidad de éito, que denotaremos por p, es constante en todos los ensayos. De los n ensayos, son éitos. La probabilidad de fracaso es q = p. De los n ensayos, n son fracasos. Los df diferentes ensayos son independientes. d Ejemplo: Obtener = 40 caras de n = 00 lanzamientos de un dado (con probabilidad bilid d p = 0,5). 9 9

10 0/04/05 Distribución Binomial La función de masa da la probabilidad de que el suceso ocurra eactamente veces en n intentos: f ( ) n p q n Cada éito tiene p probabilidades de ocurrir y tenemos éitos. Cada fracaso tiene q probabilidades de ocurrir y tenemos n fracasos. El coeficiente i binomial i aparece para tener en cuenta que el orden en el que ocurren los éitos en un total de n intentos es irrelevante. Una variable X que siga esta distribución Binomial se escribe como X ~ B(n,p). 0 0

11 0/04/05 Distribución Binomial Función de masa para distintos valores de p y n (fuente: Wikipedia)

12 0/04/05 Distribución Binomial Función de distribución para distintos valores de p y n (fuente: Wikipedia)

13 0/04/05 3 Distribución Binomial Supongamos n = (un solo intento), tal que si hay éito = y si hay fracaso = 0: 0,, ) ( q p q p q p f Valor esperado: 0 ) ( ) ( f X E Varianza: 0 0 ) ( ) ( i i i p p q f X E pq p p p p p p q f i i i ) ( 0 ) ( 0 3

14 0/04/05 Distribución Binomial En el caso general para n >. Valor esperado: E ( X ) np Varianza: V ( X ) Asimetría: Simétrica si p = q. Asimétrica a la derecha si p < q. npq 4 4

15 0/04/05 Distribución de Poisson Proceso de Poisson (ley de los eventos raros): El número de resultados que ocurren en un intervalo es independiente del número que ocurre en otro intervalo disjunto. Es decir, los sucesos aparecen aleatoriamente de forma independiente (el proceso no tiene memoria). La probabilidad bilid d de que un resultado sencillo ocurra en un intervalo pequeño es proporcional a la longitud de dicho intervalo. Además dicha probabilidad permanece constante, de forma que se puede definir df un número medio de resultados por unidad de intervalo (el proceso es estable). La probabilidad de que ocurra más de un resultado en un intervalo suficientemente pequeño es despreciable. 5 5

16 0/04/05 Distribución de Poisson Sea (lambda) el número medio de sucesos por intervalo. La función de masas da la probabilidad de que se den sucesos en un proceso de Poisson con valor promedio : f e ( ) f (, ), 0,,,...! Una variable X que siga esta distribución de Poisson se escribe X ~ P(). 6 6

17 0/04/05 Distribución de Poisson Función de masa para distintos valores de (fuente: Wikipedia) 7 7

18 0/04/05 Distribución de Poisson Función de distribución para distintos valores de (fuente: Wikipedia) 8 8

19 0/04/05 Distribución de Poisson Valor esperado: E(X ) Varianza: V (X ) Aplicación: Teoría de la señal: el valor medio de la señal () tiene un error (desviación típica) igual a su raíz cuadrada. 9 9

20 0/04/05 Distribución continua uniforme Ahora la variable aleatoria continua X toma todos los valores posibles entre a y b, con a b. La función densidad d de probabilidad bilid d es: f ( ) b a, a b Ejemplo: Función rand()del lenguaje C, donde a = 0 y b =. 0 0

21 0/04/05 Distribución continua uniforme Función de densidad para una variable que toma valores entre a y b (fuente: Wikipedia)

22 0/04/05 Distribución continua uniforme Función de distribución para una variable que toma valores entre a y b (fuente: Wikipedia)

23 0/04/05 Distribución continua uniforme Valor esperado: E (X X ) a b Varianza: V (X X ) ( b a) 3 3

24 0/04/05 Distribución Normal o gaussiana La más importante en Estadística, pues describe muchos fenómenos aleatorios de la Naturaleza: distribución Normal Univariante. La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X con parámetros ( < ) y (>0) viene dada d por: f ( ) ( ) N (, ) ep, Se epresa también como: X ~ N(,) 4 4

25 0/04/05 Distribución Normal o gaussiana Función de densidad para distintos valores de y (fuente: Wikipedia) 5 5

26 0/04/05 Distribución Normal o gaussiana Función de distribución para distintos valores de y (fuente: Wikipedia) 6 6

27 0/04/05 Distribución Normal o gaussiana Valor esperado: E(X ) Varianza: V ( X ) 7 7

28 0/04/05 8 Distribución Normal o gaussiana 0,9545 ) ( 0,687 ) ( X P X P 0,9973 ) 3 3 ( X P 8

29 0/04/05 Distribución Normal tipificada Hagamos el cambio de variable: Z X La distribución de Z se llama tipificada o normal estándar, porque tiene media 0 y desviación típica. f ( z) N(0,) ep z, z 9 9

30 0/04/05 Distribución Normal tipificada 30 30

31 0/04/05 Distribución Normal tipificada Área Función de distribución para la distribución normal tipificada El área bajo la curva medida en la cola izquierda hasta z= 3,53 vale 0,

32 0/04/05 Distribución Normal Bivariante Tenemos ahora dos variables (X,Y) que siguen una distribución Normal Bivariante (gaussiana D). f (, y) ( ) ( )( y y ) ( y ) y ep ( ) y y y Propiedades: E(X) = E(Y) = E(Y) y Var(X) = Var(Y) = y Cov(X,Y) = y, donded = correlación lineal l entre X e Y 3 3

33 0/04/05 Distribución Normal Bivariante = 0 y = 0 = y = =

34 0/04/05 Distribución Normal Bivariante = 0 y = 0 = y = = 0,

35 0/04/05 35 Distribución Normal Multivariante Para n variables que siguen conjuntamente una distribución normal: D d f T n n n ep ),..., ( Donde: es el vector columna con las n variables. es el vector columna con las n medias. es la matriz de covarianza. es la operación determinante de una matriz. T es la operación matriz transpuesta n n n n T es la operación matriz transpuesta. 35 n n n

36 0/04/05 Otras distribuciones de interés Para el tema de Inferencia Estadística, son necesarias las siguientes distribuciones de probabilidad: (ji cuadrado) d t de Student F de Fisher Snedecor 36 36

37 0/04/05 Distribución (ji cuadrado) Sean k variables aleatorias independientes, Z, Z,, Z k, cada una de las cuales sigue una distribución N(0,). Definimos una nueva variable aleatoria llamada Y como la suma de los cuadrados: d Y k i Z i La variable Y sigue una distribución de probabilidad ji cuadrado (en libros mal traducidos del inglés llamada chi cuadrado). Debida a Friedriech Helmert y Karl Pearson. Se dice que tiene k grados de libertad, siendo k > 0 un número entero que corresponde a cuántas variables independientes di se han considerado. d 37 37

38 0/04/05 Distribución (ji cuadrado) Distribución continua, definida para 0, que toma valores y 0 y solo definida para k > 0 y entero. Función de densidad: f k k e k ( ) k 0 Donde (z) es una función especial en Matemáticas, llamada Función Gamma, generalización del factorial para los números complejos. ( n ) ( n )!, si n N, n 0 ( z) 0 t z e t dt, si z C si resto 0 y no es un entero negativo, ( z ) z( z) 38 38

39 0/04/05 Distribución (ji cuadrado) Función de densidad para la distribución k (fuente: Wikipedia) 39 39

40 0/04/05 Distribución (ji cuadrado) Función de distribución para la distribución k (fuente: Wikipedia) 40 40

41 0/04/05 Distribución (ji cuadrado) Propiedades de una variable Y ~ k: E(Y) = k Var(Y) =k Asimetría = 8 k 0 (cola hacia la derecha). En los libros suele venir tabulado el valor de por encima del cual el área bajo la función de densidad toma un valor concreto (función cuartil medida en la cola derecha). Y ~ k, P ( y, k ) Q (, k) k ) 4 4

42 0/04/05 Distribución (ji cuadrado) Función cuartil medida en la cola derecha para la distribución según el área y los grados de libertad k,k k Para k = 8 grados de libertad, el área bajo la cola derecha de la curva a partir de = 5,5 vale = 0,05 (es decir, el 5% del área total bajo la curva) 4 4

43 0/04/05 Distribución t de Student Debida a William Gosset, que firmaba sus trabajos anónimamente como Student. Sea Z una variable normal estándar, Z ~ N(0,). Sea Y una variable que sigue una distribución ji cuadrado con k grados de libertad, Y ~ k. Z e Y son independientes di entre sí. Definimos la variable aleatoria T: Z T Y k T sigue una distribución t de Student con k grados de libertad, k >

44 0/04/05 Distribución t de Student Distribución continua. Función de densidad: k f ( t) k k t k La distribución t de Student es más baja que la Normal en torno al valor medio cero. Si X ~ t k : E(X) = 0 Var(X) = k/(k ), para k > Asimetría = 0 k, t 44 44

45 0/04/05 Distribución t de Student Función de densidad para la distribución t para varios grados de libertad k (fuente: Wikipedia) 45 45

46 0/04/05 Distribución t de Student Función de distribución para la distribución t para varios grados de libertad k (fuente: Wikipedia) 46 46

47 0/04/05 Distribución t de Student Función cuartil medida en la cola derecha para la distribución t de Student según el área y los grados de libertad k t,k k Para k = 5 grados de libertad, el área bajo la cola derecha de la curva a partir de t = 3,365 vale = 0,0 (es decir, el % del área total bajo la curva) 47 47

48 0/04/05 Distribución F Debida a R.A. Fisher y G.W. Snedecor. Sean dos variables aleatorias X e Y, independientes entre sí, donde d X ~ k e Y ~ k. Definimos la variable aleatoria F como: X k F Y k Et Esta variable ibl sigue una distribución ib ió F de Fisher Snedecor con k y k grados de libertad (ambos enteros positivos)

49 0/04/05 Distribución F Distribución continua. k k k k k k k Función de densidad: f ( ), 0 k k k k k k Valor esperado: k E( X ), para k k k k ( k ( k k 4)( k ) ) V Varianza: ( X ), para k 4 Si X ~ F, entonces Y = k,k X ~ F k,k Las abcisas que abarcan igual área bajo la curva en cada cola, al intercambiar los grados de libertad, son inversas. F, k, k F, k, k 49 49

50 0/04/05 Distribución F Función de densidad para la distribución F para varios grados de libertad d y d (fuente: Wikipedia) 50 50

51 0/04/05 Distribución F Función de distribución para la distribución F para varios grados de libertad d y d (fuente: Wikipedia) 5 5

52 0/04/05 Distribución F f, k, k Función cuartil medida en la cola derecha para la distribución F según el área (en este caso 0,5) y los grados de libertad k (numerador) y k (denominador) k k Para k = 0 y k = 7 grados de libertad, el área bajo la cola derecha de la curva a partir de =,69 vale = 0,5 (es decir, el 5% del área total bajo la curva) 5 5

53 0/04/05 Relación entre distribuciones Distribución Aproimación Condición Condición práctica Binomial n np > 5, si p 0,5 Normal B( n, p ) ~ N np, npq nq > 5, si p > 0,5 Binomial Poisson B( n, p) ~ P( np) n, p 0, q (suceso raro) n 50 y np < 5 Poisson Normal > 5 P( ) ~ N, Normal k k 30 χ ~ N( k, k ) k t de Student Normal t k ~ N(0,) k k

54 0/04/05 Corrección de continuidad Las distribuciones Binomial y de Poisson son para variables discretas. La distribución ib ió Normal es para variables ibl continuas. Precaución a la hora de aplicar la aproimación Normal. Variable original Aproimación X X Discreta Binomial o de Poisson Continua Normal 54 54

55 0/04/05 Corrección de continuidad X X P ( X ) P ( 0,5 X ' 0,5) 55 55

56 0/04/05 Corrección de continuidad X X P ( X ) P ( X ' 0,5) 56 56

57 0/04/05 Corrección de continuidad X X P ( X ) P ( X ' 0,5) 57 57

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