Estadística Descriptiva 2da parte

Transcripción

1 Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Estadística Descriptiva 2da parte 2 Cuatrimestre 2018 COMISIÓN :1. Prof. Dr. Juan Ignacio Pastore.

2 Qué es la estadística? El contenido de la estadística moderna incluye la recopilación, presentación y caracterización de la información con el fin de auxiliar tanto en el análisis de datos como en el proceso de toma de decisiones Berenson y Levine, Estadística Básica en administración. (1992)

3 Algunos usos de la estadística Si nos ocupa el análisis de uno o varios conjuntos de datos de la misma variable, contamos con métodos gráficos y numéricos que reúne la Estadística descriptiva. Si debemos tomar decisiones bajo condiciones de incertidumbre, a través de estimaciones o pruebas de hipótesis, contamos con la Estadística inferencial. Si nos ocupa el análisis de dos conjuntos de variables denominadas explicativas y explicadas, nos serán de utilidad los métodos de regresión.

4 De qué se ocupa la estadística Descriptiva? La estadística descriptiva se ocupa de la organización, presentación y análisis de la información. Cuál es la información que organiza, de dónde surge, cómo se obtiene, cómo se la presenta y cómo se la analiza? Qué medidas calculamos? Para qué? Qué significado tienen? Alcanza con aplicar una fórmula o un programa estadístico? Las elegimos adecuadamente en cada caso? Nos ayudan a resumir la información? Son medidas que representan los datos? Son confiables? Todas estas preguntas serán respondidas al trabajar con Proyectos

5 Algunas definiciones Población: es el conjunto sobre el que se centra el objetivo de un análisis o investigación estadística. Esta compuesta por unidades elementales con características comunes observables. Una unidad elemental es cada objeto o sujeto que observamos de la población. Una muestra es un subconjunto «representativo» de unidades elementales tomadas de la población. Aquella característica que se observa o se mide sobre las unidades elementales, se denomina variable.

6 Variables: Cualitativas y Cuantitativas. Las variables cualitativas son aquellas que permiten la expresión de una característica, una categoría, un atributo o una cualidad de los elementos de estudio. Las variables cuantitativas son aquellas cuyos datos son de tipo numérico.

7 Clasificación de las Variables Cualitativa Cuantitativa Nominal Discreta Ordinal Continua

8 Cómo organizar los datos? Series Simples Series de Frecuencias Intervalos de Clases

9 Gráficos La organización de los datos obtenidos en una investigación mediante tablas de frecuencias no es suficiente para analizar el comportamiento de la variable. Para una comprensión más efectiva del comportamiento de la variable, se hace útil el empleo de gráficas, dado que éstas permiten describir rápidamente las características del grupo. Para representar el comportamiento de una variable se pueden usar varios tipos de gráficas, entre ellas están los histogramas, polígonos, ojivas, diagramas de barras y circulares.

10 Cómo organizar los datos? Variables Cualitativas Barras Simples Barras Proporcionales Barras Agrupadas Diagramas Sectoriales Variables Cuantitativas Discretas Bastones Variables Cuantitativas Continuas Histograma Polígono de Frecuencias Simples Polígono de Frecuencias Acumuladas

11 Estadísticos En todo análisis y/o interpretación de datos es necesario disponer de «valores» numéricos para extraer y resumir las principales características de los mismos. Existen diversas medidas descriptivas que representan las propiedades de tendencia central, dispersión y forma.

12 Estadísticos Centralización Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse. Posición Media, mediana y moda Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos. Cuartiles, deciles, percentiles Dispersión Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización. Forma Rango, Varianza, Desviación típica, Coeficiente de Variación. Asimetría

13 Estadísticos

14 Centralización

15 Medidas de Centralización En la mayoría de los casos, el conjunto de datos obtenidos, ya sea de una muestra o de una población, tienden a reunirse alrededor de un valor central. De esta manera, es posible obtener un valor típico o representativo de todo el conjunto de datos, el cual se denomina medida de tendencia central. Las medidas de tendencia central más representativas son: Media aritmética, Mediana, Moda.

16 Media Aritmética Medidas de Centralización. La media aritmética es la medida más común de centralización de un grupo de datos. Serie Simple: Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x 1,x 2,, x n entonces la media muestral se define como: X n i1 n x i donde : X : media aritmética de la muestra n: total de datos de la muestra xi : dato de la variable xi : suma de todos los valores de la muestra i

17 Medidas de Centralización. Media Aritmética Cálculo de la Media Aritmética para datos dados por una Serie Simple: Ejemplo correspondiente a las edades de los alumnos del primer cuatrimestre de 2018 que cursan estadística básica. X n i1 n x i Las edades de los alumnos del 1er cuatrimestre de 2018, dadas en esta serie simple, tienen un promedio de 21,166 años.

18 Media Aritmética Medidas de Centralización. Cuando se agrupan los datos en una Tabla de Frecuencias, sin construir intervalos, se calcula la media aritmética mediante la siguiente formula: X k i1 xf n i i donde : X : media aritmética de la muestra n: total de datos de la muestra x i f i : dato de la variable : frecuencia absoluta para cada valor de la variable

19 Media Aritmética X k i xf i i 1 21,166 n Medidas de Centralización. Cálculo de la Media Aritmética para datos agrupados en una Tabla de Frecuencias: Ejemplo correspondiente a las edades de los alumnos del primer cuatrimestre de 2018 que cursan estadística básica. Las edades de los alumnos del 1er cuatrimestre de 2018, dadas en una tabla de frecuencias, tienen un promedio de 21,166 años. Edad fi

20 Media Aritmética Medidas de Centralización. Cuando se agrupan los datos en Intervalos de clases, se calcula la media aritmética mediante la siguiente formula: X k i1 x n m i f i donde : X : media aritmética de la muestra n: total de datos de la muestra x f m i i : marca de clase de i - ésimo intervalo : frecuencia absoluta para cada valor de la variable

21 Media Aritmética X k i xmi fi 1 21,80 n Intervalos de Edad Medidas de Centralización. Cálculo de la Media Aritmética para datos agrupados en Intervalos de Clases: Ejemplo correspondiente a las edades de los alumnos del primer cuatrimestre de 2018 que cursan estadística básica. Las edades de los alumnos del 1er cuatrimestre de 2018, agrupadas en intervalos de clase, tienen un promedio de 21,8 años. xmi [18 20) 19 6 [20 22) [22 24) 23 6 [24 26) 25 3 [26 28) 27 2 fi n = 30

22 Mediana Medidas de Centralización. La mediana es el valor de variable donde la muestra se divide en dos partes iguales, es decir, es aquel valor que deja el 50% de las observaciones por debajo de él y el otro 50% por encima de él. Serie Simple: Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x 1,x 2,, x n entonces la media muestral se define como: x n1 /2 Me x x 2 n/2 n/2 1 si n si n es impar es par

23 Mediana Cálculo de la Mediana para datos dados por una Serie Simple: Medidas de Centralización. Ejemplo correspondiente a las edades de los alumnos del primer cuatrimestre de 2018 que cursan estadística básica ,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,20,20,20,21,21,21,21,21,22,22,22,22,23,23,24,24,24,26,27 La ventaja de la mediana es que los valores extremos no tienen influencia sobre ella. Me =21

24 Mediana Medidas de Centralización. Cálculo de la Mediana para datos agrupados en una Tabla de Frecuencias: La mediana es aquel valor de la variable cuya Frecuencia Absoluta Acumulada (Fa) es inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones. El cálculo de la mediana para datos agrupados en un atabla de frecuencias se realiza mediante el siguiente procedimiento: 1. Hallar n/2. 2. Ubicar el valor observado cuya frecuencia absoluta acumulada contiene a n/2.

25 Mediana Medidas de Centralización. Cálculo de la Mediana para datos agrupados en una Tabla de Frecuencias: Ejemplo correspondiente a las edades de los alumnos del primer cuatrimestre de 2018 que cursan estadística básica. Me Edad fi Fa n

26 Mediana Cálculo de la Mediana para datos agrupados en Intervalos de Clase: Medidas de Centralización. El cálculo de la mediana para datos agrupados en un atabla de frecuencias se realiza mediante el siguiente procedimiento: 1. Hallar n/2. 2. Ubicar el valor observado cuya frecuencia absoluta acumulada contiene a n/2. 3. Calcular la mediana mediante la fórmula: n F aa Me L 2 inf a f i donde: L inf = Límite inferior del primer intervalo cuya F a es mayor a n/2. F aa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2. f i = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2. a = Amplitud de los intervalos

27 Mediana Cálculo de la Mediana para datos agrupados en Intervalos de Clase: Medidas de Centralización. Intervalos de Edad fi Fa [18 20) 6 6 [20 22) [22 24) 6 25 [24 26) 3 28 [26 28) 2 30 n = 30 n F aa Me L 2 inf a f i donde: 30 6 Me 20 2 * 2 21, frecuencia absoluta acumulada inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones L inf = Límite inferior del primer intervalo cuya F a es mayor a n/2. F aa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2. f i = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2. a = Amplitud de los intervalos

28 Medidas de Centralización. Moda Se denomina moda de un conjunto de datos al valor que más se presenta, es decir, el atributo o el valor de mayor frecuencia. La moda se representa por Mo y puede ser aplicada a las variables cualitativas y cuantitativas discretas o continuas. Serie Simple: Ejemplo 1: 1, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 8, 9, 10 La moda es 3. Ejemplo 2: 1, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 8, 9, 10 Las modas son 3 y 6. Ejemplo 3: 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 19 En este caso, no hay moda.

29 Medidas de Centralización. Moda Se denomina moda de un conjunto de datos al valor que más se presenta, es decir, el atributo o el valor de mayor frecuencia. La moda se representa por Mo y puede ser aplicada a las variables cualitativas y cuantitativas discretas o continuas. Cálculo de la Media Aritmética para datos agrupados en una Tabla de Frecuencias: Ejemplo correspondiente a las edades de los alumnos del primer cuatrimestre de 2018 que cursan estadística básica. Mo =20 años Edad fi

30 Moda Cálculo de la Mediana para datos agrupados en Intervalos de Clase: Medidas de Centralización. d 1 Mo Linf a d1 d2 donde: L inf = Límite inferior del intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta (intervalo modal). d 1 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y el intervalo pre-modal. d 2 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y el intervalo post-modal. a = Amplitud de los intervalos

31 Moda Cálculo de la Mediana para datos agrupados en Intervalos de Clase: Medidas de Centralización. Intervalos de Edad fi [18 20) 6 [20 22) 13 [22 24) 6 [24 26) 3 [26 28) 2 d 1 Mo Linf a d1 d2 donde: L inf = Límite inferior del intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta (intervalo modal). d 1 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y el intervalo pre-modal. d 2 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y el intervalo post-modal. a = Amplitud de los intervalos 7 Mo

32 Representación Gráfica de la Moda Medidas de Centralización. D1 D2 L i Mo a

33 Medidas de Posición

34 Medidas de Posición. Cuartiles Los cuartiles (Q k ) son valores que fraccionan la distribución de los datos en cuatro partes iguales. Existen tres cuartiles y cada una de las partes representa un 25% de los datos. 75% 25% 75% 25% 25% 25% 25% 25% Mínimo Cuartil 1 Q 1 Mediana Cuartil 2 Q 2 Cuartil 3 Q 3 Máximo

35 Medidas de Posición. Cuartiles Los cuartiles (Q k ) son valores que fraccionan la distribución de los datos en cuatro partes iguales. Existen tres cuartiles y cada una de las partes representa un 25% de los datos. Serie Simple: Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x 1,x 2,, x n entonces la media muestral se define como: x n1 j/4 Q x x 2 j nj/4 nj/4 1 si n es impar si n es par

36 Cuartiles Cálculo de los Cuartiles para datos dados por una Serie Simple: Medidas de Posición. Ejemplo correspondiente a las edades de los alumnos del primer cuatrimestre de 2018 que cursan estadística básica ,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,20,20,20,21,21,21,21,21,22,22,22,22,23,23,24,24,24,26,27 q1=20 q 2 =21 q3=22

37 Cuartiles Cálculo de los Cuartiles para datos agrupados en Serie de Frecuencias: Medidas de Posición. q 1 = 20 años q 3 = 22 años Edad fi Fa n 30 j. j. 4 4 n 30 7,5 4 4 n ,5 4 4

38 Cuartiles [22 24) 6 25 [24 26) 3 28 [26 28) 2 30 n = 30 L inf = Límite inferior del primer intervalo cuya F a es mayor a j.n/4 F aa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo cuya F a es mayor a j.n/4. f i = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya F a es mayor a j.n/4 a = Amplitud de los intervalos. n ,5 4 4 q q 1 3 Medidas de Posición. Cálculo de los Cuartiles para datos agrupados en Intervalos de Clase: n Intervalos fi Fa j Faa de Edad Q 4 j Linf a fi [18 20) 6 6 n ,5 [20 22) , ,166 6

39 Medidas de Centralización. Deciles Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en diez partes iguales, los puntos de división se conocen como deciles. 20% 80% Mínimo Decil 2 Máximo D 2

40 Medidas de Centralización. Percentiles Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cien partes iguales, los puntos de división se conocen como percentiles. 18% 82% Mínimo Percentil 18 Máximo P 18

41 Porcentajes Mediana y Cuartiles representados en el polígono de frecuencias acumuladas 100,00 90,00 80,00 75% 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 25% 20,00 10,00 0,00 Q 1 P 40 Q Putuaciones

42 Medidas de Dispersión

43 Medidas de Dispersión Además de las medidas de tendencia central que posibilitan la representación del conjunto de datos por medio de un valor, es necesario conocer la variabilidad o la dispersión que los datos pueden tener en relación a una medida de tendencia central.

44 Medidas de Dispersión Rango Medidas de Dispersión Absolutas Varianza Desviación Estándar Rango Intercuartílico Relativas Coeficiente de Variación

45 Medidas de Dispersión. Rango El rango se define como la diferencia entre la observación más grande y la más pequeña : r x x max Rango Intercuartílico (RIC) min RIC Q Q 3 1 Los valores extremos influyan en el conjunto de datos.

46 Varianza Medidas de Dispersión. Para el conjunto de datos x 1, x 2,.,x n de una población de tamaño N. Las diferencias de cada dato y la media, determinan los desvíos o desviaciones. Dado que la suma de estas desviaciones es cero, se utiliza como medida de variabilidad el promedio de los cuadrados de tales desvíos. N 2 i1 ( x x) i N 2 m 2 i1 ( ) 2 xi x fi N s n 2 i1 ( x x) i n 1 (1) (2) (3) (4) 2 s m 2 ( i ). 2 i1 x x f n 1 i Varianza Poblacional siendo N el tamaño de la población. Para datos sin agrupar (1) y agrupados (2) Varianza muestral siendo n el tamaño de la muestra. Para datos sin agrupar (3) y agrupados (4) Si los datos se agrupan por intervalos, usamos x mi en lugar de x i

47 Medidas de Dispersión. Desvío estandar muestral S n 1 n 1 i1 ( x i X ) 2 Para datos sin agrupar S n 1 n 1 i1 ( x i X ) 2 f i Para datos agrupados por frecuencias 1 k 2 S ( xmi X ) fi n 1 i1 Para datos agrupados por Intervalos

48 Medidas de Dispersión. Coeficiente de variación El coeficiente de variación (CV) es una medida que relaciona la desviación estándar con la media aritmética para determinar qué tan homogénea o dispersa es la información. CV Mide el grado de variabilidad en una muestra o población. Está desprovisto de unidades. Permite comparar la variabilidad entre distintas variables y poblaciones. El valor expresado en términos porcentuales, se llama coeficiente de variación porcentual. S CV % 100% X Consideraremos poca variabilidad, si el CV% es a lo sumo del 30 % S X

49 Medidas de Dispersión. Coeficiente de variación: Comparación entre distintas variables y poblaciones. Ejemplo: Si tenemos el peso de 5 pacientes (70, 60, 56, 83 y 79 Kg) cuya media es de 69,6 kg. y su desviación estándar (s) = 10,44 y la presión arterial de los mismos (150, 170, 135, 180 y 195 mmhg) cuya media es de 166 mmhg y su desviación estándar de 21,3. La pregunta sería: qué distribución es más dispersa, el peso o la presión arterial? Si comparamos las desviaciones estándar observamos que la desviación estándar de la presión arterial es mucho mayor; sin embargo, no podemos comparar dos variables que tienen escalas de medidas diferentes, por lo que calculamos los coeficientes de variación: 10,44 CV de la variable peso 15% 69,6 CV de la variable presión 21,30 12,8% 166

50 Análisis de la Forma

51 Análisis del grado de Curtosis Coeficiente de curtosis K>0 K=0 K<0 Con esta medida se cuantifica la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a los valores centrales

52 Análisis de la simetría Coeficiente de asimetría As <0 As =0 As >0

53 Distribuciones Simétricas Insesgada Moda=Mediana=Media X Me Mo La distribución de los datos es simétrica

54 Distribuciones Asimétricas Sesgo Positivo (a la derecha) Moda Mediana Media Si Mo Me X : Asimétrica Positiva En nuestro estudio, Mo= 20 < Me = 21 < X = 21,166 La distribución es asimétrica positiva. Si la distribución es asimétrica positiva, la media no representa al conjunto de datos.

55 Distribuciones Asimétricas Sesgo Negativo (a la izquierda) Media Mediana Moda Si X Me Mo : Asimétrica Negativa Si la distribución es asimétrica negativa, la media no representa al conjunto de datos.

56 Gráfico de caja y bigotes (Box-Plot) Este gráfico permite visualizar rápidamente la simetría y la variabilidad de los datos. El largo de la caja, es q3-q1 (rango intercuartílico), que comprende el 50% central de los datos.

57 Gráfico de caja y bigotes (Box-Plot) Interpretación. Datos asimétricos Cuando los datos son asimétricos, la mayoría de los datos se ubican en la parte superior o inferior de la gráfica.

58 Gráfico de caja y bigotes (Box-Plot) Interpretación. Valores atípicos Los valores atípicos, que son valores de datos que están muy alejados de otros valores de datos, pueden afectar fuertemente sus resultados. Frecuentemente, es más fácil identificar los valores atípicos en una gráfica de caja..

59 Gráfico de caja y bigotes (Box-Plot) Interpretación. Evaluar y comparar los grupos Permiten evaluar y comparar el centro y la dispersión de distintos grupos. La mediana de los grupos son similares, pero algunos de los grupos presentan mayor variabilidad.

60 Observaciones finales Comenzar por el estudio de la variabilidad de los datos, puede ahorrar pasos en el análisis. Si el CV es mayor que 30 %, ninguna medida resume los datos. Si existe poca variación en los datos, debemos analizar la forma. En ese caso, si los datos son simétricos, la media representa los mismos. Si son asimétricos, la medida que los representa es la mediana.

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