Utilizar sumatorias para aproximar el área bajo una curva

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Mario Giménez Reyes
hace 5 años
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Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva Leccón 5: Apromacón del área bajo una curva Objetvo: Utlzar sumatoras para apromar el área bajo una curva Referencas: Stewart:

1 Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva Leccón 5: Apromacón del área bajo una curva Objetvo: Utlzar sumatoras para apromar el área bajo una curva Referencas: Stewart: Seccón 5. Vdeos L. Corona, Cálculo Integral 0: Área bajo una curva, url: 5 de enero de 0. Tareas Plus, Área bajo una curva parte, url: de juno de 0. Tareas Plus, Área bajo una curva parte, url: de juno de 0. Introduccón: Calcular el área de trángulos, cuadrados y dscos resulta una tarea senclla porque contamos con ecuacones smples que nos permten hacerlo. Pero qué ocurre cuando deseamos calcular el área bajo una curva como se muestra en la sguente fgura? Fgura En esta leccón estudaremos algunas técncas para determnar el área bajo la curva en casos como el de la fgura anteror. - - José Navarro 0

Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva Apromacón del área bajo la curva utlzando rectángulos Una de las formas de apromar el área bajo la curva es utlzando

El área de un rectángulo está dada por la ecuacón A y en donde es el ancho de la base y y es la altura.

2 Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva Apromacón del área bajo la curva utlzando rectángulos Una de las formas de apromar el área bajo la curva es utlzando rectángulos como se muestra en la fgura. Fgura La suma de las áreas de todos los rectángulos aproma al área bajo la curva. El área de un rectángulo está dada por la ecuacón A y en donde es el ancho de la base y y es la altura. En este caso el valor de es el msmo para los cuatro rectángulos () y la altura es f() en donde es el valor de la en etremo derecho del rectángulo. En esta caso el área apromada bajo la curva está dada por A f ()() f ()() f (4)() 4 f ( )() 4 f ( ) f (5)() En la fgura podemos aprecar que el área de algunos de los rectángulos sobreestma el área bajo la curva y otras la subestman. Una forma de mejorar esta apromacón es hacendo los rectángulos más estrechos como se presenta en las fguras y 4. Fgura - - José Navarro 0

Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva Fgura 4 Mentras más estrechos son los rectángulos más se acerca la apromacón hecha con la suma de los msmos al área real bajo

3 Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva Fgura 4 Mentras más estrechos son los rectángulos más se acerca la apromacón hecha con la suma de los msmos al área real bajo la curva. S el ancho del rectángulo es y la altura de la esquna superor derecha es f ( a ) en donde a es el valor de en el etremo derecho del -ésmo térmno, entonces el área bajo la curva, asumendo que la curva se mantene sobre el eje de se puede apromar mejor por A lm n 0 f ( a ) Regla del Lado Derecho (R-Rule) y Regla del Lado Izquerdo (L-Rule) Esten dferentes alternatvas para apromar el área bajo la curva dvdendo la msma en barras rectangulares. En las fguras y las barras se crearon de forma tal que la esquna superor derecha de las msmas toque la curva de la gráfca de f(). Esta técnca se conoce como la Regla del Lado Derecho (R-Rule en nglés). Otra alternatva es selecconar las barras de forma que sea la esquna superor zquerda de cada columna la que toque la curva de la gráfca de f(). Esa técnca se conoce como la Regla del Lado Izquerdo (L-Rule en nglés). En la Fgura 5 se muestran ambos casos. Para ambos se utlzaron cuatro barras. Sn embargo, en este caso, para el L-Rule la barra prmera barra tene una altura de 0 porque su esquna superor zquerda concde con el eje de ya que la curva de la funcón pasa por ese punto. Dependendo de las característcas de la funcón, el ntervalo de nterés y el número de barras en algunos casos podemos obtener una mejor apromacón utlzando R-Rule y en otros casos L-Rule. Otra alternatva es hacer que la parte central del tope de la barra concda con la curva de la gráfca. - - José Navarro 0

Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva - 4 - José Navarro 0 Fgura 5 Ejemplos: Ejemplo : Aprome el área bajo la curva de ) ( f y sobre el eje de en el ntervalo [0,].

4 Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva José Navarro 0 Fgura 5 Ejemplos: Ejemplo : Aprome el área bajo la curva de ) ( f y sobre el eje de en el ntervalo [0,]. Utlce rectángulos (n = ) para su apromacón en donde la esquna superor derecha de los rectángulos toca la gráfca de la funcón (R-Rule) Solucón: La fgura muestra cómo quedan los rectángulos para la apromacón. Fgura () A

5 Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva Utlzando la fórmula n tenemos que n n n () 9. Utlzando la fórmula n tenemos que n n Por lo tanto. A A.7 *El área eacta es como podremos determnar en leccones futuras. Ejemplo : Resuelva el problema anteror utlzando 4 rectángulos (n = 4) en lugar de. Solucón: En este caso el ancho de cada columna es en lugar de. O sea 4 4. Por lo tanto apromamos el área utlzando la sguente ecuacón José Navarro 0

6 Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva A A Ejemplo Aprome el área encerrada por f ( ) -0. +, 5, 5 y el eje de. Utlce n = 0 y L-Rule. Incluya una tabla de valores en donde se muestre los valores de consderados, la evaluacón de la funcón para los msmos, el área de cada rectángulo, y el área determnada Solucón: La fgura 7 muestra cómo quedan los rectángulos para la apromacón. - - José Navarro 0

7 Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva Fgura 7 n A 9 0 f (5 ) A contnuacón se muestra la tabla de valores f() f () Area apro = En base a los valores obtendos tenemos que A undades cuadradas José Navarro 0

8 Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva Ejemplo 4 Aprome el área encerrada por la funcón ndcada y el eje de en el ntervalo ndcado. f ( ) 5 ; 0 Utlce n = 9 y R-Rule. Incluya una tabla de valores en donde se muestre los valores de consderados, la evaluacón de la funcón para los msmos, el área de cada rectángulo, y el área determnada Solucón: La fgura 8 muestra cómo quedan los rectángulos para la apromacón. n 9 A 9 Fgura f José Navarro 0

9 Cálculo I: Guía del Estudante Leccón 5 Apromacón del área bajo la curva A contnuacón presentamos la tabla de datos con los valores de área para cada una de las columnas. En la parte nferor se encuentra la suma de las áreas. f() f () Area apro = En base a los valores de la tabla podemos conclur que La regón encerrada por f ( ) 5 en el ntervalo [0, ] tene un Área apromada de undades cuadradas. El sgno negatvo que se obtuvo del cómputo ndca que la regón se encuentra bajo el eje de pero las áreas no son negatvas. Ejerccos de práctca: Stewart: Seccón 5., ejerccos mpares -, 9,, José Navarro 0

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