Aplicaciones de la derivada
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- Cristóbal Ponce Ortíz
- hace 5 años
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1 1 CAPÍTULO 8 Aplicciones de l derivd 8.1 Derivilidd monotoní 1 Como se se, si f es un función derivle en 0, entonces l derivd de f en 0 es un número rel fijo f 0. 0 /, el cul puede ser f 0. 0 / > 0 o ien f 0. 0 / < 0; o ien f 0. 0 / D 0. Semos tmién que si f es un función derivle en 0, entonces eiste un únic rect tngente t l curv D f./ en el punto P Œ 0 ; f. 0 /, l cul tiene pendiente m t D f 0. 0 /. Recordemos hor que, si l es un rect con ángulo de inclinción pendiente m, entonces m D tn, lo cul se present en ls siguientes gráfics: ` ` horizontl ` gudo otuso m > 0, 0 < < 90 ı m D 0 si D 0 ı o ien D 180 ı m < 0, 90 ı < < 180 ı Considerndo los comentrios nteriores, podemos hcer lguns firmciones que relcionn el signo de l derivd f 0. 0 / con el ángulo de inclinción t de l rect tngente t con el comportmiento de ls imágenes f./ lrededor del punto de tngenci P Œ 0 ; f. 0 /. f 0. 0 / > 0 ) m t > 0 ) 0 ı < t < 90 ı ( t es gudo.) 1 cnek.zc.um.m: 22/ 5/ 2008
2 2 2 Cálculo Diferencil e Integrl I Además si f 0. 0 / > 0, entonces f 0. 0 / D!0 f./ f. 0 / 0 > 0 por lo cul f./ f. 0 / D f 0. 0 / > 0 &! 0 0! C 0 f./ f. 0 / 0 D f 0. 0 / > 0 : Ahor ien, f./ f. 0 / 1. Si > 0, entonces eiste 1 2 R, con 1 < 0 tl que pr cd 2 Œ 1 ; 0 /! 0 0 ocurre que f./ f. 0/ > 0; 0 pero 1 < 0 ) < 0 ) 0 < 0, por lo que f./ f. 0 / 0 > 0, f./ f. 0 / < 0, f./ < f. 0 / : Con lo cul, pr suficientemente cerc de 0 f./ f. 0 / > 0 ) < 0 & f./ < f. 0 / :! Si! C 0 f./ f. 0 / 0 > 0, entonces eiste 2 2 R, con 0 < 2 tl que pr cd 2. 0 ; 2 ocurre que f./ f. 0/ 0 > 0; pero 0 < 2 ) > 0 ) 0 > 0, por lo que f./ f. 0 / 0 > 0, f./ f. 0 / > 0, f./ > f. 0 / : Entonces, pr suficientemente cerc de 0! C 0 f./ f. 0 / 0 > 0 ) > 0 & f./ > f. 0 / : f./ f. 0 / Resumiendo, si D f 0. 0 / > 0, entonces eisten 1 & 2 con 1 < 0 < 2 tles que!0 0 f. 1 / < f. 0 / < f. 2 /.
3 3 8.1 Derivilidd monotoní 3 Así tmién f 0. 0 / < 0 ) m t < 0 ) 90 ı < t < 180 ı ( t es otuso.) Si f 0. 0 / < 0, entonces por lo que Ahor ien, f 0. 0 / D!0 f./ f. 0 / 0 < 0 ; f./ f. 0 / D f 0. 0 / < 0 &! 0 0! C 0 f./ f. 0 / 0 D f 0. 0 / < 0 : f./ f. 0 / 1. Si < 0, entonces eiste 1 2 R, con 1 < 0 tl que pr cd 2 Œ 1 ; 0 /! 0 0 ocurre que f./ f. 0/ < 0, 0 pero 1 < 0 ) < 0 ) 0 < 0, por lo que f./ f. 0 / 0 < 0, f./ f. 0 / > 0, f./ > f. 0 / : Otenemos que, pr suficientemente cerc de 0 2. Si! C 0 f./ f. 0 / < 0 ) < 0 & f./ > f. 0 / :! 0 0 f./ f. 0 / 0 < 0, entonces eiste 2 2 R con 0 < 2, tl que pr cd 2. 0 ; 2 ocurre que f./ f. 0/ 0 < 0, pero 0 < 2 ) > 0 ) 0 > 0, por lo que f./ f. 0 / 0 < 0, f./ f. 0 / < 0, f./ < f. 0 / : Entonces, pr suficientemente cerc de 0! C 0 f./ f. 0 / 0 < 0 ) > 0 & f./ < f. 0 / : f./ f. 0 / Resumiendo, si D f 0. 0 / < 0, entonces eisten 1 & 2 con 1 < 0 < 2 tles!0 0 que f. 1 / > f. 0 / > f. 2 /. De lo nterior se puede firmr lo siguiente: Teorem. Se un función derivle en el número 0. Si f 0. 0 / 0, entonces eisten números 1 & 2 lrededor de 0 suficientemente cerc de 0 tles que:
4 4 4 Cálculo Diferencil e Integrl I Si f 0. 0 / > 0, entonces f. 1 / < f. 0 / < f. 2 / : Si f 0. 0 / < 0, entonces f. 1 / > f. 0 / > f. 2 / : Utilizmos este resultdo pr demostrr el siguiente teorem: Teorem de Rolle. Se f un función continu en el intervlo cerrdo Œ; derivle en el ierto.; /. Si f./ D f./, entonces eiste l menos un c 2.; / tl que f 0.c/ D 0. H Si f./ D f./ D f./ pr cd 2 Œ;, entonces f es un función constnte en todo Œ;, por lo cul f 0./ D 0 pr cd 2 Œ;, en cuo cso c es culquier 2.; /. Si f no es un función constnte en Œ;, entonces por ser continu f lcnz en Œ; sus vlores mínimo m D f.c/ máimo M D f.d/, donde l menos uno de ellos es diferente de f./ D f./. Aquí se entiende que f.c/ D m f./ M D f.d/ pr 2 Œ;. Suponiendo que el mínimo m D f.c/ es dicho número, entonces c 2.; /. Por ser f derivle en.; /, se puede segurr l eistenci del número f 0.c/. Demostrremos que f 0.c/ D 0 por reducción l surdo: Si f 0.c/ 0, se podrí segurr por el teorem nterior l eistenci de números 1 & 2 cerc de c tles que: Si f 0.c/ > 0, entonces f. 1 / < f.c/ < f. 2 /. Si f 0.c/ < 0, entonces f. 1 / > f.c/ > f. 2 /. Por lo cul f.c/ D m no serí el mínimo de f en Œ;. Entonces f 0.c/ 0 no puede ser. Lo que segur l eistenci de l menos un número c 2.; / tl que f 0.c/ D 0. Geométricmente, el teorem de Rolle puede ser ilustrdo de l mner siguiente: M f 0.c/ D 0 c f 0.c 1 / D 0 M f./ D f./ c 1 c 2 m c f 0.c/ D 0 m f 0.c 2 / D 0 Por lo tnto el teorem de Rolle segur l eistenci de l menos un punto P Œc; f.c/ en l curv D f./ donde l rect tngente es horizontl [ f 0.c/ D 0 ]. Es importnte resltr que l derivilidd de l función f en todo el intervlo.; / es determinnte pr l eistenci de dich rect tngente horizontl.
5 5 8.1 Derivilidd monotoní 5 Bst con que f no se derivle en lgún punto del intervlo.; / pr que pued ocurrir un situción como ls siguientes, en donde no se cumple el teorem de Rolle. f./ D f./ c c c Un resultdo más generl que el teorem de Rolle está ddo en el siguiente teorem: Teorem del Vlor Medio. Si f es un función continu en el intervlo cerrdo Œ; derivle en el intervlo ierto.; /, entonces eiste l menos un número c 2.; / tl que f 0.c/ D f./ f./ o ien f./ f./ D f 0.c/. / : Geométricmente este teorem segur l eistenci de l menos un punto P Œc; f.c/ de l curv D f./, donde su rect tngente tiene pendiente f 0.c/ igul l pendiente m D f./ f./ de l rect secnte l curv que ps por los puntos AŒ; f./ BŒ; f./. f./ B f./ B A f./ c 1 c 2 c A f./ H o se, L ecución de l rect secnte D g./ que ps por los puntos AŒ; f./ BŒ; f./ es por lo que f./ D f./ f./. / D f./ C f./ g./ D f./ C f./ f./. / f./. / :
6 6 6 Cálculo Diferencil e Integrl I Se l función definid como l diferenci f g. Es decir,./ D f./ g./ D f./ f./ f./ f./. / : Por ser f & g funciones continus, tmién l función es continu en el intervlo cerrdo Œ;. Por ser f & g funciones derivles, tmién l función es derivle en el intervlo ierto.; /: 0./ D f 0./ g 0./ D f 0./ f./ f./ : Por otr prte./ D./, que./ D f./ g./ D f./ f././ D f./ g./ D f./ f./ f./ f./ f./. / D 0 I f./. / D 0 : Hllmos que es un función que cumple con ls condiciones del teorem de Rolle. Por lo tnto se segur l eistenci de l menos un número c tl que 0.c/ D 0. Pero: 0.c/ D f 0 f./ f./.c/ por lo que: 0.c/ D 0, f 0 f./ f./.c/ D 0, f 0.c/ D f./ Lo cul demuestr el teorem del Vlor Medio. f./ : Aplicmos continución este último teorem pr el estudio de l monotoní de un función derivle en un intervlo. Se f un función continu en el intervlo cerrdo Œ; derivle en el ierto.; /, sen 1, 2 en Œ; tles que 1 < 2. Si f 0./ > 0 pr cd 2.; /, entonces (por el teorem del Vlor Medio) pr lgún c 2. 1 ; 2 /: f 0.c/ D f. 2/ f. 1 / 2 1 > 0 : Pero 2 > 1 ) 2 Entonces 1 > 0, por lo cul f. 2 / f. 1 / 2 1 > 0, f. 2 / f. 1 / > 0, f. 2 / > f. 1 / : 1 < 2 ) f. 1 / < f. 2 / : Lo que implic que f es un función estrictmente creciente en el intervlo Œ;.
7 7 8.1 Derivilidd monotoní 7 Si f 0./ < 0, pr cd 2.; / entonces (por el teorem del Vlor Medio) pr lgún c 2. 1 ; 2 /: f 0.c/ D f. 2/ f. 1 / 2 1 < 0 : Pero 2 > 1 ) 2 Entonces 1 > 0, por lo cul f. 2 / f. 1 / 2 1 < 0, f. 2 / f. 1 / < 0, f. 2 / < f. 1 / : 1 < 2 ) f. 1 / > f. 2 / : Lo que implic que f es un función estrictmente decreciente en el intervlo Œ;. Lo nterior, según el cso, puede ilustrrse como sigue: Si f 0./ > 0, entonces l función f es estrictmente creciente. f. 2 / f. 1 / D f./ f. 2 / D f./ f. 2 / D f./ f. 1 / f. 1 / 1 c 2 f 0./ > 0 1 c 2 f 0./ > 0 1 c 2 f 0./ > 0 Si f 0./ < 0, entonces l función f es estrictmente decreciente. D f./ f. 1 / f. 2 / D f./ f. 1 / f. 2 / D f./ f. 1 / f. 2 / 1 c 2 f 0./ < 0 1 c 2 f 0./ < 0 1 c 2 f 0./ < 0 De quí que:
8 8 8 Cálculo Diferencil e Integrl I Si f está definid en un intervlo f 0 es continu con un número finito de ríces entonces f es monóton por prtes. Ls funciones polinomiles ls rcionles son monótons por prtes. Ejemplo Se l función f./ D 2. H Clculmos l derivd, f 0./ D 2, entonces: f 0./ > 0, 2 > 0, > 0, 2.0; C1/ ) f es creciente en el intervlo.0; C1/ : f 0./ < 0, 2 < 0, < 0, 2. 1; 0/ ) f es decreciente en el intervlo. 1; 0/ : f./ decreciente! D f./ f./ creciente! D f 0./ f 0./ < 0 f 0./ > 0 Ejemplo Dd l función g./ D H Tenemos que 4 2 C 4. g 0./ D.2 C 4/4 4.2/ D 42 C D. 2 C 4/ 2. 2 C 4/ C 4/ D / 2. 2 C 4/ : 2 decreciente 2 creciente 2 decreciente D g./ D 4 2 C 4
9 9 8.1 Derivilidd monotoní 9 D g 0./ D /. 2 C 4/ 2 g 0./ > 0 g 0./>0 g 0. / < g 0./ < 0 Puesto que 4 > 0 que. 2 C 4/ > 0 pr cd 2 R, se puede firmr lo siguiente: 1. g 0./ > 0, 4 2 > 0, 2 < 4, jj < 2, 2 < < 2, g es creciente en el intervlo. 2; 2/. 2. g 0./ < 0, 4 2 < 0, 2 > 4, jj > 2, < 2 o ien > 2, g es decreciente en. 1; 2/ en.2; C1/. Lo cul concuerd con que g 0./ es pr. Ejemplo Se./ D 3. H Puesto que 0 D 3 2 ) 0 > 0 pr cd 2 R f 0 g, entonces es un función creciente en. 1; 0/ en.0; C1/ pero de hecho como 3 < 0 si < 0, 3 D 0 si D 0 & 3 > 0 si > 0, entonces f./ D 3 es creciente en R. f./ creciente f 0./ 0 D f 0./ D f./ Ejemplo Se l función f./ D
10 10 10 Cálculo Diferencil e Integrl I H Clculmos l derivd, f 0./ D D /, entonces: 1. f 0./ > 0, 0 & 2 1 > 0, 0 & 2 > 1, 0 & j j > 1,, 0 & > 1 o ien < 1 ) f es creciente en. 1; 1/.1; 1/. 2. f 0./ < 0, 0 & 2 1 < 0, 0 & 2 < 1, 0 & j j < 1,, 0 & 1 < < 1 ) f es decreciente en Œ 1; 1. D f./ D Decreciente D f 0./ D Creciente Creciente Ejercicios Soluciones en l págin 11 Determinr los intervlos de crecimiento de decrecimiento de ls siguientes funciones. 1. f./ D 2 4 C g./ D C h./ D 2 3 C f./ D g./ D. 2 1/ h./ D 2 C f./ D g./ D p h./ D 3p 4 4 3p. 10. f./ D 3 C 48.
11 Derivilidd monotoní 11 Ejercicios Derivilidd monotoní, págin f es creciente en.2; C1/;. f es decreciente en. 1; 2/. 2.. g es creciente en. 1; 1/ en.3; C1/;. g es decreciente en.1; 3/. 3.. h es creciente en. 1; 1/;. h es decreciente en. 1; 1/ en.1; C1/. 4.. f es creciente en.3; C1/;. f es decreciente en. 1; 3/. 5.. g es creciente en. 1; 0/ en.1; C1/;. g es decreciente en. 1; 1/ en.0; 1/. 6.. h es creciente en.2; C1/;. h es decreciente en. 1; 0/ en.0; 2/. 7.. f es creciente en. 1 2/ en. 2; 0/;. f es decreciente en.0; 2/ en.2; C1/. 8.. g es creciente en. 3; 0/;. g es decreciente en.0; 3/. 9.. h es creciente en.1; C1/;. h es decreciente en. 1; 0/ en.0; 1/ f es creciente en. 1; 2/ en.2; C1/;. f es decreciente en. 2; 0/ en.0; 2/.
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