LA INTEGRAL DEFINIDA: SIMPLIFICACIÓN DEL LÍMITE EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA DE LA DEFINICIÓN
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- Julián Macías Fidalgo
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1 Categoría3.Cosderacódeaspectossocoepstemológcoseelaálssyelredseñodeldscurso matemátcoescolar LAINTEGRALDEFINIDA:SIMPLIFICACIÓNDELLÍMITEENELPROCESODEENSEÑANZADE LADEFINICIÓN EugeoCarlosRodríguez IsttutoSuperorPoltéccoJoséAtooEcheverría.LaHabaa Cuba Campodevestgacó: Tecologíaavazada Nvel: Superor Resume.Ladefcóqueseutlzaparaeseñarelcoceptodetegraldefdaelas clasesdecálculoparageeríafuedadaporrema,quefueelprmeroeeucarlae suformageeral(fkhtegolts,1965,p.346).porlogeeral,elostextosdecálculo,la defcó de Rema se smplfca al obteer el límte de las llamadas Sumas de Rema.Eestetrabajosemuestralasdeasdelautor,elascualessecócuado escrbóulbrodecálculoitegralparafucoesdevarasvarables(carlos,martí,oteroy Rvero,1986)paraelcualcosultóumerosabblografíadeAálssMatemátcoydeCálculo. Estas deas fuero erquecdas co el estudo recete de bblografía especalzada. El propósto geeral del trabajo es mostrar cómo llevar el cocepto objeto de estudo al estudatedegeería,sperderelecesarorgormatemátco. Palabrasclave:tegraldefda,límte,sucesódepartcoes Atecedetespersoales Alcomezodelosaños80elautorsedoalatareadeescrbrulbrodecálculotegral parafucoesdevarasvarables(carlosetal.,1986).paraestatareatuvoquecosultar u gra úmero de lbros de Cálculo y de Aálss Matemátco, cofrotado las dferecasetredefcoesdeambostposdetextos,fudametalmeteeelrgorde lasdefcoes.lasdeasdelautoracercadeesteproblemaseerquecerocoelpaso deltempo,sobretodocolaayudaalapreparacódeprofesoresjóveesprocedetes decarrerasomatemátcasempartedoclasesdecálculoecarrerasdegeería,y tuvero u mometo culmate co la lectura del lbro Matemátca Educatva: U estudodelaformacósocaldelaaaltcdad,deldr.rcardocatoralurza(catoral, 2001). 931 ComtéLatoamercaodeMatemátcaEducatvaA.C.
2 ActaLatoamercaadeMatemátcaEducatva21 Atecedeteshstórcos(Rbkov,1987) DellegadodelasMatemátcas,elcálculoftesmales,sduda,laherrametamás poteteyefcazparaelestudodelaaturaleza.elcálculoftesmalteedoscaras: dferecaletegral.losorígeesdelcálculotegralseremota,comoo,almudo grego;cocretametealoscálculosdeáreasyvolúmeesquearquímedesrealzóeel sgloiiia.c.auquehuboqueesperarmuchotempo,hastaelsgloxvii, 2000años!,para queaparecera,omejor,comoplatóafrmaría,paraquesedescubreraelcálculo. RelacoadocolosproblemasdetagetessurgóamedadosdelsgloXVIIelllamado problemaversodetagetes,esdecr,deducruacurvaapartrdelaspropedadesde sustagetes.elprmeroeplatearuproblemadeestetpofueflormoddebeaue, dscípulodedescartes,queplateó,etreotros,elproblemadeecotrarlacurvaco subtagetecostate.elpropodescarteslotetóséxtosedolebzelprmero eresolverloelaprmerapublcacódela"hstorasobreelcálculoftesmal".de hechouelemetoesecalparaeldescubrmetodelcálculofueelrecoocmetode queelproblemadelastagetesylascuadraturaseraproblemasversos;esporeso que la relacó versa etre la dervacó y la tegracó es lo que hoy llamamos Teoremafudametaldelcálculo. Newtoesucélebrefrase"Shellegadoavermáslejosqueotrosesporquemesubíe hombrosdeggates"serefereetreotrosasumaestroymetorisaacbarrow.barrow fueprobablemeteelcetífcoqueestuvomáscercadedescubrrelcálculo.eelúltmo cuartodelsgloxvii,newtoylebz,demaeradepedete,stetzarodela marañademétodosftesmalesusadosporsuspredecesoresdoscoceptos,losque hoy llamamos la dervada y la tegral, desarrollaro uas reglas para mapular la dervadareglasdedervacóymostraroqueamboscoceptoseraversosteorema fudametaldelcálculo:acababadeacerelcálculoftesmal.pararesolvertodoslos problemasdecuadraturas,máxmosymímos,tagetes,cetrosdegravedad,etc.que 932 ComtéLatoamercaodeMatemátcaEducatvaA.C.
3 Categoría3.Cosderacódeaspectossocoepstemológcoseelaálssyelredseñodeldscurso matemátcoescolar habíaocupadoasuspredecesoresbastabaecharaadarestosdoscoceptosmedate suscorrespodetesreglasdecálculo. Lebz,máscoocdocomoflósofo,fueelotrovetordelcálculo.Sudescubrmeto fueposteroraldenewto,auquelebzfueelprmeroepublcarelveto. LassuspcacasetreNewtoyLebzysusrespectvossegudores,prmerosobrequé habíadescubertoateselcálculoy,después,sobresuolohabíacopadodelotro, acabaroestalladoeucoflctodeprordadqueamargólosúltmosañosdeambos geos.ladsputafueevtablepueslosmétodosdeambosgeosteemportates dferecascoceptualesquedcaclarametelagéessdepedetedelosmsmos. La fudametacó de ambos métodos es totalmete dstta. S el de Newto fue resueltototalmetemedateelcoceptodelímte,eldelebztuvoqueesperarhasta ladécada196070hastalaaparcódelaálssoestádar. Desarrollo Elpresetetrabajocosderaelresultadodeesteprocesohstórcocomouproceso actvodeapropacódelaexperecahstórcaacumuladaporlahumadad,yapartr delasdeasdelpscólogorusolevsemoovchvgotsky( ),eloquerespectaa suteoríadeldesarrollohstórcoculturaldelapsqushumaa(vgostky,1966),elaque serecoocequeelhombrellegaaelaborarlaculturadetrodeugruposocalyosólo comoueteaslado,estesecosderaelputodepartdayelmarcoteórcoapropado. Comecemoscoelsgueteejemplo. DetermareláreaAdelafguraOPMlmtadaporlaparábolay=x2,elsegmetoOPdel ejedelasxdesdeelorgehastaelputopdeabcsax,yelsegmetopm. 933 ComtéLatoamercaodeMatemátcaEducatvaA.C.
4 ActaLatoamercaadeMatemátcaEducatva21 DvdmoselsegmetoOPepartesgualesycostrumosucojutoterectágulos cuyasáreasaproxmapordefectoyporexcesoeláreadecadasegmetodeparábola. LasáreasA ya delasumasdeamboscojutosderectágulossatsfacea A A Obsérvese també que ladfereca x A A es gual al área y( ) del mayor de los rectágulos,dedode,seobservaquelm( A A) 0 ObvameteseteequeA lma lma Yaquelasalturasdelosrectágulossolasordeadasdelosputossobrelaparábola coabcsas 1 x, 2 x, 3 x,..., x x ysusmagtudesso x, x, x,..., x seobteeque 934 ComtéLatoamercaodeMatemátcaEducatvaA.C.
5 Categoría3.Cosderacódeaspectossocoepstemológcoseelaálssyelredseñodeldscurso matemátcoescolar 2 3 x x x A ( ) ( ) x ( 1)(2 1) x ( 1)(2 1) x xy dedodea lma 3 3 DeaquíesfáclecotrarqueeláreaMOMesguala 4 xy,esdecr,dostercosdel 3 rectágulomppm.esteresultadofuecoocdoporarquímedes(287212ae). Geeralzado esta dea se puede determar el área P del trapeco curvlíeo ABCD determadoporlacurvay=f(x)etrex=ayx=b tomado 1 1 P y x f( x) x P lm f( x) x ComtéLatoamercaodeMatemátcaEducatvaA.C.
6 ActaLatoamercaadeMatemátcaEducatva21 Paradeotarlasumadelaforma yx Lebtztrodujoelsímbolo ydx,dodeel símbolo esuasalargada,laprmeraletradelapalabra summa dellatí. Eltérmo tegral fuepropuestoporberoulí,dscípuloyasocadodelebtz.lebtz orgalmeteusólaexpresó lasumadetodoslosydx (Rbkov,1987). Hastaaquíseseutlzóladeatutvadeárea,peroelpropococeptodeárearequere justfcacóyeláreadeltrapecocurvlíeorequeredelaexstecadellímte.estetpo delímtedebeservestgadodepedetemetedelarepresetacógeométrcadela fucóf(x). Veamosacotuacóuadefcóqueosdarácorgorlaformadecalcularelárea deseada,ladefcódetegraldefda(fkhtegolts,1965,p.346). Defcó Sealafucóf(x)defdasobreeltervalo[a,b].Formemosuapartcódeltervalo [a,b]subdvdedoarbtrarameteestetervaloaltroducretreayblosputosx 0, x 1,x 2,,x Lamayordelasdferecas x x 1 x ( 0,1,2,..., 1) serádeotadapor. Tomemosalgúputoarbtraro ecadasubtervalo[x,x +1 ] x x 1 ( 0,1,2,..., 1) yformemoslasuma 1 0 f( ) x 936 ComtéLatoamercaodeMatemátcaEducatvaA.C.
7 Categoría3.Cosderacódeaspectossocoepstemológcoseelaálssyelredseñodeldscurso matemátcoescolar Ahoraprocedamosaestablecerlaexstecadeulímteftodeestasuma I lm 0 Supogamosqueeltervalo[a,b]esdvddosucesvameteepartes,prmerodeua forma,luegodeotraformayasísucesvamete.estasucesódepartcoesdeltervalo será llamada fudametal s la correspodete de valores 1, 2, 3,... tede a cero. EtocesellímteI lm seetedeeelsetdodequelasucesódevaloresdelas 0 sumas correspodetesauasucesófudametalarbtraradepartcoesdeel tervalo,sempretedeaulímteiparatodoslosposblesvaloresde EllímteftoIdelasumacuado 0 esllamadolategraldefdadelafucó f(x)eeltervalo[a,b],ysedeotaporelsímbolo b I f( xdx ) a ylafucóf(x)sedcequeestegrablesobreeltervalo[a,b] Estadefcóeelleguajedesucesoeshaceposbletrasferrloscoceptosbáscosy teoremasdelateoríadelímtesalauevaformadellímte. PorlogeeralelostextosdeCálculoestadefcóse smplfca alobteer ellímte delassumasderema.estaesuadelasdferecasquedstguetambélostextos decálculodelosdeaálss,yestasmplfcacótambéserefleja,porsupuesto,eel dscursomatemátcoelaeseñazadelcálculoelascarrerasdegeería. EstoesloqueCatoralllama elfeómeodetrasposcóddáctca,quepartcpaela coformacódeloquehemosllamado ddáctcaormal delcálculo,quehahechode estetemauaespecedeaálssmatemátco dludo (Catoral,2001). VeamosquédceporlogeeraluadefcódetegraldefdaeulbrodeCálculo. 937 ComtéLatoamercaodeMatemátcaEducatvaA.C.
8 ActaLatoamercaadeMatemátcaEducatva21 Uavezobtedalasuma 1 0 f( ) x,sparacualquerpartcódeltervalo[a,b], 1 exstelm f( ) x I 0 0 depedetemetedelosvaloresde,etocesestelímte sedeomategraldefdadef(x)desdex=ahastax=b.eestadefcóellímte sgfcaque,parauapartcócualqueradeltervalo,slaormadelapartcó está sufcetemetecercadecero,ysedoarbtraroslosúmeros elossubtervalos[x,x +1 ]delapartcó,etocescualquersumaderemaestácercadei. Eestadefcó,auquesetratecorgorladefcódelímtedeuafucó,ose aprecaelsetdodel límtedelasucesófudametaldepartcoes yse dluye el cocepto,sesmplfca.laterpretacógeométrca,eelmejordeloscasosutlzadola tecología,reafrmaelcocepto. Eelcasodelestudatedegeería,paraelcualelcoceptodelímteesuodelos másdfícles,soelmásdfícl,estelímteesulímtemásetretatoscuyosetdoo etede. Evdetemeteecarrerasdegeeríayeotrascarrerasomatemátcas,elasquese estuda el Cálculo, es ecesaro suavzar la defcó, ya que este tpo carreras o requeredelrgordelaálssmatemátco,sólodelcálculo,peroalguareflexóhay quehacerdelsetdomáscomplejodeestelímtecorespectoallímtedeuafucó, coocdo por el estudate, y más cercao al límte de ua sucesó, a veces o ta coocdoporelestudate. Coclusoes EltemamostradooesmásqueotroejemplodelapresecaparaleladelaDdáctca ormaldelcálculocoladdáctcadelaálssmatemátco. 938 ComtéLatoamercaodeMatemátcaEducatvaA.C.
9 Categoría3.Cosderacódeaspectossocoepstemológcoseelaálssyelredseñodeldscurso matemátcoescolar El problema que se platea ahora es cómo llevar el cocepto objeto de estudo al estudatedecarrerasomatemátcas,sperderelecesarorgormatemátco.setrata deuproblemacomplejo,que,slugaradudasdebellamaralareflexó,yaqueesteo eselúcoejemplodesutpo,eloscuales,buscadolasmplfcacó,seperdeelrgor quedebeteerlaeseñazadelamatemátca.eltemaestáabertoalavestgacó. Referecasbblográfcas Catoral, R. (2001). Matemátca Educatva. U estudo de la formacó socal de la aaltcdad.méxco:grupoedtoraliberoamérca.. Carlos,E.,Martí,L.,Otero,M.yRvero,R.(1986).ItegralesMúltples.LaHabaa,Cuba: EdtoralPuebloyEducacó. Fkhtegolts,G.M.(1965).TheFudametalsofMathematcalAalyss.Volume1.USA: PergamoPress. Rbkov,K.(1987).HstoradelasMatemátcas.Moscú.URS:EdtoralMIR. Vgostky,L.S.(1966).PesametoyLeguaje.LaHabaa,Cuba:EdcóRevolucoara. 939 ComtéLatoamercaodeMatemátcaEducatvaA.C.
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