Estadística Clase 3. Maestría en Finanzas Universidad del CEMA. Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri

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1 Estadística 010 Clase 3 Maestría en Finanzas Universidad del CEMA Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri

2 1. Pasos en un proceso estadístico 1. Plantear una hipótesis sobre una población.. Diseñar el experimento (Decidir qué datos recopilar). 1. Determinar la muestra. Definir las variables 3. Describir los datos obtenidos (luego de haber realizado el muestreo). 4. Realizar una inferencia sobre la población. 5. Cuantificar la confianza en la inferencia.

3 . Inferencia estadística Problema: Conocemos o suponemos la distribución de probabilidades de una variable aleatoria en particular, pero desconocemos el valor de parámetro (o los parámetros) de dicha distribución. Solución: Tomamos una muestra aleatoria n de la distribución de probabilidades conocida, a partir de los estimadores muestrales conocidos, inferimos los parámetros poblacionales desconocidos. PROBLEMA DE ESTIMACIÓN P M Puntual Intervalos

4 . Inferencia estadística Las magnitudes σ son parámetros fijos desconocidos de la población, mientras que las magnitudes x S son variables aleatorias conocidas de la muestra (su valor depende de la muestra seleccionada). En base a las mismas, podemos determina las respectivas funciones de distribución. Teorema central del límite: A pesar que las distribuciones de la población de muestreo son diferentes, existe una relación entre ellas. La distribución de las medias muestrales tiende a una normal, aunque la distribución poblacional de la que provienen no lo sea. Como el TLC nos dice que la media muestral tiene distribución normal, basta con conocer la media la varianza para poder calcular las probabilidades.

5 3. Estimación Puntual Tenemos una v.a. X con su FDP, f x;. Supongamos que conocemos la forma funcional de la misma, pero desconocemos el valor del parámetro asociado a dicha distribución,. Muestra aleatoria de tamaño n f x,..., 1 xn Estimador del parámetro Es un estimador puntual porque proporciona sólo una estimación (puntual, claro está) del verdadero valor del parámetro.

6 4. Estimación por Intervalos Sobre la misma X supongamos que obtenemos dos estimaciones de, generando así los siguientes estimadores: 1 x,..., 1 xn x,..., 1 xn Diremos entonces que, con cierta confianza (entiéndase probabilidad), el verdadero valor del parámetro estará contenido en el intervalo entre dichos estimadores. Introducimos así la noción de distribución de probabilidades de un estimador.

7 4. Estimación por Intervalos Ampliando sobre el concepto, tenemos que: Este intervalo se conoce como un intervalo de confianza de tamaño para. 1 = coeficiente de confianza Pr nivel de significancia

8 Dado que Ex Var x n Como x tiene una distribución normal, tenemos una certeza (1-α)% que x se encuentra en el intervalo x Z % Como no conocemos no podemos evaluar el intervalo, por lo que nos centramos en x en lugar de basarnos en. Al cambiar el marco de referencia, suponemos que x es fijo que varia normalmente alrededor de x. xz % n n x n

9 Esta última expresión no es más que el estadístico que esto buscando, cua distribución conozco. x P z z 1 n

10 Despejando P z x z 1 n n P x z x z 1 n n

11 EJEMPLO: Supongamos que se desea estimar el promedio de las estaturas de todos los habitantes masculinos, de mas de 5 años, de la Ciudad de Buenos Aires. Para ello, se toma una muestra de 100 personas. Asimismo, se sabe que la dispersión es igual a 8 cm. De la muestra de 100 personas, se sabe que la estatura promedio es de 17,3 cm. Supongamos que deseamos calcular un intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del 95%. Si se sabe que las estaturas se distribuen normalmente, podremos utilizar el estadístico que recién hemos obtenido. Luego de despejar: P ,3 1,96 17,3 1, P 170, ,

12 Longitud del intervalo (L): para un intervalo de confianza determinado sería: x z x z n n L z n Y numéricamente sería L= =3.136= * 1.96 * 8/10

13 Maor seguridad se logrará a partir de una maor longitud del intervalo. Por ejemplo, si deseo que mi estimación sea del 99%: P P 17,3,58*8 /10 m17,3,58*8 /10 0,99 170, 36 m174,364 0,99 L 1 : 99% *,58*8 /10 4,18

14 Supongamos que deseamos una longitud una seguridad determinada. La única variable de ajuste será la cantidad de observaciones: z 4 L z n n L Por ejemplo, en nuestro último ejercicio numérico, obtuvimos con n=100 (1- α) = 99% una L = 4,18. Supongamos que deseamos mantener la seguridad al tiempo que reducimos la longitud a solo cm: z 4 4,58 8 n 46 L Por lo tanto, deberé aumentar mi muestra en 36 observaciones.

15 Supongamos ahora que deseamos construir un intervalo de confianza para la media poblacional, cuando se muestrea una distribución normal con varianza desconocida. Sean x,..., una sucesión de variables aleatorias 1 xn independientes e igualmente distribuidas, en donde. Mi primer objetivo será encontrar el estadístico. A priori, se que estimador consistente (eficiente e insesgado) de, en donde: n x N; n x i1 en donde aunque ahora desconozco σ. n X i x i N ; x es un

16 Sin embargo, puede demostrarse que S es un estimador insesgado de σ, siendo: S n i1 ( X X) i n 1 Puede demostrarse entonces que x S n t n1gl Y por lo tanto: S S P x tn 1 x tn 1 1 n n

17 Volvamos a nuestro ejemplo numérico pero supongamos que desconocemos σ (aunque conocemos S = 8,7) que se toma una muestra de 0 personas en lugar de 100 (es decir, ahora n = 0). Reemplazando, obtendremos: 8,7 8,7 P17,3, ,3, ,47 4,47 Ahora bien, puede demostrarse asimismo que si n tiende a Infinito, por TLC, entonces: Y, por lo tanto: x S n P 167,57 177, N(0;1) S S P x z x z 1 n n

18 Supongamos que deseamos ahora realizar un intervalo de confianza para la varianza poblacional. Puede demostrarse que: P ( n 1) S ( n 1) S 1 1 /, n1 /, n1

19 EJEMPLO: Supongamos que se toma una muestra de 7 focos de luz. Supongamos que S = 98 horas. Si la duración de esos focos sigue una distribución normal, busquemos un intervalo con el 90% de confianza para la desviación estándar poblacional de la duración de esos focos. Reemplazando en la ecuación anterior por los datos dados, obtenemos entonces que: P (7 1) 98 (7 1) 98 38,885 15,

20 Supongamos ahora que deseo saber entre que valores se encuentra la diferencia entre dos medias poblacionales. Partimos entonces de los siguientes supuestos: a) Sea x,..., una sucesión de variables aleatorias independientes e 1 xn idénticamente distribuidas (i.i.d.), en donde x N ; b) Sea,..., 1 n una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.), en donde Siendo ambas sucesiones de variables aleatorias independientes (covarianza nula), se verifica que: x x N x ; nx n i x x N ; i

21 Si suponemos que las varianzas son idénticas conocidas, x ( ) n x x n N(0;1) Por lo que, P ( x ) z x ( x ) z 1 nx n nx n

22 Si en cambio desconocemos σ x σ aunque sabemos que son iguales S S S S P ( x ) t ( ) 1 nx n x x t nxn nx n nx n en donde, n 1 S n 1 S S n n x x Y nuevamente puede demostrarse que si n tiende a infinito, x S S S S P ( x ) z x ( x ) z 1 nx n nx n

23 Por último supongamos que x a) Sea,..., 1 n una sucesión de variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas (i.i.d.), en donde X posee cualquier distribución n x tiende a b) Sea,..., 1 n una sucesión de variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas (i.i.d.), en donde Y posee cualquier distribución n tiende a Por lo tanto, al igual que antes: x x P ( x ) z x ( x ) z 1 nx n nx n Si desconocemos las varianzas, x S S S S P ( x ) z x ( x ) z 1 nx n nx n

24 6. Ejercicios Ejercicios Ej 1. Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura media de una fibra. Diseña un experimento en el que se observan las tensiones de ruptura, en libras, de 16 hilos del proceso seleccionados aleatoriamente. Las tensiones son: 0,8 ; 0,6 ; 1,0 ; 0,9 ; 19,9 ; 0, ; 19,8 ; 19,6 ; 0,9 ; 1,1 ; 0,4 ; 0,6 ; 19,7 ; 19,6 ; 0,3 0,7. Supóngase que la tensión de ruptura de una fibra se encuentra modelada por una distribución normal con desviación estándar de 0,45 libras. Construir un intervalo de confianza estimado del 98% para el valor real de la tensión de ruptura promedio de la fibra.

25 6. Ejercicios Ej. La Cámara de Comercio de Buenos Aires se encuentra interesada en estimar la cantidad promedio de dinero que gasta la gente que asiste a convenciones calculando comidas, alojamiento entretenimiento por día. De las distintas convenciones que se llevan a cabo en la ciudad, se seleccionaron 16 personas se les preguntó la cantidad que gastaban por día. Se obtuvo la siguiente información en ARS: 150, 175, 163, 148, 14, 189, 135, 174, 168, 15, 158, 184, 134, 146, 155, 163. Si se supone que la cantidad de dinero gastada en un día es una variable aleatoria distribuida normalmente, obtener los intervalos de confianza estimados del 90%, 95% 98% para la cantidad promedio real.

26 6. Ejercicios Ej 3. Dos universidades financiadas por el gobierno tienen métodos distintos para inscribir a sus alumnos a principios de cada semestre. Las dos desean comparar el tiempo promedio que les toma a los estudiantes completar el trámite de inscripción. En cada universidad se anotaron los tiempos de inscripción para 100 alumnos seleccionados al azar. Las medias las desviaciones estándares muestrales son las siguientes: Media Universidad x = 50, Desvío Universidad x (Sx): 4,8 Media Universidad = 5,9 Desvío Universidad (S): 5,4 Si se supone que el muestreo se llevo a cabo sobre dos poblaciones distribuidas normalmente e independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 90%, 95% 99% para la diferencia de las medias del tiempo de inscripción para las dos Universidades.

27 6. Ejercicios Ej 4. En dos ciudades se llevó a cabo una encuesta sobre el costo de vida para obtener el gasto promedio en alimentación en familias constituidas por cuatro personas. De cada ciudad se seleccionó aleatoriamente una muestra de 0 familias se observaron sus gastos semanales de alimentación. Las medias las desviaciones estándares muestrales fueron las siguientes: Media muestral ciudad x: 135 Desvío muestral ciudad x (Sx): 15 Media muestral ciudad : 1 Desvío muestral ciudad (S): 10 Si se supone que se muestrearon dos poblaciones independientes condistribución normal cada una varianzas iguales, obtener los intervalosde confianza estimados del 95% 99% para la diferencia de medias poblacionales.

28 6. Ejercicios Ej 5. Mediante el uso de los datos del ejercicio obtener un intervalo de confianza estimado del 95% para la varianza poblacional.