Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería Área Académica de Matemáticas y Física
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- María Isabel Vázquez Escobar
- hace 8 años
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1 Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería Área Académica de Matemáticas y Física Línea de investigación: Economía y Finanzas Matemáticas Programa educativo: Maestría en Ciencias en Matemáticas y su Didáctica Nombre de la asignatura: Matemáticas II Tema: Solución de Ecuaciones Ciclo: Enero-Mayo de Profesor: Fernando Barrera Mora
2 Tema: Solución de Ecuaciones Abstract: The objective of this lecture is to provide some ideas that can help to articulate the methods for solving equations of degree 4 Keywords:Cubics and Quartics, Solving Equations by Radicals Palabras clave: Cúbicas y Cuadráticas, Resolviendo Ecuaciones por Radicales
3 Fernando Barrera Mora Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Seminario de Investigación, Maestría en Ciencias en Matemáticas y su Didáctica
4 INTRODUCCIÓN Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensión, era el eterno tema de mi profesor de física, a quien yo detestaba con toda mi alma. Las razones de mi odio: este repugnante individuo jamás se daba cuanta de mi belleza, y de mi condición de mujer. Por más que haya ensayado poses de vedette con escotes generosos, este hombre directamente me ignoraba. Sólo existía para él durante los exámenes, cuando con una refinada crueldad, indagaba sobre fórmulas y parámetros que, por supuesto, yo ignoraba...cómo para no tenerle fastidio, si era casado. ( Las raíces de las cuárticas existen y se expresan con radicales; la cuarta dimensión... existe, y se representa de varias formas. Las cuadráticas y cúbicas se resuelven usando un binomio. Las cuárticas también?
5 INTRODUCCIÓN Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensión, era el eterno tema de mi profesor de física, a quien yo detestaba con toda mi alma. Las razones de mi odio: este repugnante individuo jamás se daba cuanta de mi belleza, y de mi condición de mujer. Por más que haya ensayado poses de vedette con escotes generosos, este hombre directamente me ignoraba. Sólo existía para él durante los exámenes, cuando con una refinada crueldad, indagaba sobre fórmulas y parámetros que, por supuesto, yo ignoraba...cómo para no tenerle fastidio, si era casado. ( Las raíces de las cuárticas existen y se expresan con radicales; la cuarta dimensión... existe, y se representa de varias formas. Las cuadráticas y cúbicas se resuelven usando un binomio. Las cuárticas también?
6 INTRODUCCIÓN Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensión, era el eterno tema de mi profesor de física, a quien yo detestaba con toda mi alma. Las razones de mi odio: este repugnante individuo jamás se daba cuanta de mi belleza, y de mi condición de mujer. Por más que haya ensayado poses de vedette con escotes generosos, este hombre directamente me ignoraba. Sólo existía para él durante los exámenes, cuando con una refinada crueldad, indagaba sobre fórmulas y parámetros que, por supuesto, yo ignoraba...cómo para no tenerle fastidio, si era casado. ( Las raíces de las cuárticas existen y se expresan con radicales; la cuarta dimensión... existe, y se representa de varias formas. Las cuadráticas y cúbicas se resuelven usando un binomio. Las cuárticas también?
7 INTRODUCCIÓN Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensión, era el eterno tema de mi profesor de física, a quien yo detestaba con toda mi alma. Las razones de mi odio: este repugnante individuo jamás se daba cuanta de mi belleza, y de mi condición de mujer. Por más que haya ensayado poses de vedette con escotes generosos, este hombre directamente me ignoraba. Sólo existía para él durante los exámenes, cuando con una refinada crueldad, indagaba sobre fórmulas y parámetros que, por supuesto, yo ignoraba...cómo para no tenerle fastidio, si era casado. ( Las raíces de las cuárticas existen y se expresan con radicales; la cuarta dimensión... existe, y se representa de varias formas. Las cuadráticas y cúbicas se resuelven usando un binomio. Las cuárticas también?
8 INTRODUCCIÓN Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensión, era el eterno tema de mi profesor de física, a quien yo detestaba con toda mi alma. Las razones de mi odio: este repugnante individuo jamás se daba cuanta de mi belleza, y de mi condición de mujer. Por más que haya ensayado poses de vedette con escotes generosos, este hombre directamente me ignoraba. Sólo existía para él durante los exámenes, cuando con una refinada crueldad, indagaba sobre fórmulas y parámetros que, por supuesto, yo ignoraba...cómo para no tenerle fastidio, si era casado. ( Las raíces de las cuárticas existen y se expresan con radicales; la cuarta dimensión... existe, y se representa de varias formas. Las cuadráticas y cúbicas se resuelven usando un binomio. Las cuárticas también?
9 INTRODUCCIÓN Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensión, era el eterno tema de mi profesor de física, a quien yo detestaba con toda mi alma. Las razones de mi odio: este repugnante individuo jamás se daba cuanta de mi belleza, y de mi condición de mujer. Por más que haya ensayado poses de vedette con escotes generosos, este hombre directamente me ignoraba. Sólo existía para él durante los exámenes, cuando con una refinada crueldad, indagaba sobre fórmulas y parámetros que, por supuesto, yo ignoraba...cómo para no tenerle fastidio, si era casado. ( Las raíces de las cuárticas existen y se expresan con radicales; la cuarta dimensión... existe, y se representa de varias formas. Las cuadráticas y cúbicas se resuelven usando un binomio. Las cuárticas también?
10 INTRODUCCIÓN Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensión, era el eterno tema de mi profesor de física, a quien yo detestaba con toda mi alma. Las razones de mi odio: este repugnante individuo jamás se daba cuanta de mi belleza, y de mi condición de mujer. Por más que haya ensayado poses de vedette con escotes generosos, este hombre directamente me ignoraba. Sólo existía para él durante los exámenes, cuando con una refinada crueldad, indagaba sobre fórmulas y parámetros que, por supuesto, yo ignoraba...cómo para no tenerle fastidio, si era casado. ( Las raíces de las cuárticas existen y se expresan con radicales; la cuarta dimensión... existe, y se representa de varias formas. Las cuadráticas y cúbicas se resuelven usando un binomio. Las cuárticas también?
11 INTRODUCCIÓN Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensión, era el eterno tema de mi profesor de física, a quien yo detestaba con toda mi alma. Las razones de mi odio: este repugnante individuo jamás se daba cuanta de mi belleza, y de mi condición de mujer. Por más que haya ensayado poses de vedette con escotes generosos, este hombre directamente me ignoraba. Sólo existía para él durante los exámenes, cuando con una refinada crueldad, indagaba sobre fórmulas y parámetros que, por supuesto, yo ignoraba...cómo para no tenerle fastidio, si era casado. ( Las raíces de las cuárticas existen y se expresan con radicales; la cuarta dimensión... existe, y se representa de varias formas. Las cuadráticas y cúbicas se resuelven usando un binomio. Las cuárticas también?
12 INTRODUCCIÓN Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensión, era el eterno tema de mi profesor de física, a quien yo detestaba con toda mi alma. Las razones de mi odio: este repugnante individuo jamás se daba cuanta de mi belleza, y de mi condición de mujer. Por más que haya ensayado poses de vedette con escotes generosos, este hombre directamente me ignoraba. Sólo existía para él durante los exámenes, cuando con una refinada crueldad, indagaba sobre fórmulas y parámetros que, por supuesto, yo ignoraba...cómo para no tenerle fastidio, si era casado. ( Las raíces de las cuárticas existen y se expresan con radicales; la cuarta dimensión... existe, y se representa de varias formas. Las cuadráticas y cúbicas se resuelven usando un binomio. Las cuárticas también?
13 CONTENIDO DE LA CHARLA Cuadráticas, cúbicas y el binomio de Newton Cuárticas y la cuarta dimensión Transformaciones de Tschirnhausen y la quíntica general
14 CONTENIDO DE LA CHARLA Cuadráticas, cúbicas y el binomio de Newton Cuárticas y la cuarta dimensión Transformaciones de Tschirnhausen y la quíntica general
15 CONTENIDO DE LA CHARLA Cuadráticas, cúbicas y el binomio de Newton Cuárticas y la cuarta dimensión Transformaciones de Tschirnhausen y la quíntica general
16 CONTENIDO DE LA CHARLA Cuadráticas, cúbicas y el binomio de Newton Cuárticas y la cuarta dimensión Transformaciones de Tschirnhausen y la quíntica general
17 SOLUCIÓN DE CUADRÁTICAS 1 t 2 = ((t u) + u) 2 = (t u) 2 + 2(t u)u + u 2, 2 t 2 u 2 = (t u) 2 + 2(t u)u ( ). Haciendo: 3 x = (t u), 4 c = t 2 u 2, y 5 b = 2u, la Ecuación ( ) se transforma en c = x 2 + bx 6 x = b ± b 2 + 4c, 2
18 SOLUCIÓN DE CUADRÁTICAS u t u 1 t 2 = ((t u) + u) 2 = (t u) 2 + 2(t u)u + u 2, 2 t 2 u 2 = (t u) 2 + 2(t u)u ( ). Haciendo: 3 x = (t u), 4 c = t 2 u 2, y 5 b = 2u, la Ecuación ( ) se transforma en c = x 2 + bx 6 x = b ± b 2 + 4c, 2
19 SOLUCIÓN DE CUADRÁTICAS u t u 1 t 2 = ((t u) + u) 2 = (t u) 2 + 2(t u)u + u 2, 2 t 2 u 2 = (t u) 2 + 2(t u)u ( ). Haciendo: 3 x = (t u), 4 c = t 2 u 2, y 5 b = 2u, la Ecuación ( ) se transforma en c = x 2 + bx 6 x = b ± b 2 + 4c, 2
20 SOLUCIÓN DE CUADRÁTICAS u t u 1 t 2 = ((t u) + u) 2 = (t u) 2 + 2(t u)u + u 2, 2 t 2 u 2 = (t u) 2 + 2(t u)u ( ). Haciendo: 3 x = (t u), 4 c = t 2 u 2, y 5 b = 2u, la Ecuación ( ) se transforma en c = x 2 + bx 6 x = b ± b 2 + 4c, 2
21 SOLUCIÓN DE CUADRÁTICAS u t u 1 t 2 = ((t u) + u) 2 = (t u) 2 + 2(t u)u + u 2, 2 t 2 u 2 = (t u) 2 + 2(t u)u ( ). Haciendo: 3 x = (t u), 4 c = t 2 u 2, y 5 b = 2u, la Ecuación ( ) se transforma en c = x 2 + bx 6 x = b ± b 2 + 4c, 2
22 SOLUCIÓN DE CUADRÁTICAS u t u 1 t 2 = ((t u) + u) 2 = (t u) 2 + 2(t u)u + u 2, 2 t 2 u 2 = (t u) 2 + 2(t u)u ( ). Haciendo: 3 x = (t u), 4 c = t 2 u 2, y 5 b = 2u, la Ecuación ( ) se transforma en c = x 2 + bx 6 x = b ± b 2 + 4c, 2
23 SOLUCIÓN DE CUADRÁTICAS u t u 1 t 2 = ((t u) + u) 2 = (t u) 2 + 2(t u)u + u 2, 2 t 2 u 2 = (t u) 2 + 2(t u)u ( ). Haciendo: 3 x = (t u), 4 c = t 2 u 2, y 5 b = 2u, la Ecuación ( ) se transforma en c = x 2 + bx 6 x = b ± b 2 + 4c, 2
24 SOLUCIÓN DE CUADRÁTICAS u t u 1 t 2 = ((t u) + u) 2 = (t u) 2 + 2(t u)u + u 2, 2 t 2 u 2 = (t u) 2 + 2(t u)u ( ). Haciendo: 3 x = (t u), 4 c = t 2 u 2, y 5 b = 2u, la Ecuación ( ) se transforma en c = x 2 + bx 6 x = b ± b 2 + 4c, 2
25 SOLUCIÓN DE CÚBICAS 1 t 3 = ((t u)+u) 3 = (t u) 3 + 3(t u) 2 u + 3(t u)u 2 + u 3, 2 t 3 u 3 = (t u) 3 + 3(t u) 2 u + 3(t u)u 2 = (t u) 3 + [3(t u)u + 3u 2 ](t u) = (t u) 3 + 3tu(t u). (1)
26 SOLUCIÓN DE CÚBICAS u t u t u u t t u u 1 t 3 = ((t u)+u) 3 = (t u) 3 + 3(t u) 2 u + 3(t u)u 2 + u 3, 2 t 3 u 3 = (t u) 3 + 3(t u) 2 u + 3(t u)u 2 = (t u) 3 + [3(t u)u + 3u 2 ](t u) = (t u) 3 + 3tu(t u). (1)
27 SOLUCIÓN DE CÚBICAS u t u t u u t t u u 1 t 3 = ((t u)+u) 3 = (t u) 3 + 3(t u) 2 u + 3(t u)u 2 + u 3, 2 t 3 u 3 = (t u) 3 + 3(t u) 2 u + 3(t u)u 2 = (t u) 3 + [3(t u)u + 3u 2 ](t u) = (t u) 3 + 3tu(t u). (1)
28 SOLUCIÓN DE CÚBICAS u t u t u u t t u u 1 t 3 = ((t u)+u) 3 = (t u) 3 + 3(t u) 2 u + 3(t u)u 2 + u 3, 2 t 3 u 3 = (t u) 3 + 3(t u) 2 u + 3(t u)u 2 = (t u) 3 + [3(t u)u + 3u 2 ](t u) = (t u) 3 + 3tu(t u). (1)
29 SOLUCIÓN DE CÚBICAS Haciendo: 1 t 3 u 3 = q, 2 3tu = p, y 3 x = (t u), la Ecuación 1 se transforma en 4 q = x 3 + px 5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t 3 u 3 = p 3, por lo 6 que t 3 p3 27t 3 = q t 3 = q 2 ± q p3 27, (2) u 3 = q 2 ± q p3 27. (3)
30 SOLUCIÓN DE CÚBICAS Haciendo: 1 t 3 u 3 = q, 2 3tu = p, y 3 x = (t u), la Ecuación 1 se transforma en 4 q = x 3 + px 5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t 3 u 3 = p 3, por lo 6 que t 3 p3 27t 3 = q t 3 = q 2 ± q p3 27, (2) u 3 = q 2 ± q p3 27. (3)
31 SOLUCIÓN DE CÚBICAS Haciendo: 1 t 3 u 3 = q, 2 3tu = p, y 3 x = (t u), la Ecuación 1 se transforma en 4 q = x 3 + px 5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t 3 u 3 = p 3, por lo 6 que t 3 p3 27t 3 = q t 3 = q 2 ± q p3 27, (2) u 3 = q 2 ± q p3 27. (3)
32 SOLUCIÓN DE CÚBICAS Haciendo: 1 t 3 u 3 = q, 2 3tu = p, y 3 x = (t u), la Ecuación 1 se transforma en 4 q = x 3 + px 5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t 3 u 3 = p 3, por lo 6 que t 3 p3 27t 3 = q t 3 = q 2 ± q p3 27, (2) u 3 = q 2 ± q p3 27. (3)
33 SOLUCIÓN DE CÚBICAS Haciendo: 1 t 3 u 3 = q, 2 3tu = p, y 3 x = (t u), la Ecuación 1 se transforma en 4 q = x 3 + px 5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t 3 u 3 = p 3, por lo 6 que t 3 p3 27t 3 = q t 3 = q 2 ± q p3 27, (2) u 3 = q 2 ± q p3 27. (3)
34 SOLUCIÓN DE CÚBICAS Haciendo: 1 t 3 u 3 = q, 2 3tu = p, y 3 x = (t u), la Ecuación 1 se transforma en 4 q = x 3 + px 5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t 3 u 3 = p 3, por lo 6 que t 3 p3 27t 3 = q t 3 = q 2 ± q p3 27, (2) u 3 = q 2 ± q p3 27. (3)
35 SOLUCIÓN DE CÚBICAS Haciendo: 1 t 3 u 3 = q, 2 3tu = p, y 3 x = (t u), la Ecuación 1 se transforma en 4 q = x 3 + px 5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t 3 u 3 = p 3, por lo 6 que t 3 p3 27t 3 = q t 3 = q 2 ± q p3 27, (2) u 3 = q 2 ± q p3 27. (3)
36 SOLUCIÓN DE CÚBICAS Haciendo: 1 t 3 u 3 = q, 2 3tu = p, y 3 x = (t u), la Ecuación 1 se transforma en 4 q = x 3 + px 5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t 3 u 3 = p 3, por lo 6 que t 3 p3 27t 3 = q t 3 = q 2 ± q p3 27, (2) u 3 = q 2 ± q p3 27. (3)
37 SOLUCIÓN DE CUÁRTICAS Y LA CUARTA DIMENSIÓN 1 Se pueden usar las mismas ideas para resolver las cuárticas generales? 2 Cómo representar geométricamente el cubo de dimensión cuatro? 3 Qué interpretación geométrica tiene el desarrollar un binomio a la cuarta potencia?
38 SOLUCIÓN DE CUÁRTICAS Y LA CUARTA DIMENSIÓN 1 Se pueden usar las mismas ideas para resolver las cuárticas generales? 2 Cómo representar geométricamente el cubo de dimensión cuatro? 3 Qué interpretación geométrica tiene el desarrollar un binomio a la cuarta potencia?
39 SOLUCIÓN DE CUÁRTICAS Y LA CUARTA DIMENSIÓN 1 Se pueden usar las mismas ideas para resolver las cuárticas generales? 2 Cómo representar geométricamente el cubo de dimensión cuatro? 3 Qué interpretación geométrica tiene el desarrollar un binomio a la cuarta potencia?
40 SOLUCIÓN DE CUÁRTICAS Y LA CUARTA DIMENSIÓN 1 Se pueden usar las mismas ideas para resolver las cuárticas generales? 2 Cómo representar geométricamente el cubo de dimensión cuatro? 3 Qué interpretación geométrica tiene el desarrollar un binomio a la cuarta potencia?
41 CARAS DE UN POLÍGONO
42 CARAS DE UN POLÍGONO DIMENSIÓN 1 ; DOS CARAS DIMENSIÓN 2; CUATRO CARAS DIMENSIÓN 3; SEIS CARAS DIMENSIÓN 4; OCHO CARAS
43 CUBO DE DIMENSIÓN CUATRO O TESSERACT
44 CUBO DE DIMENSIÓN CUATRO O TESSERACT
45 CUBO DE DIMENSIÓN CUATRO O TESSERACT
46 CUBO DE DIMENSIÓN CUATRO O TESSERACT
47 DISCUSIÓN DE LA CUÁRTICA 1 t 4 = ((t u) + u) 4 = (t u) 4 + 4(t u) 3 u + 6(t u) 2 u 2 + 4(t u)u 3 + u 4, (4) 2 t 4 u 4 = (t u) 4 + 4(t u) 3 u + 6(t u) 2 u 2 + 4(t u)u 3 = (t u) 4 + [4(t u)u + 6u 2 ](t u) 2 + 4(t u)u 3 = (t u) 4 + [4tu + 2u 2 ](t u) 2 + 4(t u)u 3. (5)
48 DISCUSIÓN DE LA CUÁRTICA 1 t 4 = ((t u) + u) 4 = (t u) 4 + 4(t u) 3 u + 6(t u) 2 u 2 + 4(t u)u 3 + u 4, (4) 2 t 4 u 4 = (t u) 4 + 4(t u) 3 u + 6(t u) 2 u 2 + 4(t u)u 3 = (t u) 4 + [4(t u)u + 6u 2 ](t u) 2 + 4(t u)u 3 = (t u) 4 + [4tu + 2u 2 ](t u) 2 + 4(t u)u 3. (5)
49 DISCUSIÓN DE LA CUÁRTICA 1 t 4 = ((t u) + u) 4 = (t u) 4 + 4(t u) 3 u + 6(t u) 2 u 2 + 4(t u)u 3 + u 4, (4) 2 t 4 u 4 = (t u) 4 + 4(t u) 3 u + 6(t u) 2 u 2 + 4(t u)u 3 = (t u) 4 + [4(t u)u + 6u 2 ](t u) 2 + 4(t u)u 3 = (t u) 4 + [4tu + 2u 2 ](t u) 2 + 4(t u)u 3. (5)
50 DISCUSIÓN DE LA CUÁRTICA 1 Interpretación geométrica: el tesseract de lado t se puede dividir en dos tesseracts de lados t u y u, más 14 hiperparalelepípedos de los cuales cuatro comparten caras con el tesseract de lado t u, otros cuatro comparten caras con el tesseract de lado u y los seis restantes tienen aristas en común con los tesseracts de lados t u y u. 2 Haciendo x = t u, q = t 4 u 4, p = 4ut + 2u 2 y r = 4u 3, la Ecuación 5 se puede escribir como x 4 + px 2 + rx = q, la cual puede ser resuelta conociendo los valores de t y u.
51 DISCUSIÓN DE LA CUÁRTICA 1 Interpretación geométrica: el tesseract de lado t se puede dividir en dos tesseracts de lados t u y u, más 14 hiperparalelepípedos de los cuales cuatro comparten caras con el tesseract de lado t u, otros cuatro comparten caras con el tesseract de lado u y los seis restantes tienen aristas en común con los tesseracts de lados t u y u. 2 Haciendo x = t u, q = t 4 u 4, p = 4ut + 2u 2 y r = 4u 3, la Ecuación 5 se puede escribir como x 4 + px 2 + rx = q, la cual puede ser resuelta conociendo los valores de t y u.
52 DISCUSIÓN DE LA CUÁRTICA 1 Interpretación geométrica: el tesseract de lado t se puede dividir en dos tesseracts de lados t u y u, más 14 hiperparalelepípedos de los cuales cuatro comparten caras con el tesseract de lado t u, otros cuatro comparten caras con el tesseract de lado u y los seis restantes tienen aristas en común con los tesseracts de lados t u y u. 2 Haciendo x = t u, q = t 4 u 4, p = 4ut + 2u 2 y r = 4u 3, la Ecuación 5 se puede escribir como x 4 + px 2 + rx = q, la cual puede ser resuelta conociendo los valores de t y u.
53 TRANSFORMACIONES DE TSCHIRHAUSEN Y LA QUÍNTICA GENERAL 1 Ehrenfried Walter von Tschirnhaus ( ) 2 x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 y n +b n 2 y n 2 + +b 1 y+b 0 3 x 5 + a 4 x a 1 x + a 0 y 5 + py + q
54 TRANSFORMACIONES DE TSCHIRHAUSEN Y LA QUÍNTICA GENERAL 1 Ehrenfried Walter von Tschirnhaus ( ) 2 x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 y n +b n 2 y n 2 + +b 1 y+b 0 3 x 5 + a 4 x a 1 x + a 0 y 5 + py + q
55 TRANSFORMACIONES DE TSCHIRHAUSEN Y LA QUÍNTICA GENERAL 1 Ehrenfried Walter von Tschirnhaus ( ) 2 x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 y n +b n 2 y n 2 + +b 1 y+b 0 3 x 5 + a 4 x a 1 x + a 0 y 5 + py + q
56 TRANSFORMACIONES DE TSCHIRHAUSEN Y LA QUÍNTICA GENERAL 1 Ehrenfried Walter von Tschirnhaus ( ) 2 x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 y n +b n 2 y n 2 + +b 1 y+b 0 3 x 5 + a 4 x a 1 x + a 0 y 5 + py + q
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