TEMA 10.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD

Transcripción

1 TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES TEMA.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD Una sucesión de números reales es un conjunto de números (a, a, a 3,..., e n,...), donde cada a i recibe el nombre de término de la sucesión. Se acostumbra a representar la sucesión por el conjunto ordenado de sus términos, o bien mediante un término general ( a n ). Ejemplo:, 4, 6, 8,,,... a n = n, /, /3, /4, /5,... a n = / n, 3, 8, 5, 4, a n =, /, /3, 3/4, 4/5,... a n = Calcula los términos de las sucesiones: a n n ; b n n n ; c n n n Una sucesión es creciente si cada término es menor o igual que el siguiente, es decir a n < a n+ Ejemplo: a n = n, 4,,6, 8,,... Una sucesión es decreciente si cada término es mayor o igual que el siguiente, es decir a n > a n+ Ejemplo: a n,,,,,... n APROXIMACIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE Vamos a acercarnos al concepto de límite hallando algunos términos de distintas sucesiones con la ayuda de la calculadora: Sucesión de término general a n 4n a a a 3. a... a...,5,5,83.,5,5 Los términos se acercan al número. El límite de la sucesión es cero. Sucesión de término general b n = n a a a 3. a... a

2 TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I Los términos se hacen cada vez mayores. La sucesión no tiene límite real, diremos que el límite es + Sucesión de término general c n n n a a a 3. a... a...,5,8,9.,99,999 Los términos se acercan al número. El límite de la sucesión es. De un modo general, la sucesión (a n ) tiene por límite el número a cuando, a medida que n toma valores cada vez mayores, los términos de la sucesión se aproiman más al número a. Una de las sucesiones mas importantes dentro de las matemáticas es la sucesión cuyo término general es : a a n n. Si utilizamos la calculadora, obtenemos: n ; a,5 ; a,3737 ; a, a 5,4883 ; a,7484 ; a, ;... Esta sucesión tiene límite y es el número irracional e =, LÍMITES DE FUNCIONES. IDEA INTUITIVA Sea la función f()=. Si los valores de se acercan a, a qué valor se aproiman los valores correspondientes de f()? Realizamos las siguientes tablas: -,9,99, Valores de f() 3,6 3,96 3, ,,,... Valores de f() 9 4,4 4,4 4,4... Es decir, cuando nos acercamos a, tanto por la izquierda como por la derecha, la función se acerca a 4. Entonces escribiremos: 4

3 TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I Sea la función f()= E() (parte entera de ). Si los valores de se acercan a, a qué valor se aproiman los valores correspondientes de f()? Realizamos las siguientes tablas: -,9,99, Valores de f() ,,,... Valores de f() 3... Observando las tablas podemos deducir que los valores de f() no se aproiman a ningún valor fijo, aunque por la izquierda de se aproiman a y por la derecha de se aproiman a. En este caso diremos que la función no tiene límite en =. Ahora bien, sí podemos considerar los límites laterales: Límite por la izquierda de : E( ) Límite por la derecha de : E( ) Sea la función f ( ). Si los valores de se acercan a -, a qué valor se aproiman los valores correspondientes de f()?. y si se acercan a +? Realizamos las siguientes tablas: Valores de f(),9,99, Por tanto +... Valores de f(),,,... ( algunos autores ponen -, es decir se acerca a pero siempre por debajo de ) 3

4 TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I ( algunos autores ponen +, es decir se acerca a pero siempre por encima de ) Observar que : De un modo general: Una función f() tiene por límite el número L en = u cuando a medida que los valores de se acercan a u ( tanto por la izquierda como por la derecha), la función se acerca a L. f ( ) L u u puede ser : a ; + ; - L puede ser : un número real, + o - Si consideramos la posibilidad de límites laterales, u además puede ser a + y a - En la definición de límite sólo intervienen los valores que toma la función en la proimidad de u, pero no en = u, en el que la función puede tomar un valor cualquiera e incluso no estar definida..4 LÍMITES DETERMINADOS E INDETERMINADOS El límite de una función se puede calcular hallando los límites de cada uno de los términos que intervienen en la función y operando con ellos. Según que el resultado tenga sentido o no, eisten dos posibilidades: a) Para ello consideremos la función 3 Para = 3, tenemos 4, luego 3 Es decir, el límite está determinado. f ( ) 3 4 4

5 TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I b) Para =, tenemos? indeterminado.. El cociente no tiene sentido. El límite está Límite indeterminado no significa que no eista, sino que no se puede calcular directamente hallando los límites de cada uno de los términos. A continuación se indican los resultados que no tienen sentido en las operaciones aritméticas: Racionales Eponenciales º º 3º 4º 5º 6º 7º 8º k En estos casos el límite se calcula transformando la epresión mediante métodos determinados. No obstante en la mayoría de los casos, los límites son determinados..5 LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES k a) Indeterminación ( k ) Consideremos se deben calcular los límites laterales. Vemos que no es una operación válida en R. En este caso Puesto que son distintos, decimos que la función NO tiene límite en =. Si fueran iguales a + o a -, ese sería el límite. y b) Indeterminación Consideremos válida en R. 3 - f( ) -. El cálculo directo del límite en = no es una operación 5

6 TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I Esta función se transforma en otra equivalente factorizando numerador y denominador. 3 ( )( ) ( ) ( ) 3 Es decir la indeterminación de funciones racionales desaparece factorizando el numerador y el denominador y simplificando. c) Indeterminación 4 f ( ) Consideremos.El cálculo directo del límite en = + nos da que no es una operación válida en R. Esta función se transforma en otra equivalente dividiendo numerador y denominador por Es decir la indeterminación de funciones racionales desaparece dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia del denominador. d) Indeterminación Consideremos, que no es una operación válida en R..El cálculo directo del límite en = + nos da Esta función se transforma en otra equivalente sin más que operar f ( ) - 3 Es decir la indeterminación de funciones racionales desaparece operando. 6

7 TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I.6 LÍMITES DE FUNCIONES IRRACIONALES e) Indeterminación Consideremos válida en R. f ( ). El cálculo directo del límite en = no es una operación Esta función se transforma en otra equivalente multiplicando y dividiendo por la epresión conjugada del denominador ( ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) Es decir la indeterminación de funciones irracionales desaparece multiplicando y dividiendo la función por la epresión radical conjugada. f) Indeterminación Consideremos f ( ).El cálculo directo del límite en = + nos da que no es una operación válida en R. Esta función se transforma en otra equivalente dividiendo numerador y denominador por. Es decir la indeterminación de funciones racionales desaparece dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia del denominador. 7

8 TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I g) Indeterminación Consideremos f ( ).El cálculo directo del límite en = + nos da que no es una operación válida en R. Esta función se transforma en otra equivalente sin más que multiplicar y dividir la función por la epresión radical conjugada. Es decir la indeterminación de funciones irracionales desaparece multiplicando y dividiendo la función por la epresión radical conjugada. h) Indeterminación Esta indeterminación se resuelve transformándola en una del tipo i) Indeterminación Esta indeterminación se resuelve aplicando la propiedad siguiente: f() = a g() f() = e g() = a a g() f()- a ó del tipo. Ejemplo: = e e e () - ( ) = e e e e - 8

9 TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I.7.- DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN La idea intuitiva de continuidad de una función implica una variación suave de la función, sin saltos bruscos que rompan la gráfica de la función, (De una manera sencilla, una función es continua en un intervalo [a,b] si se puede dibujar desde a hasta b sin levantar el lápiz del papel). Una función es continua es = a cuando la TVA se aproima a al aproimarse a cero el incremento de la variable. h f ( a h) f ( a) Ahora bien la epresión anterior puede escribirse como: h f ( a h) f ( a) h f ( a h) f ( a) a f ( ) f ( a) Por tanto: Una función es continua en el punto = a si se verifica: Eiste el límite de f() en = a Eiste f(a), es decir a pertenece al dominio de f() Los valores anteriores coinciden: f ( ) es continua en a a f ( ) f ( a) 9

10 TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I Si la función no es continua en un punto, es discontinua. Del mismo modo que definimos el límite lateral, podemos definir continuidad lateral: f ( ) es continua en a a f ( ) f ( a) f ( ) es continua en a a f ( ) f ( a).8.- DISCONTINUIDADES Una función es discontinua en un punto cuando no eiste el límite en él o, eistiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo. Se llama discontinuidad de salto o de ª especie en un punto cuando eisten los límites laterales en él y son distintos, o al menos uno de ellos es infinito. La diferencia entre los límites laterales se llama salto de la función. ( puede ser salto finito o infinito) Ejemplo: si f ( ) si La función es continua en todos los puntos menos en =, donde los límites laterales son distintos. f ( ) ; f ( ) 3

11 TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I Se llama discontinuidad de ª especie en un punto cuando no eiste alguno, o ninguno, de los límites laterales de la función en ese punto Se llama discontinuidad evitable en un punto cuando eiste límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo o no está definida. El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo. Ejemplo: si f ( ) 3 si si La función es continua en todos los puntos menos en =, donde el límite es distinto del valor de f(). f ( ) 3 f () De una forma resumida: Una función es discontinua en = a si se verifica una de las siguientes condiciones: a) Si f() f() ª ESPECIE a a b) Si no eiste f() o / y f() ª ESPECIE a a c) Si f() f(a) EVITABLE a

12 TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I.9- ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Una recta r es una asíntota de una función f() si la distancia de un punto P(,y) de su gráfica a la recta r tiende a cuando tiende a un determinado valor o a ±. Eiste tres tipos de asíntotas : VERTICALES, HORIZONTALES Y OBLICUAS Las asíntotas verticales (AV) son rectas verticales de la forma = k ( en este caso la función no puede cortarlas) Se localizan en los valores de a cuyo alrededor la función tiende a + o -. Una función puede tener infinitas asíntotas verticales y en el caso de las funciones racionales las asíntotas verticales se hallan en los valores de que anulan el denominador, pero no el numerador. Ejemplo: Calcular las asíntotas verticales de f()= Solución: = ; = Calcular las asíntotas verticales de f () = Ln ( +5 ) Solución: = -5 Las asíntotas horizontales (AH) son rectas horizontales de la forma y = k ( en este caso la función si puede cortarlas, incluso en varios puntos). Se localizan estudiando el comportamiento de f() en + o - ( es decir estudiamos lo que ocurre para valores muy grandes o muy pequeños de ). Si este valor es se aproima a un valor finito k tenemos la asíntota horizontal y = k. Una función tiene como máimo dos asíntotas horizontales correspondientes al comportamiento de f() en + y -. Aunque la gráfica puede cortar a la AH, normalmente, la gráfica permanece por encima o por debajo de la AH. Es conveniente estudiar si la función se aproima por encima o por debajo a la AH. Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de 3 f() = + Solución: y = 3 Las asíntotas oblicuas (AO) son rectas oblicuas de la forma y = m + n ( en este caso la función también puede cortarlas). Una función sólo puede tener dos como máimo. Se localizan estudiando el comportamiento de f() en + o - ( es decir estudiamos lo que ocurre para valores muy grandes o muy pequeños de ). Si este valor se aproima a un valor de la forma m+n tenemos una AO. f() Entonces: m n f() m Una función racional tiene una AO si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. Para calcular su ecuación dividiremos el numerador entre el denominador. Una función puede tener como máimo dos AH o dos AO. Si tiene AO no puede tener AH en un mismo lado ( + y - ) y viceversa. Sin embargo puede tener infinitas AV. Ejemplo: Calcular las asíntotas oblicuas de f() = - + Solución: y =