Seminario de problemas. Curso Soluciones hoja 6

Transcripción

1 Semirio de problems. Curso Solucioes hoj 6. Si igeios iformáticos, clculr l cifr que precede l fil fil de ceros e!. (Recuerd:! = 4 4 ) Empezremos por determir cuátos ceros hy e l col fil de!. Hbrá ttos como fctores (pues fctores los hy de sobr). Hy, pues 6 fctores proveietes de, 0,, 0 y (este último port )! Ahor bst co jugr co ls cogruecis módulo 0 del úmero Simplifiquemos elimido úmeros y productos cogruetes co (mód 0) como,, 9 9, 7, 7, 7 y simplificdo los represettes de cd clse: (mód 0) Aú podemos simplificr más. Por ejemplo: (mód 0) vris veces (mód 0). L cifr buscd es Ecotrr ls solucioes reles de l ecució x y x y. x u Co el cmbio l ecució qued y v e l form u v u v l úic solució rel es x, y. ( u v) uv que podemos dispoer ( ) 0 de dode se desprede que u=v=0. Por tto, 7. Se p u úmero primo myor que. Demostrr que p 4 o puede ser l curt poteci de u etero. Supogmos que existe u etero q tl que E tl cso se tedrí p q. 4 4 q co 4 p q q q q q q q q q 4 4 ( ) Y tedrímos p descompuesto como producto de dos fctores myores que, y que el meor de ellos es myor que : q q ( q )

2 8. Se, b y c úmeros reles o ulos tles que b c 0 y b c b c. Probr que b c. 6 Cosideremos el poliomio P( x) ( x )( x b)( x c) que desrrolldo es: P( x) x ( b c bc) x bc y que b c 0 P( ) ( b c bc) bc 0 P( b) b ( b c bc) b bc 0 Sumdo térmio térmio: P( c) c ( b c bc) c bc 0 b c b c bc b c bc ( )( ) 0, es decir y que b c 0. Por tto tmbié Hcemos lo mismo co el poliomio Q x b c bc ( ) x P( x) b c bc y obtedremos: Q( ) ( b c bc) bc 0 Q( b) b ( b c bc) b b c 0 Sumdo térmio térmio Q( c) c ( b c bc) c bc 0 bc bc( b c bc) bc( b c ). Como, b y c so o ulos podemos ccelr su producto. Qued: b c b c bc ( ). Al ser b c 0 se tiee que, de dode b c bc y ( b c) 0 b c ( b c bc) por último b c c.q.d U fmili de circuferecis C, C, C,... co cetros e respectivos O, O, O,... so tgetes dos semirrects cocurretes e P y, su vez, (ver figur) cd u de ells es tgete exterior sus circuferecis cotigus. Se pide: ) Demostrr que ls logitudes de los sucesivos rdios r, r, r... está e progresió geométric b) Siedo d PO, hllr el vlor que h de tomr el cociete r / d pr que se igul k l rzó de l progresió geométric de los sucesivos rdios. c) Si ls semirrects cocurretes form u águlo de 60º, cuál será l rzó de

3 dich progresió geométric? ) Tomemos tres circuferecis cosecutivs C, C, C Se T, T, T los sucesivos putos de tgeci. De l semejz etre los tres triágulos PTO i i rectágulos et i r r r r r r r d d r r d r r r r r r r L últim proporció se h obteido plicdo u propiedd elemetl de ls proporcioes. De est últim proporció obteemos: r r r r r r r r Desrrolldo y simplificdo, qued r r r r r r r Es decir los sucesivos rdios está e progresió geométric.. r r r b) Puesto que os bstrá co usr l primer proporció d d d teiedo e cuet que r kr y d d r r d r kr r kr k r k (hemos usdo de uevo l mism propiedd) d d r kr k r k Por lo tto r d k k r c) E este cso d y que OPT 0º. Debe ser k ( k ) k L progresió geométric será de rzó k=.

4 40. Ls digoles del trpecio ABCD se cort e el puto P. Trzmos por P u prlel ls bses AB y CD que cort los ldos oblicuos AD y BC e los putos E y F respectivmete. Se pide: ) Demostrr que EP = PF b) Demostrr que EF es l medi rmóic de AB y DC. (Es decir: demostrr que EF AB DC ) Por comodidd se AB, DC b, EP x, PF y, k b Los triágulos ABP y CPD so semejtes por teer sus águlos respectivmete igules: CPD APB por ser opuestos por el vértice PCD PAB por ser lteros iteros etre prlels (tmbié PDC PBA ) AP PB AP k PC De est semejz k b PC PD PB k PD Tmbié so semejtes los triágulos ABD y EPD AB DB es decir EP DP DP PB DP k DP DP( k) k x DP DP DP Y tmbié so semejtes los triágulos ABC y PFC AB AC AP PC k PC PC PC ( k ) es decir k PF PC y PC PC PC ) Por cosiguiete x y es decir x=y, o se EP=PF c.q.d. k b) Además b b EF x b b k es decir EF es l medi rmóic de ls bses AB y CD c.q.d. 4. Se, b, c y S respectivmete ls logitudes de los ldos y el áre de u triágulo cutágulo ABC. Demostrr que si P es u puto iterior l triágulo ABC tl que PA b PB c PC 4S, etoces P es el ortocetro del triágulo ABC. 4

5 Se H el ortocetro del triágulo y se A, B, C los pies de ls lturs del triágulo y A', B ', C ' ls proyeccioes del puto P sobre los ldos Evidetemete PA PA' AA PB PB ' BB PC PC ' CC, es decir PA AA PA' PB BB PB ' PC CC PC ' (*) Si P H se cumple l iguldd e ls tres relcioes (*) HA b HB c HC ( AA HA ) b( BB HB ) c( CC HC ) AA b BB c CC ( HA b HB c HC ) 6S S 4S Si P H l desiguldd será estrict e, l meos, dos de ls relcioes (*) PA b PB c PC ( AA PA') b( BB PB ') c( CC PC ') AA b BB c CC ( PA' b PB ' c PC ') 6S S 4S E este cso serí PA b PB c PC 4S E cosecueci, sólo hy u puto P del iterior de ABC que verific l relció PA b PB c PC 4S, y ese puto es el ortocetro.