llamadas variables independientes, d e es, tomando valores en R las p+1 variables consideradas.

Transcripción

1 Análss de Regresón Lneal Mª Dolores Cubles de la Vega Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva Unversdad de Sevlla El Análss de Regresón es un conjunto de técncas estadístcas cuyo objetvo es nvestgar la posble relacón exstente entre una varable Y, llamada varable dependente o respuesta, y un conjunto de p varables X,...,X p llamadas varables ndependentes, d e es, tomando valores en R las p+ varables consderadas. Se aplca en numerosas áreas como la Economía, Ingenería, Medcna, Cencas Socales, y en partcular dentro de las Tecnologías de la Informacón. Cuando p= se tene una sola varable ndependente, que se denotará por X, hablándoseentalcasodeanálss de Regresón Smple.

2 Dentro del Análss de Regresón Smple puede dstngurse, según Cramer (97): Análss de Regresón Smple I: cuyo objetvo es el de construr una funcón ϕ(x) que permta obtener la mejor representacón posble de la varable Y, en el sentdo del sguente prncpo de mínmos cuadrados: Mn ϕ [ ϕ(x )] E Y Se demuestra que la solucón a este problema se obtene para ϕ( [ ] x ) = E Y / X = x llamándose curva de regresón a la curva obtenda al representar los puntos x, E Y / X x R { ( [ ] ) } X = x, 3 Análss de Regresón II: se restrnge la búsqueda de la funcón ϕ(x) a una determnada clase de funcones S la clase Φ es la formada por todas las funcones lneales posbles, { ϕ β, β R : ϕ( x) = β + x x R} Φ =, / β se estará efectuando un Análss de Regresón Lneal Smple. Cuando la curva de regresón sea una recta, ésta concdrá con la funcón lneal obtenda por el procedmento de mínmos cuadrados. 4

3 El estudo de la nube de puntos, correspondente a una muestra aleatora smple de la varable bl (X,Y), puede sugerr la convenenca de transformar alguna de estas varables, para que el Análss de Regresón Lneal Smple proporcone un modelo lo más representatvo posble de las nuevas varables resultantes. La realzacón de un Análss de Regresón Lneal Smple no suele ser automátca, sno que requere un proceso teratvo en el que se pueden consderar varos modelos dl matemátcos alternatvos. Para cada uno de estos modelos alternatvos debe realzarse su dagnoss y valdacón, proceso que consste en la comprobacón de las hpótess asocadas, así como evaluar la caldad de la aproxmacón. 5 Dagrama de flujo de este proceso teratvo. Comenzo Formular un modelo Estmacón de lo s parámetros Dagnoss y valdacón N o Correcto? Sí Evaluar el ajuste N o Correcto? Sí Fn 6

4 La construccón de un modelo de aproxmacón medante un Análss de Regresón Lneal Smple permte efectuar dos tpos de análss: Análss de Predccón, donde a partr del descubrmento de asocacones, y la habldad para expresar tales asocacones en una forma matemátca precsa, se pueden obtener predccones de un valor no observable de la varable Y a partr del valor de la varable X. Análss de Correlacón, cuyo objetvo es caracterzar la formadelaasocacónexstente,asícomomedrsufuerzao ntensdad. 7 El método de mínmos í cuadrados, d procedmento usualmente empleado para estmar los parámetros en los modelos de regresón, fue propuesto ndependentemente por Carl Fredrch Gauss en Alemana, sobre 795 y por Adren Mare Legendre en Franca, sobre 85. Las prmeras aplcacones del método se hceron en astronomía y geodesa. La prmera publcacón ó relaconada coneste tema aparece en 85 en un apéndce del lbro de Legendre que trata sobre la determnacón de las órbtas de los planetas, descrbendo el método de mínmos cuadrados como un procedmento algebraco (no probablístco) para ajustar una ecuacón lneal a los datos. Posterormente, entre 89 y 88, Gauss y Laplace deron los fundamentos probablístcos blí deestemétodo. d 8

5 Modelo de Regresón Lneal Smple 9 Se consdera el modelo de Regresón Lneal Smple poblaconal sguente: Y = β + β X + ε Donde Y denota la varable dependente (tambén llamada respuesta), X es la varable ndependente (tambén llamada predctora), ε representa una perturbacón aleatora o error cuya presenca representa la no exstenca de una relacón exacta, y β, β son coefcentes ó parámetros desconocdos.

6 En este modelo teórco se suponen las sguentes condcones: a) E[ε]=. b) V[ε]=E[ε] ]=σ. c) Cov(ε,X)=. Para estmar los parámetros y estudar la valdez del modelo, se dspondrá de una muestra aleatora smple (X,Y ),..., (X n,yy n ). Se tendrá por tantot el sguente modelo dl de Regresón Lneal Smple Muestral: Y = β + β X + ε =,...,n El método más empleado de estmacón de los parámetros, es el de mínmos cuadrados. Supondremos conocda una realzacón (x, y ),...,(x n, y n ). Defncón. Dado el par (x,y ), y dados β, β, se defne e la predccón de Y / X = medante ˆ = β + β x y x Defncón. Se defne el error de predccón o resduo para la observacón -ésma como e = y yˆ El objetvo del método de mínmos cuadrados consste en mnmzar la suma de los cuadrados de los resduos.

7 Defncón 3. Se defnen los estmadores mínmo-cuadrátcos de los parámetros β, β como aquellos estmadores que mnmzan la suma de los resduos cuadrátcos. Se tratará por tanto de resolver el sguente problema: n Mn e = Mn β, β = β, β n ( y β β x ) PROPOSICIÓN. Supuesto que S x, los estmadores mínmo cuadrátcos de los parámetros β, β venen dados por las sguentes expresones: ˆ β = y ˆ β x = y β ˆ β = S xy S x 3 Intervalos de Confanza. Se van a construr medante el método de la cantdad pvotal. Para β : Para β : ˆ β m α ES( ˆ t n, / β ˆ β ( ˆ m t n, α / ES β) ) Para σ : ˆ ˆ ( n ) σ ( n ) σ, χ n, α / χ n, α / 4

8 Contrastes de Hpótess. Para β : El estadístco a utlzar es: H : β = H : β βˆβ T = ES ˆ β ) ( Bj Bajo H, T~t n-, por lo que la regón crítca para un contraste con nvel de sgnfcacón α es: T > t n, α / El p-valor, o probabldad de observar una desvacón de la hpótess nula gual o mayor a una desvacón observada T es: { t T } p = P n > = T 5 Análogamente se tene el sguente contraste para β : El estadístco a utlzar es: H : β = H : β ˆ β T = ES( ˆ β ) Bajo H, T~t n-, por lo que la regón crítca para un contraste con nvel de sgnfcacón α es: T > t n, α / Smlarmente al caso anteror, el p-valor vene dado por: { t } p n > = P T 6

9 La tabla de análss de la varanza (tabla ANOVA), donde se descomponelasumadecuadradostotaldelavarabledependentey según las fuentes de varacón. La estructura de esta tabla es la sguente: Fuente de Sumas de Grados de Cuadrados Estadístco Varacón Cuadrados Lbertad Medos F Regresón SC ( yˆ y) = n R = = n E = Error SC ( y yˆ ) n- Total SC ( y y) n- = n T = SC CM R = CM E R SC E = n CM F = CM R E 7 Coefcente de Determnacón. A partr de la tabla del análss de la varanza se puede calcular una medda de la bondad del ajuste proporconado p por el modelo de regresón lneal smple. DEFINICIÓN. Sedefneelcoefcente de determnacón R como la proporcón, respecto a la varacón total observada de Y, explcada por el modelo de regresón lneal: R SC SCE SC T SC T R = = R carece de undad de medda, por lo que permte comparar rectas de regresón calculadas l con varables bl dstntas. t En general, mentras más próxmo a esté el coefcente de determnacón, cabe esperar un mejor ajuste de la recta de mínmos cuadrados a la nube de puntos. 8

10 Sn embargo, la utlzacón exclusva del coefcente R como medda de la bondad del ajuste puede conducr ocasonalmente a nterpretacones erróneas sobre la relacón entre las varables X e Y, por lo que debe examnarse sempre la nube de puntos, ya que R puede ser grande aunque X e Y no esténrelaconadas e slnealmente. e e. Así, las sguentes gráfcas, presentan dos nubes de puntos, extraídas de Anscombe (973), ambas con R =.6856, pero con relacones de naturaleza muy dstntas Y 8 7 Y X X Obtencón de predccones. Predccón ó puntual Una de las prncpales aplcacones de cualquer ajuste funconal es la de predecr valores de la varable dependente para un determnado valor X=x. En el modelo de Regresón Lneal Smple, una predccón puntual para el valor de Y / X= x vene dd dada por yˆ = ˆ β + ˆ β x

11 . Estmacones por ntervalos: Intervalos de Confanza E Y / un ntervalo de confanza al (-α)% para [ ] E / X = x ( x x y ˆ ˆ m t n, α / σ + n x ) ns x Estmacones por ntervalos : Intervalos de predccón unntervalo evaode confanza a al(-α)% para a Y ( ) ˆ m tn, α / σ + + n ns x y ˆ + x x Y / X = x Análss de Correlacón El coefcente de correlacón lneal ρ entre las varables X e Y vene dado por σ ρ = σ σ Este coefcente toma valores en el ntervalo [-,] ] sendo una medda de la ntensdad y el sgno de la relacón lneal entre las dos varables. La estmacón de máxma verosmltud de ρ es: n ( X X )( Y Y ) ˆρ = r = n = = n ( X X ) ( Y Y ) Por tanto la estmacón de máxma verosmltud del coefcente de correlacón lneal poblaconal concde con el coefcente de correlacón lneal muestral r. =

12 Modelo de Regresón Lneal Múltple 3 Modelo Teórco En prmer lugar planteamos desde el punto de vsta teórco el modelo poblaconal: Y = β + β X + + β X + ε L p p. El modelo que nos permte realzar una predccón se obtene a partr de la estmacón de los parámetros que aparecen, es decr, de los coefcentes. Y * ) ) ) = β + β X β p X p 4

13 Modelo Teórco Para realzar la estmacón de los coefcentes, es necesaro consderar una muestra de la poblacón a la que se le medrá la varable objetvo o dependente, y y las varables explcatvas. Una vez obtendos estos datos, se pueden defnr los resduos como la dferenca entre el valor observado de la varable objetvo y el valor que se predecría con el modelo propuesto. 5 El modelo de regresón se estma mnmzando el error cuadrátco medo (ECM), es decr, la meda de los errores al cuadrado. d Se buscan los coefcentes tales que n mn ECM = mn ( y β βx L βpxp) = n β, β, K, βp = ( β β β p ) = = L n n n n e y x xp = =. 6

14 Los supuestos que se deben verfcar en este modelo son: Varables cuanttatvas, tanto la objetvo como las explcatvas. Para cada cd valor de la varable o varables explcatvas, epc vs, la dstrbucón de la varable objetvo debe ser normal. Al ser dfícl de comprobar esta hpótess se susttuye por que los resduos deben poseer una dstrbucón normal de meda y varanza constante. La varanza de la dstrbucón de la varable explcatva debe ser la msma para todos los valores de la varable objetvo. Relacón lneal entre las varables explcatvas y la objetvo. Observacones ndependentes. 7 Caso práctco (SPSS) Los datos del fchero arboles.sav proporconan el volumen (pes cúbcos), altura (pes) y dámetro (pulgadas) de una muestra de 3 áb árboles dl del tpo cerezo negro, en Penslvana. Objetvo: realzar un estudo sobre el rendmento de la madera, paraello,seajustaunmodeloderegresón lneal que permta predecr el volumen de un árbol cuando se conoce su altura y dámetro. 8

15 Analzar + Regresón + Lneales 9 Varable dependente: volumen Varables ndependentes : altura y dámetro 3

16 Varable dependente: volumen Varables ndependentes : altura y dámetro Se puede tambén en el cuadro de dálogo: Agrupar varables bl d ndependentesd en bloques y especfcar dstntos métodos de entrada para dferentes subconjuntos de varables. Elegr una varable de seleccón para lmtar el análss a un subconjunto de casos que tengan valores partculares para esta varable. Selecconar una varable de dentfcacón de casos para dentfcar los puntos en los dagramas. 3 Opcón Estadístcos: 3

17 Análss de los Resultados 33 Coefcente de determnacón R, se defne como la proporcón, respecto a la varacón total observada de Y, explcada por el modelo de regresón lneal: SC R SC E R = = SC SC T T El modelo ajustado explca el 94,8% de la varabldad. 34

18 Tabla de Análss de la Varanza. Para el análss de los resultados obtendos en el ajuste de un modelo de regresón lneal suele construrse la tabla de análss de la varanza (tabla ANOVA), donde se descompone la suma de cuadrados total de la varable dependente Y según las fuentes de varacón. La estructura de esta tabla desde el punto de vsta teórco es la sguente: Fuente de Varacón Sumas de Cuadrados Grados de Lbertad Cuadrados Medos Estadístco F Regresón SC ( yˆ y) = n R = p CM R = SC p R CM R F = CM E Error SC E ( y yˆ ) = n = n-p- CM E SCE = n p Total SC T ( y y) = n = n- 35 El resultado de esta tabla obtendo para el ejemplo que estamos utlzando corresponde a la sguente: Contraste Fundamental H : β = β = H : a lgún β F = 54,97 y el p-valor =, nos ndca que el conjunto formado por las varables ndependentes están relaconadas lnealmente con la varable dependente volumen. 36

19 Estmacón de los coefcentes La estmacón de los coefcentes del modelo de regresón a partr de la tabla anteror nos daría el modelo estmado: Volumen = 57, ,78 dámetro +,339 altura 37 Intervalos de Confanza Se pueden construr medante el método de la cantdad pvotal, los ntervalos de confanza para los coefcentes: Varanza: ˆ β ± t ES( ˆ β ) n p, α / ( n p ) ˆ σ ( n p ) ˆ σ, χ n p, α / χ n p, α / Aplcando estos ntervalos a los datos de nuestro ejemplo, obtenemos los sguentes resultados: IC (β ) al 95% = (-75,68, -4,93) IC (β ) al 95% = (4,67, 5,49) IC (β ) al 95% = (,73,,66) Para σ tendríamos que calcularlo, utlzando la SCE que tenemos en la tabla ANOVA, obtenendo: IC(σ ) al 95% = (,93, 4,939) 38

20 Contrastes t de Hpótess s Estadístco ˆ β T = ES ˆ β ) ( H H : β = : β Bajo H, T~t n-p-, por lo que la regón crítca para un contraste con nvel de sgnfcacón α es: T p-valor vene dado por: > t n p, α / p = P { t } n p > T En nuestro ejemplo el p-valor correspondente a este coefcente es., con lo cual podemos decr que la varable dámetro está relaconada lnealmente con la varable volumen. De la msma forma se plantea el contraste para el coefcente β,deforma que el p-valor obtendo en la tabla del SPSS corresponde a.4 conloque podemos afrmar que la varable altura está relaconada lnealmente con la varable volumen. 39 Dagnoss y Valdacón del Modelo de Regresón Valdacón ó de las hpótess Lnealdad Homocedastcdad Normaldad Estudo de la caldad de las observacones 4

21 Para comprobar que se verfcan las hpótess del modelo nos basamos en el estudo de los resduos. Un análss cudadoso d de los resduos puede nformarnos sobre el cumplmento de los msmos. En algunos casos usaremos análss gráfcos y en otros numércos. Resduos Se defnen como las dferencas entre los valores calculados por el modelo y los realmente observados en la varable dependente 4 Tpos de Resduos Resduo (No tpfcado) : dferenca entre el valor observado y el valor pronostcado por el modelo. = y yˆ = y ˆ β ˆ β x e Resduo Tpfcado : el resduo dvddo por una estmacón de su error típco. (Tambén conocdos como resduos de Pearson) Tenen meda y desvacón típca. e r = σˆ h Resduo elmnado estudentzado : Resduo para un caso cuando ese caso se excluye del cálculo de los coefcentes, dvddo por su error típco. e t = h ˆ σ ( ) 4

22 Lnealdad d y homocedastcdad d d Las gráfcas de los resduos (e, r ó t) frente a las predccones son muy útles para dentfcar posbles volacones de las hpótess ncales en cuanto a la lnealdad y la homogenedad de las varanzas. La nterpretacón a partr de la nube de puntos obtenda debe ser smétrca respecto al eje horzontal (para verfcar la lnealdad de la relacón) y de anchura constante (para confrmar la homogenedad de las varanzas). 43 Ejemplos 3 () (a) 3 t t , -,5 -, -,5,,5,,5, Predccones Predccones (a) Comportamento satsfactoro (b) La varanza crece con la magntud de las predccones 44

23 3,,5, t t,5, -,5 -, -,5-3 -, -,5 -, -,5,,5,,5, -, -, -,5 -, -,5,,5,,5, Predccones Predccones (c )La varanza crece con la magntud de las predccones y además se observa fl falta de lnealdadld d (d) Ausenca de lnealdad 45 Estudo de la Normaldad d El estudo de la hpótess de normaldad se basa en el análss de la normaldad de los resduos. Gráfcos de probabldad normal. Hstograma de los resduos tpfcados con la curva normal superpuesta. Métodos numércos: Test Shapro-Wlk 46

24 Gráfco de probabldad Normal Se ordenan los resduos tpfcados, r, de menor a mayor r ( ) < r() <... < r ( n ) En el gráfco de probabldad normal se representan los valores (/ ) P = n frente a F(r ), para =,,...,n, sendo F la funcón de dstrbucón de la ley N(,). 47 Contnuamos con el ejemplo arboles, representamos las gráfcas con los resduos. Opcones: Gráfcos Resduos: t o r Predccones (pronóstcos Tpfcados) ZRESID: resduos tp tpfcados cados() (r) SDRESID: resduos elmnados estudentzados (t) 48

25 Opcones: Guardar Esta opcón va a generar nuevas varables en el edtor de datos Predccones Resduos 49 Hstograma de los resduos tpfcados f con una curva normal superpuesta 5

26 Gráfco de probabldad Normal: en el eje de abcsas está representada la probabldad acumulada de los resduos y en el de ordenada la prob. acumulada teórca de una normal con meda y desvacón típca. 5 Métodos Numércos : Test de Shapro Wlk (Analzar + Estadístcos Descrptvos + Explorar + Gráfcos con pruebas de Normaldad) Resduo estandarzado (r) P valor =.644 no exsten evdencas sgnfcatvas para rechazar la hpótess de normaldad 5

27 Dagrama de dspersón (Resduos) Valdacón hpótess de lnealdad y homocedastcdad 53 Estudo de la caldad de los datos: Observacón Outler e Influenca Los casos con resduos grandes deben ser cudadosamente examnados para averguar s las puntuacones asgnadas son o no correctas o s dferen de algún modo del resto de los casos. Se llamará observacón outler a toda observacón que se desvía marcadamente de las demás respecto del modelo de regresón lneal ajustado. Se denomnará observacón nfluenca a toda observacón cuya omsón del conjunto de datos produce cambos sensbles en los resultados obtendos. 54

28 Identfcacón medante gráfcos de observacones outler e nfluenca Uno de los métodos más elementales consste en representar de manera smultánea la recta estmada por mínmos cuadrados y la nube de puntos de los valores {(x,y), =,,...,n}. 55 Ejemplos El punto A es atípco respecto a los valores de X, perono respecto al modelo de regresón lneal, ya que el valor observado de Y está próxmo al punto estmado por la recta construda sn consderar este punto. a Y A * X 56

29 El punto B es atípco para la varable X y para la varable Y, y es tambén una observacón nfluenca, puesto que la recta estmada sn él dfere de manera aprecable de la recta construda con todos los datos. 3 B Y X 57 La observacón C es atípca respecto a Y, e nfluye en el cálculo de la recta de mínmos cuadrados. En este caso el punto C no es atípco para la varable X. 4 C Y X 58

30 Método de dentfcacón de observacones outlers Utlzando los resduos elmnados estudentzados, t t > t n p, α /( n ) Aplcando al ejemplo, calculamos el valor t, 484 8,. 975 = medante Transformar + calcular+ funcón Gl nversos+ IDF.t Observando la columna de los resduos vemos que la observacón 3 toma un valor.7656 >.484, luego se puede consderar observacón outler medante este crtero. 59 Método de dentfcacón de observacones nfluenca Utlzando el estadístco D de Cook defndo D = ( ) yˆ y n ˆ j( ) j ˆ σ j= D F p >, n p, α Aplcando al ejemplo, calculamos el valor medante Transformar + calcular+ funcón Gl nversos+ IDF.F y observando la columna del estadístco D, podemos decr que no exsten observacones nfluencas. 6

31 Fnalzada esta etapa, podríamos preguntarnos s: es bueno el modelo dl deregresónajustado? d se puede mejorar este modelo? La respuesta con los datos desarrollados sería que la bondad de ajuste del modelo de regresón es adecuada (observando el valor de R), sn embargo el comportamento de los resduos en las gráfcas obtendas no es del todo adecuada para verfcar la hpótess de lnealdad, junto a la exstenca de un valor atípco (observacón 3). Solucón para posbles mejoras del modelo: ajustar un modelo de regresón ntroducendo un térmno cuadrátco para una de las varables ndependentes (dámetro, altura). fltrar la exstenca de posbles valores atípcos. 6 Propuesta. Se ntroduce en el modelo la varable dámetro al cuadrado. Varable dependente: volumen Varables ndependentes: altura, dametro Análss de los Resultados Resumen del modelo b Modelo R R cuadrado R cuadrado corregda Error típ. de la estmacón,986 a,973,97,7995 a. Varables predctoras: (Constante), dametro, altura b. Varable dependente: volumen Ecuacón de Regresón: Volumen = altura +.68 dametro 6

32 Valdacón hpótess con los resduos Student zed Deleted Resdual Pruebas de normaldad Kolmogorov-Smrnov a Shapro-Wlk Estadístco gl Sg. Estadístco gl Sg. *. Este es un límte nferor de la sgnfcacón verdadera. a. Correccón de la sgnfcacón de Lllefors,6 3,*,955 3, p valor 63 Propuesta. Se ntroduce en el modelo la varable altura al cuadrado. Varable dependente: volumen Varables ndependentes: altura, dametro Análss de los Resultados Modelo Ecuacón de Regresón: Resumen del modelo b R cuadrado Error típ. de l a R R cuadrado corregda estmacón,974 a,949,945 3,8468 a. Varables predctoras: (Constante), dámetro, altura b. Varable dependente: volumen Volumen = altura dametro 64

33 Valdacón hpótess ncales Student zed Deleted Resdual Pruebas de normaldad Kolmogorov-Smrnov a Shapro-Wlk Etdít Estadístco gl Sg. Etdít Estadístco gl Sg. *. Este es un límte nferor de la sgnfcacón verdadera. a. Correccón de la sgnfcacón de Lllefors,4 3,*,978 3,769 p valor 65 Propuesta 3. Fltramos la observacón 3 (outler) Varable dependente: volumen Varables ndependentes: altura, dametro Análss de los Resultados Ecuacón de Regresón: Resumen del modelo b Modelo R R cuadrado R cuadrado corregda Error típ. de la estmacón,97 a,944,94 3,4896 a. Varables predctoras: (Constante), altura, dámetro b. Varable dependente: volumen Volumen = altura dametro 66

34 Dagrama de dspersón (valdacón hpótess ncales) 67 Test de Shapro Wlk (valdacón hpótess de normaldad ) Student zed Deleted Resdual Pruebas de normaldad Kolmogorov-Smrnov a Shapro-Wl k Estadístco gl Sg. Estadístco gl Sg. *. Este es un límte nferor de la sgnfcacón verdadera. a. Correccón de la sgnfcacón de Lllefors,8 3,*,96 3,353 Analzadas todas las propuestas p posbles, se seleccona la más adecuada que podría ser cualquera de las tres mrando la bondad del ajuste. En cuanto a la valdacón de las hpótess ncales observamos que el gráfco de dspersón de la propuesta valda de forma más clara las hpótess de lnealdad y homocedastcdad. 68

35 Obtencón de Predccones Una de las prncpales p aplcacones de cualquer ajuste funconal es la de predecr valores de la varable dependente para un determnado valor X=x. En el modelo de Regresón Lneal, una predccón puntual para el valor de, vene dada por y = ˆ β + ˆ β x + ˆ β ˆ... + Intervalos de predccón: estmacones por ntervalos para Y = / X x Intervalos de confanza: estmacones por ntervalos para [ Y ] E / X = x p x p 69 Estos resultados en SPSS se obtenen ndcando en el menú de Guardar los Valores pronostcados no tpfcados como predccón puntual los ntervalos de pronóstcos señalando las dos opcones posbles que corresponden a los ntervalos de confanza (meda) y los ntervalos de predccón (ndvduos) como se muestran en la sguente pantalla: Predccón puntual Predccón Por ntervalos 7

36 Sguendo con nuestro ejemplo vamos a calcular el volumen medo estmado así como los ntervalos de confanza y predccón de los árboles de dámetro y altura 8. Para ello añadmos estos datos en el edtor de datos y volvemos a realzar el ajuste de la regresón tenendo en cuenta las opcones d ndcadasd en el párrafoanteror, como se muestra en la pantalla. tll Nota: Nos quedamos con la propuesta por tanto utlzamos la varable dametro, luego el valor a ntroducr es dametro=44 Los resultados obtendos para el modelo ncal: Predccón puntual del volumen de Intervalo de confanza para la meda (7.34;78.697) Intervalo de predccón para los ndvduos( ;8.975). 7 Representamos el gráfco de dspersón junto a la ecuacón de regresón ajustada y los ntervalos de confanza y de predccón obtenendo el sguente gráfco: 7

37 Técncas de seleccón de varables En muchas stuacones se dspone de un conjunto grande de varables ndependentes, nos podemos plantear s todas las varables son necesaras para realzar el modelo de regresón ó podemos tomar un subconjunto de esas varables. La colnealdad o multcolnealdad es una stuacón no deseable en la que las varables ndependentes es una funcón lneal de otras varables ndependentes, esto hace que los parámetros del modelo sean muy nestables, con varanzas muy grandes. 73 Técncas de seleccón de varables Para soluconar el problema planteado exsten dferentes procedmentos estadístcos: (SPSS) Introducr Elmnar Haca delante Haca atrás Pasos sucesvos 74

38 Introducr : procedmento para la seleccón de varables en el que todas las varables de un bloque se ntroducen en un solo paso. Elmnar: Procedmento para la seleccón de varables en el que las varables de un bloque se elmnan en un solo paso. Haca delante: las varables se ntroducen secuencalmente en el modelo. La prmera varable para entrar será la que tenga mayor correlacón (valor absoluto) con la varable dependente y además debe cumplr un crtero de entrada. De forma sucesva rán entrado el resto da varables. El crtero termna cuando ya no quedan varables que satsfagan el crterode entrada. 75 Haca atrás: se ntroducen todas las varables en la ecuacón y después se van excluyendo una tras otra. Aquella varable que tenga la menor correlacón parcal con la varable dependente será la prmera en ser consderada para su exclusón. S satsface el crtero de exclusón será elmnada. El procedmento termna cuando ya no quedan en la ecuacón varables que satsfagan el crtero de exclusón. 76

39 Pasos sucesvos: En cada paso se ntroduce la varable bl ndependente que no se encuentre ya en la ecuacón y que tenga la probabldad para F más pequeña, s esa probabldad es sufcentemente pequeña. Las varables ya ntroducdas en la ecuacón de regresón se elmnan de ella s su probabldad para F llega a ser sufcentemente grande. El método termna cuando ya no haya más varables bl canddatasaser ncludas d oelmnadas. 77 Fchero: Arepolu.sav Varables explcatvas: Cantdad de lluva regstrada (lluva), nvel de educacón (educa), densdad de poblacón (densdad), porcentaje de etnas mnortaras (pormn), nvel de contamnacón por ntrógeno (nox), nvel de contamnacón por azufre (so), logartmo neperano del nvel de contamnacón ó por ntrógeno (lnox) y logartmo neperano del nvel de contamnacón por azufre (lnso). Varable objetvo: Tasa de mortaldad (tasamor). Objetvos: Estudar los factores soco-culturales que nfluyen en la tasa de mortaldad de los estados. 78

40 Método Paso a Paso (Pasos Sucesvos) En la entrada de datos añadmos el método de pasos sucesvos, con objeto de selecconar las varables ndependentes que deben entrar en el modelo de regresón. 79 Resumen del lanálss de Resultados Varables ntroducdas/elmnadas a Modelo 3 4 Varables ntroducdas Varables elmnadas PORMIN, EDUCA, LNSO, LLUVIA, a. Varable dependente: TASAMOR Método Por pasos (crtero: Prob. de F para entrar <=,5, Prob. de F para salr >=,). Por pasos (crtero: Prob. de F para entrar <=,5, Prob. de F para salr >=,). Por pasos (crtero: Prob. de F para entrar <=,5, Prob. de F para salr >=,). Por pasos (crtero: Prob. de F para entrar <=,5, Prob. de F para salr >=,). Esta tabla nos ndca que el algortmo de pasos sucesvos ha realzado 4 teracones en la prmera entra la varable pormn y no sale nnguna varable, en las sguentes etapas van entrando las varables educa, lnso y lluva respectvamente pero no sale nnguna de las varables que están dentro. 8

41 Modelo 3 4 LLUVIA EDUCA DENSIDAD NOX SO LNSO LNOX LLUVIA DENSIDAD NOX SO LNSO LNOX LLUVIA DENSIDAD NOX SO LNOX DENSIDAD NOX SO LNOX Varables excludas e Estadístcos de Correlacón colnealdad Beta dentro t Sg. parcal Toleranca,94 a,85,7,349,89 -,393 a -4,385, -,5,956,7 a,84,6,35, -,89 a -,888,378 -,7,,33 a 3,576,,48,975,37 a 4,7,,484,997,76 a,75,85,6,964,9 b,94,38,58,658,87 b,35,37,74,94, b,4,997,,945,6 b 3,98,3,38,93,9 b 3,535,,47,934, b,36,4,97,96,64 c,68,,34,593,74 c,84,45,8,76 -,59 c -,77,8 -,3,76,9 c,73,479,96,387 -,6 c -,469,64 -,63,378,73 d,83,4,,76 -,73 d -,75,457 -,,6,4 d,59,5,56,379,7 d,9,37,,9 a. Varables predctoras en el modelo: (Constante), PORMIN b. Varables predctoras en el modelo: (Constante), PORMIN, EDUCA c. Varables predctoras en el modelo: (Constante), PORMIN, EDUCA, LNSO d. Varables predctoras en el modelo: (Constante), PORMIN, EDUCA, LNSO, LLUVIA e. Varable dependente: TASAMOR 8 Resumen del modelo Modelo 3 4 R cuadrado Error típ. de la R R cuadrado corregda estmacón,644 a,44,44 48,638,75 b,56,547 4,898,8 c,64,63 38,49,87 d,683,66 36,6387 a. Varables predctoras: (Constante), PORMIN b. Varables predctoras: (Constante), PORMIN, EDUCA c. Varables predctoras: (Constante), PORMIN, EDUCA, LNSO d. Varables predctoras: (Constante), PORMIN, EDUCA, LNSO, LLUVIA Contraste fundamental ANOVA ANOVA e R =,683 Modelo 3 4 Regresón Resdual Total Regresón Resdual Total Regresón Resdual Total Regresón Resdual Total Suma de Meda cuadrados gl cuadrátca F Sg , ,849 4,3, a 33778, , , ,4 646,7 36,56, b 3, ,93 835, , ,348 33,457, c 8777, ,37 835, , ,7 9,66, d 738, ,68 835,77 59 a. Varables predctoras: (Constante), PORMIN b. Varables predctoras: (Constante), PORMIN, EDUCA c. Varables predctoras: (Constante), PORMIN, EDUCA, LNSO d. Varables predctoras: (Constante), PORMIN, EDUCA, LNSO, LLUVIA e. Varable dependente: TASAMOR 8

42 Modelo 3 4 (Constante) PORMIN (Constante) PORMIN EDUCA (Constante) PORMIN EDUCA LNSO (Constante) PORMIN EDUCA LNSO LLUVIA a. Varable dependente: TASAMOR Ecuacón de Regresón: Coefcentes a Coefcentes Coefcentes no estandarzad estandarzados os B Error típ. Beta t Sg. 887,,376 85,5, 4,488,7,644 6,43,,376 74, ,6, 3,96,65,56 6,64, -8,93 6,597 -,393-4,385,,938 73,546 5,9, 3,98,57,56 6,87, -3,4 6,7 -,38-3,766,,5 3,437,9 3,535, 943,769 93,846,57, 3,3,585,476 5,67, -3,885 6,888 -,89 -,6,49 5,43 3,435,36 4,379,,645,64,64,68, Tasamor =943, ,3 PORMIN 3,885 EDUCA + 5,43 LNSO +,645LLUVIA 83