= en los puntos (0;1) y (1;0,5) Determine la razón de cambio promedio de la función en cada intervalo: x

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1 Trabajo Práctico N : DERIVADA Y DIFERENCIAL Ejercicio : Halle la pendiente de la gráfica de la función en los puntos dados aplicando la definición de derivada de una función en un punto. Después halle la ecuación para la recta tangente a la gráfica en cada uno de esos puntos. a) f ( ) = + en el punto (;) b) g ( ) = + en los puntos (;) y (-;) c) h ( ) = en los puntos (0;) y (;0,5) + d) i ( ) = + en los puntos (;) y (;) Ejercicio : Determine la razón de cambio promedio de la función en cada intervalo: a) f ( ) = e ; [0;] b) g( ) = ; [0;] π π π π c) h ( ) = + cost; ; 6 d) i ( ) = tg( t); ; Ejercicio : Analice las siguientes gráficas y determine los valores de en los cuales f() no es derivable. Justifique la respuesta a) b) 6 f ( ) f ( )

2 c) d).5 f ( ) f ( ) Ejercicio : Para las función: f ( ) = + a) Dibuje la función y su derivada, una debajo de la otra (haga coincidir los valores de abscisas) b) Indique los intervalos donde la función crece y donde decrece c) Indique los intervalos donde la función derivada es positiva, negativa o nula. d) Compare los intervalos encontrados en los puntos b) y c) e) Saque conclusiones Ejercicio 5: Idem ejercicio anterior para: f ( ) = + + Ejercicio 6: Emplee las reglas de derivación para hallar las derivadas de las siguientes funciones: a) + 5 b) + + c) + sen d) tg = e) sec sen f) senh cosh cos g) h) i) + + j) e tanh k) π arctg l) ln + log + log + ln5 009

3 Ejercicio 7: Emplee las reglas de derivación para hallar las derivadas de las siguientes funciones compuestas: 5 a) ( + 5) b) ( ) c) y = d) sec(cos ) e) arctg(5 ) f) sec ( sen(cos )) g) cos h) ln(ln( ) ) + i) cosh(tg) j) senh k) + ( ) + ln 5 e tg π l) m) + tg() ( + ) Ejercicio 8: Obtenga por derivación sucesiva las derivadas según el orden indicado: a) segundo orden d y y II = b) ( + ) tercer orden d c) ln( ) segundo orden d) + cuarto orden e) r = θ cosθ er. orden d r dθ f) r = 5 s s Orden d r ds g) z = w Orden d z h) sen α dw orden d y dα i) ln, halle derivada enésima j) 5, halle derivada enésima Ejercicio 9: A qué funciones corresponde la derivada dada? a) y I = b) y I = cos( t) c) s I = 9,6t + 0 d) Ejercicio 0: y I = ( sen ) Dada la función: f ( ) = + a) Halle la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva en el punto (-;) b) Cuándo la pendiente en la curva es nula? En qué puntos ocurre? 009

4 c) Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva donde la pendiente de la curva valga 6 Ejercicio : Dada la función: f ( ) = + a) Halle la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva en el punto de abscisa = - b) Cuándo la pendiente en la curva es nula? En qué puntos ocurre? c) Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva donde la pendiente de la curva valga 8 Ejercicio : La curva a + b + c pasa por el punto (;) y es tangente a la recta en el origen. Halle los valores de a, b y c Ejercicio : Las curvas + b + c e + d Halle los valores de a, b y c tienen una tangente común en el punto (;0). Ejercicio : En el instante t la posición de un objeto que se mueve a lo largo del eje s es s = t 6t + 9t metros. a) Halle la aceleración del objeto cada vez que la velocidad es cero. b) Halle la rapidez del objeto cada vez que la aceleración es cero. c) Halle la distancia total recorrida por el objeto desde t = 0 hasta t =. Ejercicio 5: Una roca lanzada verticalmente hacia arriba alcanzaría una altura de s = t,9t metros en t segundos. Desprecie la fricción del aire sobre la piedra: a) Halle la velocidad y la aceleración de la roca en el instante t b) Cuánto tiempo tarda la roca en alcanzar su punto más alto? c) Qué altura máima alcanza la roca? d) Cuánto tiempo tarda la roca en alcanzar la mitad de su altura máima? e) Cuánto tiempo está la roca en el aire? Ejercicio 6: Tienen tangentes horizontales las gráficas de las siguientes funciones en el intervalo 0 π? Si es así, indique dónde. Si no, eplique por qué. a) + sen b) cot g 009

5 c) + sen d) cos Ejercicio 7: Derive aplicando logaritmos: a) y = b) ln c) y ( +) = d) (ln ) + ( + ) Ejercicio 8: Suponga que cada una de las ecuaciones de los siguientes problemas define y como una dy función diferenciable de. Halle mediante diferenciación implícita: d y + y c) = tg y a) + 6 b) 6 = y d) e) sen + cos Ejercicio 9: Eisten puntos sobre la curva + donde la pendiente sea?. Si eisten hállelos. Ejercicio 0: Halle las ecuaciones para la tangente y la normal a la curva + cos en el punto π ;. Trace la curva, la tangente y la normal e indique cada una con su ecuación

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